第八章 空间解析几何与向量代数知识点,题库与答案
8第八章空间解析几何答案
8第八章空间解析几何答案第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算1.填空题（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.2. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，， .3. 在平面上，求与、、等距离的点.解：设该点为，则，即，解得，则该点为.4. 求平行于向量的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向. 因为，所以.5. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.§8.2 数量积向量积1.若，求的模.解：所以.2.已知，证明：.证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.3. 。
4.已知，，求与的夹角及在上的投影.解：，，. 因为，所以.5..§8.3 曲面及其方程1.填空题（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）. 2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.3§8.4 空间曲线及其方程1. 填空题（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在面上的投影为（）.2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.解：将代入，得，因此投影方程为.4.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）.解：将代入得，即. 令，，所求的参数方程为..§8.5 平面及其方程1. 填空题（1）一平面过点且平行于向量和，平面的点法式方程为（）,平面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合.2.求过三点，和的平面方程.解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为=0，即.3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于平面且经过点；（2）通过轴和点；（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程.解：（1）平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为，即.（2）所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面的法向量为，因此所求平面的方程为，即.（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为. 将点和分别代入得及，解得及. 因此所得方程为，即.§8.6 空间直线及其方程1. 填空题（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点且与直线平行的直线的方程是（）.（3）直线与直线的夹角为（）.2.化直线为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为. 取，代入直线方程可得，. 所以直线的对称式方程为.令，所给直线的参数方程为.3.求过点且与直线垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即.所求平面的方程为，即.4. 确定的值，使直线与平面平行，并求直线与平面之间的距离.解：直线的方向向量，要使直线与平面平行，只要（其中为平面的法向量），即，解得. 令，代入直线的方程可得，，直线与平面之间的距离.第八章空间解析几何与向量代数综合练习1.填空题：（1）已知，，且与夹角为，则（）.（2）若向量，平行，则（）.（3）已知向量的模为，且与轴的夹角为，与y轴的夹角为，与z 轴的夹角为锐角，则=（）.（4）曲线 (a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是（）.（5）xOy平面上曲线绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是（）.（6）直线与平面的夹角的正弦（）.（7）方程所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线及都平行，且过原点的平面方程是（）.（9）已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，则点的轨迹方程为（）.（10）与两平面和等距离的平面方程为（）.2. 设，，求向量，使得成立，这样的有多少个，求其中长度最短的.解：设，则，则，因此这样的，有无穷个.由于，因此，当时，即长度最短.3.已知点和点，试在轴上求一点，使得的面积最小.解：设，则，，，故的面积为，显然，当时，的面积最小，为，所求点为.4. 求曲线在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在平面投影为；在平面投影为；在zOx平面投影为.5.求原点关于平面的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面的直线，该直线的方向向量等于平面的法向量，所求直线的对称式方程为，即为其参数方程. 将此参数方程代入平面，有，解得，即直线与平面的交点为. 