高一数学 必修四 平面向量基本定理 学案
平面向量基本定理教案(精选10篇)
平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学_平面向量基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思
高中数学教学案设计平面向量基本定理高一数学教学案----《平面向量基本定理》★★★教学目标（考纲点击）教学目标（1）知识与技能：了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单的问题，通过对平面向量基本定理的运用，增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具之一。
（2）过程与方法：通过平面向量基本定理的得出过程，体会由特殊到一般的思维方法。
（3）情感、态度与价值观：通过平面向量基本定理的探求过程，培养学生独立思考及勇于探求的精神，培养学生观察能力、抽象概括能力，激发学习兴趣。
★★★教学重点：平面向量基本定理的应用★★★教学难点：定理的发现和形成过程★★★突破难点的关键:在充分理解向量的平行四边形法则的和向量共线的充要条件下多方位多角度的设计有关训练题从而加深对定理的理解，让学生真正理解,记准、记熟、用活,做到需要时能顺手拈来。
★★★教学方法针对本节课的教学目标和学生的实际情况，本节课我采用“前置复习、提出问题，自主探究与合作探究相结合，当堂达标”的教学模式。
采用“精讲解，重点拨，多练习”的教学方法。
通过设计有梯度的问题激励学生，培养学生克服困难的毅力和信心。
★★★教学手段：为了激发学生的学习兴趣，突出重点，突破难点，提高教学效率，我采用了多媒体辅助教学，同时配备微课使用。
★★★学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。
如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备。
★★★学法指导教学矛盾的主要方面是学生的学。
学是中心，会学是目的。
因此，在教学中要不断指导学生学会学习。
由于学生已经掌握了向量的概念和简单的线性运算，并且对向量的物理背景有初步的了解，我引导学生采用问题探究式学法。
让学生借助学案，在教师创设的情境下，根据已有的知识和经验，主动探索，积极交流，从而建立新的认知结构。
人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理导学案
2.3.1.平面向量基本定理学习目标.1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.知识点一.平面向量基本定理思考1.如果e 1，e 2是两个不共线的确定向量，那么与e 1，e 2在同一平面内的任一向量a 能否用e 1，e 2表示？依据是什么？答案. 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.思考2.如果e 1，e 2是共线向量，那么向量a 能否用e 1，e 2表示？为什么？ 答案. 不一定，当a 与e 1共线时可以表示，否则不能表示.梳理.(1)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二.两向量的夹角与垂直思考 1.平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？ 答案. 存在夹角，不一样.思考2.△ABC 为正三角形，设AB →＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角是多少？ 答案.如图，延长AB 至点D ，使AB ＝BD ，则BD →＝a ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°，则∠CBD ＝120°，故向量a 与b 的夹角为120°. 梳理.(1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角(如图所示).当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向. (2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .类型一.对基底概念的理解例1.如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(..) ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A.①② B.②③ C.③④ D.② 答案.B解析.由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.反思与感悟.考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 跟踪训练1.若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(..) A.e 1－e 2，e 2－e 1 B.2e 1－e 2，e 1－12e 2C.2e 2－3e 1，6e 1－4e 2D.e 1＋e 2，e 1－e 2答案.D解析.选项A 中，两个向量为相反向量，即e 1－e 2＝－(e 2－e 1)，则e 1－e 2，e 2－e 1为共线向量；选项B 中，2e 1－e 2＝2(e 1－12e 2)，也为共线向量；选项C 中，6e 1－4e 2＝－2(2e 2－3e 1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D 符合. 类型二.向量的夹角例2.已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，设a ＋b 与a 的夹角为α，a －b 与a 的夹角是β，求α＋β.解.如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA 、OB 为邻边作▱OACB ， 则OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BC →＝OA →＝a .因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形， 所以∠OAB ＝60°＝∠ABC ， 即a －b 与a 的夹角β＝60°.因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形， 所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°， 即a ＋b 与a 的夹角α＝30°， 所以α＋β＝90°.反思与感悟.(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.(2)特别地，a 与b 的夹角为θ，λ1a 与λ2b (λ1、λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.跟踪训练2.