关于序列投资模型中的一个强极限定理
黎斯-弗瑞歇定理-概述说明以及解释
黎斯-弗瑞歇定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述黎斯-弗瑞歇定理是数学中一个重要的定理，命名自其发现者黎斯和弗瑞歇。
该定理在数学领域有着广泛的应用和影响力。
在本篇文章中，我们将对黎斯-弗瑞歇定理进行详细的介绍和解析。
黎斯-弗瑞歇定理主要涉及到的是某一类特殊函数的性质和行为。
这类函数在数学研究和实际应用中出现频率极高，因此了解和理解该定理对于深入研究这些函数的特点具有重要意义。
本文将从引言开始介绍黎斯-弗瑞歇定理的背景和问题的提出，接着将详细讨论该定理的两个重要要点。
第一个要点将阐述黎斯-弗瑞歇定理的基本原理和相关性质，以及其在数学领域的应用。
第二个要点将进一步探讨该定理在实际问题中的应用案例，以及解决这些问题所带来的影响和意义。
在结论部分，我们将对黎斯-弗瑞歇定理的重要性进行总结，并对其未来的研究方向进行展望。
黎斯-弗瑞歇定理的发现和研究对于推动数学领域的发展和应用具有重要的作用，我们对未来的研究和应用前景充满了期待。
通过本文的解析和讨论，我们将能够更加全面地了解和掌握黎斯-弗瑞歇定理，为深入研究其他相关领域的数学问题提供一定的基础和启示。
同时，我们也希望本文能够引起更多学者对于该定理的关注和研究，推动其在理论和实践中的进一步应用和发展。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行叙述和讨论黎斯-弗瑞歇定理的相关内容：第一部分为引言，包括概述、文章结构和目的。
在引言部分，我们将介绍黎斯-弗瑞歇定理的背景和基本概念，阐明本文的研究重点和目的。
第二部分是正文，着重阐述黎斯-弗瑞歇定理及其相关要点。
首先，我们将详细介绍黎斯-弗瑞歇定理的基本原理和定义，以及与该定理相关的数学概念和定理。
接着，我们将进一步探讨黎斯-弗瑞歇定理的第一个要点，详细分析其数学推导和证明过程，并给出实例和案例进行说明。
随后，我们将继续讨论黎斯-弗瑞歇定理的第二个要点，探究其与其他定理和领域的关联和应用，解释其价值和意义。
一类隐非齐次马尔可夫模型的强极限定理
摘 要 ： 假 定 隐 藏 的 马 氏链 为 非 齐 次且 从 隐 藏链 到 观 测链 的 转 移 矩 阵 列 也 与 时 刻 Ｔ有 关 的 情 况 下 ， 一 类 在 在 ／ 对 发 音 过 程 中 常 用 的 隐 马 尔 可 夫 模 型进 行 研 究 ． 类 模 型 的 主 要 特 点 是 观 测 链 不 仅 受 当 前 状 态 的 影 响 还 与 上 这
Ｊｎ ２ ０ ｕ ．．０ ８
文 章 编 号 ：６ ２ ２ ７ （０ ８ ０ —０ ２ Байду номын сангаас０ １７ — ４ ７ ２ ０ ）２ ０ ７ ４
一
类 隐 非 齐 次 马 尔 可 夫 模 型 的 强 极 限 定 理
天 、 吴 小 Ｊ太
（ 徽 工 程 科 技 学 院 应 用 数 理 系 ． 徽 芜 湖 ２ １ ０ ） 安 安 ４ ０ ０
Ｊ ）＝ ｂ．ｉ Ｚ ， Ｊ∈ Ｓ， ， ； ） ， （ ， Ｚ∈ Ｔ．
（） １
则 （ Ｙ ， ０ 为 一类 隐 马尔可 夫模 型 引， 由隐藏链 到观 测链 的转 移概 率 Ｐ（ Ｚ Ｘ 一 ｉＸ Ｘ ， ｎ ） 记 Ｙ ＝ Ｉ ， ＝
如 （ ） 义 的隐 马 尔 可夫 模 型 主要用 于发 音过 程 的研 究 ， 的 主要 特 点是 观测 链 不 仅 受 当前 状 态 的 １定 它 影 响还 与上 一 时刻状 态 有关 ． 假定 ｛ ， ０ 为非 齐次 马 氏链 且 ｂ（ ； ，） ，有 关 时 ， Ｘ ｎ ） ｊ Ｚ 与 ｚ ； 将此 时 的模 型称 为隐非 齐 次马 尔可 夫模 型． 文先 给 出该模 型 的强极 限定律 ， 后得 出状态 出现频 率 的强极 限定 理 ． 本 然
１ 预 备 知 识
