2.1探索勾股定理(教学课件)
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探索勾股定理(第1课时) 课件2024-2025学年北师大版数学八年级上册
方法二：补
补成大正方形， 用大正方形的面 积减去四个直角 三角形的面积.
方法三：拼
将几个小块拼成若干 个小正方形，图中两 块红色（或绿色）可 拼成一个小正方形.
归总结
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b 和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
图形语言：
北师大·数学·八上册
第一章 勾股定理
1. 探索勾股定理(第1课时)
创设情境 引入新课
为加固新栽的电线杆，工人师傅打算从 电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，若 这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6m，那么需要多长的钢索？你能帮他解决 这个问题吗？
探究活动一
(1)观察图2-1，图2-2，完成下表：
课堂练习 3. 求下列图中未知数x、y的值：
解：由勾股定理可得： 81+ 144=x2 x2=225 x=15
解：由勾股定理可得： y2+ 144=169 y2=25 y=5
课堂练习
分类讨论
4. 已知一个直角三角形的两边分别是3和4，则第三边的平方是（ ）
A. 25
B. 14
C. 7
D. 7或25
谈谈你的收获
作业布置
习题1.1第1--2题
如图，以 Rt△ABC 的三边长 为直径分别向外作半圆. 三个 半圆面积分别为S1，S2，S3 。 求证：S1+S2=S3.
制作4个全等的直角三角形，为下节课证明 勾股定理做准备
感谢聆听！
a2＋b2＝c2
探究活动二
下图中的直角三角形三边是否还满足以上关系？
怎样计算正方形 C 的面积呢？
SA=
=
第1章第1课时 探索勾股定理PPT课件(北师大版)
2．(2018·山东滨州)在直角三角形中，若勾为 3，股
为 4，则弦为( A )
A．5
B．6
C．7
D．8
3．在一个直角三角形中，两直角边长分别为 3 和 4，
下列说法正确的是( C )
A．斜边长为 25
B．该三角形的周长为 25
C．斜边长为 5
D．该三角形的面积为 20
4．如图，在由边长均为 1 个单位长度的小正方形组 成的网格中，点 A，B 都是格点，则线段 AB 的长为( A )
1．下列说法正确的是( D ) A．若 a，b，c 是△ABC 的三边，则 a2＋b2＝c2 B．若 a，b，c 是 Rt△ABC 的三边，则 a2＋b2＝c2 C．若 a，b，c 是 Rt△ABC 的三边，∠A＝90°， 则 a2＋b2＝c2 D．若 a，b，c 是 Rt△ABC 的三边，∠C＝90°，则 a2＋b2＝c2
变式 3 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一 个男孩头顶上方 3 km 处，过了 20 s，飞机距离这个男孩 头顶 5 km(如图)．这一过程中飞机飞行的速度是每秒多 少千米？
解：在 Rt△ABC 中，BC2＝52－32＝16. 因为 BC＞0，所以 BC＝4(km)． 4÷20＝0.2(km/s)． 答：这一过程中飞机飞行的速度是每秒 0.2 千米．
A．5 C．7
B．6 D．25
5．已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B， ∠C 的对应边分别为 a，b，c.
(1)若 a＝3，b＝4，则 c＝____5____； (2)若 a＝40，b＝9，则 c＝___4_1____； (3)若 a＝6，c＝10，则 b＝____8____； (4)若 c＝25，b＝15，则 a＝___2_0____．
《探索勾股定理》勾股定理PPT课件(第1课时)
解：利用勾股定理 a2 + b2 = c2 可以得到c²=100， c=10m
巩固新知
1.求下列直角三角形中未知边的长:
常见整数的平方 （大于10）
12
112 = 121 242 = 576
8
17
5
122 = 144 252 = 625 132 = 169 302 = 900
x
142 = 196 402 =
历史课件： . /kejian/lishi/
c
数是根据圆形和方形的数学道理计算得来的。 圆来自方，而方来自直角三角形，直角三角形是根 据乘法九九表算出来的。如果将一线段折成三段围 成直角三角形，一直角边（勾）为三，另外一直角
边（股）为四，则斜边（弦）就是五。
勾股定理是关于什么图形的定理？
答：关于直角三角形三边的关系
解:∵在Rt△ADC中,AD=12,AC=13（已知）, ∴由勾股定理,得CD2=AC2-AD2=132-122=52, ∵CD=5.BC=14（已知）, ∴BD=14-5=Hale Waihona Puke . 在Rt△ABD中,由勾股定理,得
AB2=AD2+BD2=122+92=152, ∴AB=15.
