任意Bethe树上马尔可夫链场的一类局部强极限定理

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GIG1排队系统队长的强大数定律和中心极限定理

GI/G/1排队系统队长的强大数定律和中心极限定理*董海玲(深圳大学数学与计算科学学院,深圳, 518060)摘要：本文首先证明当服务强度小于1时,GI/G/1排队系统的队长是一个特殊的马尔可夫骨架过程——正常返的Doob 骨架过程,然后运用马尔可夫骨架过程的强大数定律和中心极限定理等重要结果,给出了队长的累积过程的期望和方差, 并给出了该累积过程满足强大数定律和中心极限定理的充分条件.关键词：GI/G/1排队系统;队长;马尔可夫骨架过程;强大数定律;中心极限定理Law of Strong Large Numbers and Central Limit Theoremof Queue Length in a GI/G/1 Queueing SystemDong Hailing(School of Mathematics and Computer Science, Shenzhen University, 518060)Abstract First, when service intensity is less than 1, the queue length in a 1GI G // queueing system is proved to be a positive recurrent Doob skeleton process, which is a special case of Markov skeleton processes. Second, the expectation and variance of the cumulative process of the queue length are obtained by using law of strong large numbers, central limit theorem and other important results of Markov skeleton processes. And finally, sufficient conditions for law of strong large numbers and central limit theorem of the accumulated process are given, respectively. Keywords GI/G/1 queueing system; Queue Length; Markov skeleton processes; Law of strong large numbers; Central limit theorem1. 引言近几十年来,随着马尔可夫理论的不断深入和完善,关于排队论的研究得到了很大程度上的丰富和发展,获得了一系列研究成果,代表性文献参见[1]-[6]. 然而,关于 GI/G/1 排队系统,由于其到达时间和服务时间都服从一般的分布,队长过程不再是马尔可夫过程,也无法通过嵌入马尔可夫链的方法来进行研究,因此关于这方面的研究相对较少.侯振挺教授[7]给出了GI/G/1 排队系统队长的瞬时分布,文献[8]给出了队长的极限分布,本文主要研究该队长的累积过程的期望和方差, 大数定律和中心极限定理.2. GI/G/1排队系统本文讨论的1GI G // 排队系统细节如下（参见文献[9]）：(i)顾客到达系统的时间间隔是独立同分布的随机变量,其分布函数是()A x .令00τ=, 12ττ,, 为 0τ 之后顾客陆续到达服务台的时刻, 到达时间间隔1m m m t ττ-=-,于是 ()()(12)m A t P t t m =≤=,,.01()xdA x λ∞=⎰. (ii)每个顾客的服务时间为独立同分布的随机变量,其分布函数是()B x ,并且与{}m t m Z ,∈独立. 令 0v 为 0t = 时系统的所有顾客总的剩余服务时间（即系统的剩余工作负荷）,(12)i v i =,, 为 0t = 之后第 i 个到达系统的顾客的服务时间.于是()()(12)i B t P v t i =≤=,,,01()xdB x μ∞=⎰. (iii) 有一个服务员, 且按先到先服务规则进行服务. 令λμρρ=, 称为系统的服务强度. 假定 (0)0(0)00A B λμ=,=,<,<∞. 基金项目：国家自然科学基金青年基金资助项目 (11001179)3. 队长的强大数定律和中心极限定理设()L t 表示GI/G/1排队系统在时刻 t 的队长（即时刻 t 在服务台前等待的顾客数与正在被服务的顾客数之和）. 令inf{()0}t L t d |=⎧=⎨+∞,,⎩如果上述集合为空 0111inf{()1}0 12n n n t t d L t n γγγγγθγ+|>,=⎧=,=⎨+∞,,⎩=+⋅,=,,如果上述集合为空根据繁忙循环的定义,n γ表示从0开始,第n 个繁忙循环开始的时刻. 令0111i i i Y Y i γγγ+=,=-,≥,, 则i Y 表示第i 个繁忙循环的长度.引理1.[10]如果 1ρ<, 则111[]exp k i k a E Y k λ∞=-=<+∞,∑ (1)其中 ()()0[1()]()k k k a A x dB x ∞-=-⎰. 定理 1. 对于1GI G //排队中的队长()L t , 如果1λμρ=<, ()L t 是正常返的 Doob 骨架过程.证明: (1) 已知n γ表示第n 个繁忙循环开始的时刻,此时,()1n L γ=, 则n γ之后()L t 的取值,仅依赖于n γ时刻()L t 的值,与前面的繁忙周期中队长的取值完全无关, 即()L t 在1n n γ,≥ 处有马尔可夫性. 于是,()L t 是一个马尔可夫骨架过程,1n n γ,≥ 为其骨架时序列. (2) 对于1n ∀≥, ()1n L γ≡, 即()n L γ服从聚点分布{1}()I x ,根据定义3.1.2[8],()L t 是以{}n γ为更新点的Doob 骨架过程.(3) 如果1λμρ=<, 根据引理3.1,[]i m E Y =<+∞, 于是根据定义3.1.3[8], ()L t 是一个正常返的 Doob 骨架过程.