香农三大定理
现代通信与香农的三大定理
现代通信与香农的三大定理LT至此，香农开创性地引入了“信息量”的概念，从而把传送信息所需要的比特数与信号源本身的统计特性联系起来。
这个工作的意义甚至超越了通信领域，而成为信息储存，数据压缩等技术的基础。
解决了信号源的数据量问题后，我们就可以来看信道了。
信道（channel）的作用是把信号从一地传到另一地。
在香农以前，那奎斯特已经证明了：信道每秒能传送的符号数是其频宽的一半。
但问题是，即使这些符号，也不是总能正确地到达目的地的。
在有噪声的情况下，信道传送的信号会发生畸变，而使得接收者不能正确地判断是哪个符号被发送了。
对付噪声的办法是减少每个符号所带的比特数：“而每个波特所含的比特数，则是受噪声环境的限制。
这是因为当每个波特所含的比特数增加时，它的可能值的数目也增加。
这样代表不同数据的信号就会比较接近。
例如，假定信号允许的电压值在正负1伏之间。
如果每个波特含一个比特，那么可能的值是0或1。
这样我们可以用-1伏代表0，用1伏代表1。
而假如每波特含两个比特，那么可能的值就是0，1，2，3。
我们需要用-1伏，-0.33伏，0.33伏，1伏来代表着四个可能值。
这样，如果噪声造成的误差是0.5伏的话，那么在前一种情况不会造成解读的错误（例如把-1V 错成了-0.5伏，它仍然代表0）。
而在后一种情况则会造成错误（例如把-1V错成了-0.5伏，它就不代表0，而代表1了）。
所以，每个波特所含的比特数也是不能随便增加的。
以上两个因素合起来，就构成了对于数据传输速率的限制。
”其实，除此之外，还有一个对付噪声的办法，就是在所有可能的符号序列中只选用一些来代表信息。
例如，如果符号值是0和1，那么三个符号组成的序列就有8个：000，001，010，011，100，101，110，111。
我们现在只用其中两个来代表信息：000和111。
这样，如果噪声造成了一个符号的错误，比如000变成了010，那我们还是知道发送的是000而不是111。
香农定理
谈香农定理克劳德.香农,1916年4月30日出生于美国密歇根州的加洛德，他是信息时代的奠基人。
他这一生的两大贡献之一便就是信息论，信息熵的概念提出和香农公式。
信息传输给出基本数学模型的核心人物是香农。
1948年香农长达数十页的论文“通信的数学理论”成了信息论正式诞生的里程碑。
在他的通信数学模型中，清楚地提出信息的度量问题，他把哈特利的公式扩大到概率pi不同的情况，得到了著名的计算信息熵H的公式：H=∑-pi log pi如果计算中的对数log是以2为底的，那么计算出来的信息熵就以比特(bit)为单位。
今天在计算机和通信中广泛使用的字节 (Byte)、KB、MB、GB等词都是从比特演化而来。
“比特”的出现标志着人类知道了如何计量信息量。
香农的信息论为明确什么是信息量概念作出决定性的贡献。
香农在进行信息的定量计算的时候，明确地把信息量定义为随机不定性程度的减少。
这就表明了他对信息的理解：信息是用来减少随机不定性的东西。
或香农逆定义：信息是确定性的增加。
事实上，香农最初的动机是把电话中的噪音除掉，他给出通信速率的上限，这个结论首先用在电话上，后来用到光纤，现在又用在无线通信上。
我们今天能够清晰地打越洋电话或卫星电话，都与通信信道质量的改善密切相关。
香农定理：香农定理描述了有限带宽、有随机热噪声信道的最大传输速率与信道带宽、信号噪声功率比之间的关系.在有随机热噪声的信道上传输数据信号时，数据传输率Rmax与信道带宽B，信噪比S/N关系为： Rmax=B*Log2(1+S/N)。
在信号处理和信息理论的相关领域中，通过研究信号在经过一段距离后如何衰减以及一个给定信号能加载多少数据后得到了一个著名的公式，叫做香农（Shannon）定理。
它以比特每秒（bps）的形式给出一个链路速度的上限，表示为链路信噪比的一个函数，链路信噪比用分贝（dB）衡量。
因此我们可以用香农定理来检测电话线的数据速率。
香农定理由如下的公式给出: C=B*log2(1+S/N) 其中C是可得到的链路速度也就是信道容量，B是链路的带宽，S是平均信号功率,N是平均噪声功率，信噪比（S/N）通常用分贝（dB）表示，分贝数=10×log10（S/N）。
香农三大定理简介_信息论与编码基础共47页文档
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
END
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香农三大定理
香农第一、二、三定理
第一定理：
将原始信源符号转化为新的码符号，使码符号尽量服从等概分布，从而每个码符号所携带的信息量达到最大，进而可以用尽量少的码符号传输信源信息
第二定理：
当信道的信息传输率不超过信道容量时，采用合适的信道编码方法可以实现任意高的传输可靠性，但若信息传输率超过了信道容量，就不可能实现可靠的传输。
