高等数学向量代数与空间解析几何总结
高等数学基本公式整理(空间向量部分)
空间解析几何和向量代数：。
代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。
与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-== （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y m tx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d c zb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy yvdx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuF v uG F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx yx x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。
空间解析几何与向量代数
空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数是数学中的两个重要分支，它们分别从几何和代数的角度，研究了空间中点、线、面的性质，以及向量的运算与性质。
本文将介绍空间解析几何与向量代数的基本概念、性质以及它们在数学和物理中的应用。
一、空间解析几何空间解析几何是以坐标系为基础，利用代数方法研究空间中点、线、面的性质与相互关系的数学学科。
它的基本概念包括平面直角坐标系、空间直角坐标系，以及点、直线、平面的方程等。
1. 点的坐标在平面直角坐标系中，点的坐标用有序实数对(x, y)表示；在空间直角坐标系中，点的坐标用有序实数三元组(x, y, z)表示。
通过坐标，可以确定点在坐标系中的位置。
2. 直线的方程空间解析几何中，直线的方程有多种表示形式，常见的有点向式、对称式和一般式。
在点向式中，直线上的任意一点可以用一个固定点和一个方向向量表示；在对称式中，直线上的任意一点满足一个关系式；一般式则是通过线的法向量与截距来表示。
这些方程形式各有特点，在不同的问题中有不同的用途。
3. 平面的方程平面的方程也有多种表示形式，常见的有点法式和一般式。
在点法式中，平面上的任意一点满足一个关系式，并且平面的法向量可以通过法线上的两个点相减并取正交向量得到；一般式则是通过平面的法向量与截距来表示。
同样，不同的方程形式适用于不同类型的问题。
二、向量代数向量代数是关于向量的计算与运算的数学学科，它以向量作为基本研究对象，研究向量的性质、向量之间的关系以及向量的运算规则等。
1. 向量的表示向量可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。
在空间中，一个向量可以写成一个实数三元组，例如向量v(x, y, z)表示从原点指向点(x, y, z)的有向线段。
向量的长度用模表示，记作|v|。
2. 向量的运算向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和内积运算。
向量的加法和减法遵循平行四边形法则和三角形法则；数量乘法将向量的模与一个实数相乘，改变了向量的长度和方向；内积运算结果是一个实数，满足交换律和分配律。
向量代数与空间解析几何
（1）结合律： (a) (a) ()a ； （2）分配律： ( )a a a ，(a b) a b ． 这里 a ，b 为向量， ， 为实数．
向量的加法运算以及向量的数乘运算统称为向量的线性运算．
1.2 向量的线性运算
设 a 0 ，与 a 同方向的单位向量记为 ea ，由数与向量乘积的定义有 a | a | ea ，
ea
a |a
|
．Hale Waihona Puke 上式表明一个非零向量除以它的模，结果是一个与原向量同方向的单位向量，
这一过程称为向量单位化．
由于向量 a 与 a 平行，因此我们常用数乘来说明两个向量的平行关系．
1.2 向量的线性运算
定理 1 设向量 a 0 ，那么向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯一的实
本章先介绍向量的概念、性质与运算，然后建立空间直角坐标系，利用坐 标讨论向量的运算，进而研究空间中的平面、直线、曲面、曲线及其方程．
1.1 向量的概念
既有大小又有方向的量称为向量，也称为矢量，如位移、速度、加速度、力、 力矩等．在数学上，通常用一条带箭头的线段来表示向量．例如，如图所示，以 A 为起点， B 为终点的向量记作 AB ，有时也用粗体字母或在字母上面加箭头来表示 向量，如 a 或 a ．
1.2 向量的线性运算
2．向量与数的乘法
向量 a 与实数 的乘积是一个向量，记为 a ，它的模是 a 的模的 | | 倍，即 | a || || a | ．它的方向为：当 0 时，a 与 a 的方向相同；当 0 时，a 与 a 的方向相反；当 0 时， a 0 ．这种运算称为向量的数乘．
1.2 向量的线性运算
特别地，当 a b 时，有 a a a ( a) 0 ．
向量代数与空间解析几何
空间解析几何的应用
空间解析几何在物理学中的应用
描述物体运动轨迹和方向
解释重力、电磁场等现象
