郑州市高三数学模拟试题

高中数学综合测试题（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数3Z =，则复数Z 对应的点在 （ ）A ．第一象限或第三象限B ．第二象限或第四象限C ．x 轴正半轴上D ．y 轴负半轴上（2）已知椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率21=e ，则椭圆的标准方程为 （ ） A.122=+y x 2 B.1222=+y x C.14=+3y x 22 D.13=+4y x 22(3) ,a b 为非零向量，“函数2()()f x ax b =+ 为偶函数”是“a b ⊥”的（ ） （A ） 充分但不必要条件 （B ） 必要但不充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 既不充分也不必要条件（4）如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）（A ）52 （B ）107 （C ）54 （D ）109（5）已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥-+301,094y y xy x ，则x －3y 的最大值是 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2（6）如果执行右面的程序框图，那么输出的t =（ ）A ．96B ．120C ．144D ．300(7)已知二项式2(n x （n N +∈）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为（ ）A ．45256B ．47256 C ．49256 D ．51256 (8) 已知各项都是正数的等比数列{}n a 满足：5672aa a +=若存在两项n m a a ,，使得,41a a a n m =⋅则nm 41+的最小值为（ ） A.41 B. 23 C. 32(9)函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=2222f x a x x x 若函数()2-=x f y 有3三个零点，则实数a 的值为（ ）A.2- B.2 C. 4- D.不存在 (10)已知c b a ,,为ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边，向量()()A A n m sin ,cos ,1,3=-=，若n m⊥，且C c A b B a sin cos cos =+,则=B ( )6.πA 4.πB 3.πC 2.πD(11)函数的定义域为D ，若满足：①()x f 在D 内是单调函数；②存在],[b a 使得()x f 在],[b a 上的值域为]2,2[b a ，那么就称函数()x f y =为“成功函数”,若函数()()()1,0log ≠>+=c c t c x f x c 是“成功函数”，则t 的取值范围为（ ）A.()∞+，0 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41, C.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,41 D.⎪⎭⎫⎝⎛41,0 (12) 如图，平面四边形ABCD 中，1===CD AD AB ，CD BD BD ⊥=,2，将其沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥BD A '平面BCD ，若四面体BCD A -'顶点在同一个球面上，则该球的体积为 ( )A.π23B. π3C. π32 D. π2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13)等差数列{}n a 的前n 项和n s ，若8a a a 1073=-+,4a a 411=-,则13s 等于(14) 如图，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图形（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点都是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是 .(15) 下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是D C B A 'D C B A 第12题y 1CBA(16)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(17)（本小题满分12分）已知函数2sin 2)sin(3)(2xx x f ωω-=（0>ω）的最小正周期为π3，（Ⅰ）当 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈43,2ππx 时，求函数)(x f 的最小值； （Ⅱ）在ABC ∆，若1)(=C f ,且)cos(cos sin 22C A B B -+=,求A sin 的值。

(18)（本小题满分12分）第26届世界大学生夏季运动会于2011年8月12日到23日在深圳举行 ，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。

将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm ）： 若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。

（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望。

(19)（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点。

2PA PD AD ===（1）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值， 使//PA 平面MQB ；（2）在（1）的条件下，若平面PAD ⊥平面ABCD ，求①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥第15题 第18题yxO DA P BMQD CB AP二面角M BQ C --的大小。

(20) （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点B （0，1），且点()0，a A （a ≠0）是x 轴上动点，过点A 作线段AB 的垂线交y 轴于点D ，在直线AD 上取点P ，使AP ＝DA. （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程（Ⅱ）点Q 是直线1y =-上的一个动点，过点Q 作轨迹C 的两条切线切点分别为M ，N 求证：QM ⊥QN （21）（本小题满分12分） 已知函数a ax x x x f +-+-=ln )1(21)(2． （I ）若23=a ，求函数)(x f 的极值； （II ）若对任意的)3,1(∈x ，都有0)(>x f 成立，求a 的取值范围．请考生22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时请写清题号。

