高中数学讲义 第九章 圆锥曲线(超级详细)
圆锥曲线PPT优秀课件
.
F0 A2 x
其中 a2 b2 c2 , a 0,b c 0 ， F0 , F1, F2 是对应的焦点。 B1
（1）若三角形 F0 F1F2 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若
A1 A
B1B
，求
b a
的取值范围；
解：（1）∵F0（c，0）F1（0， b2 c2 ），F2（0， b2 c2 ）
①；
∵点 P1, P2 在双曲线上，∴点 P1, P2 的坐标适合方程①。
将 (3, 4
2
),
(
9 4
,
5)
分别代入方程①中，得方程组：
(4 2)2 a2
32 b2
25 a2
(
9)2 4 b2
1
1
将
1 a2
和
1 b2
1
看着整体，解得
a2 1
1 16
1
，
b2 9
∴
a 2 b2
16 即双曲线的标准方程为 y2
9
16
x2 9
1。
点评：本题只要解得 a2 ,b2 即可得到双曲线的方程，没有
必要求出 a,b 的值；在求解的过程中也可以用换元思想， 可能会看的更清楚。
(4) 与双曲线 x 2 y 2 1有共同渐近线， 9 16
且过点 (3,2 3) 。
解析：（4）设所求双曲线方程为 x2 y 2 ( 0) ，
3 m
5 n
1
定义，还要知道椭 圆中一些几何要素
所以，椭圆方程为 y2 x2 1 ． 与椭圆方程间的关
10 6
系。
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为
【精品】高中数学——圆锥曲线
数学定义几何学基本概念：从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。
求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，二直线平行；有无穷多解时，二直线重合；只有一解时，二直线相交于一点.常用直线与X轴正向的夹角（叫直线的倾斜角）或该角的正切(称直线的斜率）来表示平面上直线（对于X轴)的倾斜程度。
可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。
直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。
直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定.在空间,两个平面相交时,交线为一条直线.因此,在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。
空间直线的方向空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。
直线在空间中的位置，由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定。
在欧几里得几何学中，直线只是一个直观的几何对象.在建立欧几里得几何学的公理体系时,直线与点、平面等都是不加定义的,它们之间的关系则由所给公理刻画。
关系式◆直线的斜率：k=（y2-y1）/（x2—x1)（x1≠x2)（1)一般式：适用于所有直线Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0)两直线平行时：A1/A2=B1/B2≠C1/C2两直线垂直时：A1A2+B1B2=0两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2两直线相交时：A1/A2≠B1/B2（2）点斜式:知道直线上一点(x0,y0）,并且直线的斜率k存在，则直线可表示为y-y0=k（x-x0）当k不存在时,直线可表示为x=x0（3）截距式：不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线知道直线与x轴交于（a,0),与y轴交于(0,b），则直线可表示为x/a+y/b=1（4)斜截式:Y=KX+B(K≠0）当k>0时，y随x的增大而增大；当k〈0时，y随x的增大而减小.两直线平行时K1=K2两直线垂直时K1XK2=-1（5)两点式x1不等于x2y1不等于y2(y-y1）/(y2-y1）=(x—x1）/（x2—x1)（6）法线式x·cosα+ysinα-p=0（7）点到直线方程注意：各种不同形式的直线方程的局限性：①点斜式和斜截式都不能表示斜率不存在的直线；②两点式不能表示与坐标轴平行的直线；③截距式不能表示与坐标轴平行或过原点的直线；④直线方程的一般式中系数A、B不能同时为零．（8）两平行直线间的距离IC1-C2I/根号下A的平方加上B的平方椭圆椭圆作图范例椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹，也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为常值的点之轨迹。
完美版圆锥曲线知识点总结
完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若为椭圆上任意一点，则有。
椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。
注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。
例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。
若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。
同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。
当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。
2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。
注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。
圆锥曲线讲义
e 1
e 1
圆锥曲线的第三定义：
K MA K MB 1
K MA K MB
b2 2 a
K MA K MB
b2 a2
椭圆简易篇
一．椭圆的三个形式：
x2 y2 1, ( a b 0) ，注意多解情况； a 2 b2
1.标准式：中心在原点，焦点在对称轴上
2 2
（2） S PF1F2 b tan
2
（5） t
4a 2 2； b2
（6）
1 1 2 ； PF1 F1M ep sin sin sin
（7） e
椭圆简易篇
（主要证明： PF1
ep ep ; MF1 ;） 1 e cos 1 e cos b2 2 a