用于研究光速、波的传播等
描述量子力学中的波函数
空间解析几何在计算机图形学中的应用
建模：利用空间解析几何构建三维模型实现复杂形状的描述和设计。
渲染：通过空间解析几何的方法实现光照、阴影、纹理等效果的渲染提高图像的真实感和质感。
动画：利用空间解析几何描述物体的运动轨迹和形态变化实现逼真的动画效果。
交互：利用空间解析几何的方法实现用户与三维场景的交互例如旋转、缩放、移动等操作。
空间解析几何在机器人学中的应用
添加标题
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路径规划：基于空间解析几何的方法规划机器人的移动路径
机器人姿态描述：利用空间向量和矩阵表示机器人的姿态和位置
向量的向量积的坐标表示：向量=(1,2,3)向量b=(b1,b2,b3)则向量和向量b的向量积的坐标表示为×b=(2b3-3b2,3b1-1b3,1b2-2b1)。
向量的混合积的坐标表示：对于三个三维向量、b和c向量和向量b的混合积的坐标表示为(×b)·c其中"·"表示点乘。混合积的结果是一个标量其值等于三个向量的行列式值乘以三个向量的模长。
向量的模和向量的数量积的坐标表示
添加标题
向量的模坐标表示：向量=(x1,y1,z1)则向量的模为||=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)
向量的数量积坐标表示：向量=(x1,y1,z1)向量b=(x2,y2,z2)则向量和向量b的数量积为·b=x1*x2+y1*y2+z1*z2
添加标题
向量的向量积和向量的混合积的坐标表示
向量代数和空间解析几何
向量代数和空间解析几何向量代数和空间解析几何是数学中非常重要的概念，既可以处理经典几何问题，又可以用于表达数学模型。
它们在科学技术、计算机图形学、矩阵计算等方面都有着广泛的应用。
向量代数是计算机科学家和数学家在处理空间问题时最常使用的方法。
它利用向量来描述空间中的点、直线和平面。
向量代数可以用来计算空间的大小、形状、方向、坐标变换等概念。
向量代数涉及的内容主要有线性代数系统、矩阵运算、向量空间等。
它在科技计算机图形学、建模和科学仿真中被广泛使用。
空间解析几何是在几何学中一类研究空间几何结构的重要分支学科。
它被广泛应用于工程、机械、制图学等方面，是解决建筑、室内装潢、雕塑、建筑园林设计、制图学等问题的基础学科。
主要内容有平面几何和立体几何，包括平面的直线、圆弧、多边形等，立体的点、直线、面等概念。
空间解析几何主要用来解决解空间几何图形的问题，是几何学中一类重要的问题。
向量代数和空间解析几何之间有着千丝万缕的联系，它们都是分析和处理空间几何图形的重要工具。
向量代数主要用来解决空间的大小、形状、方向等问题，而空间解析几何则主要用于处理空间中的点、直线和平面等结构。
它们的结合可以清楚的表示空间的量化和定义，是建立数学模型的基础和工具。
向量代数和空间解析几何在科技、计算机图形学、建模和科学仿真方面都有着广泛的应用。
它们可以帮助我们更准确地表示和分析空间问题，为解决实际问题提供帮助，在进一步提高科学技术水平中发挥着重要的作用。
综上所述，向量代数和空间解析几何是数学中重要的概念，可以在科学技术、计算机图形学、矩阵计算等方面得到广泛应用，为解决实际问题提供帮助，在进一步提高科学技术水平中发挥着重要的作用。
它们的结合可以更为清楚地表示和分析空间几何图形，为建立数学模型提供基础。
向量与空间解析几何知识点总结
向量与空间解析几何知识点总结一、向量。
1. 向量的概念。
- 既有大小又有方向的量称为向量。
在空间直角坐标系中，向量可以用坐标表示，如→a=(a_x,a_y,a_z)，其中a_x、a_y、a_z分别是向量在x、y、z轴上的投影。
- 向量的模（长度）：对于向量→a=(a_x,a_y,a_z)，其模|→a|=√(a_x^2)+a_y^{2+a_z^2}。
2. 向量的运算。
- 加法。
- 几何方法：平行四边形法则或三角形法则。
- 坐标运算：若→a=(a_x,a_y,a_z)，→b=(b_x,b_y,b_z)，则→a+→b=(a_x + b_x,a_y + b_y,a_z + b_z)。
- 减法。
- 几何方法：三角形法则。
- 坐标运算：→a-→b=(a_x - b_x,a_y - b_y,a_z - b_z)。
- 数乘向量。
- 设λ为实数，→a=(a_x,a_y,a_z)，则λ→a=(λ a_x,λ a_y,λ a_z)。
- 数乘向量的模|λ→a|=|λ||→a|，方向当λ>0时与→a相同，当λ < 0时与→a 相反。
- 向量的数量积（点积）- 定义：→a·→b=|→a||→b|cosθ，其中θ为→a与→b的夹角。
- 坐标运算：若→a=(a_x,a_y,a_z)，→b=(b_x,b_y,b_z)，则→a·→b=a_xb_x + a_yb_y+a_zb_z。
- 向量垂直的充要条件：→a⊥→bLeftrightarrow→a·→b=0。
- 向量的向量积（叉积）- 定义：→a×→b是一个向量，其模|→a×→b|=|→a||→b|sinθ，方向遵循右手螺旋法则。
- 坐标运算：若→a=(a_x,a_y,a_z)，→b=(b_x,b_y,b_z)，则→a×→b=<=ftbegin{array}{ccc}→i→j→k a_xa_ya_z b_xb_yb_zend{array}right=(a_yb_z - a_zb_y)→i+(a_zb_x - a_xb_z)→j+(a_xb_y - a_yb_x)→k。