设所求的对称点为，则，，，即所求的对称点为.6.求直线在平面上的投影直线绕轴线转一周所成曲面的方程.解：过作垂直于平面的平面，所求的直线在平面上的投影就是平面和的交线. 平面的法向量为：，则过点的平面的方程为：，即. 所以投影线为. 将投影线表示为以为参数的形式：，则绕轴的旋转面的方程为，即.7.求球心在直线上，且过点和点的球面方程.解：设球心为，则，即.又因为球心在直线上，直线的参数方程为，将直线的参数方程代入，可得，球心坐标为，所求球面方程为.8.已知两条直线的方程是，，求过且平行于的平面方程.解：因为所求平面过，所以点在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为. 因此所求平面的方程为，即.9. 在过直线的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为，即，平面与原点的距离为要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为.10. 设两个平面的方程为和（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程.（3）求通过两个平面的交线，且和坐标面垂直的平面方程.解：（1）两个平面的法向量为和，设两个平面的夹角为，则，所以.（2）因为角平分面上任意一点到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得，即，所求的角平分面方程为或.（3）设通过两个平面的交线的平面方程为，即，由于该平面垂直于坐标面，所以，可得，因此所求的平面方程为.。
(完整版)高数期末复习题第八章空间解析几何与向量代数
第八章一、填空题8.1.1.1、点)1,3,2(-M 关于xoy 面的对称点是)1,3,2(-- .8.1.2.3、向量)2,20(),1,4,2(-=-=b a ϖϖ，则同时垂直于b a ϖϖ,的单位向量为)1,1,1(31--±. 8.1.3.1、向量=⊥-=-=c ,),,2,1(),1,1,3( 则： 且 b a c b a ϖϖϖϖ 1 . 8.1.41、点)1,2,1(M 到平面01022=-++z y x 的距离为 1 .8.1.51、. 过点02)1,2,1(=+-z y x 与平面 平行的平面方程为12=+-z y x 8.1.6.2、平面3=y 在坐标系中的位置特点是 平行xoz 面 .8.1.7.2、过三点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，4）的平面方程为1432=++z y x . 8.1.8.2、过两点）（，（2,0,1),1,2321--M M 的直线方程是12241-==-+z y x . 8.1.9.3、过点)4,2,0(且与平面2312=-=+z y z x 及都平行的直线是14322-=-=-z y x . 8.1.10.3、曲面z y x =-22在xoz 面上的截痕的曲线方程为⎩⎨⎧==02y z x . 二、选择题8.2.1.2、点)3,0,4(在空间直角坐标的位置是 （ C ）A ．y 轴上； B. xoy 平面上； C. xoz 平面上； D. 第一卦限内。
8.2.2.2、设AB 与u 轴交角为α，则AB 在u 轴上的投影AB j u Pr = （C ）A ．αcos ； B. αsin ； C. α ； D. α.8.2.3.2、两个非零向量b a ρρ与互相垂直，则 （ B ）A ．其必要不充分条件是0=⋅b a ϖϖ； B. 充分必要条件是0=⋅b a ϖϖ；C ．充分不必要条件是0=⋅b a ϖϖ； D. 充分必要条件是0=⨯b a ϖϖ.8.2.4.2、向量),,(z y x a a a a =ϖ, ),,(z y x b b b b =ϖ 且 0=++z z y y x x b a b a b a 则 （ C ）A. b a ϖϖ//；B. λλ(b a ϖϖ=为非零常数) ；C. b a ϖϖ⊥ ；D. 0ϖϖϖ=+b a .8.2.5.2、平面0633=--y x 的位置是 （ B ）A ．平行xoy 面；B . 平行z 轴 ； C. 垂直z 轴； D. 通过z 轴.8.2.6.2、过点131111)1,1,1(--=+=-z y x 与直线 垂直的平面方程为 （ A ） A. 1=-+z y x ； B. 2=-+z y x ；C. 3=-+z y x ；D. 0=-+z y x .8.2.7.2、直线37423L z y x =-+=-+：与平面3224=--z y x 的位置关系是（ A ） A ．平行； B. 直线在平面上； C. 垂直相交； D. 相交但不垂直.8.2.8.2、xoy 面上曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周，所得曲面方程是（ C ）A ．369)4222=-+y z x （； B. 36)(9)42222=+-+z y z x （; C. 36)(94222=+-z y x ; D. 369422=-y x .8.2.9.2、球面2222R z y x =++与平面a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线方程是（ D ）A ．2222)R z y z a =++-（； B. ⎩⎨⎧==++-0)(2222z R z y z a ； C. 2222)(R x a y x =-++； D. ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 8.2.10.3、方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x 表示 （ B ）A ．椭球面； B. 1=y 平面上椭圆；C. 椭圆柱面；D. 椭圆柱面在平面0=y 上的投影曲线.三、计算题8.3.1.2、 一平面过点)1,0,1(-，且平行于向量)0,1,1()1,1,2(-==b a ϖϖ和，求这个平面。