2.一般式： A x B y 1 ， （ A 0, B 0 ， A B ）注重突出形式; 3.参数式：
x a cos ， 为参数， y b sin
说明：1.性质：范，对，顶，离； 2.主要考查方程组思想； Exe1.已知
x2 y2 1； 4
椭圆简易
5.已知 P ( x0 , y0 ) 为椭圆上的任意一点，且 PA PB , AB 两点均在椭圆上， 则直线 AB 恒过定点 (
c 2 x0 c 2 y0 , ) a 2 b2 a 2 b2 y2 x2 1(a b 0) ， a 2 b2
注意：若椭圆的方程为
PM 1 PF ， PN 2 PF
，则 1 2
2a 2 b2
4.过 M ( m,0) 作椭圆的割线，交椭圆于 PQ 两点，P 点关于 x 的对称点为 N 点，则直线 NQ 恒过定点 (
最新高三教案-第九章圆锥曲线 精品
第九章圆锥曲线■知识结构椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．■考试要求1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质．理解椭圆的参数方程．2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．4.了解圆锥曲线的初步应用．第一节椭圆(一)◆考纲要求掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质;理解椭圆的参数方程.◆要点归纳1.椭圆的定义:第一种定义:平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线.2.椭圆的标准方程:(1))0(12222>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c=22b a -.(2))0(12222>>=+b a ay b x ,焦点:F 1(0,-c),F 2(0,c),其中c=22b a -.3.椭圆的参数方程:⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率).4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a by a x 为例:①范围:|x|≤a,|y|≤b;②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0);③顶点A(a,0),A ′(-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b;④离心率:e=a c ,0<e<1;⑤准线x=±ca 2;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任意一点.◆ 再现基础1.椭圆短轴长是2,长轴是短轴的2倍,则椭圆中心到准线的距离是( ) A.558 B.554 C.358 D.334 2.如果方程x 2+ky 2=2,表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) 3.一个椭圆的离心率为21,准线方程为x=4,对应的焦点F 1(2,0),则椭圆的方程为 4.若椭圆的焦距、短轴、长轴长成等差数列,则该椭圆的离心率为 .5.已知椭圆181222=+y x 上有一点P 到右焦点的距离是3,则P 到左准线的距离为 ◆ 方法点拔1.求椭圆方程的常用方法有:定义法,待定系数法.2.紧扣椭圆的定义,正确认识椭圆的几何性质.3.注意椭圆的标准方程的结构,参量,推断椭圆的几何性质,并学会讨论的方法.4.分析解决与椭圆相关的问题时,注意用数形转化,数形结合的思维方式.◆ 题型例析例1.设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F 1,右准线为l,若过F 1且垂直于x轴的弦的长等于F 1到l 的距离,则椭圆的离心率是 .解:把右焦点F 1(c,0)的横坐标代入椭圆方程得y 2=b 2(1-22a c )=24ab ,y=a b 2±,∴过F 1垂直x 轴的弦长为a b 22,又右焦点到右准线的距离为c b c c a 22=-,由题意ab 22=c b 2得e=21=a c .例2.已知椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点的连线构成一个正三角形,且焦点到椭圆上的点的最短距离为3,求该椭圆的方程.解:若椭圆的焦点在x 轴上,则可设方程为)0(12222>>=+b a by a x ,两焦点为F 1(-C,0),F 2(C,0),短轴的一个端点为B(0,b),长轴的一个端点为A(a,0), (c=22b a -).由ΔBF 1F 2为正三角形知|BF 1|=|BF 2|=|F 1F 2|,所以a=2c,又焦点到椭圆上的点的最短距离为a-c,于是a-c=3,联立⎩⎨⎧=-=32c a ca 解之,得a=23,c=3,b=3,故所求的椭圆方程为191222=+y x .同理,若椭圆的焦点在y 轴上,椭圆方程为191222=+x y . 例3已知椭圆22x +y 2=1.(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(2)过A(2，1)引椭圆的割线，求截得的弦中点轨迹方程;(3)求过点P(21,21)，且被P 平分的弦所在的直线方程.解:设弦的两端点分别为M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)、MN 的中点为P(x,y)，则x 21+2y 21=2，x 22+2y 22=2,两式相减并除以(x 2-x 1)得x 1+x 2+2(y 1+y 2)1212x x y y --=0,而x 1+x 2=2x,y 1+y 2=2y∴x+2y1212x x y y --=0 (*)(1)将1212x x y y --=2代入(*)式得所求的轨迹方程为x+4y=0(椭圆内部分)(2)将1212x x y y --=21--x y 代入(*)式,得所求的轨迹方程为x 2+2y 2-2x-2y=0(椭圆内部分)(3)将x 1+x 2=1,y 1+y 2=1代入(*)式，得1212x x y y --=-21∴所求的直线方程为2x+4y-3=0.例4.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ,A,B 是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P(x 0,0),证明:ab a x a b a 22022-<<--. 证明:设A,B 的坐标分别为(x 1,y 1)和(x 2,y 2),因线段AB 的垂直平分线与x 轴相交,故AB 不平行于y 轴,即x 1≠x 2,又交点为P(x 0,0),故|PA|=|PB|.