向量代数与空间解析几何
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
R (0,0, z)
B(0, y, z)
C (x,0, z)
r
O
x P (x,0,0)
M y
Q (0, y,0)
A(x, y,0)
z
O x
坐标面 :
坐标轴 :
y
2. 向量的坐标表示
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法（数乘）
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 :
总之: λ a λ a
a 2a
1 a 2
例3 3 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为R
的球面方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
a
三角形法则:
abc ab b
ab b
a
a 运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
三角形法则可推广到多个向量相加 .
s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
同济大学(高等数学)-第八章-向量代数与解析几何
第五篇 向量代数与空间解析几何第八章 向量代数与空间解析几何解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分容.第1节 空间直角坐标系1.1 空间直角坐标系用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现.1.1.1 空间直角坐标系过定点O ，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位. 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向转过2角度指向y 轴正向时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点.图8-1在Oxyz 直角坐标系下，数轴Ox ,Oy ,Oz 统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy ，yOz ，zOx ，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.yxzO图8-21.1.2 空间点的直角坐标设M 为空间中的任一点，过点M 分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与x 轴、y 轴和z 轴依次交于A 、B 、C 三点，若这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，于是点M 就唯一确定了一个有序数组(, , )x y z ，则称该数组(, , )x y z 为点M 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，如图8-3．x ，y ，z 分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．图8-3反之，若任意给定一个有序数组(, , )x y z ，在x 轴、y 轴、z 轴上分别取坐标为x ，y ，z 的三个点A 、B 、C ，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一个交点M ，该点就是以有序数组(, , )x y z 为坐标的点，因此空间中的点M 就与有序数组(, , )x y z 之间建立了一一对应的关系．注：A 、B 、C 这三点正好是过M 点作三个坐标轴的垂线的垂足．yxzOyxzAB C(,,)M x y z1.2 空间中两点之间的距离设两点111(, , )M x y z ，222(, , )N x y z ，则M 与N 之间的距离为212212212)()()(z z y y x x d -+-+-= （8-1-1）事实上，过点M 和N 作垂直于xOy 平面的直线，分别交xOy 平面于点1M 和1N ，则1MM ∥1NN ，显然，点1M 的坐标为11(, , 0)x y ，点1N 的坐标为22(, , 0)x y （如图8-4）．图8-4由平面解析几何的两点间距离公式知，1M 和1N 的距离为：21221211)()(||y y x x N M -+-=．过点M 作平行于xOy 平面的平面，交直线1NN 于2N ，则11M N ∥2MN ，因此2N 的坐标为221(, , )x y z ，且212212112)()(||||y y x x N M MN -+-==，在直角三角形N MN 2中，||||122z z N N -=，所以点M 与N 间的距离为2122122122222)()()(||||z z y y x x N N MN d -+-+-=+=．例1 设(1, 2, 0)A -与(1, 0, 2)B --为空间两点，求A 与B 两点间的距离． 