引理 １ 设 （ Ｘ—Ｙ ， ０ ｎ ）是如 （ ） １ 定义 的 隐非齐 次马 尔可 夫模 型 ， 对 Ｖ五 ∈ Ｓ， ∈ Ｔ， ｔ 则 ０
强极值原理 霍普夫
强极值原理霍普夫全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：霍普夫（Hopf）是一位20世纪伟大的数学家，他在数学领域做出了许多贡献，其中著名的强极值原理就是他的杰作之一。
强极值原理是指在微分几何中的一个基本定理，它揭示了曲面上的极值点的性质，为研究曲面的拓扑性质提供了重要的工具。
在数学分析中，极值原理是对函数的最大值和最小值的性质进行研究的一种方法。
在微分几何中，强极值原理是研究曲面上的极值点的性质与拓扑性质的关系。
强极值原理告诉我们，在曲面上局部极值点的附近，曲面的几何和拓扑性质是严格相关的。
具体来说，强极值原理告诉我们，如果一个曲面上的点是极小值点，那么在该点附近的任意曲线上，该点仍然是极小值点。
这意味着在极小值点处，曲率必须是非负的。
同样地，如果一个曲面上的点是极大值点，那么在该点附近的任意曲线上，该点仍然是极大值点。
这意味着在极大值点处，曲率必须是非正的。
霍普夫的强极值原理为微分几何领域的研究提供了重要的工具。
它不仅揭示了极值点的性质，而且还帮助我们理解曲面的整体拓扑性质。
强极值原理的应用范围非常广泛，它在地震学、气象学、生物学等领域都得到了广泛的应用。
第二篇示例：强极值原理，也称为霍普夫定理，是一个数学定理，它关于在随机独立同分布的情况下，极大值和极小值出现的概率。
霍普夫定理是概率论和数理统计中非常重要的定理，它可以帮助我们理解随机事件的规律性和规律性。
强极值原理最早由霍普夫（Emil Julius Gumbel）于1958年提出，在统计学和气象学领域得到了广泛的应用。
霍普夫定理有时也被称为极值定理或Gnedenko-Holshunov定理，是概率论中关于极大值和极小值分布的一个非常重要的结论。
霍普夫定理指出，在独立同分布的情况下，最大值和最小值的极限分布函数具有一定的特殊形式。
具体来说，若一个随机变量序列满足一定的条件，那么这个序列的最大值或最小值在适当归一化下会收敛到极值分布。
在实际应用中，强极值原理可以帮助我们预测自然界中一些罕见而重要的极端事件，比如自然灾害和金融市场的崩溃等。
第一个重要极限的几种证明及其应用
第一个重要极限的几种证明及其应用
重要极限定理是一个基本而重要的数学概念，它有多种用法，通常用于证明等
式或不等式的结果的极限性质。
现在有几种证明重要极限的方法，特别是应用到生活娱乐中，从而使得我们的生活更加轻松愉快。
首先，有几种常见的证明重要极限的方法，例如基本极限定理、强化极限定理、限制定理等。
首先，基本限定理可以用来证明函数及其无穷序列的极限性质，可以用来求解罚款函数在极限条件下极限值，以及求解瞬态系统的动力学特性。
此外，强化极限定理是基本极限定理的一种更强的证明方法，它可以用来推导
更复杂的函数极限性质，并且可以用来分析一类复杂系统的全局性质，尤其是在复杂系统调控模型方面有着广泛的实际应用。
如果进一步地强化，就可以得出限制定理，它可以用来分析一类问题中的最优解，给复杂系统提供有效的全局解决方案。
最后，如何将这些重要极限定理应用到生活娱乐中呢？首先，在游戏领域，重
要极限定理可以用来计算游戏中的可行解，尤其是复杂的游戏，可以求解出最优的解决方案，使得游戏更加有趣。
另外，它也可以作为一种泛函分析方法，用于寻找图像处理、视频处理等任务中的最优结果。
总之，重要极限定理已经衍生出了多种用法，其应用于生活娱乐中，可以帮助人们更高效地解决问题，使得整个过程更加轻松愉快。
极限与序列的概念及计算方法
极限与序列的概念及计算方法引言：在数学领域中，极限和序列是非常重要的概念。
它们不仅在微积分、数学分析等学科中有着广泛的应用，而且在实际生活中也有着重要的意义。
本文将深入探讨极限和序列的概念，并介绍一些常用的计算方法。