即(x 1-x 0)2+y 12=(x 2-x 0)2+y 22① ∵A,B 在椭圆上,∴y 12=b 2-22a b x 12; y 22=b 2-22ab x 22.将上式代入①得:2(x 2-x 1)x 0=(x 22-x 12)222ab a - ②∵x 1≠x 2,可得 x 0=221x x +·222a b a -,∵-a ≤x 1≤a,-a ≤x 2≤a 且x 1≠x 2,∴-2a<x 1+x 2<2a,故ab a x a b a 22022-<<--.◆ 应用平台一.选择题:1.F 1,F 2是定点,|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则M 点的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆2.若椭圆13422=+y x 内有一点P(1,-1),F 为右焦点,椭圆上有一点M,使|MP|+2|MF|值最小,则点M 为( )A.(362,-1) B.(1,23±) C.(1,-23) D.(1,362-±)3.已知F 1,F 2是椭圆)20(14222<<=+b by x 的两个焦点,B 是知轴的一个端点,则ΔF 1BF 2的面积的最大值为( )A.1B.2C.3D.44.椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2,点P 在椭圆上,如果线段PF 1的中点在y 轴上,那么|PF 1|:|PF 2|的值为( )A.7:1B.5:1C.9:2D.8:35.设F 1(-c,0),F 2(c,0)(c>0)是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点,P 是以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点,且∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则该椭圆的离心率为( ) A.36 B.23 C. 22 D. 32二.填空题:6.椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是(0,2),那么k= .7.已知椭圆1422=+y m x 的离心率e=22,则m 的值等于 . 8.以椭圆的右焦点F 2为圆心的圆经过椭圆的中心且交椭圆于M,N 两点,且F 1M 是⊙F 2的切线,则该椭圆的离心率为 .三.解答题:9.已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为354和352,过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程.10.已知椭圆14322=+y x .试问能否在x 轴的下方的椭圆弧上找一点M,使M 到下准线的距离|MN|等于M 到两焦点F 1,F 2的距离的比例中项.若能找到,求出此点坐标;若找不到,须说明理由.◆ 素质培养1.已知椭圆长轴|A 1A 2|=6,焦距|F 1F 2|=42,过焦点F 1作一直线,交椭圆于两点M,N,设∠F 2F 1M=α(0≤α<π),当α取什么值时,|MN|等于椭圆短轴的长?2.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,一条准线的方程是x=1,倾斜角为4π的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,且线段AB 的中点为(-41,21). (1)求椭圆C 的方程;(2)设P,Q 为椭圆上的两点,且满足|OP|2+|OQ|2=43,求证:直线OP 与OQ 斜率之积的绝对值为定值.第二节 椭圆（二）◆ 再现基础1.已知椭圆13422=+y x ，F 1,F 2是它的两个焦点，P 是这个椭圆上任意一点，那么当｜PF 1｜·｜PF 2｜取最大值时，P 、F 1、F 2三点( )A.共线B.组成一个正三角形C.组成一个等腰直角三角形D.组成一个锐角三角形 2.B 1、B 2是椭圆短轴的两端点，过左焦点F 1作长轴的垂线交椭圆于P ，若｜F 1B 2｜是｜OF 1｜和｜B 1B 2｜的比例中项，则||||21OB PF 的值是( )A.2B.22C.23 D.323.已知椭圆C 的方程为)0(116222>=+m m y x ,如果直线y=22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的投影恰好是椭圆的右焦点F,则m 的值为( )A.2B.22C.8D.234.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(-10，0)，则焦点坐标是 .5.椭圆以坐标轴为对称轴，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆方程为 .◆ 题型例析例1 已知MN 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中垂直于长轴的动弦，AB 是椭圆长轴的两端点，求直线MA 与NB 的交点P 的轨迹方程.解：设M 、N 的坐标为M(x 0,y 0)，N(x 0,-y 0)，又A(-a,0),B(a,0),所以直线AM 的方程为y=)(00a x a x y ++ ① 直线BN 的方程为：y=)(00a x ax y --- ② ①×②得：y 2=)(222202a x a x y --- ③ ∵点M(x 0,y 0)在椭圆上，∴b 2x 20+a 2y 20=a 2b 2∴x 20-a 2=-22a b y 18,代入得③得：y 2=22a b (x 2-a 2),∴交点P 的轨迹方程为12222=-by a x .例2 已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线l :y=3x-2截得弦的中点横坐标为21，求椭圆方程.解：∵C=50，∴a 2=b 2+50,∴可设椭圆方程为1502222=++bx b y ,把直线y=3x-2代入椭圆方程整理得10(b 2+5)x 2-12b 2x-b 4-46b 2=0，∴x 1+x 2=)5(101222+b b ,又∵21221=+x x ，∴12b 2=10b 2+50,解得b 2=25 a 2=75,∴所求的椭圆方程为1257522=+x y . 例3.已知P 为椭圆192522=+y x 上的一点，F 1F 2是椭圆上的两焦点，∠F 1PF 2=60°，求△F 1PF 2的面积. 