已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.答案.90°解析.由AO →＝12(AB →＋AC →)知，O ，B ，C 三点共线，且O 是线段BC 的中点，故线段BC 是圆O 的直径，从而∠BAC ＝90°，因此AB →与AC →的夹角为90°.类型三.平面向量基本定理的应用例3.如图所示，在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →.解.∵四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →，∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →＝－12AB →＝－12a .∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE → ＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a .引申探究若本例中其他条件不变，设DE →＝a ，BF →＝b ，试以a ，b 为基底表示AB →，AD →. 解.取CF 的中点G ，连接EG . ∵E 、G 分别为BC ，CF 的中点，∴EG →＝12BF →＝12b ，∴DG →＝DE →＋EG →＝a ＋12b .又∵DG →＝34DC →＝34AB →，∴AB →＝43DG →＝43(a ＋12b )＝43a ＋23b .又∵AD →＝BC →＝BF →＋FC →＝BF →＋12DC →＝BF →＋12AB →，∴AD →＝BC →＝b ＋12(43a ＋23b )＝23a ＋43b . 反思与感悟.将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.跟踪训练3.如图所示，在△AOB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →相交于点P ，用基底a ，b 表示OP →.解.OP →＝OM →＋MP →，OP →＝ON →＋NP →. 设MP →＝mMB →，NP →＝nNA →，则 OP →＝OM →＋mMB →＝13OA →＋m (OB →－OM →)＝13a ＋m (b －13a )＝13(1－m )a ＋m b ， OP →＝ON →＋nNA →＝12OB →＋n (OA →－ON →)＝12b ＋n (a －12b )＝12(1－n )b ＋n a . ∵a ，b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 13(1－m )＝n ，12(1－n )＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝15，m ＝25.∴OP →＝15a ＋25b .1.下列关于基底的说法正确的是(..)①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. A.① B.② C.①③ D.②③ 答案.C解析.零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确. 2.在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝30°，则AC →与BA →的夹角等于(..) A.30° B.60° C.120° D.150°答案.D解析.由向量夹角定义知，AC →与BA →的夹角为150°.3.已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x ＝________，y ＝________. 答案.－15.－12解析.∵向量e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝6，3x －4y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－15，y ＝－12.4.如图所示，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则当以a ，b 为基底时，AC →可表示为________，当以a ，c 为基底时，AC →可表示为________.答案.a ＋b .2a ＋c解析.由平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，以a ，c 为基底时将BD →平移，使点B 与点A 重合，再由三角形法则和平行四边形法则即可得到.5.已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a 、b 为基底表示DC →，BC →，EF →.解.连接FD ，∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， ∴DC 綊FB .∴四边形DCBF 为平行四边形. 依题意，DC →＝FB →＝12AB →＝12b ， BC →＝FD →＝AD →－AF → ＝AD →－12AB →＝a －12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b －12×12b ＝14b －a .1.对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.2.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.课时作业一、选择题1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(..)A.e1＋e2和e1－e2B.3e1－4e2和6e1－8e2C.e1＋2e2和2e1＋e2D.e1和e1＋e2答案.B解析.B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底.2.若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是(..)A.60°B.120°C.30°D.150°答案.A3.如图所示，用向量e1，e2表示向量a－b为(..)A.－4e1－2e2B.－2e1－4e2C.e1－3e2D.3e1－e2答案.C解析.如图，由向量的减法得a －b ＝AB →.由向量的加法得AB →＝e 1－3e 2.4.设向量e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数y 的值为(..) A.3 B.4 C.－14 D.－34答案.B解析.因为3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2， 所以(3x －4y ＋7)e 1＋(10－y －2x )e 2＝0，又因为e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋7＝0，10－y －2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，故选B.5.若OP →1＝a ，OP →2＝b ，P 1P →＝λPP →2(λ≠－1)，则OP →等于(..) A.a ＋λb B.