(22)(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 如图，在△ABC 中，为钝角，点E 、H 是边AB 上的点，点K 和M 分别是边AC 和BC 上的点，且AH=AC,EB=BC,AE=AK,BH=BM. (I )求证:E 、H 、M 、K 四点共圆；（II ）若KE=EH,CE=3求线段 KM 的长.(23) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 232221（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ-=（1）求直线l 的倾斜角；（2）若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求||AB ． (24) (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 若关于x 的方程 243x x a a -++-=0有实根 （1）求实数a 的取值集合AH EKM CBA 第22题（2）若存在a A ∈，使得不等式22120t a t -+<成立，求实数t 的取值范围。

理科数学（1）14．3115．②④ 160y ±= 三、解答题17.解：2)cos(12)sin(3)(x x x f ϖϖ-⋅-=1)cos()sin(3-+=x x ϖϖ 1)6sin(2-+=πϖx依题意函数)(x f 的最小正周期为π3，即πϖπ32=，解得32=ϖ， 所以1)632sin(2)(-+=πx x f（Ⅰ）由432ππ≤≤x 得326322πππ≤+≤x ，所以，当23)632sin(=+πx 时，131232)(-=-⨯=最小值x f ……6分 （Ⅱ）由1)632sin(2)(-+=πC C f 及1)(=C f ，得1)632sin(=+πC 而656326πππ≤+≤C , 所以2632ππ=+C ，解得2π=C 在ABC Rt ∆中，2π=+B A ,)cos(cos sin 22C A B B -+=0sin sin cos 22=--A A A ，01sin sin 2=-+∴A A ，解得251sin ±-=A 1sin 0<<A ，215sin -=∴A ………………12分18. 解解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，”非高个子”18人，………1分用分层抽样的方法，每人被抽中的概率是61305=………2分 所以选中的”高个子”有26112=⨯人,“非高个子”有36118=⨯人，………3分 用事件A 表示有“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名‘高个子’被选中”， 则()107103112523=-=-=C C A P ………5分 因此至少有一人是“高个子”的概率是107………6分 （2）依题意ξ的取值为：0,1,2,3………7分(),5514031238===ξC C P ()，552813122814===ξC C C P ()，551223121824===ξC C C P ()551331234===ξC C P ………9分 因此，ξ的分布列如下：ξ123p5514 5528 5512 551 15513551225528155140=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E ． …………12分１9．解： （1）当13t =时，//PA 平面MQB下面证明：若//PA 平面MQB ，连AC 交BQ 于N 由//AQ BC 可得，ANQ BNC ∆∆∽， 12AQ AN BC NC ∴==．．．．．．．．．２分//PA 平面MQB ，PA ⊂平面PAC ， 平面PAC 平面MQB MN =，//PA MN ∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分 13PM AN PC AC == 即：13PM PC = 13t ∴=．．．６分（2）由PA=PD=AD=2， Q 为AD 的中点，则PQ ⊥AD 。