解 由公式（8-1-1）可得，A 与B 两点间的距离为d ==例2 在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距的点M ．解 由于所求的点M 在z 轴上，因而M 点的坐标可设为(0, 0, )z ，又由于MA MB =，由公式（8-1-1），得222222)5(1)4()2(53z z -++-=--++．从而解得72=z ，即所求的点为2(0, 0, )7M ．习题8-11．讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号． 2．在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点？ 3．在空间直角坐标系中，画出以下各点：(2, 0, 0)A ；(0, 3, 0)B -；(3, 0, 1)C ；(3, 2, 1)D -．4．求点(1, 2, 3)-关于各坐标平面对称的点的坐标． 5．求点(1, 2, 3)关于各坐标轴对称的点的坐标． 6．求以下各对点间的距离： (1) (0, 1, 3)A -与(2, 1, 4)B ；(2) (1, 4, 2)C -与D(2, 7, 3)．7．在坐标平面yOz 上求与三点(3, 1, 2)A 、(4, 2, 2)B --和(0, 5, 1)C 等距的点． 8．求点(12, 3, 4)A -与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离．9. 证明以()()()A 4,3,1,B 7,1,2,C 5,2,3为顶点的三角形△ABC 是一等腰三角形.第2节 空间向量的代数运算2.1 空间向量的概念在日常生活中，我们经常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后，就可以用一个数来表示．这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标量）．但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们确切表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．在数学上，我们用有向线段AB 来表示向量，A 称为向量的起点，B 称为向量的终点，有向线段的长度就表示向量的大小，有向线段的方向就表示向量的方向．通常在印刷时用黑体小写字母a ，b ，c ，…来表示向量，手写时用带箭头的小写字母, ,,a b c来记向量.向量的长度称为向量的模，记作a 或AB ，模为1的向量叫做单位向量，模为0的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．本章我们讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作a =b .规定：所有的零向量都相等.与向量a 大小相等，方向相反的向量叫做a 的负向量(或反向量)，记作 a ． 平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量组共面.2.2 向量的线性运算2.2.1 向量的加法我们在物理学中知道力与位移都是向量，求两个力的合力用的是平行四边形法则，我们可以类似地定义两个向量的加法．定义1 对向量a ，b ，从同一起点A 作有向线段AB 、AD 分别表示a 与b ，然后以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则我们把从起点A 到顶点C 的向量AC 称为向量a 与b 的和（图8-5），记作a +b ．这种求和方法称为平行四边形法则．图8-5 图8-6若将向量b 平移，使其起点与向量a 的终点重合，则以a 的起点为起点，b 的终点为终ab Cabc =a +b点的向量c 就是a 与b 的和(图8-6），该法则称为三角形法则．多个向量，如a 、b 、c 、d 首尾相接，则从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量就是它们的和a +b +c +d （图8-7）．图8-7对于任意向量a ，b ，c ，满足以下运算法则： (1)a +b =b +a (交换律)．(2)()()a +b +c =a +b +c (结合律)． (3)0a +=a ．2.2.2 向量的减法定义2 向量a 与b 的负向量-b 的和，称为向量a 与b 的差，即()--a b =a +b ．特别地，当b =a 时，有()-0a +a =.由向量减法的定义，我们从同一起点O 作有向线段OA ，OB 分别表示a ，b ，则()OA OB OA OB --=+-a b =OA BO BA =+=．也就是说，若向量a 与b 的起点放在一起，则a ，b 的差向量就是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量（图8-8）．图8-82.2.3数乘向量定义3 实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，λa 的模是λa ，方向： 当0λ>时，λa 与a 同向；当0λ<时，λa 与a 反向；当0λ=时，λ0a =．