解析几何学习知识重点情况总结复习资料

一、直线与方程基础：1、直线的倾斜角α： [0,)απ∈2、直线的斜率k ：2121tan y y k x x α-==-；注意：倾斜角为90°的直线的斜率不存在。

3、直线方程的五种形式： ①点斜式：00()y y k x x -=-； ②斜截式：y kx b =+； ③一般式：0Ax By C ++=； ④截距式：1x ya b+=； ⑤两点式：121121y y y y x x x x --=-- 注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。

4、两直线平行与垂直的充要条件：1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，1l ∥2l 12211221A B A B C B C B =⎧⇔⎨≠⎩；1212120l l A A B B ⊥⇔+= .5、相关公式：①两点距离公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ，MN =②中点坐标公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则线段MN 的中点1122(,)22x y x y P ++； ③点到直线距离公式： 00(,)P x y ，:0l Ax By C ++=， 则点P 到直线l的距离d =；④两平行直线间的距离公式：11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=， 则平行直线1l 与2l之间的距离d =⑤到角公式：（补充）直线1111:0l A x B y C ++=到直线2222:0l A x B y C ++=的角为θ，(0,)(,)22ππθπ∈U ，则2112tan 1k k k k θ-=+⋅ .（两倾斜角差的正切）二、直线与圆，圆与圆基础：1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=； 确定圆的两个要素：圆心(,)C a b ，半径r ；2、圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=，（2240D E F +->）；3、点00(,)P x y 与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系： 点00(,)P x y 在圆内⇔ 22200()()x a y b r -+-<； 点00(,)P x y 在圆上⇔ 22200()()x a y b r -+-=；点00(,)P x y 在圆外⇔ 22200()()x a y b r -+->；4、直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系： 从几何角度看：令圆心(,)C a b 到直线:0l Ax By C ++=的距离为d ， 相离⇔d r >；相切⇔=d r ； 相交⇔0d r ≤<；若直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=相交于两点M ，N ，则弦长MN = 从代数角度看：联立:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=， 消去y （或x ）得一元二次方程，24b ac ∆=-， 相离⇔0∆<； 相切⇔0∆=； 相交⇔0∆>；相交时的弦长1212MN x x y y =-=- . 5、圆与圆的位置关系： 相离，外切，相交，内切，内含 .圆2221111:()()O x x y y r -+-=；圆2222222:()()O x x y y r -+-=， 根据这三个量之间的大小关系来确定：12r r -，12O O ，12r r +； 相离⇔1212O O r r >+； 外切⇔1212O O r r =+； 相交⇔121212r r O O r r -<<+； 内切⇔1212O O r r =-； 内含⇔12120O O r r ≤<-；6、两圆2221111:()()O x x y y r -+-=①；圆2222222:()()O x x y y r -+-=②若相交，则相交弦所在的直线方程的求法：交轨法： ①式-②式，整理化简即可得到相交弦所在直线方程 .三、椭圆：1、（第一）定义：12122PF PF a F F +=>；2、椭圆标准方程及离心率：焦点在x 轴上的椭圆标准方程为：22221(0)x y a b a b +=>>；:a 长半轴；b ：短半轴；:c 半焦距 .椭圆中a ，b ，c 的关系：222a b c =+； 椭圆的离心率(0,1)ce a=∈ . 3、弦长公式：直线:l y kx b =+与椭圆2222:1()x y C m n m n+=≠交于两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，则相交时的弦长1212MN x x y y =-=- . 弦长公式是由两点距离公式与两点斜率公式推导出来，故适用性比较广。

4、中点弦结论（点差法）：椭圆2222:1()x y C m n m n+=≠上的两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，弦MN 的中点1212(,)22x x y y P ++， 则22MN OP n k k m⋅=- .5、焦点三角形面积：椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆C 上除左、右端点外的一点，令12F PF θ∠=，则：122tan2PF F S b θ∆=⋅ .该公式是由三角形面积公式、椭圆第一定义、余弦定理结合三角恒等变换推导出来。

6、直线与椭圆位置关系：联立:0l Ax By C ++=与椭圆2222:1()x y C m n m n+=≠，消去y （或x ）得一元二次方程，24b ac ∆=-， 相离⇔0∆<； 相切⇔0∆=； 相交⇔0∆>；7、与点坐标相关的面积公式：(0,0)O ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，点O ，A ，B 不在一条直线上，则：122112OAB S x y x y ∆=-. 该公式是由三角形面积公式、余弦定理结合三角恒等式推导出。