解：∵21PF F S ∆=21｜PF 1｜·｜PF 2｜sin ∠F 1PF 2,又因为有|PF 1|+|PF 2|=10,|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos60°=4c 2=64,两式联立解得｜PF 1｜·｜PF 2｜=12, ∴21PF F S △=21×12×23=33. 例4.已知方程2(k 2-2)x 2+k 2y 2+k 2-k-6=0表示椭圆，求实数k 的取值范围.解：结合椭圆的变形方程式a 2y 2+b 2x 2-a 2b 2=0从而有：∴k ∈(-2，-2)∪(2，2)∪(2，3)例5．已知椭圆C 的方程为13422=+y x ，试确定m 的取值范围，使得对于直线y ＝4x+m ，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称． 解:设M(x,y)是椭圆C 的斜率为41-的平行弦中点轨迹上任一点,P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)都在椭圆13422=+y x 上，即3x 12+4y 12=12 ①，3x 22+4y 22=12 ②，①－②得 3(x 1+x 2)(x 1-x 2)+4(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,即2121212143y y x x x x y y ++⨯-=--, 又∵x 1+x 2=2x,y 1+y 2=2y,∴412121-==--k x x y y ,∴y x ⋅-=-4341,即3x-y=0,联立方程3x-4y=0,y=4x+m,解得交点(-m,-3m).点(-m,-3m)在椭圆内，∴13)3(4)(22<-+-m m 解得1313213132<<-m . ◆ 应用平台.一.选择题:1. 已知椭圆上有三点（，）（1，2，3），它们到同一个焦点的距离分别是，，，则，，成等差数列的充要条件是（ ） A.，，成等差数列 B.，，成等差数列C. 上述A 、B 同时成立D. A 、B 以外的条件2.A 、B 分别是x 轴，y 轴正方向上的点，F 为OA 上的点，∠OFB=30°，当S △ABF =2-3，那么以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为焦点的椭圆方程是( )A.4922y x +=1 B.51022y x +=1 C.102522y x +=1 D.2822y x +=1 3.椭圆ax 2+by 2=-ab(a ＜b ＜0)的焦点坐标是( ) A.(b a -±,0) B.(a b -±,0) C.(0, b a -±) D.(0, a b -±)4.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为e=23,焦点F 1,F 2对应的准线分别为l 1,l 2,点P 为此椭圆上一点,|PF 1|=b,则P 到l 2的距离为( )A.63b B.332 b C.233 b D.23b 5.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的四个顶点为A,B,C,D,若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是( )A.253- B.853+ C.215- D.815+ 二.填空题:6.点A(1,1),F 1是椭圆5x 2+9y 2=45的右焦点,点P 是该椭圆上的动点,则|PA|+|PF 1|的最大值为 .7.P 点在椭圆204522y x +=1上，F 1，F 2是椭圆的焦点，若PF 1⊥PF 2，则P 点的坐标是 .8.椭圆192522=+y x 的两个焦点为F 1,F 2,P 为椭圆上一点,且∠F 1PF 2=60°,则ΔF 1PF 2的面积为 .三.解答题:9.P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，过P 作圆x 2+y 2=b 2的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，直线AB 分别交x,y 轴于M 、N ，求△OMN 面积的最小值.10.已知椭圆C: )0(12222>>=+b a by a x ,F 是其左焦点,Q 是其右准线与x 轴的交点,点P(0,3)满足∠FPQ=90°,N 是直线PQ 与椭圆C 的一个公共点,当|PN|:|NQ|=1:8时,求椭圆的方程.◆ 素质培养1.已和椭圆C 的两个焦点F 1(-22,0),F 2(22,0).(1)当直线l 过F 1与椭圆C 交于M,N 两点且△MF 2N 的周长为12时,求椭圆C 的方程. (2)是否存在直线m 过P(0,2)点与椭圆C 交于A,B 两点且以AB 为直径的圆过原点,若存在,求出直线m 的方程;若不存在,说明理由.2.已知直线y=x+m 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A,B.AB 的中点为M,M 恒在直线y=kx 上,试问k 是否可以取(1)-2,(2)-21(3) 21?若不可以取,说明理由;若可以取,求出相应椭圆的离心率.第三节 双曲线(一)◆ 考纲要求掌握双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质.1.双曲线的定义(1)双曲线的第一定义:平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值等于常数2a(0<2a<｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示.常数用2a 表示.(2)双曲线的第二定义:若点M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数e(e>1)2.双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上:)0,0(12222>>=-b a by a x ,焦点坐标为F 1(-c,0),F 2(c,0),22b a c +=.(2)焦点在y 轴上: )0,0(12222>>=-b a bx a y ,焦点坐标为F 1(0,-c),F 2(0,c).22b a c +=.3.双曲线简单几何性质:以标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x 为例.(1)范围:|x|≥a;即x ≥a,x ≤-a.(2)对称性:对称轴为x=0,y=0;对称中心为O(0,0).(3)顶点:A 1(-a,0),A 2(a,0)为双曲线的两个顶点;线段A 1A 2叫双曲线的实轴,B 1B 2叫双曲线的虚轴,其中B 1(0,b),B 2(0,b).|A 1A 2|=2a,|B 1B 2|=2b. (4)渐近线:双曲线渐近线的方程为y=ab ±x;(5)准线:x=ca 2±;(6)离心率:e=ac,e>1. 