课堂小结
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，
《周髀算经》曾记载记录着商高和周公的一段对话。
我早就听说您是擅长数 学的人，请问古代伏羲测量天文 制定历法，可没有登天的台阶，又 不能测量大地的尺寸，这数据是
怎么来的呢？
ppt模板： . /moban/
ppt素材： . /sucai/
ppt背景： . /beijing/
ppt图表： . /tubiao/
（2）△ABC的a=6,b=8,则c=10.
巩固新知
1.求下列直角三角形中未知边的长:
常见整数的平方 （大于10）
12
112 = 121 242 = 576
8
17
5
122 = 144 252 = 625 132 = 169 302 = 900
x
142 = 196 402 =
历史课件： . /kejian/lishi/
c
数是根据圆形和方形的数学道理计算得来的。 圆来自方，而方来自直角三角形，直角三角形是根 据乘法九九表算出来的。如果将一线段折成三段围 成直角三角形，一直角边（勾）为三，另外一直角
边（股）为四，则斜边（弦）就是五。
勾股定理是关于什么图形的定理？
答：关于直角三角形三边的关系
解:∵在Rt△ADC中,AD=12,AC=13（已知）, ∴由勾股定理,得CD2=AC2-AD2=132-122=52, ∵CD=5.BC=14（已知）, ∴BD=14-5=Hale Waihona Puke . 在Rt△ABD中,由勾股定理,得
AB2=AD2+BD2=122+92=152, ∴AB=15.
课堂小结
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，
《周髀算经》曾记载记录着商高和周公的一段对话。
我早就听说您是擅长数 学的人，请问古代伏羲测量天文 制定历法，可没有登天的台阶，又 不能测量大地的尺寸，这数据是
怎么来的呢？
ppt模板： . /moban/
ppt素材： . /sucai/
ppt背景： . /beijing/
ppt图表： . /tubiao/
（2）△ABC的a=6,b=8,则c=10.
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
探索勾股定理(公开课课件)
解：由勾股定理，可得:
AB２+BC２ =AC２
∴ AC= √ AB２+BC２
= √ 62 + 82=10
1、求下列直角三角形中未知边的长:
8
17
12 5
x
x
解：在直角三角形中， 解：在直角三角形中， 由勾股定理可得： 由勾股定理可得：
82+ X2=172
52+ 122= X2
即：X=√172-82
推广:一般的直角三角形,上述结论成立吗？
1 a
2b c
3
a2 b2？ c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
转换结论
C Aac
b
B
由正方形的面积公式得： SA=a2 , SB=b2 , SC =c2 SA＋SB=SC
a2+b2=c2
动手做：用尺规做直角三角形ABC，使 ∠C=90°， AC=3cm BC=4cm．
55
考 一 考:
1 求下列图中表示的未知数x、y、z的值.
2X25 81
144
5
3
5
144
169
4z
①
②
③
2 直角三角形的两直角边为5、12，则三角形
的周长为 30 .
3 在△ABC中,∠C=90°,如果c=10, a=6，
那么△ABC的面积是 24 .