由于()L t 是以 {}n γ 为更新点的 Doob 骨架过程,根据引理3.1.3[8]知i Y , 1i ≥为独立同分布的随机变量序列,设 ()F t 为 1i Y i ,≥ 的分布函数. 令2m m <>,分别表示i Y 的期望和二阶矩.令 1100()()i i i y L s ds y L s ds γγγ+=,=⎰⎰, 1i ≥. 则{1}i y i ,≥表示()L s 在两个更新点之间的累积过程. 由()L s 为正常返的Doob 骨架过程和i Y , 1i ≥为独立同分布的随机变量序列可得, {1}i y i ,≥也为独立同分布的随机变量序列. 令212ασ,分别为i y 的期望和方差, 1122()max max ()012N n n n n t t n n t t t L s ds Z t W t n γγγγγ++≤<≤<∆=,=|∆|,=∆,=,,,⎰,其中t N 表示t 之前更新点的数目.引理2.[6] 设1200T T >,>,为独立同分布的随机变量序列,其共同的分布函数为 ()A x , 期望 A μ<∞.令 1σ≥为一随机变量满足 E σ<∞, 并且对于任意的 n ,1n n T T +,, 与 {}n σ≤独立, 则12C T T T σ=+++ 的分布函数()K x 为非格子分布当且仅当 ()A x 是非格子分布.定理 2. 对于1GI G //中的队长()L t , 如果 1λμρ=<, ()A t 是非格子的, (i) 如果1α<∞,1EV <∞,10()E L s ds γ<∞⎰, 则当t →∞时,有10(())()tE L s ds t o t m α=+⎰ (2)(ii) 如果1α<∞,1EV <∞, 2m <><∞,2α<∞,2()n E W <∞,10()Var L s ds γ<∞⎰,其中2212σσ,分别是i Y 和i y 的方差, 则当t →∞时, 2221210(())(())()t t Var L s ds o t m mασσ=++⎰ (3) 证明: 当()A t 是非格子分布时,根据引理3.2, 1i Y i ,≥的分布函数()F t 也是非格子分布. 如果 1λμρ=<,由定理3.1可知 ()L t 是正常返的Doob 骨架过程.于是,根据定理 3.3.3[8] 可得(2)式和(3)式成立,定理得证.定理 3. (强大数定律) 对于1GI G //中的队长()L t , 如果1λρ=<, ()A t 是非格子的,1α<∞,1EV <∞,10()L s ds γ<∞⎰,则对任意的0ε>,下式几乎必然成立 01()lim t t L s ds t mα→+∞=.⎰ (4)证明: 当()A t 是非格子分布时,根据引理3.2,1i Y i ,≥的分布函数()F t 也是非格子分布. 如果 1λμρ=<,由定理3.1可知 ()L t 是正常返的Doob 骨架过程.于是,根据定理 3.3.2[8] 可得(4)式成立,定理得证.定理 4. (中心极限定理) 对于1GI G //中的队长()L t , 如果1λμρ=<, ()A x 是非格子的, 1α<∞, 1EV <∞, 2m <><∞,10()L s ds γ<∞⎰, 则 1120()lim {}()()t m t t m L s ds t P ααασ→∞-≤=Φ⎰ (5)其中 ()αΦ是一标准正态分布, 12()i i m var y Yασ=-. 证明: 当()A t 是非格子分布时,根据引理3.2,1i Y i ,≥的分布函数()F t 也是非格子分布. 如果 1λμρ=<,由定理3.1可知()L t 是正常返的Doob 骨架过程.于是,根据定理 3.3.4[8]可得(5)式成立,定理得证.参考文献[1] Kendall, G. Some problems in the theory of queues [J]. J. Roy. Statist. Soc. (Series. B), 1951,13,151-185.[2] Kendall, G. Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysis by themethod of imbedded Markov chains [J]. Ann. Math. Statist, 1953, 24,338-354.[3] Kingman, J.F.C. The single server queue in heavy traffic [J]. Proc. Cambridge Phil. Soc, 1961,57,902-904.[4] Kingman, J.F.C. On queues in heavy traffic [J]. J. R. Statist. Soc, 1962, 24,383-392.[5] Assumen, S. Calculation of the steady state waiting time distribution in GI/PH/c andMAP/PH/c Queues [J]. Queueing Systems, 2001, 37, 9-29.[6] Asmussen, S. Applied Probability and Queue (second edition) [M]. New York: Springer, 2003.[7] Hou Zhenting. Markov skeleton processes and application to queueing systems [J]. ActaMathematicae Applicatae Sinica, English Series, 2002, 18(40), 537-552.[8] 董海玲.马尔可夫骨架过程的极限理论[D].长沙：中南大学,2008.[9] Hou Zhengting, Liu Guoxin. Markov skeleton processes and their applications [M]. Beijing:Science Press, and Boston: International Press, 2005.[10] 徐光辉. 随机服务系统[M]. 北京：科学出版社, 1988.。