第三定理：
只要码长足够长，总可以找到一种信源编码，使编码后的信息传输率略大于率失真函数，而码的平均失真度不大于给定的允许失真度，即D'<=D。
香农三大定理简答
香农三大定理简答香农三大定理是指由数学家克劳德·香农提出的三个基本通信定理，分别是香农第一定理、香农第二定理和香农第三定理。
这三个定理是现代通信理论的基石，对于信息论和通信工程有重要的指导意义。
下面将对这三个定理进行详细的阐述。
1. 香农第一定理：香农第一定理是信息论的基石，提出了信息传输的最大速率。
根据香农第一定理，信息的传输速率受到带宽的限制。
具体而言，对于一个给定的通信信道，其最大的传输速率（即信息的最大传输率）是由信道的带宽和信噪比决定的。
信道的带宽是指能够有效传输信号的频率范围，而信噪比则是信号与噪声的比值。
这两个因素共同决定了信道的容量。
香农提出的公式表示了信道的容量：C = B * log2(1 + S/N)其中，C表示信道容量，B表示信道的带宽，S表示信号的平均功率，N表示噪声的平均功率。
2. 香农第二定理：香农第二定理是关于信源编码的定理。
根据香农第二定理，对于一个离散的信源，存在一种最优的编码方式，可以将信源的信息压缩到接近于香农熵的水平。
香农熵是对信源的输出进行概率分布描述的一个指标，表示了信源的不确定性。
具体而言，香农熵是信源输出所有可能码字的平均码长。
对于给定的离散信源，香农熵能够提供一个理论上的下限，表示信源的信息量。
通过对信源进行编码，可以有效地减少信源输出的冗余度，从而实现信息的高效传输。
香农第二定理指出，对于一个离散信源，其信源编码的最优平均码长与香农熵之间存在一个非常接近的关系。
3. 香农第三定理：香农第三定理是关于信道编码的定理。
根据香农第三定理，对于一个给定的信道，存在一种最优的编码方式，可以通过使用纠错码来抵消由信道噪声引起的错误。
信道编码的目标是在保持信息传输速率不变的情况下，通过增加冗余信息的方式，提高错误纠正能力。
纠错码可以在数据传输过程中检测和纠正一定数量的错误，从而保证数据的可靠性。
香农第三定理指出，对于一个给定的信道，其信道编码可以将信息传输的错误率减少到任意低的水平。
香农公式
给定有D个元素的码符号集，对扩展信源编码，总可以找 到一种唯一可译码，使码长 n L 满足：
X
Y
联 合 熵
交 互 熵
X
Y
X
Y
将定理3.3推广到L次扩展信源---
香农第一定理：变长编码定理
X x1 ,x2 ,...,xM 定理3.4 给定熵为H(X)的离散无记忆信源 p x , p x ,..., p x p( X ) M 1 2 其L次扩展信源的熵记为H(X)
nL n L
信源符号对应 的平均码字数
HX H U L ,limn RD logD L logD n
信息传输速率
这是信息传输速率 RD 能达到的极限值，对应于等概分布。
Shannon第一定理的物理意义：
信源编码时，应使编码后的码集中各码字尽可能等概 分布，若将该码集看成一个新的信源，此时新信源所含信 息量最大。
限定理都有其共性，也有个性。所给出的指导作用也各
不相同，但其证明方式都采用随机编码方式证明。 所谓存在性，是指定理仅给出是否存在着一种(至少
一种)编码方式可以满足要求；但如何编码则无可奉告。
它们的逆定理则给出了不存在性，这是它们的共性。 所谓构造性，是指定理不仅指出了存在性，而且还 给出了最佳码字的结构特性，如码长、代码形式等。
有噪信道编码逆定理
离散、无记忆、平稳信道，信道容 量为C，如果信息率R>C，则肯定找不 到一种信道编码方法，使得码长N足够 大时，平均差错率任意接近于零。
信道编码的指导意义
香农定理通俗解释
香农定理通俗解释
香农定理是由信息论的创始人克劳德·香农提出的，它包括三个部分：信息熵定理、信道容量定理和数据压缩定理。
通俗地讲，这三个定理主要研究信息的量化、存储和传播。
1. 信息熵定理：这是用来衡量信息量的一个概念。
香农提出了一个数学公式，可以计算出一个信息源的熵值。
2. 信道容量定理：这是关于信道容量的计算的一个经典定律，可以说是信息论的基础。
在高斯白噪声背景下的连续信道的容量= （b/s）。
其中B为信道带宽（Hz），S为信号功率（W），n0为噪声功率谱密度（W/Hz），N为噪声功率（W）。
这个定理告诉我们，信道容量受三要素B、S、no的限制，提高信噪比S/N可增大信道容量。
3. 数据压缩定理：这个定理与压缩理论有关，主要研究如何通过压缩数据来减少冗余信息，从而实现更高效的数据传输和存储。
香农定理为我们提供了一套完整的理论框架，用于研究和优化信息的传输、存储和处理过程。
简述香农公式。
简述香农公式。
c=wlog2(1+s/n)
香农定理：香农定理则描述了有限带宽;有随机热噪声信道的最大传输速率与信道带宽;信号噪声功率比之间的关系.