一、极限的概念1.1 极限的基本定义极限是数学中一个非常重要的概念，它描述了一种趋于无穷大或无穷小的过程。
在数学中，我们通常用符号lim来表示极限。
如果一个数列a1, a2, a3, ...在n趋于无穷大时，其值趋于一个常数L，那么我们就称L为该数列的极限，记作lim(n→∞)an = L。
1.2 极限的性质极限具有一些重要的性质，包括唯一性、保序性和四则运算性质等。
唯一性指的是一个数列的极限是唯一的，即不存在两个不同的极限。
保序性指的是如果一个数列的每一项都大于等于另一个数列的对应项，那么它们的极限也满足这个关系。
四则运算性质指的是如果两个数列分别收敛于L1和L2，那么它们的和、差、积和商的极限分别为L1 + L2、L1 - L2、L1L2和L1/L2。
二、序列的概念2.1 序列的定义序列是数学中一个重要的概念，它是由一系列有序的数所组成的集合。
通常用{an}或(an)来表示序列，其中an表示序列的第n个数。
序列可以是有限的，也可以是无限的。
2.2 序列的分类根据序列的性质，我们可以将序列分为有界序列和无界序列。
有界序列指的是序列的值都在某个范围内，而无界序列指的是序列的值没有上界或下界。
三、极限的计算方法3.1 数列极限的计算方法计算数列的极限是数学中的一个重要问题。
常见的计算方法包括直接计算法、夹逼准则和单调有界原理等。
直接计算法是一种简单直接的计算方法，适用于一些简单的数列。
例如，对于数列an = 1/n，我们可以通过直接计算得到lim(n→∞)1/n = 0。
夹逼准则是一种常用的计算数列极限的方法。
它的基本思想是通过夹逼定理来确定数列的极限。
例如，对于数列an = sin(nπ/4)，我们可以通过夹逼准则得到lim(n→∞)sin(nπ/4) = 0。
序列与序列极限的性质
序列与序列极限的性质序列是数学中一种重要的数列，可以用来描述一系列按照一定规律排列的数值。
序列极限则是序列中的一种特殊概念，反映了数列的趋势与稳定性。
本文将探讨序列的定义，序列极限的性质以及其在数学中的应用。
一、序列的定义序列可以定义为一连串按照一定规律排列的数值，用数字的无限排列来表示，一般用{an}或(an)来表示。
其中，n表示序列中的第几个数，an表示第n个数的值。
例如，我们可以定义一个简单的序列：1，2，3，4，5，... 。
这个序列的通项公式可以表示为an = n。
在这个序列中，每个数与其前一个数之间的差值恒为1。
二、序列极限的性质序列极限是指当n趋近于无穷大时，序列中的数值将逐渐趋近于某个确定的值。
序列极限具有以下性质：1. 唯一性：一个序列的极限只能是唯一的。
也就是说，当n趋近于无穷大时，序列中的数值只能无限接近于一个确定的值。
2. 有界性：如果一个序列的极限存在，那么该序列是有界的。
有界性可以分为上界和下界，上界是指序列中的数值都小于等于某个值，下界是指序列中的数值都大于等于某个值。
3. 单调性：序列可以分为递增序列和递减序列两种。
当序列单调递增且有上界时，序列的极限存在且为上确界；当序列单调递减且有下界时，序列的极限存在且为下确界。
三、序列极限的应用序列极限在数学中有广泛的应用，尤其在分析、微积分等领域中发挥了重要的作用。
以下是序列极限的一些常见应用：1. 收敛性判断：通过计算序列的极限，可以判断序列是否收敛。
如果极限存在，则称该序列收敛；如果极限不存在，则称该序列发散。
2. 无穷级数：无穷级数是指一个序列的所有项相加得到的无穷和。
通过研究序列的收敛性，可以判断无穷级数的和是否存在。
3. 函数极限：函数极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的极限。
函数的极限可以通过序列的极限来进行定义和计算。
四、总结序列与序列极限是数学中重要的概念，通过研究序列的极限性质，可以推导出许多重要的结论。
1.3序列的极限解析
10
3. 用定义证明极限举例