λa ＋(1－λ)b C.λa ＋b D.11＋λa ＋λ1＋λb 答案.D解析.∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP →1＝λ(OP →2－OP →)，∴(1＋λ)OP →＝OP →1＋λOP →2， ∴OP →＝11＋λOP →1＋λ1＋λOP →2＝11＋λa ＋λ1＋λb .6.若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为(..) A.165 B.125 C.85 D.45 答案.C解析.∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.7.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于(..)A.14a ＋12b B.12a ＋14b C.23a ＋13b D.12a ＋23b 答案.C解析.如图，设CF →＝λCD →，AE →＝μAF →，则CD →＝OD →－OC →＝12b －12a ，故AF →＝AC →＋CF →＝(1－12λ)a ＋12λb .∵AF →＝1μAE →＝1μ(AO →＋OE →)＝1μ(12a ＋14b )＝12μa ＋14μb ， ∴由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧1－12λ＝12μ，12λ＝14μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝34，∴AF →＝23a ＋13b ，故选C.二、填空题8.已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为______________. 答案.(－∞，4)∪(4，＋∞)解析.若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线.a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b ，即得λ≠4.9.若|a |＝|b |＝|a －b |＝r (r >0)，则a 与b 的夹角为________. 答案.60°解析.作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，∠AOB 为a 与b 的夹角，由|a |＝|b |＝|a －b |知△AOB 为等边三角形，所以∠AOB ＝60°.10.如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.答案.43解析.设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.三、解答题11.判断下列命题的正误，并说明理由：(1)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a 、b 、c 、d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d ；(2)若e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来.解.(1)错，当e 1与e 2共线时，结论不一定成立.(2)正确，假设e 1＋e 2与e 1－e 2共线，则存在实数λ，使e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，即(1－λ)e 1＝－(1＋λ)e 2.因为1－λ与1＋λ不同时为0， 所以e 1与e 2共线，这与e 1，e 2不共线矛盾.所以e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来.12.如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值.解.如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →＋OE →.在Rt△OCD 中，∵|OC →|＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，∴|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →，OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.13.在梯形ABCD 中，AB →∥CD →，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB＝k .设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.解.方法一.如图所示，∵AB →＝e 2，且DC AB＝k ， ∴DC →＝kAB →＝k e 2.又∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2.又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，且NB →＝－12BC →，AM →＝12AD →， ∴MN →＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC → ＝k ＋12e 2. 方法二.如图所示，过C 作CE ∥DA ，交AB 于点E ，交MN 于点F .同方法一可得DC →＝k e 2.则BC →＝BE →＋EC →＝－(AB →－DC →)＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2，MN →＝MF →＋FN →＝DC →＋12EB →＝DC →＋12(AB →－DC →) ＝k ＋12e 2. 方法三.如图所示，连接MB ，MC .同方法一可得DC →＝k e 2，BC →＝e 1＋(k －1)e 2.由MN →＝12(MB →＋MC →)，得MN →＝12(MA →＋AB →＋MD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝k ＋12e 2. 四、探究与拓展14.已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________.答案.90°解析.由题意可画出图形，在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |，所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ，即向量a 与c 的夹角为90°.15.设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2.(1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式；(3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值.(1)证明.若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2).由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底.(2)解.设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b . (3)解.由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1. 故所求λ，μ的值分别为3和1.。