在有随机热噪声的信道上传输数据信号时，数据传输率Rmax与信道带宽B，信噪比S/N关系为： Rmax=B*LOG⒉（1+S/N）
在信号处理和信息理论的相关领域中，通过研究信号在经过一段距离后如何衰减以及一个给定信号能加载多少数据后得到了一个著名的公式，叫做香农（Shannon）定理。
它以比特每秒（bps）的形式给出一个链路速度的上限，表示为链路信噪比的一个函数，链路信噪比用分贝（dB）衡量。
因此我们可以用香农定理来检测电话线的数据速率。
香农定理由如下的公式给出: C=Blog2(1＋S/N) 其中C是可得到的链路速度，B 是链路的带宽，S是平均信号功率,N是平均噪声功率，信噪比（S/N）通常用分贝（dB）表示，分贝数=10×log10（S/N）。
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信息论与编码基础
香农三大定理 简介
总结：
信源编码器模型
性能指标 平均码长、信息传输率、编码效率
香农第一定理（无失真信源编码定理）
0
0
Yt 1
1
Y
3
4
4
5 a(t)={1010010110000011001110151}
6 b = {0012424251243666750136666}
P(R)
P(R)
信息论与编码基础
香农三大定理 简介
2、常用判决准则
a、MAP准则（Maximum a Posteriori）
P(R | C*) P(C) P(R | C) P(C*)
似然比
b、ML准则（Maximum Likelihood）
若输入符号等概时 P(C) 1 r
P(R | C*) P(R | C)
二进代码
10
1110
000
香农三大定理 简介
单词间隔 ——————
000000
{A,B,…,Z}
信源编码器I
二进符号
信源编码器II
码符号集{点/划/字母间隔/单词间隔}
码符号集{0，1}
信息论与编码基础
1、信源编码器 b、举例
3）中文电报信源编码器
“中”
“0022”
香农三大定理 简介
“01101 01101 11001 11001”
信息论与编码基础
一、香农第一定理 二、香农第二定理
三、香农第三定理
香农三大定理 简介
信息论与编码基础
一、香农第一定理 二、香农第二定理 三、香农第三定理
香农三大定理 简介
信息论与编码基础
1、信源编码器 a、模型
香农三大定理 简介
S : s {a1,..., aq} 编码器
C : c {W1,...,Wq} 码字
bit/code
信息论与编码基础
1、信源编码器
d、指标
3) 编码效率
实际编码的信息传输率
最大编码的信息传输率
H(S) LN log r N
香农三大定理 简介
信息论与编码基础
香农三大定理 简介
例：二元DMS进行无失真编码
S P( s)
s1
3
4
s2
1
s1
3
4
s2
1
4
H(S) = H(3/4,1/4) = 0.811(bit/sign) {0,10,110,111}
N=2 L2 1.688 (code/2-sign)
R2
H (S) L2 / 2
0.961
(bit/code)
2
L2
H (S ) / 2 log 2
N=3
R3
H (S ) L3 / 3
0.985
(bit/code)
N=4 R4 0.991(bit/code)
3
L3
H (S ) / 3 log
2
0.985
4 0.991
信息论与编码基础
香农三大定理 简介
2、香农第一定理（可变长无失真信源编码定理）
定理4.1 设S N {1,2,...,qN }为q元离散无记忆信源S的N次扩展
Wi {xi1 , xi2 ..., xili }
码长
X : x {x1,..., xr} 码符号
单符号信源无失真编码器
信息论与编码基础
1、信源编码器 a、模型
香农三大定理 简介
S N (S1,..., SN )
Si {a1,..., aq} i 1, 2,..., N
编码器
Wi {xi1 , xi2 ..., xili } i 1, 2,..., qN
X : x {x1,..., xr}
N次扩展信源无失真编码器
信息论与编码基础
1、信源编码器 b、举例
1）ASCII信源编码器
香农三大定理 简介
{英文字母/符号/命令}
二进代码
ASCII编码器
码符号集{0，1}
信息论与编码基础
1、信源编码器
b符、b号、举举例例点 划
字母间隔
2电）2平）摩摩尔+尔斯—斯信电源+ +码编+ —码器 — — —
信息论与编码基础
香农三大定理 简介