abcda +b +c +daabb -a bBAC对于任意向量a ，b 以与任意实数λ，μ，有运算法则： (1) ()()λμλμa =a ． (2) ()+λμλμ+a =a a ．(3) ()+λλλ+a b =a b ．向量的加法、减法与数乘向量运算统称为向量的线性运算，λμa +b 称为a ，b 的一个线性组合(, )R λμ∈．特别地，与 a 同方向的单位向量叫做a 的单位向量，记做a e ，即aa e a=.上式说明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.例1 如图8-9，在平行六面体///ABCD B C D /—A 中，设/=AA ,a AD =b AB =c ,试用,,a b c 来表示对角线向量//,.AC A C图8-9解 ''AC AB BC CC =++'AB BC AA =++a b c =++；'''AC A A AB BC AA AB AD =++=-++a b c =++.由于向量λa 与a 平行，所以我们通常用数与向量的乘积来说明两个向量的平行关系.即有,定理1 向量a 与非零向量b 平行的充分必要条件是存在一个实数λ，使得λa =b .2.3 向量的坐标表示2.3.1向量在坐标轴上的投影设A 为空间中一点，过点A 作轴u 的垂线，垂足为'A ，则'A 称为点A 在轴u 上的投影(图8-10)．图8-10若M 为空间直角坐标系中的一点，则M 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影为A 、B 、C ，如图8-11所示．图8-11设向量AB 的始点与终点B 在轴u 的投影分别为A '、B '，那么轴u 上的有向线段A B ''的值A B ''叫做向量AB 在轴u 上的投影，记作u prj AB A B ''=，轴u 称为投影轴.图8-12当A B ''与轴u 同向时，投影取正号，当A B ''与轴u 反向时，投影取负号． 注 (1) 向量在轴上投影是标量．(2) 设MN 为空间直角坐标系中的一个向量，点M 的坐标为111(, , )x y z ，点N 的坐标为222(, , )x y z ，显然，向量MN 在三个坐标轴上的投影分别为12x x -，12y y -，12z z -． 2.3.2向量的坐标表示yxzOA B CM取空间直角坐标系Oxyz ，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作, , i j k ，它们称为坐标向量．空间中任一向量a ，它都可以唯一地表示为, , i j k 数乘之和． 事实上，设MN a =，过M 、N 作坐标轴的投影，如图8-13所示．MN =MA+AP +PN =MA+MB +MC a =．由于MA 与i 平行，MB 与j 平行，MC 与k 平行，所以，存在唯一的实数, , x y z ，使得MA x =i ，MB y =j ，MC z =k ，即x y z a =i +j +k ． (8-2-1)图 8-13我们把(8-2-1)式中, , i j k 系数组成的有序数组(, , )x y z 叫做向量a 的直角坐标，记为{, , }x y z a =，向量的坐标确定了，向量也就确定了．显然，(8-2-1)中的, , x y z 是向量a 分别在x 轴、y 轴、z 轴上的投影．因此，在空间直角坐标系中的向量a 的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组．例2 在空间直角坐标系中设点(3, 1, 5)M -，(2, 3, 1)N -，求向量MN 与NM 的直角坐标．解 由于向量的坐标即为向量在坐标轴上的投影组成的有序数组，而向量的各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量的差．所以向量MN 的坐标为{5, 4, 4}--，向量NM 的坐标为{5, 4, 4}-． 例3(定比分点公式) 设111(,,)A x y z 和222(,,)B x y z 为两已知点，有向线段AB 上的点M 将它分为两条有向线段AM 和MB ，使它们的值的比等于数(1)λλ≠-，即AMMBλ=，求分点(,,)M x y z 的坐标.图8-14 解 如图8-14，因为AM 与MB 在同一直线上，且同方向，故AM MB λ=⋅，而122{,,}AM x x y y z z =---， 222{,,}MB x x y y z z =---222{(),(),()}MB x x y y z z λλλλ=---所以 12()x x x x λ-=-，12()y y y y λ-=-，12()z z z z λ-=- 解得121212,,.111x x y y z z x y z λλλλλλ+⋅+⋅+⋅===+++当λ=1, 点M 的有向线段→AB x 2.3.3向量可以用它的模与方向来表示，设空间向量12a M M =分别为,,αβγ，规定： 0,0απ≤≤≤称,,αβγ为向量a 的方向角因为向量a 12cos cos x a M M a αα=⋅=⋅12cos cos y a M M a ββ=⋅=⋅(8-2-2)12cos cos z a M M a γγ=⋅=⋅公式(8.2.2)中出现的cos ,cos ,cos αβγ称为向量a 的方向余弦.