高中数学必修四《平面向量的基本定理》-教学设计
《平面向量的基本定理》【课程标准】向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种桥梁，有着极其丰富的实际背景。
本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。
【课程标准分析】本部分内容是在学习了向量共线定理的基础上研究平面向量的问题，先推导出平面向量基本定理，之后再研究平面内的向量如何用坐标表示。
本节课在平面向量一章中地位重要，是平面向量坐标表示的理论基础；是数形结合思想的重要体现之一，是讨论存在唯一性问题的一个范例。
平面向量的基本定理是中学数学的核心知识，对今后数学的深入学习有重要的意义。
所以本节课是一堂原理课教学。
如果学生不掌握好，便不能深入理解向量坐标的由来，以及和点的坐标的本质区别。
【教学目标】（一）知识与技能了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定理选定基底，分解平面中的任意向量。
逐步掌握由图形语言到符号语言的数形结合的数学思想。
（二）过程与方法通过观看微课、课前练习、课堂讨论的教学活动，让学生经历发现与总结出平面向量基本定理的过程，形成分析、抽象、概括数学知识的体会，形成由特殊到一般的思维方法的体会。
（三）情感态度与价值观通过平面向量基本定理的探求过程，培养学生独立思考及勇于探求的精神，培养学生合作讨论的兴趣，激发学习数学的兴趣。
建立学习数学的自信心，体会数学在生活中无处不在的价值。
【学情分析】基本定理是在学生学过向量的概念和线性运算，在学生接触了物理学中矢量的分解和合成后，深入进一步学习向量知识的第一节内容。
我校为省示范高中，高一学生有一定的知识基础，有一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
会较易接受理解基本定理的存在性问题，而在向量分解的系数21λλ，在什么情况下是唯一存在，在什么情况下是不唯一存在的问题上较难理解。
在系数21λλ，的意义上认识不深刻，对后续的向量的坐标的定义上产生概念性混淆，扰乱整个向量的知识体系，从而打击学习向量的兴趣和自信。
高中数学必修四《平面向量基本定理》教学设计
2.3.1 平面向量基本定理一、教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因。
二、教学目标1、知识与技能了解平面向量的基本定理及其意义；理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示.2、过程与方法初步掌握应用向量解决问题的重要思想方法；能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.3、情感态度与价值观通过平面向量基本定理的探求过程，培养学生的观察能力、抽象概括能力、合作交流能力.三、重点难点教学重点: 平面向量基本定理.教学难点: 平面向量基本定理的运用.四、教学设计（一）导入新课引入1：已知向量12,e e 为两个已知向量，向量121242,2a e e b e e =+=+， 则a与b 什么位置关系？因为2a b =，由向量共线定理知a 与b 共线.引入2：在∆ABC 中，点D,E,F 分别为边AB,BC,CA 的中点，直线BF 与CD 交于点O, 求证：直线AE 过点O.（二）探究新知如下图，向量12,e e 为已知向量思考：(1) 向量,b c 怎样用向量12,e e 来表示?(2) 任意向量a 怎样用向量12,e e 来表示? (3) 任意向量a 能用向量b,d 来表示吗?活动: 教师引导学生作图，根据向量的加减法运算及向量三角形、平OD BEF行四边形法则可得（1）12-32b e e =+，12c -2-e e =+（6）； （2）对于向量a 又该如何用12,e e 表示呢？向量12,e e 前的系数该是多少呢？设OC =a ，过向量a 的终点C 分别作平行于向量12,e e 的直线，与格线分别交于点M 、N ；由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得OM =λ11e ,ON =λ22e .由于ONOMOC +=,所以a =λ11e +λ22e .也就是说,任一向量a 都可以表示成a =λ11e +λ22e 的形式，任意向量a 都可以转化为向量12,e e 的线性组合形式.由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量12,e e 表示出来.当12,e e 确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.（3）引导学生发现向量b,d 共线，若向量a 能用向量b,d 来表示，则向量a 与向量b,d 共线，而图中向量a 与向量b,d 不共线，故向量a 不能用向量b,d 来表示.由以上探究我们得到:平面向量基本定理 如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e我们把不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底(base).定理探究：(1) 向量12,e e 可以共线吗？唯一吗？(2) 若a与e或2e平行的非零向量，怎样表示？若a是零向量呢？1(3) 实数λ1，λ2的值唯一吗？探究结果:(1)向量,e e不可以共线（由两个向量共线的条件可知12,e e不可以12为零向量），向量,e e不唯一，即同一平面内基底由无数多组；12(2) 若a与e平行，则λ2为零，若a与2e平行，则λ1为零，若a为1零向量，则λ1=λ2=0；(3) 实数λ1，λ2的值唯一。
高中数学必修四导学案：2.2.1平面向量基本定理
2.2.1平面向量基本定理
课型
合作课
学习目标
（一）知识与技能：
（1）了解平面向量基本定理及其意义，并利用其进行正交分解；
（2）理解平面内三点共线的充要条件及线段中点的向量表达式。
（二）过程与方法：
通过平面向量基本定理得出的过程，体会由特殊到一般的方法，培养学生“数”与“形”相互转化的思想方法。
（三）情感、态度与价值观：
通过ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ节课的教学，培养学生积极探索的良好学习品质．
学习重点
平面向量基本定理的应用
学习难点
平面向量在给定基向量上分解的唯一性
☆合作探究
探究一：如图（教材96页），设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，试用e1、e2表示向量 , , .