4.等轴双曲线:x 2-y 2=±a 2,实轴长等于虚轴长,其渐近线方程为y=±x,离心率e=2◆ 再现基础1．点集A ＝{M||MF 1|-|MF 2|},其中F 1,F 2是两个定点,那么动点M 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条线段 D.无轨迹2.若方程1162522=++-ky k x 表示焦点在y 轴上的双曲线,则k 的取值范围是( ) A.-16<k<25 B.k<-16 C.k<-16或k>25 D.k>253.方程121||22=-+-my m x 表示双曲线,那么m 的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(2,+)B.(2,+∞)C.(-1,1)∪(2,+∞)D.(-1,2) 4.若双曲线的渐近线方程为y=23±x,则其离心率为 . 5.与双曲线12422=-y x 有相同焦点且过点A(2,1)的双曲线方程为 . ◆ 方法点拨1.在求双曲线方程和研究双曲线性质时,要深刻理解确定双曲线的形状,大小的几个主要特征量,如a,b,c,e 的几何意义及它们之间的相互关系.2.求共渐近线mx ±ny=0的双曲线方程时,可设双曲线方程为m 2x 2-n 2y 2=λ(λ≠0)再利用其他条件确定λ的值,其实质是待定系数法.3.直线与双曲线的位置关系问题,常转化为一元二次方程进行研究,但应注意化归过程的等价性.4.圆锥曲线上一点与焦点所连的线段称为焦半径,过焦点弦的问题常用焦半径,要掌握求焦半径的方法.◆ 题型例析例1.以动点P 为圆心与⊙A:(x+5)2+y 2=49及⊙B:(x-5)2+y 2=1都外切,求动点P 的轨迹方程.解:设动点P(x,y),动圆半径为r,由题意知,|PA|=7+r,|PB|=1+r.可知:动点P(x,y)满足|PA|-|PB|=6,由双曲线的定义可知P 点的轨迹为双曲线的右支,且2a=6，由双曲线的定义可知P 的轨迹是双曲线的右支,∴a=3,又∵2c=10,∴c=5,b=4.P 点的轨迹方程是)0(116922>=-x y x 例2.求与椭圆192522=+y x 共焦点，且过点(32,7)的双曲线的方程. 解:由题意知所求双曲线的焦点在x 轴上,且2c=8，∴c=4,设所求双曲线方程为1162222=--λλy x 代入点(32,7)，得λ2=7，故所求双曲线方程为17922=-y x . 例3.双曲线的实半轴与虚半轴长的积为3,它的两个焦点分别为F 1,F 2,直线l 过F 2且与直线F 1F 2的夹角为α,且tan α=221,l 与线段F 1F 2的垂直平分线的交点为P,线段PF 2与双曲线的交点为Q,且|PQ|:|QF 2|=2:1,建立适当的坐标系,求双曲线的方程.解:以F 1F 2的中点为原点, F 1,F 2所在直线为x 轴建立坐标系,则可设所求双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ,F 1(-c,0),F 2(c,0),由题设知直线l 的方程为y=221(x-c),在方程中令x=0,得点P 的坐标(0,-221c),因|PQ|:|QF 2|=2:1，所以22=,由定比分点公式可得点Q 的坐标为(c c 621,23-).又点Q 在双曲线上,所以13621942222=-b c a c ①,又c 2=a 2+b 2 ②,由题设知ab=3 ③,由此三式联立方程组可解得a=1,b=3,故所求双曲线方程为1322=-y x .由对称性知1322=-x y 也适合.故双曲线方程为1322=-y x 或1322=-x y . 例4 △ABC 一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边所在直线的斜率之积是94，求顶点A 的轨迹. 解:设A 的坐标为(x,y),由已知可得x y k AB 6-=,xy k AC 6+=,依题意有: 94=⋅AC AB k k ,即:⋅-x y 6946=+x y ,化简整理可得顶点A 的轨迹方程：)0(1813622≠=-x x y . ◆ 应用平台一.选择题:1.如果双曲线1366422=-y x 上一点P 到它的右焦点的距离是8,那么P 到它的右准线的距离是( ) A.10 B.7732 C.72 D.5322.已知双曲线m:9x 2-16y 2=144,右椭圆n 以m 的焦点为顶点,以m 的顶点为焦点,则椭圆n 的准线方程是( ) A.516±=x B.316±=x C.425±=x D.325±=x 3.设圆C 过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点,且圆心在该双曲线上,则圆心到该双曲线的中心的距离是( ) A.34 B.3104 C.316 D.5 4.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F,右准线为l,过F 点作垂直于x 轴的直线m 交双曲线于A,B,且|AB|等于l 到m 间距离的4倍,则双曲线的离心率为( )A.2B.3C.2D.35.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F,作渐近线x a b y =的垂线与双曲线左右支都相交,则双曲线的离心率的取值范围是( )A.1<e<2B.1<e<2C.e>2D.e>2二.填空题:6.若双曲线1366422=-y x 上点P 到它的右焦点的距离是8,则它到其左准线的距离 是 .它到左焦点的距离是 . 7.若双曲线过点(6,3),且它的两条渐近线方程是x y 31±=,那么双曲线的方程是 .8.双曲线与椭圆9x 2+25y 2=225有相同的焦点,又过点(3,-1),则双曲线的渐近线方程是 .三.解答题:9.在双曲线9x 2-16y 2=144上求一点M,使它到左右两焦点的距离之比为3:2,并求M 点到两准线的距离.10.双曲线kx 2-y 2=1,右焦点为F,斜率大于0的渐近线为l,l 与右准线交于A,FA 与左准线交于B,与双曲线左支交于C,若B 为AC 的中点,求双曲线方程.◆ 素质培养1.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率e=332,过A(a,0),B(0,-b)的直线到原点的距离是23.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=kx+5(k ≠0)交双曲线于不同的两点C,D,且C,D 都在以B 为圆心的圆上,求k 的值.2.过双曲线G:),0,0(12222b a b a by a x ≠>>=-的右焦点F 作直线l,使l 垂直G 的斜率为正值的渐近线,垂足为P,设l 与G 的左右支分别交于A,B 两点.(1)求证:P 点在G 的右准线上;(2)求G 的离心率e 的取值范围.