例 1 证明数列 1 4 n (-1)n -1 2， ， ，… ， ，… 2 3 n 的极限是 1．
证明：因为对于任意给定的>0， 存在N=[1/]， 使当n>N
时，有
| xn - 1 | 1 , n
所以
n ( -1) n-1 lim 1. n n n ( -1) n-1 lim 1. n n
对于任意给定的 >0，要使 1 | xn - 0 | , 2 (n 1)
只需 n
1
- 1,
1 N 1 . 故取
对于任意给定的正数，总存在正整数N ，使得对于n >N
时的一切xn，不等式 |xn-a |< 都成立．从几何上说，就是任意 给定a的邻域(a- , a+)，总存在正整数N ，使得当n >N 时， 所有的点xn都落在区间(a- , a+)内，而只有有限(至多只有 N个)在区间(a－ , a+)以外.
§1．3 序列的极限
一、序列极限的定义 ⒈序列定义、 序列举例、 序列的几何意义
⒉序列的极限 极限的定义、 极限的几何意义 ⒊用定义证明极限举例 二、夹逼定理 三、收敛序列的性质 极限的唯一性、收敛序列的有界性 极限的保序性 收敛序列与其子序列间的关系 四、极限的四则运算 五、一个重要的极限
1
1. 序列的概念
lim xn a．
n
如果序列没有极限，就说序列是发散的． 例如
lim n 1, lim 1 0, n n n 1 2n
n -1 n (-1) lim ． n n
而序列{2n}，{ (-1)n1}，是发散的．
大数定律与中心极限定理的实际应用
大数定律与中心极限定理的实际应用1. 引言在今天的讨论中，我们将深入探讨大数定律与中心极限定理在实际应用中的重要性和影响。
这两个概念是统计学中非常重要的原理，它们不仅对于理论研究有着重要意义，更在现实世界中的各种领域有着广泛的应用。
通过本文的探讨，我们将了解这两个概念的实际意义，并且深入探讨它们在现实中的具体应用。
2. 大数定律的实际应用大数定律是统计学中最重要的定律之一，它表明在独立随机变量的大量观察中，其平均值趋近于总体期望。
这个理论在实际应用中有着广泛的运用，尤其在金融领域。
举个例子，假设我们在股市中观察某只股票的收益率，根据大数定律，随着观察次数的增加，这只股票的平均收益率将会趋近于其总体收益率。
这种理论在风险管理和投资决策中起着至关重要的作用，投资者可以通过大数定律来对市场的波动进行合理的估计，并做出相应的投资策略。
3. 中心极限定理的实际应用中心极限定理是统计学中另一个非常重要的原理，它表明在独立同分布的随机变量加和后，当样本容量足够大时，其分布将接近于正态分布。
这个理论在实际应用中有着广泛的运用，尤其在质量控制和生产过程中。
在工厂生产线上对产品的重量进行抽样检测，根据中心极限定理，这些样本的平均重量将会呈现出接近正态分布的特性，生产线的稳定性和产品质量就可以通过这个理论进行合理的评估和控制。
4. 个人观点和理解对于大数定律与中心极限定理的实际应用，我个人深有体会。
作为一名统计学研究者，我对这两个概念的重要性有着深刻的认识。
在我自己的研究过程中，我经常会利用这两个概念来分析数据，并且在实际应用中取得了非常好的效果。
在我看来，大数定律与中心极限定理不仅是理论工具，更是现实世界中解决问题的重要指导，它们的应用将为各行各业带来更加严谨有效的决策和管理方式。
5. 总结通过本文的探讨，我们了解了大数定律与中心极限定理的实际应用，深入探讨了它们在金融和生产领域的重要性，并且共享了个人对于这两个概念的观点和理解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
j
种股票的收益。在第
n
个周期中，投资者采取的投资组合向量为 ωn
=
(ωn1
,
,
ωnm
)T ，其中 ωnj
表示在第
n
个周期中分配在第
j
种股票上的资金比例，满足
∑
ω m
j =1 n
= 1 ，ωnj
≥
0,
j
= 1,, m
，表示不允许卖空那么，
投资者在第 n 个周期末的累积资金为
n