例2、 如图所示是一个长方形零件的 平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B 之间的距离.(单位:毫米)
大正方形的面积可以表示为 c2
也可以表示为 (ba)2 4 1 agb
2
c a
b
∵
c2=
(ba)2
4
AB２+BC２ =AC２
∴ AC= √ AB２+BC２
= √ 62 + 82=10
1、求下列直角三角形中未知边的长:
8
17
12 5
x
x
解：在直角三角形中， 解：在直角三角形中， 由勾股定理可得： 由勾股定理可得：
82+ X2=172
52+ 122= X2
即：X=√172-82
推广:一般的直角三角形,上述结论成立吗？
1 a
2b c
3
a2 b2？ c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
转换结论
C Aac
b
B
由正方形的面积公式得： SA=a2 , SB=b2 , SC =c2 SA＋SB=SC
a2+b2=c2
动手做：用尺规做直角三角形ABC，使 ∠C=90°， AC=3cm BC=4cm．
55
考 一 考:
1 求下列图中表示的未知数x、y、z的值.
2X25 81
144
5
3
5
144
169
4z
①
②
③
2 直角三角形的两直角边为5、12，则三角形
的周长为 30 .
3 在△ABC中,∠C=90°,如果c=10, a=6，
那么△ABC的面积是 24 .
例2、 如图所示是一个长方形零件的 平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B 之间的距离.(单位:毫米)
大正方形的面积可以表示为 c2
也可以表示为 (ba)2 4 1 agb
2
c a
b
∵
c2=
(ba)2
4
探索勾股定理说课获奖PPT课件
4
（二）教学目标
教学目标
知识技能目标 过程方法目标 情感目标
5
二、教学重点、难点
重点：勾股定理的内容及其应用 难点：勾股定理的证明 突破难点的关键：“拼图法”和
“面积法”的成功运用
6
三、教法与学法分析：
教法：以引导探索法为主，实验法、讨论 法为辅，由浅到深，由特殊到一般。充分 利用教具及多媒体等教学手段。
【作业】1、课本P70 2、3、7 思考题：在平静的湖面上，有一支红莲，高 出水面1尺红莲被风一吹，花朵刚好与水 面平齐，已知红莲移动的水平距离是2尺 问这里水深是多少？ 2、预习课本P66-67。思考课本中的探究。
23
板书设计
探索勾股定理
勾股定理内容
例题讲解
勾股定理的证明
习题训练
24
五、设计说明：
.
探索定理采用了面积法,引导学生利用实验由特殊到一般的对直角 三角形三边关系的研究,得出结论.这种方法是认识事物规律重要方 法之一,通过教学让学生初步掌握这种方法,对于学生良好思维品质 的形成有重要作用,对学生的终身发展也有一定的作用。
25
26
课件部分内容来源于网 络，如对内容有异议或 侵权的请及时联系删除 ！ 此课件可编辑版，请放 心使用！
b
cb
cb
cb
c
a
a
a
a
15
a b
c
b
c
a
a
c
b
利用计算面积法：
S大正方形=S小正方形+4SRt
cb a
a2 b2 c2
16
勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为a和b，
斜边长为c，那么 a股定理的使用条件？
（二）教学目标
教学目标
知识技能目标 过程方法目标 情感目标
5
二、教学重点、难点
重点：勾股定理的内容及其应用 难点：勾股定理的证明 突破难点的关键：“拼图法”和
“面积法”的成功运用
6
三、教法与学法分析：
教法：以引导探索法为主，实验法、讨论 法为辅，由浅到深，由特殊到一般。充分 利用教具及多媒体等教学手段。
【作业】1、课本P70 2、3、7 思考题：在平静的湖面上，有一支红莲，高 出水面1尺红莲被风一吹，花朵刚好与水 面平齐，已知红莲移动的水平距离是2尺 问这里水深是多少？ 2、预习课本P66-67。思考课本中的探究。
23
板书设计
探索勾股定理
勾股定理内容
例题讲解
勾股定理的证明
习题训练
24
五、设计说明：
.
探索定理采用了面积法,引导学生利用实验由特殊到一般的对直角 三角形三边关系的研究,得出结论.这种方法是认识事物规律重要方 法之一,通过教学让学生初步掌握这种方法,对于学生良好思维品质 的形成有重要作用,对学生的终身发展也有一定的作用。
25
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b
cb
cb
cb
c
a
a
a
a
15
a b
c
b
c
a
a
c
b
利用计算面积法：
S大正方形=S小正方形+4SRt
cb a
a2 b2 c2
16
勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为a和b，
斜边长为c，那么 a股定理的使用条件？
探索勾股定理ppt课件
度的一般步
边还是斜边或两种均有可能；
骤
（3）利用勾股定理进行计算
续表
1.1 探索勾股定理
返回目录
归纳总结
考
点
利用勾股定理解决实际问题的关键是利用数形结合思想
清
单 将实际问题转化成数学问题，建立直角三角形模型，再利用
解
读 勾股定理来解决.