4.马尔可夫链1

而其一步转移概率为
qr p
i 1
p,
pij
r, q,
0,
i i 1
j i 1 j i j i 1 其它
其一步转移概率矩阵为
i 2 i 1 i i 1... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... q r p 0 0 ... 0 ... i 1 ... 0 q r p 0 ... 0 ... i ... 0 0 q r p ... 0 ... i 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ...
（时间离散、状态连续的马尔可夫过程，通常用泛函中二元函数的范数进行研究）
例1 独立过程 X t,t T 是马尔可夫过程
证设Xt,t T是独立过程，对于t1 t2 ... tn T,
X t1, X t2 ,..., X tn 相互独立，因此
P X tn xn X t1 x1, X t2 x2,..., X tn1 xn1 =P X tn xn =P X tn xn X tn1 xn1
率r原地不动。若以 X n 表示时刻 n 时质点的位置，
则X n，n 0,1, 2，...是一个随机过程。而且当
X n i 时，X n+1，X n+2，...，X n+k,...等 n时刻后质点所处的状态，只与X n i 有关，而与
质点在n以前是如何到达i的完全无关。所以它是一
个齐次马尔可夫链，其状态空间为I= ,-2,-1,0,1,2,
则称 Xn,nT 为马尔可夫链.
定义4.1 设有随机过程Xn ,n T，若
对于任意的整数n T和任意的 i0,i1,...,in1 I 条件概率满足