( ) ∏ Sn := ωkTξn
意到 EΛn (ω ) ≤ C ，由鞅收敛定理知：{Λn (ω ), n ≥ 1} 几乎处处收敛。又，对 ∀δ > 0 由切比雪夫不等式有
∑
P
1
an
log
Λn
(ω )
>
δ
?
≤
∑
C eanδ
<∞
由 Borel-Cantelli 引理可得(1.6)成立。
2. 主要结论及证明
定理
设
ξ1
,
ξ2
,
为连续投资于
Received: May 17th, 2020; accepted: Jun. 8th, 2020; published: Jun. 15th, 2020
Abstract
In this paper, we use the notion of asymptotic sampling relative entropy as the dissimilarity between the true distribution of investment market and their margins. Furthermore, by using Boreel-Cantelli lemma, a strong limiting theorem for successive investment under general market condition is obtained.
定义 1 设{an , n ≥ 1} 为一列单调不减的实数列 an ↑ ∞ ，定义1,,ξn )
k =1
(1.2)
称
rn
(ω )
:=
lim sup n
1 an
log
rn
1
(ω )
(1.3)
为渐近样本相对熵。
定义 2 设函数ϕn ( x) : R+ → R+ ,α (n) ≥ 1, βn ≤ 2,Cn > 0, Dn > 0 (n ∈ N ) 为常数，且满足当 0 < v ≤ u 时，
I
fn
(ξn
)
> an
( ) ≤
An E
ϕn
fn (ξn ϕn (an )
)
<∞
所以
( ) ∑ ∑ ∞ Efn* (ξn ) − Efn (ξn ) ≤ ∞
a =n 1= n n 1
An
E
ϕn
fn
ϕn (
(ξn an )
)
< ∞, ω ∈ D
= 令 ηk
f= k* (ξk ) −akEfk* (ξk ) , yk
A Limiting Theorem in the Successive Investment Market of Modeling
Xuejiang Meng, Yansong Xu, Jixiang Wang, Pengshuai Ru, Shuting Han, Kaixuan Wei, Jing Song School of Mathematics & Physics Science and Engineering, Anhui University of Technology, Ma’anshan Anhui
1
E
fn ξn an
( ) ∑ ≤
∞ n =1
An E
ϕn
fn (ξn ϕn (an )
)
< ∞,
ω∈D
由 Borel-Cantelli 引理
P fn (ξn ) ≠ fn* (ξn ),i.o. = 0
所以
(2.2) (2.3) (2.4) (2.5) (2.6) (2.7)
DOI: 10.12677/pm.2020.106070
E
fk*
(ξk
)2
ak
ak
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) =
f
2 k
ξk
a fk ( xk ) ≤ak
2
k
dFk
xk
≤
fk ( xk ) ≤ak
fk ξk ak βk
βk
dFk
xk
( ) ( ) ∫≤
ϕk fk (ξk )
( ) A fk ( xk ) ≤ak k
ϕk ak
dFk
( xk