第四节 双曲线(二)◆ 再现基础1.双曲线12222=-b y a x 的实轴长，虚轴长，焦距成等差数列，则双曲线的离心率是A.2B.3C.34 D.352.双曲线12222=-b y a x 的离心率为e 1,双曲线12222=-bx a y 离心率为e 2, 则e 1 + e 2的最小值为A.2B.2C.22D.43.设直线l 垂直于双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的实轴所在直线,垂足为M,且与双曲线相交于P,与渐近线的一个交点为Q,则|MQ|2-|MP|2等于( )A.a 2B.b 2C.a 2+b 2D.(a 2+b 2)/24．双曲线2mx 2－y 2= 2有一条准线是y = 1 ,则m 的值为 . 5.已知双曲线12222=-b y a x )0,0(>>b a 的离心率为251+，A 、F 分别是它的左顶点和右焦点，B 点坐标为(0，b)，则∠ABF= .◆ 题型例析例 1. 已知双曲线1cot 16tan 2422=-θθy x (2π＜θ＜π)过点A(43,4).(1)求实轴、虚轴的长；(2)求离心率；(3)求顶点坐标；(4)求点A 的焦半径. 解：因为双曲线过点A(43,4),所以1cot 1616tan 24316=-⨯θθ,tan 2θ+tan θ-２＝0 ,tan θ＝-2,(tan θ=1舍去，因为2π＜θ＜π)，∴双曲线方程为-84822y x +＝1.从而a=22,b=43,c=214. (1)实轴长2a=42，虚轴长2b ＝83.(2)离心率e ＝ac＝7.(3)顶点为(0，22)，(0，-22).(4)焦点F 1(0，-214)，F 2(0，214).｜AF 1｜＝)114(22)1424()34(22+=++，｜AF 2｜＝)114(22)1424()34(22-=-+例2.过双曲线116922=-y x 的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB 的中点C 到右焦点F 的距离，并求弦AB 的长.解:∵双曲线的右焦点为F(5，0),∴直线AB 的方程为y ＝x-5 ①双曲线方程为16x 2-9y 2-144=0 ②,由①,②消去y ，并整理得7x 2+90x-369＝0 ③,此方程的两个根x 1、x 2是A 、B 两点的横坐标，设AB 的中心点C 的坐标为(x,y)，则x ＝221x x + =-745.C 点的坐标满足方程①，故y ＝-745-5＝-780.∴｜CF ｜＝7280)780()7455(22=++,又设A 点坐标为(x 1,y 1),B 点坐标为(x 2,y 2)，则y 1＝x 1-5,y 2＝x 2-5.∴y 1-y 2＝x 1-x 2，｜AB ｜＝221221)()(y y x x -+-=]4)[(2)(221221221x x x x x x -+=-,由方程③知x 1+x 2＝-790,x 1·x 2＝-7369∴｜AB ｜=2773. 例 3.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率e>1+2,左,右焦点分别为F 1,F 2,左准线为l 1,能否在双曲线的左支上找到一点P,使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项?解:设在左半支上存在点P,使|PF 1|2=|PF 2|d,由双曲线的第二定义知e PF PF d PF ==||||||121 ①再由双曲线的第一定义,得|PF 2|-|PF 1|=2a ②,由式①②解得|PF 2|=12-e a ,|PF 1|=12+e a ,又|PF 2|+|PF 1|≥2c,∴12-e a +12+e a≥2c ③利用e=ac ,从式③得e 2-2e-1≤0解得1-2≤e ≤1+2,∵e>1,∴1<e ≤1+2,与已知e>1+2相矛盾.∴符合条件的点P 不存在.例4.过点B(1,1)能否作直线l 使它与双曲线1222=-y x 交于Q 1,Q 2两点,且点B 是线段Q 1Q 2的中点?如果存在,求出方程;如果不存在,说明理由.解:方程x=1显然不合题意,故可设l 的方程为y-1=k(x-1)代入双曲线方程得(2-k 2)x 2+(2k 2-k)x-k 2+2k-3=0 ①,设Q 1(x 1,y 1),Q 2(x 2,y 2),则x 1,x 2为方程①的两根,有x 1+x 2=2,故222222=--k kk ,∴k=2,直线方程为y-1=2(x-1),但是当k=2时,方程①为-2x 2+4x-3=0,即2x 2-4x+3=0,Δ<0,因此满足条件的直线不存在.◆ 应用平台一.选择题:1.双曲线顶点为（2，－1），（2，5），一渐近线方程为3x －4y ＋c = 0，则准线方程为A.x=2±516 B.y=±516 C.x=2±59 D.y=2±592.与双曲线122=+ny m x (mn<0)共轭的双曲线方程是 ( ) A.122=+-n y m x B. 122=-n y m x C. 122=+nx m y D.122-=+n y m x 3.下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 ( )(A)32x -y 2=1和92y -32x =1 (B) 32x -y 2=1和y 2-32x =1C.y 2-32x =1和x 2-32y =1 D. 32x -y 2=1和92y -32x =15.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率e ∈[2,2],令双曲线两条渐近线构成的角中,以实轴为角平分线的角为,则的取值范围是( )A.[6π,2π] B.[3π,2π] C.[2π,32π] D.[ππ,32]二.填空题:6.双曲线C 与双曲线92x -162y =1有共同的渐近线,且过点A(-3,23),则C 的两条准线之间的距离为 .7.双曲线92x -162y =1的两个焦点为F 1,F 2点P 在双曲线上,若PF 1⊥PF 2则点P 到x 轴的距离为 .三.解答题:8.已知不论b 取何实数，直线y=kx+b 与双曲线x 2-2y=1总有公共点，试求实数k 的取值范围.9.双曲线3x 2-y 2=1上是否存在关于直线=2x 对称的两点A 、B?若存在，试求出A 、B 两点的坐标；若不存在，说明理由.10．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ,F 1、F 2是其左、右焦点.(1)设P(x 0, y 0)是双曲线上一点，求|PF 1|、|PF 2|的表达式。
高考数学复习第九章解析几何9.8.1直线与圆锥曲线文市赛课公开课一等奖省优质课获奖课件
由xy22＝＋－y2m＝ 1 x1＋，b
消去 y，得
12＋m12x2－2mbx＋b2－1＝0.