马尔可夫链课件

1的概率向左或向右移动一 3
格，或以
Q现在处于1(或5)这 1的概率留在原处；如果 3
一点上，则下一时刻就以概率1移动到2(或4)这点上，1 和5这两点称为反射壁，这种游动称为带有两个反射壁的
随机游动。以Xn表示时刻n时Q的位置，说明{Xn,n =
0,1,2 …}是一齐次马氏链，并写出它的一步转移概率矩阵。
二、转移概率
定义3 设 { X n，n 0} 是齐次马尔可夫链，其一步矩阵的每一行都转移概率为 pij (i, j S )，记是一条件分布律
p00 p10 P ( pij ) p 20 pi 0
.
p 01 p 02 p11 p12 p 21 p 22 pi1 pi 2
1 2 3 4 5
三、马氏链的例子
解：它的一步转移概率矩阵为： 0 1 0 0 0
1 3 P 0 0 0
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
0
1 3 1 3
0 0
0
1
0 0 1 3 0
如果把1这点改为吸收壁，即Q一旦到达1这一点，则永远留在点1时，此时的转移概率矩阵为：
• 第一节基本概念 • 第二节状态的分类及性质 • 第三节极限性态及平稳分布
• 第四节 Markov链的应用
第一节
基本概念
一、Markov链的定义二、转移概率三、Markov链的例子四、n步转移概率，C-K方程
第一节
基本概念
一、Markov链的定义
马尔可夫性(无后效性 )过程(或系统)在时刻t 所处的状态为已知的条件下，过程在时
1 1 3 P 0 0 0 0
1 3 1 3
0

第4章马尔可夫链1-2

假设马尔可夫过程 { X n , n T } 的参数集 T 是离散的时间集 I 合，即 T {0,1, 2,} ，其相应 X n 可能取值的全体组成的状态空间 I 是离散的状态集。
定义 1 设有随机过程{ X n , n T } ，若对于任意的整数 n T 和任意的 i0 , i1 , , in1 I ，条件概率满足
转移概率矩阵为
q 0 p 0 P 0 q 0 p
设在第k步转移中向右移了x步，向左移了y步，且经过k步转移状态从i进入j，则
x y k x y j i
从而
k ( j i) k ( n 和 i , j I ，n 步转移概率 ij 具有下列
性质
( n) ( l ) ( n l ) (1) pij pik pkj ; k I
(2) p
( n) ij

k1I

kn1I
pik1 pk1k2 pkn1 j ;
(3) P ( n ) PP ( n1) ; (4) P ( n ) P n .
第4章马尔可夫链
定义 2.9 设 X t , t T 为随机过程，若对任意正整数 n 及 t1 t2 , tn , P X (t1 ) x1 , , X t n1 xn1 0 ，且其条件分布
P X (tn ) xn | X t1 x1 ,, X t n1 xn1 P X ( t n ) xn | X t n 1 x n 1
定义 2 称条件概率
pij (n) P{ X n1 j | X n i }
为马尔可夫链 { X n , n T } 在时刻 n 的一步转移概率，其中 i , j I ，简称为转移概率。

关于可列非齐次马尔可夫链的一类强极限定理

关于可列非齐次马尔可夫链的一类
强极限定理
可列非齐次马尔可夫链（nonhomogeneous Markov Chains）是一种应用于研究随机过程的工具，它由一系列由当前状态而决定的随机概率变量构成。