而{,,}{cos ,cos ,cos }x y z a a a a a a a αβγ==⋅⋅⋅{cos ,cos ,cos }a a a e αβγ=⋅=⋅{cos ,cos ,cos }a e αβγ=是与向量a 同方向的单位向量.而 a =M M =12,,x y z M P a M Q a M R a ===111，故向量a 的模为 x a a a =+2(8-2-3)从而向量a 的方向余弦为cos a αβγ===(8-2-4)并且 222cos cos cos 1αβγ++=.例4 已知两点1M 和()21,3,0M ,求向量12M M 的模、方向余弦和方向角.解12(12,32,0(1,1,M M =--=-2)2(1)1(222=-++-=；11cos ,cos ,cos 22αβγ=-==； 23,,334πππαβγ===. 例5 已知两点(4,0,5)A 和(7,1,3)B ，求与AB 同方向的单位向量e . 解 因为{74,10,35}{3,1,2},AB =---=-所以23AB == 于是 {}.e =2.4 向量的数量积在物理中我们知道，一质点在恒力F 的作用下，由A 点沿直线移到B 点，若力F 与位移向量AB 的夹角为θ，则力F 所作的功为||||cos W F AB θ=⋅⋅．类似的情况在其他问题中也经常遇到．由此，我们引入两向量的数量积的概念． 定义1 设a ，b 为空间中的两个向量，则数cos ,a b a b叫做向量a 与b 的数量积(也称积或点积)，记作⋅a b ，读作“a 点乘b ”．即cos ,⋅a b =a b a b （8-2-5）其中,a b 表示向量a 与b 的夹角，并且规定0, π≤≤a b ．两向量的数量积是一个数量而不是向量，特别地当两向量中一个为零向量时，就有0⋅a b =.由向量数量积的定义易知：(1)2⋅a a =a ，因此=a(2) 对于两个非零向量a ，b ，a 与b 垂直的充要条件是它们的数量积为零，即⊥a b ⇔0⋅a b =．注 数量积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题上起着重要作用． 数量积的运算满足如下运算性质： 对于任意向量a ，b 与任意实数λ，有 (1) 交换律：⋅⋅a b =b a ．(2) 分配律：()⋅⋅⋅a b +c =a b +a c ．(3) 与数乘结合律：()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ． (4)0⋅≥a a 当且仅当0a =时，等号成立．例6 对坐标向量i ，j ，k ，求⋅i i ，⋅j j ，⋅k k ，⋅i j ，⋅j k ，⋅k i ． 解 由坐标向量的特点与向量积的定义得1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =．例7 已知2=a ，3=b ，2, 3π=a b ，求a b ⋅，(2)()-+a b a b ⋅，+a b ． 解 由两向量的数量积定义有2cos , 23cos 3π⋅=⨯⨯a b =a b a b 123()=32=⨯⨯--．(2)()=22-⋅+⋅⋅-⋅-⋅a b a b a a +a b b a b b22=2-⋅-a a b b 222(3)23=11=---⨯-．2()()+=⋅+a b a +b a b =⋅⋅+⋅+⋅a a +a b b a b b222=+⋅+a a b b 2222(3)3=7=+⨯-+，因此+=a b ．在空间直角坐标系下，设向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，即111x y z ++a =i j k , 222x y z ++b =i j k ．则111222()()x y z x y z ⋅++⋅++a b =i j k i j k121212()()+()x x x y x z ⋅+⋅⋅=i i i j i k 121212()()+()y x y y y z ⋅+⋅⋅+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⋅+⋅⋅+k i k j k k ．由于1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =，所以121212x x y y z z ⋅++a b =．(8-2-6)也就是说，在直角坐标系下，两向量的数量积等于它们对应坐标分量的乘积之和．同样，利用向量的直角坐标也可以求出向量的模、两向量的夹角公式以与两向量垂直的充要条件，即设非零向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，则=a (8-2-7)cos ||||⋅=a ba,b a b=． (8-2-8)⊥a b ⇔1212120x x y y z z ++=． (8-2-9)例8 在空间直角坐标系中，设三点(5, 4, 1)A -，(3, 2, 1)B ，(2, 5, 0)C -．证明:ABC ∆是直角三角形．证明 由题意可知{2, 6, 0}AB =-，={3, 1, 1}AC ---，则(2)(3)6(1)0(1)0AB AC ⋅=-⨯-+⨯-+⨯-=，所以AB AC ⊥．即ABC ∆是直角三角形．2.5向量的向量积在物理学中我们知道，要表示一外力对物体的转动所产生的影响，我们用力矩的概念来描述．