1、失真度与信息率失真函数
b、失真测度
1）单符号失真测度 d (u, v) 设u U,v V
定义失真矩阵 d (u1, v1) ... d (u1, vs ) d d (u2, v1) ... d (u2, vs ) . ... . d (ur , v1) ... d (ur , vs ) d (ui , v j ) 0
说明：
1）通过对扩展信源进行可变长编码，可以使平均码长无限趋近 于极限熵值，但这是以编码复杂性为代价的。
2）无失真信源编码的实质：对离散信源进行适当的变换，使变换 后新的符号序列信源尽可能为等概率分布，从而使新信源的每个码 符号平均所含的信息量达到最大。
3）香农第一定理仅是一个存在性定理，没有给出更有效的信源 编码的实现方法。
信息论与编码基础
香农三大定理 简介
1、失真度与信息率失真函数
b、失真测度
如果规定
d
(ui
,
v
j
)
0, ui 1, ui
vj vj
，那么失真矩阵为
0 1 ... 1 d 1 0 ... 1
. . . . 1 1 ... 0
N=3时，失真度如图
U
V
信息论与编码基础
信息论与编码基础
香农三大定理 简介
例1 重复编码 (n,1)
PE p3 C31 pp2 3104 p 0.01
R = logM/n bit/code
n=5 PE ≈10-5 n=7 PE ≈4×10-7
R = logM/5 R = logM/7
n=9 PE ≈10-8
R = logM/9
信息论与编码基础
香农三大定理 简介
例1 重复编码 (n,1)
1 000 2 111
BSC的三次 扩展信道
000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 8
PE p3 C31 pp2 3104 p 0.01
香农三大定理 简介
不大于一定编码速率的条件下，使平均失真限 制到最小；
在平均失真不大于某个值的条件下，使编码 速率限制到最小
信息率失真理论
信息论与编码基础
香农三大定理 简介
1、失真度与信息率失真函数
a、系统模型
U
V
信源
信源编码器 无噪信道 信源编码器
信宿
试验信道
U符号集A {u1,..., ur} V符号集B {v1,..., vs}
香农三大定理 简介
1) 平均码长
q
L P(si )li
i 1
LN
qN
r P(si
)i
i1
code/sign code/N-sign
信息论与编码基础
1、信源编码器
d、指标
2) 编码后的信息传输率
R H(S) / L
香农三大定理 简介
bit/code
RN
H (S ) LN / N
7
7
信息论与编码基础
一、香农第一定理
香农三大定理 简介
二、香农第二定理 有效性 可靠性 矛X盾
三、香农第三定理
信息论与编码基础
香农三大定理 简介
1、错误概率
p = 0.01
误码率
a1=0 p(a1) = ω
1-p p
b1=0
误字率
错误概率与那些因素相关？
a2=1 p(a2) = 1-ω
p
b2=1
概率任意小。
信息论与编码基础
香农三大定理 简介
3、香农第二定理（有噪信道编码定理） 说明：
1、定理纠正了人们传统固有的可靠性和有效性矛盾的观点，
为信A道W编G码N理论和技术的研究指明了方向。 1)Tu证rb明o基码本：条1/2件码：率1，）B随PS机K编，码65536随机交织，
2、定18理次仅迭指代出，编码Pe的=1存0在-5,性2E），b/N未码0给长=出→0.编7∞d码B的具体方法。 2)非规则LDPC码：3N）=最10大7, 似1/2然码译率码，
00000 01101 10111 11010
信道
00000 00010 01000 10001
01101 01111 00101 11100
10111 10101 11111 00110
11010 11000 10010 01011
香农三大定理 简介
00001 00100 10000 00011
01100 01001 11101 01110
找到M个码字（代表M个等可能的消息，且 M 2n(C ) , 为任
意小的正数）组成一个码，并存在相应的译码规则，使信道
输出的错误概率任意小。
信息论与编码基础
香农三大定理 简介
3、香农第二定理（有噪信道编码定理）
表述二：
若在信息传输率R不大于信道容量C（即R≤C），则 存在一种编码，当码长n足够大时，它可以使信道输 出端的错误概率任意小，而信息传输率无限接近C； 如果R>C，则不可能找到一种编码，使输出端错误