四、双曲线：（类比椭圆来学习双曲线）1、定义：12122PF PF a F F -=<；2、双曲线标准方程及离心率、渐近线方程：焦点在x 轴上的双曲线标准方程为：22221(0,0)x y a b a b -=>>；:a 实半轴；b ：虚半轴；:c 半焦距 .双曲线中a ，b ，c 的关系：222c a b =+；双曲线的离心率(1,)ce a=∈+∞ ；焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为by x a=±； 焦点到渐近线的距离d b = .焦点在y 轴上的双曲线相关性质可以类比。

3、弦长公式：直线:l y kx b =+与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>交于两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，则相交时的弦长1212MN x x y y =-=- . 4、中点弦结论（点差法）：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上的两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，弦MN 的中点1212(,)22x x y y P ++， 则22MN OPb k k a⋅= . 5、焦点三角形面积：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线C 上除左、右端点外的一点，令12F PF θ∠=，则：122tan2PF F b S θ∆=.6、直线与双曲线位置关系：①当直线l 与双曲线C 的其中一条渐近线重合时，显然直线l 与双曲线C 无交点； ②当直线l 与双曲线C 的其中一条渐近线平行时，有且仅有一个交点， 此时联立直线方程与双曲线方程，会得到一个一次方程（二次项系数为0）； ③当直线l 与双曲线C 的渐近线既不平行也不重合时，此时联立直线方程与双曲线方程，消去y （或x ）得一元二次方程，24b ac ∆=-，相离⇔0∆<；相切⇔0∆=； 相交⇔0∆>；五、抛物线：1、定义：P l PF d -= （到定点的距离等于到定直线的距离的这样的点的轨迹即为抛物线）.2、标准方程：22(0)y px p =>（开口朝右的抛物线，开口朝其它方向的抛物线方程及其它性质可以类比。

） 焦点(,0)2p F ，准线:2pl x =-，离心率1e =. 3、常见性质： ① 普通的弦长公式：直线y kx b =+与抛物线22(0)y px p =>相交于两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，12y y - .(2F 的特殊弦长公式及12x x 与12y y ：（i ）若弦MN 过焦点(,0)2p F ，则弦长1222sin pMN x x p α=++=（α为倾斜角）； （ii ）2124p x x =，212y y p =- .③过抛物线2:2(0)C y px p =>的顶点(0,0)O 作两条互相垂直的射线OM 、ON 分别与抛物线C 交于两点M ，N ，弦MN 与x 轴交于点P ，则(2,0)P p ，即：4OP OF =.反之亦然，即：若4OP OF =，则90MON ∠=︒.4、抛物线中过焦点弦的其它性质（补充，作为了解,切记不能死记硬背。

如死记硬背，如下知识点不如不用掌握。

可以尝试证明。

）设MN 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的弦，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 如图（抛物线图2）， 则：①22sin MON p S α∆=； ②112MF NF p+=； ③以MN 为直径的圆与准线相切； ④90PFQ ∠=︒；⑤以MF 或NF 为直径的圆与y 轴相切 . 5、直线与抛物线的位置关系：①若直线与抛物线的对称轴平行或重合，则有一个交点；②若直线与抛物线的对称轴不平行，也不垂直，则根据判别式∆的符号来确定交点个数；③若直线与抛物线的对称轴垂直，画图数形结合很容易判断交点个数。

圆锥曲线大题常见题型（归纳总结）： 题型一、求点的轨迹问题： 常见方法：①直接法：（设出所求点(,)P x y ，根据题意列出等式，建立起y 与x 的关系。

） 如椭圆的标准方程的求出，本身就是利用这种方法。

②几何定义法：根据题意画出图形，通过已知条件及所学知识（如三角形中位线、圆与圆内切与外切，直线与圆相切的等价条件）得出所求点(,)P x y 满足圆的几何定义或椭圆、双曲线、抛物线的定义，从而求出点的轨迹方程；③伴随动点转化法： 该类题型的特征往往是： 其中一个动点如点00(,)Q x y 的轨迹方程是已知的，另有一个定点A 或多个定点，所求动点(,)P x y 与定点A 和动点00(,)Q x y 有着一定关系。