．７分又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PQ ⊥平面ABCD ，连BD ，四边形ABCD 为菱形， ∵AD=AB ， ∠BAD=60°△ABD 为正三角形， Q 为AD 中点， ∴AD ⊥BQ ．．．．．．．．．．．．８分 以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为,,x y z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A （1，0，0），B （3,0），Q （0，0，0），P （0，03 设平面MQB 的法向量为()z y x ,,=，可得00,//,00n QB n QB PA MN n MN n PA ⎧⎧⋅=⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⋅=⎪⎪⎩⎩，⎪⎩⎪⎨⎧=-=0303z x y 取z=1，解得(3,0,1)n =．．．．．．．．．１０分 取平面ABCD 的法向量()3,0,0=QP 设所求二面角为θ，则21cos ==θ 故二面角M BQ C --的大小为60°．．．．．．．．12分 20.（1）设动点(,)P x y ，1AB k a=-，AP AB ⊥，AP k a ∴=，∴直线AP 的方程为()y a x a =-．…………… 2分由AP DA =，2x a ∴=，∴点P 的轨迹C 的方程是24(0)x y y =≠．… 4分（2）设221212(,1),(,),(,)44x x Q t M x N x -，24x y =，1'2y x ∴=． 21212111111114,,,240222MQ NQ x k x k x x x tx x t +∴==∴=--=-．……… 7分 同理222240x tx --=，12,x x ∴是方程2240x tx --=的两个根，12122,4x x t x x +==-．…………………… 9分222222212121212121211(,1)(,1)()()144164x x QM QN x t x t x x t x x t x x x x ∴⋅=-+⋅-+=-++++++2221421(48)104t t t =--+++++=QM QN ∴⊥．…………………… 12分21.解：（I ）()xx x x x x f 22522512+-=-+='， …………（2分）()0='x f ，得11=x ，或22=x ，列表：函数)(x f 在2=x 处取得极大值2ln 8)2(-=f ， …………（4分） 函数)(x f 在2=x 处取得极小值12ln )2(-=f ； …………（6分）（II ）方法1：())1(1a x x x f +-+='，()3,1∈x 时，)310,2(1∈+x x ，（i ）当21≤+a ，即1≤a 时，()3,1∈x 时，()0>'x f ，函数)(x f 在()3,1是增函数()3,1∈∀x ，()()01=>f x f 恒成立； …………（8分）（ii ）当3101≥+a ，即37≥a 时，()3,1∈x 时，()0<'x f ，函数)(x f 在()3,1是减函数()3,1∈∀x ，()()01=<f x f 恒成立，不合题意 …………（10分）（iii ）当31012<+<a ，即371<<a 时，()3,1∈x 时，()x f '先取负，再取0，最后取正，函数)(x f 在()3,1先递减，再递增，而()01=f ，∴()3,1∈∀x ，()()01=>f x f 不能恒成立；综上，a 的取值范围是1≤a . …………（12分）方法2：∵2121=⋅≥+x x x x ，∴()a a xx x f -≥--+='111（i ）当1≤a 时，()01≥-≥'a x f ，而()a xx x f --+='11不恒为0，∴函数)(x f 是单调递增函数，()3,1∈∀x ，()()01=>f x f 恒成立；…………（8分）（ii ）当1>a 时，令()xx a x x f 1)1(2++-='，设01)1(2=++-x a x 两根是)(,2121x x x x <， ∵2121>+=+a x x ，121=x x ，∴2110x x <<< 当∈x ),(21x x 时，()0<'x f ，()x f 是减函数，∴)()1()(21x f f x f <<，而()01=f ，∴)(0)(21x f x f << …………（10分） 若32≤x ，∵()3,1∈∀x ，()0>x f ，∴0)1()(2=>f x f ，不可能，若32>x ，函数)(x f 在()3,1是减函数，()0)1(3=<f f ，也不可能，综上，a 的取值范围是1≤a . …………（12分） 22.证明：⑴连接CH ，,AC AH AK AE ==，∴四边形CHEK 为等腰梯形，注意到等腰梯形的对角互补，故,,,C H E K 四点共圆，----------- 3分 同理,,,C E H M 四点共圆，即,,,E H M K 均在点,,C E H 所确定的圆上，------------- 5分⑵连结EM ，由⑴得,,,,E H M C K 五点共圆，----------- 7分CEHM 为等腰梯形，EM HC ∴=， 故MKE CEH ∠=∠， 由KE EH =可得KME ECH ∠=∠，故MKE CEH ∆≅∆， 即3KM EC ==为所求． ----------10分 23.解：（1）60（2）l 的直角坐标方程为223+=x y ， )4cos(2πθρ-=的直角坐标方程为1)22()22(22=-+-y x ， 所以圆心)22,22(到直线l 的距离46=d ，210||=∴AB 24.解： （1）0)3(416≥-+-=∆a a 即 2721≤≤-a 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=27,21A ---------5分 （2）令212)(t t a a f ++-= 即 0)(min <a f 即可430127)27(2<<∴<+-=t t t f所以 4334<<-<<-t t 或----10分HEKMCBA。