解析几何知识点总结

抛物线的标准方程、图象及几何性质：0

p

>

关于抛物线知识点的补充： 1、定义：

2、几个概念：

① p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，故p 为正数； ② 焦点的非零坐标是一次项系数的1

4

；

③ 方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同，一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。 ④ 通径：2p

3、如：AB 是过抛物线)0(22>=p px y 焦点F 的弦，M 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l MN ⊥，N 为垂足，l BD ⊥，l AH ⊥，

D ，H 为垂足，求证：

（1）DF HF ⊥； （2）BN AN ⊥； （3）AB FN ⊥；

（4）设MN 交抛物线于Q ，则Q 平分MN ；

（5）设),(),,(2211y x B y x A ，则221p y y -=，2

214

1p x x =； （6）

p

FB FA 2

||1||1=+； （7）D O A ,,三点在一条直线上

（8）过M 作AB ME ⊥，ME 交x 轴于E ，求证：||2

1||AB EF =，||||||2FB FA ME ?=；

关于双曲线知识点的补充：

1、 双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||

21F F ）的点的轨迹。

第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)1(>e e 的点的轨迹。两个定点为双曲线的焦点，焦点间距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。

注意： a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；

2、 双曲线的标准方程

①焦点在x 轴上的方程：22221x y a b -=（a>0，b>0）； ②焦点在y 轴上的方程：22

221y x a b

-= （a>0，b>0）；

③当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx 2-ny 2=1(m ·n<0)； ④双曲线的渐近线：改1为0,分解因式则可得两条渐近线之方程. 3、双曲线的渐近线：

①求双曲线122

2

2=-

b

y

a

x

的渐近线，可令其右边的1为0，即得02

2

2

2=-

b y a

x

，因式分解得到。②与双曲线122

22=-b

y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b

y a x ；

4、等轴双曲线： 为222t y x =-，其离心率为2

5、共轭双曲线：

6、几个概念：

①焦准距：b 2c ; ②通径：2b 2a ; ③等轴双曲线x 2-y 2

= (∈R,≠0)：渐近线是y=±x,离心率为： 2 ；④22221x y a b -=焦

点三角形的面积：b 2cot 2

(其中∠F 1PF 2=)；

⑤弦长公式：221212(1)[()4]k x x x x ++-c 2=a 2-b 2,而在双曲线中:c 2=a 2+b 2,

双曲线的图象及几何性质：

离心率

)1(>=

e a

c

e （离心率越大，开口越大） 准 线

c

a x 2

±

=

c

a y 2±

=

渐近线 x a

b y ±

= x b

a y ±

= 通 径

ep a

b 222

=（p 为焦准距）

焦半径

P 在左支

201||||ex a PF ex a PF -=--= P 在右支

201||||ex a PF ex a PF +-=+= P 在下支0

201||||ey a PF ey a PF -=--= P 在上支0

201||||ey a PF ey a PF +-=+=

焦准距

c

b c a c p 22=

-= 7、直线与双曲线的位置关系：讨论双曲线与直线的位置关系时通常有两种处理方法：①代数法：②、数形结合法。 8、双曲线中的定点、定值及参数的取值范围问题：

①定点、定值问题：通常有两种处理方法：第一种方法是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与

变量无关；第二种方法是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。 ②关于最值问题：常见解法有两种：代数法与几何法。若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形的性质来解决，这就是几何法；若题目中的条件和结论难以体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数的最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、函数的单调性法等。

③参数的取值范围问题：此类问题的讨论常用的方法有两种：第一种是不等式（组）求解法根据题意结合图形列出所

讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式再得出参数的变化范围；第二种是函数的值域求解法：把所讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。 关于椭圆知识点的补充： 1、椭圆的标准方程：

① 焦点在x 轴上的方程：22221x y a b += （a>b>0）； ②焦点在y 轴上的方程：22

221y x a b

+= （a>b>0）；

③当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx 2

+ny 2

=1(m>0,n>0)； ④、参数方程：cos sin x a y b φ

φ=??=?

2、椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。

第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)10(<

d =

e (椭圆的焦半径

公式：|PF 1|=a+ex 0, |PF 2|=a-ex 0)其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。 常数叫做离心率。

注意： ||22

1

F F a >表示椭圆；||22

1

F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹；

3、 焦准距：b 2c ;

4、通径：2b 2a ;

5、点与椭圆的位置关系；

6、22

221x y a b

+=焦点三角形的面积：b 2tan 2 (其中

∠F 1PF 2=

)；

7、弦长公式：|AB|=221212(1)[()4k x x x x ++-； 8、 椭圆在点P （x 0，y 0)处的切线方程：00221x x y y

a b

+=; 9、直线与椭圆的位置关系：

凡涉及直线与椭圆的问题，通常设出直线与椭圆的方程，将二者联立，消去x 或y ，得到关于y 或x 的一元二次方程，再利用根与系数的关系及根的判别式等知识来解决，需要有较强的综合应用知识解题的能力。 10、椭圆中的定点、定值及参数的取值范围问题：

①定点、定值问题：通常有两种处理方法：第一种方法是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；第二种方法是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。

②关于最值问题：常见解法有两种：代数法与几何法。若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形的性质来解决，这就是几何法；若题目中的条件和结论难以体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数的最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、函数的单调性法等。 ③参数的取值范围问题：此类问题的讨论常用的方法有两种：第一种是不等式（组）求解法根据题意结合图形列出

所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）得出参数的变化范围；第二种是函数的值域求解法：把所

讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化范围

椭圆图象及几何性质：