高数下册常用常见知识点
高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。
2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。
3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。
4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。
ay。
az)，向量b=(bx。
by。
bz)，则a±b=(ax±bx。
ay±by。
az±bz)，λa=(λax。
λay。
λaz)。
5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。
二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。
2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。
三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。
2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。
3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。
4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。
2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。
第八章空间解析几何与向量代数（整理解答）
第八章空间解析几何与向量代数（整理解答）第八章空间解析几何与向量代数一、空间直角坐标系，坐标面，坐标轴，投影坐标8.3 点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( )；A. )2,4,1(-QB. )2,0,1(-QC. )0,4,1(-QD. )2,4,0(Q 解：在yoz 面上，坐标x 分量必为零，所以选D.二、向量，方向角，模，向量运算，数量积，向量积8.5设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则=++322212cos cos cos θθθ（）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3解：由作图计算可知，222123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。
8.8 向量)3,1,1(-=a ，)2,1,3(-=b ，则=?b a ( )；A. 0B. 1C. 2D. )2,11,5(--- 解：311(1)232a b ?=-?+?-+?=，所以选C 。
8.12 向量}3,0,1{=a ，}2,1,1{-=b ，则=?b a ( )；A. 6B. 6-C. }1,1,3{-D. }1,1,3{-- 解：1033112ij k a b i j k ?==+--，所以选C 。
8.16 a 与b 为两个向量，θ为二者的夹角，则a b ?=( ).(A) sin ab θ (B) s i n a b θ (C) cos ab θ(D) cos a b θ解：由定义，选D 。
8.21 已知1,a b ==a 与b的夹角为4π，则a b +=( ). (A)(B) 1 (C) 2 (D) 1解：222||||2||||cos 5θ+=++?=a b a b a b ，所以，+=a b A 。
8.23 设,a b 为非零向量，且⊥a b ，则必有( ).(A) +=+a b a b (B) -=-a b a b (C) +=-a b a b (D) +=-a b a b解：因为⊥a b ，所以由向量加法和减法平行四边形法则+=-a ba b ，选C 。
第八章空间解析几何与向量代数
即有
b
a.
(
此时
b
与
a
同向,
且 a
a
b
a
b
)
两的式唯相一减性，.得又设设(bb)aaa，， 0，
即
a
a
0，
a
0
0
即 .
设 ea
表示与非零向量
a
同方向的单位向量，
按照数乘的定义，得
规定：
a
a
|
a
1
| ea
a
a
|a
即
| a |a
|
|
1 a
a |
ea
|
1 (| a|
a
OP 与实数 x 一一对应
点P 向量OP xi 实数 x 定义：轴上点P 的坐标为实数 x
x
Oi
P
x
轴上点P的坐标为x
OP x i
三、空间直角坐标系
在空间取定一点O和三个两两垂直
的单位向量 i , j, k
就确定了三条以O为原点的
i
两两垂直的数轴，依次记为
x轴, y轴, z轴
x
（横轴）（纵轴）（竖轴）统称为坐标轴
2
2
MC AM a b 2
定 理1 设 向 量a 0， 那 末 向 量b 平 行 于 向 量 a 的 充 分 必 要 条 件 是 ： 存在 唯 一 的
实数 ，使得 b a
证 充分性 显然
必要性 的存在性
设 b‖
a
取
b
,
即
b
a
a
当
b
与
a
同向时
取正值，
当
b
与
空间解析几何与向量代数
第八章空间解析几何与向量代数一、 选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -== 若b a //，则B（A ）、x=0.5y=6(B)、x=-0.5y=6(C)、x=1y=-7(D)、x=-1y=-32．平面x-2z=0的位置是 D 。
（Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。
（Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。
（Ａ）、x=1(Ｂ)、x+2z+3y+4=0(C)、3(x-1)-y+(y+3)=0(D)、x+y+z=14．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ Bπ１⊥π２。
（Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x+y-11=0,π2:3x+8=0的夹角θ＝ C 。
（Ａ）、2π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是D 。
（A ）233211+=+=-z y x （C ）10101z y x =-=+ （B ）{4404=--=--y x z x （D ）⎪⎩⎪⎨⎧==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是B 。
（A ）、L 1⊥L 2（B ）、L 1//L 2（C ）、L 1与L 2相交但不垂直。
（D ）、L 1与L 2为异面直线。
二、填空题1.点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。
2．当l =-4,及m=3时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。
3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线51232-==-z y x 的直线方程 为532/1134-=+=-z y x 。
三、计算题1·求过点(3?0??1)且与平面3x ?7y ?5z ?12?0平行的平面方程?解所求平面的法线向量为n ?(3??7?5)?所求平面的方程为3(x ?3)?7(y ?0)?5(z ?1)?0?即3x ?7y ?5z ?4?0?2.求过点(2??3?0)且以n ?(1??2?3)为法线向量的平面的方程?解根据平面的点法式方程?得所求平面的方程为(x ?2)?2(y ?3)?3z ?0?即x ?2y ?3z ?8?0?3·求过三点M 1(2??1?4)、M 2(?1?3??2)和M 3(0?2?3)的平面的方程? 解我们可以用→→3121M M M M ⨯作为平面的法线向量n ?因为→)6 ,4 ,3(21--=M M ?→)1 ,3 ,2(31--=M M ?所以 →→k j i k j i n -+=----=⨯=9141326433121M M M M ? 根据平面的点法式方程?得所求平面的方程为14(x ?2)?9(y ?1)?(z ?4)?0?即14x ?9y ?z ?15?0?4·求过点(4??1?3)且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程? 解所求直线的方向向量为s ?(2?1?5)?所求的直线方程为531124-=+=-z y x ? 5·求过两点M 1(3??2?1)和M 2(?1?0?2)的直线方程?解所求直线的方向向量为s ?(?1?0?2)?(3??2?1)?(?4?2?1)?所求的直线方程为 112243-=+=--z y x ? 6.?求与两平面x ?4z ?3和2x ?y ?5z ?1的交线平行且过点(?3?2?5)的直线的方程? 解?平面x ?4z ?3和2x ?y ?5z ?1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s ?? 因为)34(512 401)52()4(k j i k j i k j i k i s ++-=---=--⨯-=? 所以所求直线的方程为153243-=-=+z y x ? 7.一个平面过两点M 1(1?11?1)、M 2(0?1??1)，且垂直于平面x+y+z=0,求其方程 解：1098=-+z y x。
《高等数学》第8章空间解析几何与向量代数8_2点积叉积
第八章
数量积 向量积 *混合积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积
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一、两向量的数量积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W F s cos
F
1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称
例1. 证明三角形余弦定理
c2 a2 b2 2ab cos
证: 如图 . 设
CB a, C A b, AB c
则
c a b
A b
c
C
Ba
c 2 (ab)(ab) aa bb2ab
a 2 b 2 2 a b cos
a a ,b b ,c c
c2 a2 b2 2ab cos
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ab 0
a b sin 0
sin 0，即 0 或
3. 运算律
a∥ b
(1) a b b a
(2) 分配律 ( a b ) c a c b c
(证明略)
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
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4. 向量积的坐标表示式
矩是一个向量 M :
M OQ F OP F sin
OP F M 符合右手规则
M OP M F
F
oP
F
O
P L
Q
OQ OP sin