1.1 探索勾股定理
返回目录
对点典例剖析
考
点
典例3 如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要
方
法
）
技 100 和 36，则以 AD 为直径的半圆的面积是 （
巧
A. 4π
B. 8π
点
拨
C. 12π
D. 16π
1.1 探索勾股定理
返回目录
方
［解析］ 因为在 Rt△ABD 中，∠ADB=90°，AB2=100，
法
技 BD2=36，所以 AD2=100-36=64，所以 AD=8，
巧
点
所以以 AD 为直径的半圆的面积是 π×( AD)2=8π.
行分类讨论.
1.1 探索勾股定理
返回目录
方 ■方法：利用勾股定理解决面积问题
法
如图，由直角三角形的三边向外作正方形、半圆或等边
技
巧 三角形，则有 S =S +S （S ，S ，S 分别代表三个图形的
1
2
3
1
2
3
点
拨 面积，其中 S1 代表以斜边为一边的图形的面积）.
1.1 探索勾股定理
返回目录
例 如图，正方形 ABGF 和正方形 CDBE 的面积分别是
1.1 探索勾股定理
● 考点清单解读
边还是斜边或两种均有可能；
骤
（3）利用勾股定理进行计算
续表
1.1 探索勾股定理
返回目录
归纳总结
考
点
利用勾股定理解决实际问题的关键是利用数形结合思想
清
单 将实际问题转化成数学问题，建立直角三角形模型，再利用
解
读 勾股定理来解决.
1.1 探索勾股定理
返回目录
对点典例剖析
考
点
典例3 如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要
方
法
）
技 100 和 36，则以 AD 为直径的半圆的面积是 （
巧
A. 4π
B. 8π
点
拨
C. 12π
D. 16π
1.1 探索勾股定理
返回目录
方
［解析］ 因为在 Rt△ABD 中，∠ADB=90°，AB2=100，
法
技 BD2=36，所以 AD2=100-36=64，所以 AD=8，
巧
点
所以以 AD 为直径的半圆的面积是 π×( AD)2=8π.
行分类讨论.
1.1 探索勾股定理
返回目录
方 ■方法：利用勾股定理解决面积问题
法
如图，由直角三角形的三边向外作正方形、半圆或等边
技
巧 三角形，则有 S =S +S （S ，S ，S 分别代表三个图形的
1
2
3
1
2
3
点
拨 面积，其中 S1 代表以斜边为一边的图形的面积）.