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因为直线 y＝－m1 x＋b 与椭圆x22＋y2＝1 有两个不同的交点，
所以 Δ＝－2b2＋2＋m42>0.①
将线段 AB 中点 Mm22m＋b2，mm2＋2b2代入直线方程 y＝mx＋12解 得 b＝－m22m＋22.②
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[典题 1] (1)[2017·甘肃兰州检测]若直线 mx＋ny＝4 和
圆 O：x2＋y2＝4 没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆x92＋y42
＝1 的交点个数为( B )
A．至多一个 B．2
C．1
D．0
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[解析] ∵直线 mx＋ny＝4 和圆 O：x2＋y2＝4 没有交点，∴
解得 k＝－12.
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故此弦所在的直线方程为 y－1＝－12(x－1)， 即 x＋2y－3＝0. 解法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 k， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则xx441222＋ ＋yy222221＝ ＝11， ，① ② ①－②得x1＋x24x1－x2＋y1＋y22y1－y2＝0，
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(1)求椭圆 C 的方程； (2)当△AMN 的面积为 310时，求 k 的值．
a＝2， 解：(1)由题意得ac＝ 22，
a2＝b2＋c2， 解得 b＝ 2，所以椭圆 C 的方程为x42＋y22＝1.
y＝kx－1， (2)由x42＋y22＝1，
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得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
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[解析] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 抛物线方程为 y2＝2px， 则yy1222＝＝22ppxx21.， 两式相减可得 2p＝yx11－ －yx22×(y1＋y2) ＝kAB×2＝2，解得 p＝1， ∴抛物线 C 的方程为 y2＝2x.
09秋季高二数学-讲义圆锥曲线1011
解析几何——圆锥曲线 高二 10.11一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。
第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)10(<<e e 的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。
常数叫做离心率。
注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准方程 )0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a bx a y 参数方程⎩⎨⎧==θθθ(sin cos b y a x 为参数)⎩⎨⎧==θθθ(sin cos a y b x 为参数)图 形顶 点 ),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A -- 对称轴 x 轴，y 轴；短轴为b 2，长轴为a 2焦 点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F -焦 距 )0(2||21>=c c F F 222b a c -=离心率)10(<<=e ace （离心率越大，椭圆越扁） 准 线ca x 2±= ca y 2±= 二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。
第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)1(>e e 的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。
圆锥曲线 课件
利用线性代数知识求解圆锥曲线问题
线性方程组
线性方程组是线性代数中的基础内容， 它可以用来求解与圆锥曲线相关的问题 。例如，通过解线性方程组，可以找到 满足特定条件的点的坐标。
VS
特征值与特征向量
特征值和特征向量在解析几何中也有广泛 应用。通过计算圆锥曲线的特征值和特征 向量，可以深入了解曲线的性质，从而更 好地解决相关问题。
椭圆离心率的范围是0<e<1，双曲线的离心率范围是e>1。
圆锥曲线的光学性质
01
光线经过圆锥曲线上的点时，其 方向会发生改变，这种现象叫做 圆锥曲线的光学性质。
02
光线经过椭圆时，会沿着椭圆的 主轴方向折射；经过双曲线时， 会沿着双曲线的副轴方向折射。
圆锥曲线的对称性
圆锥曲线具有对称性，即如果将圆锥 曲线沿其对称轴旋转180度，它仍然 与原来的曲线重合。
02 圆锥曲线的性质
焦点与准线
焦点
圆锥曲线上的点到曲线的两个焦 点的距离之和等于常数，这个常 数等于椭圆的长轴长，等于双曲 线的实轴长。
准线
与圆锥的母线平行的线，在平面 内与准线相交的直线与圆锥相切 于一点，这个点叫做切点。
离心率
离心率：是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它等于圆锥顶点到曲线的距离与 圆锥的半径之比。离心率越大，圆锥曲线越扁平，反之则越接近于球形。
双曲线的极坐标 方程
$frac{rho^2}{a^2} frac{rho^2}{b^2} = 1$
圆锥曲线在极坐 标下的表…
将圆锥曲线问题转化为极 坐标形式，便于理解和求 解。
利用极坐标求解圆锥曲线问题
利用极坐标求解圆锥曲线问题的步骤
首先将问题转化为极坐标形式，然后利用极坐标的性质和公式进行求解。
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且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.