设一杠杆的一端O 固定，力F 作用于杠杆上的点A 处，F 与OA 的夹角为θ，则杠杆在F 的作用下绕O 点转动，这时，可用力矩M 来描述．力F 对O 的力矩M 是个向量，M 的大小为||||||sin OA OA =M F ,F ．M 的方向与OA 与F 都垂直，且OA ，F ，M 成右手系，如图8-16所示．图8-162.5.1向量积的定义在实际生活中，我们会经常遇到象这样由两个向量所决定的另一个向量，由此，我们引入两向量的向量积的概念．定义2 设a ，b 为空间中的两个向量，若由a ，b 所决定的向量c ，其模为sin , c =a b a b ． (8-2-10)其方向与a ，b 均垂直且a ，b ，c 成右手系（如图8-17），则向量c 叫做向量a 与b 的向量积(也称外积或叉积)．记作⨯a b ，读作“a 叉乘b ”．注 (1) 两向量a 与b 的向量积⨯a b 是一个向量，其模⨯a b 的几何意义是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积． (2)⨯0a a =这是因为夹角θ=0，所以⨯0a a = 图8-17(3)对两个非零向量a 与b ，a 与b 平行(即平行)的充要条件是它们的向量积为零向量．a ∥b ⇔⨯0a b =．向量积的运算满足如下性质：对任意向量a ，b 与任意实数λ，有 (1) 反交换律：⨯-⨯a b =b a ． (2) 分配律:()⨯⨯⨯a b +c =a b +a c ，()⨯⨯⨯a +b c =a c +b c ．(3) 与数乘的结合律：()()()λλλ⨯⨯⨯a b =a b =a b ．例9 对坐标向量i ，j ，k ，求⨯i i ，⨯j j ，⨯k k ，⨯i j ，⨯j k ，⨯k i ． 解⨯⨯⨯0i i =j j =k k =．⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ．2.5.2向量积的直角坐标运算在空间直角坐标系下，设向量111{, , }x y z a =，向量222{, , }x y z b =，即111x y z ++a =i j k ，222x y z ++b =i j k ，因为⨯⨯⨯0i i =j j =k k =． ⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ， ⨯-j i =k ，⨯-k j =i ，⨯-i k =j ．则111222()()x y z x y z ⨯++⨯++a b =i j k i j k121212()()+()x x x y x z ⨯+⨯⨯=i i i j i k 121212()()+()y x y y y z ⨯+⨯⨯+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⨯+⨯⨯+k i k j k k121212121212()()+()()()()x y y x y z z y x z z x -⨯-⨯--⨯=i j j k k i 121212121212()()+()y z z y x z z x x y y x ----=i j k ．为了便于记忆，借助于线性代数中的二阶行列式与三阶行列式有111111222222y z x z x y y z x z x y ⨯-a b =i j +k 111222x y z x y z =i j k ． 注 设两个非零向量111{, , }x y z a =，222{, , }x y z b =，则a ∥b ⇔⨯0a b =，⇔212121z z y y x x ==． 若某个分母为零，则规定相应的分子为零．例10 设向量{1,2,1}--a =，{2,0,1}b =，求⨯a b 的坐标．解211112121012120201----⨯--=-i j ka b =i j +k 234=--i j +k ．因此⨯a b 的直角坐标为{2, 3, 4}--．例11 在空间直角坐标系中，设向量{3, 0, 2}a =，{1, 1, 1}--b =，求同时垂直于向量a 与b 的单位向量．解 设向量⨯c =a b ，则c 同时与a ，b 垂直．而302111⨯--i j kc =a b =23=-+i j +k ，所以向量c 的坐标为{2, 1, 3}-．再将c 单位化，得02,1,3}={=-c ，即{与-- 为所求的向量． 例12 在空间直角坐标系中，设点(4, 1, 2)A -，(1, 2, 2)B -，(2, 0, 1)C ，求ABC ∆的面积．解 由两向量积的模的几何意义知：以AB 、AC 为邻边的平行四边形的面积为AB AC ⨯，由于{3, 3, 4}AB =--，{2, 1, 1}AC =--，因此33453211AB AC ⨯=--=++--i j ki j k ，所以21AB AC ⨯=故ABC ∆的面积为235=∆ABC S ．2.6向量的混合积定义3 给定空间三个向量,,a b c ，如果先作前两个向量a 与b 的向量积，再作所得的向量与第三个向量c 的数量积，最后得到的这个数叫做三向量,,a b c 的混合积，记做()a b c ⨯⋅或abc ⎡⎤⎣⎦.说明：三个不共面向量,,a b c 的混合积的绝对值等于以,,a b c 为棱的平行六面体的体积V .