强极限定理是可列非齐次马尔可夫链的一个重要的理论，也称为Borel-Cantelli定理。

该定理旨在证明，即使马尔可夫链的各个状态之间的转移概率不相等，但可以实现极限概率下的平均行为。

具体来说，它声称，如果每个状态的转移概率都大于0，则存在一个转移概率矩阵P，它将最终逼近极限状态ω*，使得每个状态在极限状态ω*中的概率为1.。

第2章马尔可夫链

Pi,i+1=p, Pi,i-1=q, Pi,i=r, 其余Pi,j=0
（2）带吸收壁的随机游动设（1）中的随机游动限制在 S={0,1,2, …b}，当质点移动到状态0或b后就永远停留在该位置，即p00=1, pbb=1，其余pij(1≤i,j ≤b-1)同（1），这时 {Xn,n≥0}称为带两个吸收壁0和b的随机游动，它是一有限状态马尔可夫链。
a j i , pij 0,
例2 M/G/1排队系统
j i j i
显然{Yn,n≥1}也是一马尔可夫链。
若以X(t)记在t时刻系统中的顾客数，{X(t),t≥0}则不具马尔可夫性。
Xn-----第n个顾客走后剩下的顾客数， Yn -----第n+1个顾客接受服务期间来到的顾客数，则
（1）无限制的随机游动设有一质点在数轴上随机游动，每隔一单位时间移动一次，每次只能向左或向右移动一单位，或原地不动。设质点在0时刻的位置为a,向右移动的概率为p，向左移动的概率为q，原地不动的概率为r(p+q+r=1),且各次移动相互独立，以Xn表示质点经n次移动后所处的位置，则 {Xn,n≥0}是一马尔可夫链,转移概率为
k 0

P X n k X 0 i P X n m j X n k
k 0 n m pik pkj k 0
P n P P n 1 P P P n 2 P n
例（马尔可夫预测）P82
解一阶转移矩阵为
0.95 0.30 P 0.20 0.20
初始分布为
0.02 0.60 0.10 0.20
0.02 0.06 0.70 0.10

【2012考研精品资料】考研数学笔记

积化和差公式倍角公式
U ( x0 , )，使得x U ( x0 , ) ，均有 f(x)≤g(x)≤h(x)，则 lim g ( x) A 。
x x0
2.单调收敛原理：单调有界函数必收敛。 3. 柯西收敛准则：函数 f(x)收敛的充要条件是：∀ε>0, ∃>0, ∀x’,x’’∈ 有|f(x’)-f(x’’)|<ε。
n n
第 1 章极限与连续
1.1 集合、映射、函数空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界确界存在定理：凡有上(下)界的非空数集必有有限的上(下)确界。映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量，因变量，基本初等函数 1.2 数列的极限性质： 1. （唯一性）收敛数列的极限必唯一。 2. （有界性）收敛数列必为有界数列。 3. （子列不变性）若数列收敛于 a，则其任何子列也收敛于 a。注1. 一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数，仍不能保证原数列收敛。注2. 若数列{xn}有两个子列{xp},{xq}均收敛于 a，且这两个子列合起来就是原数列，则原数列也收敛于 a。注3. 性质 3 提供了证明了某数列发散的方法，即用其逆否命题：若能从该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。 4. （对有限变动的不变性）若数列{xn}收敛于 a，则改变{xn}中的有限项所得到的新数列仍收敛于 a。 5. （保序性）若 lim x a, lim y b ，且 a<b，则存在 N，当 n>N 时，有 n n
1 f ( x)
f (b) f (a) f ( ) . ba
3.柯西定理：若函数 f(x)和 g(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导；(iii) ∀x∈(a,b),g’(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点 ξ，使得

