空间解析几何和向量代数总结

第八章空间解析几何和
向量代数总结
向量的概念
向量的线性运算
空间直角坐标系（右手系）向量的坐标
坐标形式的向量的线性运算（8—1，19）
方向角与方向余弦（8—1，15）
向量的数量积、向量积、混合积
（8—2，1、3、6、10；
总习题八，1（3）、（4））
应用：判断向量正交、
平行（共线）、
计算平行四边形面
积、
一向量在另一向量的投影。

曲面
曲面的概念
(),,0F x y z =，
()(){}:,,,,0x y z F x y z ∑=建立曲面方程
（P23，例1、P24，例2，8—3，2、3）
旋转曲面（8—3，7、10） 坐标面上的曲线饶一坐标轴旋转一周的旋转曲面方程
(),00f x y z ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面
为(,0f x =； (),00f x y z ⎧=⎨=⎩绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面
为()0
f y =；
(),00f y z x ⎧=⎨=⎩绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面
为(,0f y =； (),00f y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面
为()0f z =； (),00f x z y ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面为
(,0f x =；
(),00f x z y ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面
为()
0f z =。

空间曲线及其方程
空间曲线的一般方程 ()(),,0,,0F x y z G x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩
参数方程（P33，例3）
()()()x t y t z t αβγ=⎧⎪=⎨⎪=⎩
空间曲线在坐标面的投影（P36，例4、例5、8—4，4）
平面及其方程
建立平面方程：点法式、一般式、截距式、三点式（8—5，1、2、3、6） 平面与平面的夹角（锐角）（8—5，5）
点的平面的距离（8—5，9）
（两个平行平面的距离）直线及其方程
建立直线方程：点向式、一般式、参数式 （8—6，1，3，4，
7） 直线与直线的夹角（锐角）（8—6，5）
直线与平面的夹角（锐角）（8—6，9）
8—1，19
解：()3,5,8m =r ，()412,20,32m =r ，
()2,4,7n =--r ，()36,12,28n =--r ，
()
5,1,4p =-r ，()5,1,4p -=--r ， ()
4313,7,8a m n p =+-=r r r r ¶()Pr cos ,13i j a a a i
x a x a ====r r r r r r r
()·()
Pr cos ,7j j a j a a j j y a j yj j a ⋅=⋅⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭
r r r r r r r r r r r r 8—1，15
解：
()121,M M =-u u u u u u r ，
122
M M =u u u u u u r ，
1
cos 2α=-
，cos 2β=-，1
cos 2γ=，
2
3απ=，3
4βπ=，3
π
γ=。

总习题八
1（3）解：
()
2,1,2a =r ， ()
42,1,102c b a λλλλ
=-=----r r r (
)()()()
242121022790
a c a
b a λλλλλ⋅=⋅-=-+--+-=-=r r r r r 3λ=。

1（4）解：由已知条件
0a b c ++=r r r ，3,4,5a b c ===r r r ，
知这三个向量构成一直角三角形。

12a b ⨯=r r ，a b ⨯r r 方向与这三角形所
在的平面垂直，右手定则，指向上方；
12c a ⨯=r r ，c a
⨯r r 方向与这三角形所
在的平面垂直，右手定则，指向上方；
12b c ⨯=r r ，b c ⨯r r 方向与这三角形所在的平面垂直，右手定则，指向上方；
所以
a b b c c a
⨯=⨯=⨯r r r r r r ， 336a b b c c a
a b
⨯+⨯+⨯=⨯=r r r r r r r r
注：如果已知0a b c ++=r r r ，a b c
==r r r ，
这是一个等边三角形。