定理如果111a X i Y j Z k =++，222b X i Y j Z k =++，333c X i Y j Z k =++，那么 111222333.X Y Z abc X Y Z X Y Z ⎡⎤=⎣⎦习题8-21.,,,,,().ABCD AB AD AC DB MA M ==设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点a b.a b12.,().2M AB O OM OA OB =+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明 2223.?(1)()();(2)();(3)()().==⨯=⨯对于任意三个向量与判断下列各式是否成立a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b4.:(1);(2)(3).利用向量证明三角形的余弦定理正弦定理；勾股定理5.设,,a b c 为单位向量,且满足0a b c ++=,求.a b b c c a ++6.1(3,2,2),(1,3,2),(8,6,2),322a b c a b + c.求=-==--7.已知三点(3,0,2),A B AB ==求的坐标、模、方向余弦和方向角.8.一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，-4和7.求这向量的起点A 的坐标.9．设2=a ，4=b ，3πa,b =，求⋅a b ，(2)-⋅a b b ，-a b ． 10．设向量a ，b ，c 两两垂直，且1=a ，2=b ，3=c ，求向量d =a +b +c 的模与d,a ．11．在空间直角坐标系中，已知{1,2,3}-a = ，{2,2,1}-b = ，求： (1)⋅a b ；(2) 25⋅a b ；(3) a ；(4)cos a,b ．12.已知向量2332和,,a i j k b i j k c i j =-+=-+=-，计算 （1）()();a b c a c b -（2）()();a b b c +⨯+（3）()a b c ⨯.13．设向量a ，b 的直角坐标分别为{1, 3, 2}--和{2, 4, }k -，若a b ⊥，求k 的值．14．设向量{2, 1, 1}-a =，{1, 3, 0}-b =，求以、a b 为邻边构造的平行四边形面积． 15．求同时垂直于向量{3, 2, 4}-a =和纵轴的单位向量．16．已知三角形三个顶点(4, 1, 2)A -，(3, 0, 1)B -，(5, 1, 2)C ，求ABC ∆的面积．第3节 空间中的平面与直线方程在本节我们以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面和曲线——平面和直线.3.1平面与其方程首先利用向量的概念，在空间直角坐标系中建立平面的方程，下面我们将给出几种由不同条件所确定的平面的方程．3.1.1平面的点法式方程若一个非零向量n 垂直于平面π，则称向量n 为平面π的一个法向量．显然，若n 是平面π的一个法向量，则λn (λ为任意非零实数)都是π的法向量，即平面上的任一向量均与该平面的法向量垂直．由立体几何知识知道，过一个定点0000(, , )M x y z 且垂直于一个非零向量{, , }A B C n =有且只有一个平面π．设(, , )M x y z 为平面π上的任一点，由于π⊥n ，因此0M M ⊥n ．由两向量垂直的充要条件，得00M M =⋅n ,而0000{, , }M M x x y y z z =---，{, , }A B C n =，所以可得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ． (8-3-1)由于平面π上任意一点(, , )M x y z 都满足方程(8-3-1)，而不在平面π上的点都不满足方程(8-3-1)，因此方程(8-3-1)就是平面π的方程．由于方程(8-3-1)是给定点0000(, , )M x y z 和法向量{, , }A B C n =所确定的，因而称式(8-3-1)叫做平面π的点法式方程．图8-18例1 求通过点0(1, 2, 4)M -且垂直于向量{3, 2, 1}-n =的平面方程．解 由于{3, 2, 1}-n =为所求平面的一个法向量，平面又过点0(1, 2, 4)M -，所以，由平面的点法式方程(6-14)可得所求平面的方程为3(1)2(2)1(4)=0x y z --⋅++⋅-，整理，得32110x y z -+-=．例2 求过三点()12,1,4M -，()2M 1,3,2--，()3M 0,2,3 的平面π的方程． 解 所求平面π的法向量必定同时垂直于12M M 与13M M ．因此可取12M M 与13M M 的向量积1213M M M M ⨯为该平面的一个法向量n ．即1213n =M M M M ⨯．由于12{3, 4, 6}M M =--，13{2, 3, 1}M M =--，因此1213-631i j kn =M M M M =342⨯---149i j k,=+-,因此所求平面π的方程为0419214=--++-)()()(z y x ，化简得.015914=--+z y x一般地，过三点(,,)(1,2,3)k k k k M x y z k =的平面方程为1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 称为平面的三点式方程。