探究二：设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，请作出该平面内给定的向量a在e1、e2两个方向上分解得到的向量。
试用基底{ }表示 ， ， 和
☆基础练习
1.试在基底{ }下，分解下列向量：（图在教材98页，练习A第一题）
， ， ，
2.已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，设 ， ，选择基底
，试写出下列向量在此基底下的分解式：
， ， ，
☆我的收获与困惑
师生反思：
思考（1）向量a是否可以用含有e1、e2的式子来表示呢？怎样表示？
思考（2）若向量a能够用e1、e2表示，这种表示是否唯一？
探究三：平面向量基本定理
说明：①e1、e2是两个不共线的向量
②a是平面内的任一向量
③实数 ， 唯一确定
探究四：什么叫做基底？什么叫分解式？
☆典例精析
例1．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，设 ， ，
平面向量基本定理学案
2.3.1平面向量基本定理２.３.２平面向量的正交分解及坐标表示学习目的：1.了解平面向量基本定理，了解基底的含义.2. 掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义.3.理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量．重点:平面向量基本定理难点:两向量夹角的定义及定理的运用自学设计:一. 两向量的夹角与垂直1.夹角:已知两个 a 和b ,作OA =a ,OB =b ,则 =θ,叫做向量a 与b 的夹角.记作,a b (1)范围:向量a 与b 的夹角的范围是 .(2)当00θ=时a 与b .(3)当0180θ=时a 与b .2.垂直:如果向量a 与b 的夹角是 ,则称a 与b 垂直,记作 .在等边ABC ∆中, ,AB BC = .二. 平面向量基本定理1.定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a ， 实数1,2λλ，使a = (称为平面向量的线性表示) .2.基底: 的向量1e ,2e 叫做表示这一平面内 向量的一组基底.由定义,平面向量的基底唯一吗?３．把一个向量分解成两个 的向量,叫做把向量正交分解.4.平面向量的坐标:在平面直角坐标系中,分别取与x 轴y 轴方向相同的两个 i ,j 作为基底,对于平面内的一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得a = ,则把有序数对 叫做向量a 的坐标.课堂达标:(A 组)1.关于基底的说法正确的序号是(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底.(2)基底中的向量可以是零向量.(3)平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.O θA B ba2.若i =(1,0), j =(0,1),且a =2i +j ,则a 的坐标为( )A.(2,0)B.(2,1)C.(1,0)D.(0,1)3.如图所示,D 是BC 边的中点,试用基底,AB AC AD 表示课堂达标:(Ｂ组)已知四边形OADB 是以向量OA =a ,OB =b 为邻边的平行四边形,C 为对角线的交点.又11,33BM BC CN CD == ,试用a ,b 表示,.OM ON。
平面向量基本定理学案
平面向量基本定理预习学案一、学习目标1、 了解平面向量基本定理及其意义，会利用向量基本定理解决简单问题。
2、 通过平面向量基本定理的得出过程，体会由特殊到一般的思维方法。
二、学习重点、难点重点：平面向量基本定理的应用 难点：对平面向量基本定理的理解 三、问题探究1、 当基底确定后，平面内任一向量的表示是唯一的，为什么？2、 同一非零向量在不同基底下的分解式相同吗？四、知识梳理1、 平面向量基本定理：2、 我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为2211e a e a +叫做3、 已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点，则对于直线l 上任一点P ，存在实数t ，使关于基底的分解式为=OP ，这个等式叫做直线的向量参数方程式。