1.1 探索勾股定理
返回目录
例 如图，正方形 ABGF 和正方形 CDBE 的面积分别是
1.1 探索勾股定理
● 考点清单解读
2.1勾股定理课件
同学们可以到以下网址查阅有关勾股定理的问题： 同学们可以到以下网址查阅有关勾股定理的问题：
/wiki/%E5%8 B%BE%E8%82%A1%E5%AE%9A% E7%90%86
问题1：我们也来观察下面图中的地面， 问题 ：我们也来观察下面图中的地面， 看看你能发现什么？ 看看你能发现什么？是否也和 大哲学家有同样的发现呢？ 大哲学家有同样的发现呢？
探究1： 探究 ：
D E A C B N M
等腰直角三角形的三边存在怎 样的数量关系？ 样的数量关系？
探究2 探究2：
每个学生任画一个直角三角形， 每个学生任画一个直角三角形， 度量边长， 度量边长，验证三条边长是否具 有上述的关系. 有上述的关系
演示
问题2 问题
一辆高3米 一辆高 米，宽2.4米的卡车能否通过半径 米的卡车能否通过半径 为3.6米的半圆形隧道 ？ 米的半圆形隧道
C
B
A
五、感悟收获，经验交流 感悟收获，
小结
1.这一节课我的收获是 这一节课我的收获是 2.我最感兴趣的地方是 我最感兴趣的地方是 3.我想进一步研究的问题是 我想进一步研究的问题是 ； ； 。
B
C
A
四、应用新知，解决问题 应用新知，
A
在Rt△ABC中, △ 中 ∠C=90°. °
c b C a B
41 1)已知 已知:a=9,b=40, 则c=_____; 已知
2)已知 已知:a=6,c=10,则b=_____; 已知 则 8 3)已知 已知:b=15,c=25,则a=_____; 已知 则 20
二、自主探究，发现新知 自主探究，
• 毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家， 毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家， 相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客． 相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席 其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论， 上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉 斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来， 斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地 是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间， 是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常 美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪， 美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过 去问他．谁知毕达哥拉斯突破恍然大悟的样子，站起来， 去问他．谁知毕达哥拉斯突破恍然大悟的样子，站起来， 大笑着跑回家去了． 大笑着跑回家去了．
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图2-1中，正方 形Ⅲ中含有18 个小方格。
Ⅰ
Ⅱ 图2-2
所以，正方形Ⅲ的 面积为18个单位面 积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
方法一：直接数正方形Ⅲ所包含的小方格数
图2-1中，
Ⅲ Ⅰ Ⅱ Ⅲ 图2-1 Ⅰ Ⅱ 图2-2 （图中每个小方格代表一个单位面积）
1× S △= 2 3
×
3
S正方形
= 4 1 2
b
Ⅲ
图2-1 Ⅰ Ⅱ 图2-2
a2+b2=c2
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么 c 2 2 2 a
a b = c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。 在西方又称毕达 哥拉斯定理！
勾 弦
股
已知两边求第三边
例题：求出下面直角三角形中未知边的长度。 解：在Rt△Ⅰ中，由勾股定理得： 62+82=x2 x2=100 x=10
Ⅲ
3 3 = 18
（单位面积）
方法二：分割成若干个直角边为整数的三角形
Ⅲ Ⅰ Ⅱ
（2）在图2-2中，正 方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？ 4, 4, 8
Ⅲ
Ⅰ
（3）你能发现图2-2 中三个正方形Ⅰ，Ⅱ， Ⅱ 图2-2 Ⅲ的面积之间有什么 （图中每个小方格代表一个单位面积）关系吗？
图2-1
SⅠ+SⅡ=SⅢ
做一做
（1）观察图 2-3，并填写 下表：
Ⅰ Ⅲ
S正方形
Ⅱ 图2-3
Ⅲ
1 =4× ×4×3+1 2 =25
正方形Ⅰ
正方形Ⅱ
正方形Ⅲ
面积
边长
16
4
9
3
25
5
议一议
（1）各图中三个正方 形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积之间 有什么关系？
Ⅲ Ⅰa
c
Ⅱ
SⅠ+SⅡ=SⅢ
（2）如果直角三角形 两直角边分别为a，b， 斜边为c，你能用直角 三角形的边长表示正方 形的面积吗？
x
Ⅰ
6
8
课堂练习
1.求出下面直角三角形中未知边的长度。 5
13
Ⅰ
x
2.直角三角形的斜边为15，一直角边为9，则 它的面积是多少？
小结
说说这节课你有什么收获？
1. 探索出勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 2. 已知直角三角形的两条边，就能求出第三条边。 （依据勾股定理）
作业
必做：“伴你学”第27页的巩固练习 选做：“伴你学”第29页的能力挑战
探索勾股定理
复习引入
B
a c
C
b
A
S
△ABC
1× = a 2
×Leabharlann b（1）观察图2-1
Ⅲ Ⅰ Ⅱ
正方形Ⅰ中含有 9 个 小方格，即A的面积是 9 个单位面积。
Ⅲ
正方形Ⅱ的面积是
图2-1
Ⅰ Ⅱ 图2-2
9 个单位面积。
正方形Ⅲ的面积是
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
Ⅲ Ⅰ Ⅱ Ⅲ 图2-1