M
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1. 定义
设 a , b的夹角为 ，定义
方向 : c a , c b 且符合右手规则
向量 c 模 : c a b sin
(完整版)空间解析几何及向量代数测试题及答案(20200730065716)
军教院第八章空间解析几何测试题一、填空题(共7题，2分/空，共20分)1. 四点O(0,0,0) , A(1,0,0) , B(0,1,1), C(0,0,1)组成的四面体的体积是2. ____________________________________________________________ 已知向量 a (1,1,1), b (1,2,3), c (0,0,1),则(a b) c =__(-2,-1,0) _________________3. ------------------------------------------------------------------------------- 点(1,0,1)到直线3x X z y 0的距离是一晋 ---------------------------------------- 4•点(1,0,2)到平面3x y 2z 1的距离是3皿_75.曲线C: 0对xoy坐标面的射影柱面是对yoz坐标面的射影柱面是—(z 1)2 y2 z 0 ________________ ,对xoz坐标面的射影柱面是____ z x 1 0 _____________ .26.曲线C: x y绕x轴旋转后产生的曲面方程是x4 4(y2 z2) ，曲线z 0 —C绕y轴旋转后产生的曲面方程是_x2 z2 2y ______________________ .2 2 27.椭球面—— 1的体积是？?????9 4 25 —二、计算题(共4题,第1题10分，第2题15分，第3题20分，第4题10分, 共55分)1.过点P(a,b,c)作3个坐标平面的射影点，求过这3个射影点的平面方程.这里a,b,c是3个非零实数.解：设点P(a,b, c)在平面z 0上的射影点为M1(a,b,0)，在平面x 0上的射影ujujmr f点为M2(0, a,b)，在平面y 0上的射影点为M3(a,0, c)，贝U M1M2 ( a,0,c)，lULULUM1M3 (0, b,c)3.求曲线2y绕x 轴旋转产生的曲面方面1解：设皿1(为，丫1,乙)是母线x 22y上任意一点则过皿1(为』1, z ,)的纬圆方程是⑵由于 V 1 V 2(0,0, 2)， V 1 V 2uuJuuuuuuuulr 阿皿2,川2)11和12间的距离d ----------------------V 1 v 2uuuuuir 于是 IVh , M,M 2 , uuuuuuM 側3所确定的平面方程是 即 bc(x a) ac(yb) abz 0 .2-已知空间两条直线'1::y0 o ,l 2：(1)证明11和12是异面直线;(2)求11和12间的距离；(3) 求公垂线方程.证明：(1)11的标准方程是-1片今，h 经过点艸1，方向向量 V 1 {1, 1,0} I 2的标准方程是，12经过点M 2(0,0, 2)，方 向向量V 2{1,1,0}，于uujuir(M 1M 2M V 2)0，所以11和12是异面直线。
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第八章：空间解析几何与向量代数一、重点与难点1、重点①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角；②数量积（是个数）、向量积（是个向量）；③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程），两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点①向量积（方向）、混合积（计算）；②掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程及二次曲面所对应的图形；③空间曲线在坐标面上的投影；④特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等；）⑤平面方程的几种表示方式之间的转化；⑥直线方程的几种表示方式之间的转化；二、基本知识1、向量及其线性运算①向量的基本概念：向量:既有大小又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量有向线段的长度表示向量的大小有向线段的方向表示向量的方向.；向量的符号:以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作向量可用粗体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如a、r、v、F或、、、；向量的模:向量的大小叫做向量的模向量a、、的模分别记为|a|、、单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量；向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量a与b平行记作a // b零向量认为是与任何向量都平行；两向量平行又称两向量共线零向量:模等于0的向量叫做零向量记作0或零向量的起点与终点重合它的方向可以看作是任意的共面向量：设有k(k3)个向量当把它们的起点放在同一点时如果k个终点和公共起点在一个平面上就称这k个向量共面；两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时两个向量之间的不超过的夹角称为向量a与b的夹角记作或如果向量a与b中有一个是零向量规定它们的夹角可以在0与之间任意取值；②向量的线性运算向量的加法（三角形法则）：设有两个向量a与b平移向量使b的起点与a的终点重合此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和记作a+b即ca+b .:平行四边形法则:向量a与b不平行时平移向量使a与b的起点重合以a、b为邻边作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和ab向量的加法的运算规律: (1)交换律abba (2)结合律(ab)ca(bc)负向量: 设a为一向量与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量记为a向量的减法:把向量a与b移到同一起点O则从a的终点A向b的终点B所引向量便是向量b与a的差ba向量与数的乘法：向量a与实数的乘积记作规定a是一个向量它的模|a||||a| 它的方向当>0时与a相同当<0时与a相反当0时 |a|0 即a为零向量这时它的方向可以是任意的运算规律: (1)结合律 (a)(a)()a； (2)分配律 ()aaa；(ab)ab向量的单位化: 设a0则向量是与a同方向的单位向量记为e a，于是a|a|e a 定理1 设向量a0那么向量b平行于a的充分必要条件是: 存在唯一的实数使b a③空间直角坐标系在空间中任意取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴) 统称为坐标轴它们构成一个空间直角坐标系称为Oxyz坐标系注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位;(2)通常把x轴和y轴配置在水平面上而z轴则是铅垂线;(3)数轴的的正向通常符合右手规则坐标面: 在空间直角坐标系中任意两个坐标轴可以确定一个平面这种平面称为坐标面x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面另两个坐标面是yOz面和zOx面卦限:三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限它位于xOy面的上方在xOy面的上方按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限在xOy面的下方与第一卦限对应的是第五卦限按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示向量的坐标分解式任给向量r对应有点M使以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体有设则上式称为向量r的坐标分解式x i、y j、z k称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系有序数x、y、z称为向量r(在坐标系Oxyz)中的坐标记作r(x y z)向量称为点M关于原点O的向径④利用坐标作向量的线性运算设a(ax ay az) b(bx by bz)ab(axbx ayby azbz)ab(axbx ayby azbz)a(ax ay az)利用向量的坐标判断两个向量的平行:设a(ax ay az)0 b(bx by bz) 向量b//aba即b//a(bx by bz)(ax ay az) 于是⑤向量的模、方向角、投影设向量r(x y z) 作则向量的模长公式设有点A (x1 y1 z1)、B(x2 y2 z2)(x2 y2 z2)(x1 y1 z1)(x2x1 y2y1 z2z1)A、 B两点间的距离公式为：方向角：非零向量r与三条坐标轴的夹角、、称为向量r的方向角设r(x y z) 则x|r|cos y|r|cos z|r|coscos、cos、cos 称为向量r的方向余弦从而 cos2cos2cos21投影的性质性质1 (a)u|a|cos (即Prj u a|a|cos ) 其中为向量与u轴的夹角性质2 (ab)u(a)u(b)u (即Prj u(ab) Prj u a Prj u b)性质3 (a)u(a)u (即Prj u(a)Prj u a)2、数量积、向量积、混合积①两向量的数量积数量积对于两个向量a和b它们的模|a|、|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a和b的数量积记作ab即a·b|a| |b| cos数量积的性质(1)a·a|a| 2(2) 对于两个非零向量a、b如果a·b0则ab;反之如果ab则a·b0如果认为零向量与任何向量都垂直则ab a·b0两向量夹角的余弦的坐标表示设(a ^ b) 则当a0、b0时有数量积的坐标表示设a(ax ay az )b(bx by bz ) 则a·b axbxaybyazbz数量积的运算律(1)交换律a·b b·a;(2)分配律(ab)cacbc(3)(a)·b a·(b) (a·b)(a)·(b) (a·b)、为数②两向量的向量积向量积设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出c的模|c||a||b|sin 其中为a与b间的夹角;c的方向垂直于a与b所决定的平面c的指向按右手规则从a转向b 来确定那么向量c叫做向量a与b的向量积记作ab即c ab向量积的性质(1) aa0 ;(2) 对于两个非零向量a、b如果ab0则a//b;反之如果a//b则ab0如果认为零向量与任何向量都平行则a//b ab0数量积的运算律(1) 交换律ab ba;(2) 分配律(ab)c ac bc(3) (a)b a(b)(ab) (为数)数量积的坐标表示设a(ax ay az) b(bx by bz)ab( ay bz az by) i ( az bx ax bz) j ( ax by ay bx) k为了邦助记忆利用三阶行列式符号上式可写成aybz i+azbx j+axby k aybx k axbz j azby i( ay bz az by) i ( az bx ax bz) j ( ax by ay bx) k③三向量的混合积混合积：先作两向量a和b的向量积,把所得到的向量与第三个向量c再作数量积，这样得到的数量叫做三个向量a、b、c的混合积，记作[abc][abc]= =混合积的几何意义：混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a、b、c 为棱的平行六面体的体积，如果向量a、b、c组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a、b、c组成左手系，那么混合积的符号是负的。