Pure Mathematics 理论数学, 2020, 10(6), 580-584 Published Online June 2020 in Hans. /journal/pm https:///10.12677/pm.2020.106070
以及 log-最优投资组合的极限定理。本文在此基础上利用渐近样本相对熵[6]，研究了更一般的情况下序
列投资组合的极限定理。
假设市场上有 m 种股票可供投资，投资者的初始财富为单位资金,他每次都将经上期末所得财富全部
投资于下一个周期.在第 n 个周期中，m 种股票的收益向量为 ξn = (ξn1,,ξnm )T ，其中 ξnj 为第 n 个周期第
)
≤
Ak
E
ϕk
fk (ξk ϕk (ak )
)
孟雪健 等 (2.8) (2.9)
(2.10) (2.11) (2.12) (2.13) (2.14)
(2.15)
DOI: 10.12677/pm.2020.106070
583
理论数学
孟雪健 等
由(2.2)和(2.14)，(2.15)有 从而 由(2.13)和(2.17)有 分别令 λ = ±1 有
lim a n→∞ n k =1
fn (ξn ) − Efn (ξn )
=0
a.s. ω ∈
即
{ ( ) ( ) } ∑ 1 n
lim a n→∞ n k =1
log
wkTξk
− E log wkTξk
= 0 a.s. ω ∈ 。
∑C
eanδ
<∞
(1.5)
则 {Λn , n ≥ 1} 几乎处处收敛，且
DOI: 10.12677/pm.2020.106070
581
理论数学
孟雪健 等
1 lim sup
an
Λn (ω) ≤ 0
a.s.
(1.6)
证明因为{Λn (ω ), n ≥ 1} 是似然函数，易知{Λn (ω ), n , n ≥ 0} 是鞅，其中 n , n ≥ 0 是自然σ 代数流。注
n
∏
k =1
E
exp (
exp
ληk ) (ληk
)
⋅
rn
(ω
)
易知 EΛn (ω ) = 1 ，则由引理 1 有
( ) ∑ lim
∏ n→∞
exp λ
η n
k =1 k
n k
=1
E
exp
(
ληk
)
⋅
rn
(ω
)
<
∞
a.s.
ω∈
由不等式 0 ≤ ex
−1− x
≤
x2 2
ex
( x ∈ R) ，并注意到 Eηk
收稿日期：2020年5月17日；录用日期：2020年6月8日；发布日期：2020年6月15日
摘要
本文给出渐近样本相对熵的概念作为任意投资序列联合分布与其边缘分布之间不相似性的度量，利用 Borel-Cantelli引理，得到了一般市场条件下序列投资模型的一个强极限定理。
关键词
投资组合，收益率，渐近样本相对熵，Borel-Cantelli引理，极限定理
,
Dn
，则
{ ( ) ( ) } ∑ 1
lim lim a n→∞ n→∞
n
n k =1
log
wkTξk
− E log wkTξk
= 0 a.s. ω ∈
证明：令
( ) ( ) ( ) ( ) = fn ξn lo= g wnTξn , fn* ξn ξ f I n n fn (ξn ) ≤an
Keywords
Portfolio, Return Rate, Asymptotic Sampling Relative Entropy, Borel-Cantelli Lemma, Limiting Theorem
关于序列投资模型中的一个强极限定理
孟雪健，徐岩松，王吉祥，汝朋帅，韩澍婷，魏凯旋，宋 静 安徽工业大学数理科学与工程学院，安徽 马鞍山
<
∞
a.s.
ω∈
于是
∑ ∑ ( ) ( ) ∞
= ηk
∞
f
* k
ξk
=k 1=n 1
− Efk* ξk ak
< ∞ a.s. ω ∈
由 (2.8)，(2.10)和(2.21)，得
∞
∑
n =1
fn (ξn ) − Efn (ξn ) < ∞
an
a.s.
ω∈
由 Kronecker 引理知
{ } ∑ 1 n
k =1
(1.1)
∑ 累积收益率为 log Sn ，其中 ωkTξn =