一类隐非齐次马尔可夫模型的强极限定理

ｐ’。“”Ｉ＝１
ｎ・豇
（７）
证
由引理３与（４），有
ｌｉｒａ土∑｛＾（ｘ。，Ｅ）一ＥＥＡ（ｘ。，ｙＩ）Ｉ
ＸＨ］）＝０
ｎ＾
（８）
注意到Ｅ［＾（ｘ。，Ｙ。）ｌＸ卜。］＝则（８）可以表示为
．
Ｎ∑一Ｍ∑㈨
＾ｆ
＾０Ｄ “
，ｋ
Ｘ－Ｌ
、，
巩，、Ｘ卜
Ｄ
”
Ｎ
１ｉ巴｝∑（＾（ｘ。，ｙＩ）一∑∑＾（』，ｚ）Ⅱ。（ｘ卜－，歹）仇（ｘ卜。；歹，１）１＝０ …日Ｉ一１
ａ
ｃｌａｓｓｏｆｈｉｄｄｅｎ
ｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＭａｒｋｏｖｍｏｄｅｌｓＷＵＸｉａｏ—ｔａｉ
（Ｄｅｐ．ｏｆ
Ａｐｐｌ．Ｍａｔｈ．＆Ｐｈｙ．．ＡｎｈｕｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙａｎｄＳｃｉｃｎｃｅ．Ｗｕｈｕ２４１０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ．ＡｃｌａｓｓｏｆｈｉｄｄｅｎＭａｒｋｏｖｍｏｄｅｌｓｉｓｒｅｓｅａｒｃｈｅｄｗｈｅｎｔｈｅＭａｒｋｏｖｃｈａｉｎｉｓｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓａｎｄｔｈｅｔｒａｎｓｉｔｉｏｎｍａｔｒｉｘｆｒｏｍｈｉｄｄｅｎｃｈａｉｎｓ
ｔＯ
ｏｂｓｅｒｖｅｄｃｈａｉｎｓｄｅｐｅｎｄｓｏｎ，１．ＴｈｉｓｈｉｄｄｅｎＭａｒｋｏｖｍｏｄｅｌｉｓ
ｎｏｔ
ｗｉｄｅｌｙｕｓｅｄｉｎｓｔｕｄｙｉｎｇｔｈｅｓｐｅｅｃｈｐｒｏｃｅｓｓ，ｉｔｓｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｉｓｔｈａｔｔｈｅｏｂｓｅｒｖｅｄｃｈａｉｎ
ｏｎ
Ｙ，．∈Ｔ，ｆ（ｘ，ｙ）为定义在Ｓ×Ｔ上的实值函数，则
收稿日期：２００７—１２—１７