三个向量a、b、c共面的充分必要条件事他们的混合积[abc]=0即=03、曲面及其方程①曲面方程的概念如果曲面S与三元方程F(x y z)0有下述关系:(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x y z)0(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x y z)0那么方程F(x y z)0就叫做曲面S的方程而曲面S就叫做方程F(x y z)0的图形例如：方程 (xx0)2(yy0)2(zz0)2R2 表示球心在点M0(x0 y0 z0)、半径为R的球面②旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面这条定直线叫做旋转曲面的轴设在yO z坐标面上有一已知曲线C它的方程为f (y z) 0把这曲线绕z轴旋转一周就得到一个以z轴为轴的旋转曲面它的方程为这就是所求旋转曲面的方程在曲线C的方程f(y z)0中将y改成便得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程同理曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为③柱面柱面:平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面定曲线C 叫做柱面的准线动直线L叫做柱面的母线例如方程x2y2R2在空间直角坐标系中表示圆柱面它的母线平行于z轴它的准线是xOy面上的圆x2y2R2一般地只含x、y而缺z的方程F(x y)0 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面其准线是xOy面上的曲线C:F(x y)0类似地只含x、z而缺y的方程G(x z)0和只含y、z而缺x的方程H(y z)0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面④二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面把平面叫做一次曲面(1)椭圆锥面由方程所表示的曲面称为椭圆锥面(2)椭球面由方程所表示的曲面称为椭球面(3)单叶双曲面由方程所表示的曲面称为单叶双曲面(4)双叶双曲面由方程所表示的曲面称为双叶双曲面(5)椭圆抛物面由方程所表示的曲面称为椭圆抛物面(6)双曲抛物面由方程所表示的曲面称为双曲抛物面双曲抛物面又称马鞍面方程依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面4 空间曲线及其方程①空间曲线的一般方程设F(x y z)0和G(x y z)0是两个曲面方程它们的交线为C所以C应满足方程组上述方程组叫做空间曲线C的一般方程②空间曲线的参数方程空间曲线C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数: (2)当给定tt1时就得到C上的一个点(x1 y1 z1) 随着t的变动便得曲线C上的全部点方程组(2)叫做空间曲线的参数方程③空间曲线在坐标面上的投影以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy面上的投影曲线或简称投影(类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影)设空间曲线C的一般方程为设方程组消去变量z后所得的方程H(x y)0 ,这就是曲线C关于xOy面的投影柱面曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为:5 平面及其方程①平面的点法式方程法线向量如果一非零向量垂直于一平面这向量就叫做该平面的法线向量已知平面上的一点M0(x0 y0 z0)及它的一个法线向量n (A B C)，平面的点法式方程为：A(xx0)B(yy0)C(z z0)0②平面的一般方程平面的一般方程为：AxByCzD0，其中x y z的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标即 n(A B C)特殊位置的平面方程：D0, 平面过原点.n(0, B, C), 法线向量垂直于x轴平面平行于x轴.n(A, 0, C) 法线向量垂直于y轴平面平行于y轴.n(A, B, 0) 法线向量垂直于z轴平面平行于z轴.n(0, 0, C) 法线向量垂直于x轴和y轴平面平行于xOy平面.n(A, 0, 0) 法线向量垂直于y轴和z轴平面平行于yOz平面.n(0, B, 0) 法线向量垂直于x轴和z轴平面平行于zOx平面.求这平面的方程③平面的截距式方程为：(其中a0 b0 c0)该平面与x、y、z轴的交点依次为P(a 0 0)、Q(0 b 0)、R(0 0 c)三点而a、b、c依次叫做平面在x、y、z 轴上的截距④平面的三点式方程为：=0其中M()，N()P()是平面上的三点。