课堂效果自测有向量的基底的是（）所在平面上表示其他所行四边形向量组中可作为这个平两对角线的交点，下列是平行四边形设点ABCD O .1①AB AD 与 ②BC DA 与 ③DC CA 与 ④OB OD 与 A.①② B.①③ C.①④ D.③④2.如图，D,E,F 是三角形ABC 的边BC,CA,AB 的中点，且b CA a BC 2,2==，在给出的下列四个等式中，正确的是（ ）①b a AD 2+=②b a BE +=2 ③a b BF += ④CA BC AB CF BE AD ++=++A. ①②B. ①③C. ②③④D. ①②③④3.在平行四边形ABCD 中，NC AN b AD a AB 3,,===，点M 为BC 中点，则MN ={}NPMP MN b a b AC a AB AB AP CA CN BC BM AB CA BC ABC P V M ,,,,41,41,41,,,,.4基底下的分解式：，试写出下列向量在此，选择基底，如果上的点，且三边分别是三角形如图，已知=====A BCDE F AP NCMB平面向量基本定理讲授学案一、知识回顾：1.向量的平行四边形法则2.平行向量基本定理 二、知识讲解引例：如教材中图2-34,设1e ,2e 是两个不平行的向量,用向量1e ,2e 表示图中向量？平面向量基本定理如果1e ,2e 是一平面内的两个 的向量,那么该平面内的 向量a ,存在 的一对实数21,a a 使a = .把不共线向量1e ,2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 . 反思小结三、例题分析例1?M MD MC MB MA b a b AD a AB ABCD 、、、表示、，用 ，且，的两条对角线相交于点如图所示，平行四边形== C.,,,,,AD AB d c d AN c AM BC DC N M ABCD 表示，试用已知的中点分别是中，拓展：在平行四边形==MC NBA D小结：例2四、课堂小结五、课后作业1. 课后练习A 1、22. 预习向量的正交分解与向量的直角坐标运算{}.)1(:,.上一定在并且，满足上式的点的分解式为，使关于基底，存在实数上任一点求证：对直线外一点是上任意两点，点是直线，已知：l P OB t OA t OP OB OA t P l l O l B A +-= ABOP1.1.0.1.(),),,(,,=+=-=+-=++=n m D n m C n m B n m A n m c b a c b a b n a m c 需满足的条件是，有公共的起点设终点在一条直线上要使的拓展：已知。
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→AP＝13A→B，若→AB＝a，A→C＝b， 试用 a，b 将→MN、→NP、→PM表示出来． 解 →NP＝→AP－→AN＝13A→B－23A→C＝13a－23b， →MN＝→CN－→CM＝－13→AC－23→CB＝－13b－23(a－b) ＝－23a＋13b，→PM＝－M→P＝－(M→N＋N→P)＝13(a＋b)． 规律方法 (1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数 乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合． (2)将向量 c 用 a，b 表示，常采用待定系数法，其基本思路是设 c＝xa＋yb，其中 x，y∈R，然后得到关 于 x，y 的方程组求解． 跟踪演练 1 如图，四边形 OADB 是以向量O→A＝a，→OB＝b 为边的平行四边形．又 BM＝13BC，CN＝13CD，试用 a、b 表示O→M，O→N，M→N. 解 →BM＝13B→C＝16B→A ＝16(→OA－→OB)＝16(a－b)， ∴O→M＝O→B＋B→M＝16a＋56b. ∵C→N＝13→CD＝16→OD. ∴O→N＝O→C＋C→N＝12→OD＋16→OD ＝23→OD＝23(a＋b)， →MN＝→ON－→OM＝12a－16b. 要点二 向量的夹角问题 例 2 已知|a|＝|b|，且 a 与 b 的夹角为 120°，求 a＋b 与 a 的夹角，a－b 与 a 的夹角． 解 如图，作→OA＝a，→OB＝b，∠AOB＝120°，以O→A，O→B为邻边作平行四边形 OACB，则→OC＝a＋b，B→A＝a－ b. ∵|a|＝|b|，∴平行四边形 OACB 为菱形． ∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°，
在 Rt△OCD 中，∵|O→C|＝2 3，
∠COD＝30°，∠OCD＝90°， ∴|→OD|＝4，|→CD|＝2，故O→D＝4→OA， →OE＝2O→B，即 λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6. 10．设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝12AB，BE＝23BC，若D→E＝λ1→AB＋λ2→AC(λ1，λ2 为实数)， 则 λ1＋λ2 的值为________．
1 答案 2 解析 易知D→E＝12→AB＋23→BC＝12A→B＋23(→AC－→AB)＝－16→AB＋23→AC，
于点 E，设O→A＝a，O→B＝b.
(1)用 a，b 表示向量O→C，D→C；
(2)若O→E＝λ→OA，求实数 λ 的值．
解 (1)∵A 为 BC 中点，
∴O→A＝12(→OB＋→OC)，O→C＝2a－b.
→DC＝→OC－→OD＝→OC－23O→B
2
5
＝2a－b－3b＝2a－3b.
(2)∵O→E＝λ→OA，∴C→E＝O→E－O→C＝λ→OA－→OC
解 连接 AG 并延长，交 BC 于点 D，则 D 为 BC 的中点，
→AG＝23A→D＝23(→AB＋→BD)
＝23×A→B＋12B→C
＝23→AB＋13→BC＝23A→B＋13(→AC－→AB)
＝13→AB＋13→AC＝13a＋13b.