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第２第２期４卷
２１００年４月
江苏科技大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｉｇｕＵｉｒｔｏｃｎｅａｄＴｃｎｌｙＮｔｒｌｃｎｅＥｉｏ）ｏｒａｏａｓｎｖｓｙｆｉｃｎｅｈｏｇ（ａｕａＳｉｃｄｔｎＪｎｅｉＳｅｏｅｉ
ｏｏｄｔｎｌｅｐｃａｉｎｗｒｂａｎｄＩｈｒｏ，ｔｅｎｗｔｃｎｑｅｗｓａｐｉｄｔｈｒｏｈｉｎｃｎｉｏａｘｅｔｔｅｅｏｔｉｅ．ｎｔｅｐｏｆｈｅｅｈｉｕａｐｌｏｔｅＭａｋｖｃａｎｉｏｅ
Ｖｏ．４Ｎｏ２１２．Ａｐｒ２０．０１
任意Ｂｔｅ上马尔可夫链场的ｅｈ树类局部强极限定理
一
王康康
（江苏科技大学数理学院，江苏镇江２２０）１０３摘要：在介绍无限连通树图和Ｂｔｅ树上马氏链场概念的基础上，ｅｈ采用随机分析中构造非负鞅的方法，究任意Ｂｔｅ研ｅｈ
ｉｌｓｆｅｄ．
Ｋｅｒｓ：Ｂｅｈｒｅ；Ｍａｋｖｃａｎｆｅｄｓｏｄｔｏａｘｅｔｔｎ；ｆｅｕｎｉｓｏｔｔｓ；ｏｄｒｄｃｕｌｓｏｙｗｏｄｔｅｔｅｒｏｈｉｌ；ｃｎｉｎｌｅｐｃａｉｉｉｏｒｑｅｃｅｆｓａｅｒｅｅｏｐｅｆ
ｓａｔｓｔｅ
１预备知识
设为一无限连通树图，Ｙ是中任意两个，
则称该树图７为Ｂｔｅ树，作．，记为用 ’ ｅｈ记 Ⅳ简
表示从第ｍ层到第ｎ层的所有顶点的子图，￡表示第１层的所有顶点的子图， ’ １，表示从第０层到第ｒ层的所有顶点的子图．ｔ
树指标马尔可夫链场上任意二元函数的一类局部强极限定理．采用鞅方法结合Ｄｏｏｂ鞅收敛定理和一系列重要不等式进行
研究，引用随机矩阵中平稳分布的性质，到了任意Ｂｔｅ树上状态频率和状态序偶频率的一类强极限定理，得ｅｈ以及任意
Ｂｔｅｅｈ树上二元函数条件期望的极限性质，推广了已有的结果．关键词：ｅｅ；Ｂｔ树马尔可夫链场；ｈ条件期望；状态频率；状态序偶
ＷａｇＫａｇａபைடு நூலகம்ｇｎｎｋｎ
（ｃｏｌｆｔｅａｉｎｈｓｓＪｎｓｎｖｒｔｏｃｎｅａｄＴｃｎｌｙｈｎｉｎｉｎｓ１０３，ｈｎ）ＳｈｏｏｈｍｔｓａｄＰｙｉ，ｉｇｕＵｉｓｙｆｉｃｎｅｈｏｏ，ＺｅｊｇＪｇｕ２２０ＣｉａＭａｃｃａｅｉＳｅｇａａ
中图分类号：２１６０１．文献标志码：Ａ文章编号：１７４０（００００００６３— ８７２１）２— ２５— ５
ＡｌｓｆｌｃｌｓｒｎｇｌｍｉｈｅｒｍｓｆｒＭａｋｏｃａｓｏｏａｔｏｉｔｔｏｅｏｒｖｃｉｓｆｅｄｏｒｔａｙＢｅｈｅｔｅｈａｎｌｎａｂｉｒｒｔｒｅｉ
Ａｂｔａｔ：ＯｎｔｓｓｏｈｏｉｎｏｒｅｇａｈａｄｔｅＭａｋｏｈｉｅｄｏｔｅｔｅｓｒｃｈｅｂａｉｆｔｅｎｔｏｆｔｅｒｐｎｈｒｖｃａｎｓｆｌｎＢｅｈｒｅ，ｔｉａｒｓｕｉｄｉｈｓｐｐｅｔｄｅａｃａｓｏｃｌｓｒｎｉｔｔｅｒｍｓｆｒｔ・ａｉｎｕｃｉｎｏｒｏｈｉｅｄｙｕｉｇｔｅｎｎｅａｉｅｍａ — ｌｓｆｌａｔｏｇｌｈｏｅｏｗｏ・ｒａｔｆｎｔｏｆＭａｋｖｃａｎｆｌｓｂｓｎｈｏｎｇｔｒｏｍｉｖｉｖ・ｔｇｌｉａｅ．ＴｈｒｏｈａｎｆｅｄｎｅｅｎｔｅａｂｔａｙＢｅｈｒｅｎｅＭａｋｖｃｉｌｓｉｄｘｄｏｈｒｉｒｒｔｅｔｅ．Ｆｕｔｒｒｉｒｈｅｍｏｅ，ｂｒｉｇｌｔｏｙｍａｔａｅｍｅｈｄ，Ｄｏｂｎｏｍａｉａｅｃｎｅｇｎｅｔｅｒｍ，ａｄｓｍｅｉｏａｔｉｅｕｌｉｓｈｉａｅｏｌｓｆｓｒｎｉｔｔｅｒｍｓｔｒｎｇｌｏｖｒｅｃｈｏｅｎｏｍｐｒｎｎｑａｉｅ，ｔｓｐｐｒｇｔａｃａｓｏｔｏｇｌｍｉｈｏｅｔｔｏｒｑｅｃｅｆｓａｅｎｒｅｅｏｐｅｆｓａｅｎＢｅｈｒｅ．Ｓｍｅｌｍｉｐｒｐｒｉｓｏｗｏｖｒａｔｆｃｉｎｆｒｆｅｕｎｉｓｏｔｔｓａｄｏｄｒｄｃｕｌｓｏｔｔｓｏｔｅｔｅｏｉｔｏｅｔｆｔ・ａｎｕｎｔｏｅｉ