1.对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这 两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向 量和的形式，且分解是唯一的． (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，
将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．
一、基础达标
1．若 e1，e2 是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) 1
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－2e2 C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
答案 D
解析 选项 A、B、C 中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底．
→BA与→OA的夹角即为→BA与→BC的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b 与 a 的夹角为 60°，a－b 与 a 的夹角为 30°. 规律方法 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定 夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角．过程简记为“一作二证三算”． 跟踪演练 2 如图，已知△ABC 是等边三角形． (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角． 解 (1)∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC＝60°. 如图，延长 AB 至点 D，使 AB＝BD， 则A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角． ∵∠DBC＝120°， ∴向量A→B与B→C的夹角为 120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°. 要点三 平面向量基本定理的应用 例 3 如图，在△ABC 中，点 M 是边 BC 的中点，点 N 在边 AC 上，且 AN＝2NC.AM 与 BN 相交于点 P，求 AP∶ PM 的值． 解 设B→M＝e1，C→N＝e2，则→AM＝→AC＋→CM＝－3e2－e1， →BN＝→BC＋→CN＝2e1＋e2. ∵A，P，M 和 B，P，N 分别共线， ∴存在实数 λ，μ，使得→AP＝λA→M＝－λe1－3λe2， →BP＝μB→N＝2μe1＋μe2. 故B→A＝B→P－A→P＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而B→A＝B→C＋C→A＝2e1＋3e2， 由平面向量基本定理，得λ＋2μ＝2，
＝λa－2a＋b＝(λ－2)a＋b.
∵C→E与C→D共线，∴存在实数 m，使得→CE＝mC→D，
即(λ－2)a＋b＝m－2a＋53b， 即(λ＋2m－2)a＋1－53mb＝0.
λ＋2m－2＝0， ∵a，b 不共线，∴1－53m＝0，
4 解得 λ＝5.
1．已知向量 e1，e2 不共线，实数 x，y 满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则 x－y 的值为( )
D．a<0，b<0
答案 C
解析 当点 P 落在第Ⅰ部分时，→OP按向量O→P1与O→P2分解时，一个与O→P1反向，一个与O→P2同向，故 a<0，b>0. 5．设向量 m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用 m，n 表示 p，则 p＝________.
答案 －74m＋183n
解析 设 p＝xm＋yn，则 3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.1 平面向量基本定理
[知识链接] 1．如图所示，e1，e2 是两个不共线的向量，试用 e1，e2 表示向量→AB，→CD，→EF，→GH，→HG，a. 答 通过观察，可得： →AB＝2e1＋3e2，C→D＝－e1＋4e2，→EF＝4e1－4e2， →GH＝－2e1＋5e2，→HG＝2e1－5e2，a＝－2e1. 2．0 能不能作为基底？ 答 由于 0 与任何向量都是共线的，因此 0 不能作为基底． 3．平面向量的基底唯一吗？ 答 不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底． [预习导引] 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对 实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：把不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2.两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个非零向量 a 和 b，作→OA＝a，O→B＝b，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量 a 与 b 的夹角． ①范围：向量 a 与 b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当 θ＝0°时，a 与 b 同向． ③当 θ＝180°时，a 与 b 反向． (2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是 90°，则称 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.
3．如图，已知A→B＝a，→AC＝b，→BD＝3→DC，用 a，b 表示→AD，则A→D 等于________．
答案 14a＋34b
解析 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋34→BC
＝A→B＋34(→AC－→AB)＝14A→B＋34→AC＝14a＋34b.
4．已知 G 为△ABC 的重心，设→AB＝a，A→C＝b.试用 a、b 表示向量A→G.
3λ＋μ＝3，
λ＝45， 解得μ＝35.
∴A→P＝45→AM，∴AP∶PM＝4∶1.
规律方法 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线．注意方程思想的应用．(2)用基底
表示向量也是用向量解决问题的基础．应根据条件灵活应用，熟练掌握．
跟踪演练 3 已知如图，△OAB 中，延长 BA 到 C，使 AB＝AC，D 是将→OB分成 2∶1 的一个分点，DC 和 OA 交
1－λ＝μ2 ， ∴1－μ＝λ3 ，
λ＝35， 解得μ＝45.
∴A→E＝25a＋15b.
二、能力提升
8．M 为△ABC 的重心，点 D，E，F 分别为三边 BC，AB，AC 的中点，则M→A＋M→B＋M→C等于( )
A．6→ME
B．－6→MF
C．0
D．6＝M→A＋2→MD＝→MA＋→AM＝0.
A．3
B．－3 C．0
D．2
答案 A
2．已知 AD 为△ABC 的中线，则→AD等于( )
A.A→B＋A→C
B.A→B－A→C C.12A→B－12→AC D.12→AB＋12→AC
答案 D
解析 延长 AD 到点 E，使 DE＝AD，连接 CE，BE，则四边形 ABEC 是平行四边形，则
→AD＝12A→E＝12(→AB＋→AC)＝12A→B＋12A→C.