(1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦 AC 中点的横坐标. 分析：第一问直接可有第一定义得出基本量 a，从而写出方程；第二问涉及到焦半径问题，可以考虑利用 第二定义的得出焦半径表达式，结合等差数列的定义解决.
Ax2
By2
1 ，其中
A 0, B 0, A B .
x2
例 2.点 A、B 分别是椭圆
y2
1 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，且位于 x
36 20
轴上方， PA PF 。
（1）求点 P 的坐标；
（2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的
则 2 x2 +9 x －18=0, x = 3 或 x =－6. 2
由于 y >0,只能 x = 3 ,于是 y = 5
3
.
∴点 P 的坐标是(
3
5
,
3
)
2
2
22
m6
(2) 直线 AP 的方程是 x － 3 y +6=0. 设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是
.
2
于是 m 6 = m 6 ,又－6≤ m ≤6,解得 m =2. 椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d 有 2
d 2 (x 2)2 y2 x2 4x 4 20 5 x2 4(x 9)2 15 , 9 92
由于－6≤ m ≤6, ∴当 x = 9 时,d 取得最小值 15 2
点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题.
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倍
4.若椭圆 x2 y2 1的离心率 e 5m
10 5
,则
m
的值为 3或
25 3
5.．椭圆 x 2 y 2 1 的右焦点到直线 y 3x 的距离为 3
43
2
6. 与 椭 圆 x2 y2 1 具 有 相 同 的 离 心 率 且 过 点 （ 2 ， - 3 ） 的 椭 圆 的 标 准 方 程 是 x2 y2 1 或
路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本
途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.
3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数
法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视. 4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程
3
5 20
【范例导析】
x2
例 1.椭圆
a2
y2 b2
1（a>b>0）的二个焦点 F1(-c，0)，F2(c，0)，M 是椭圆上一点，且 F1M
F2 M
0。
求离心率 e 的取值范围.
分析:离心率与椭圆的基本量 a、b、c 有关，所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标，再借助椭圆椭
圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式，从而确定离心率的范围.
据条件列出基本量 a、b、c 的方程组，解方程组求得 a、b 的值;③写出方程.
解：（1）∵椭圆焦点在
y
轴上，故设椭圆的标准方程为
y2 a2
x2 b2
1（ a
b
0 ），
由椭圆的定义知，
2a ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 3 10 1 10 2 10 ，
22
x=
25 4
,离心率为
4 5
，根据椭圆定义，有
|F2A|=
4 5
(
25 4
－x1),|F2C|=
4 5
(
25 4
－x2)，
由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得
4 5
(
25 4
－x1)+
4 5
(
25 4
－x2)=2×
9 5
,由此得出：x1+x2=8.
设弦
AC
的中点为
P(x0,y0),则
x0=
9
又 a 3b ∴ B 1或 1 ， a2 81 ∴椭圆的方程为 x2 y2 1或 y2 x2 1.
81
9
81 9
【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在
x
轴上，设方程为
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 ，若
焦点在
y 轴上，设方程为
y2 a2
x2 b2
1a
b
0 ，有时为了运算方便，也可设为
【反馈练习】
1.如果 x 2 ky 2 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是（0，1）
2.设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，
则椭圆的离心率是 2 1
3.椭圆 x 2 y 2 =1 的焦点为 F1 和 F2，点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点在 y 轴上，那么|PF1|是|PF2|的 7 12 3
【知识图解】
高中数学复习讲义 第九章 圆锥曲线
定义
标准方程
椭圆
几何性质
圆
定义
标准方程
锥
曲 线
双曲线
几何性质
圆锥曲线应用
抛物线
定义
标准方程
几何性质
【方法点拨】 解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何
的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形 式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学 习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简 单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形 结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。 1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关 注图形的几何性质. 2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思
x2 9
y2
1.
②若焦点在
y 轴上，设方程为
y2 a2
x2 b2
1a
b
0 ，
9
∵点 P（3,0）在该椭圆上∴
b2
1即 b2
9又a
3b ，∴ a2
81 ∴椭圆的方程为
y2 81
x2 9
1
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方法二：设椭圆方程为 Ax2 By2 1 A 0, B 0, A B .∵点 P（3,0）在该椭圆上∴9A=1，即 A 1 ,
由圆锥曲线的统一定义知： AF c ，∴
a2 c
x1
a
同理
CF
5
4 5
x2
．
∵ AF CF 2 BF ，且 BF 9 ， 5
AF
a
ex1
43
86
3y2 4x2 1 25 25
7.椭圆 x 2 y 2 1 上的点到直线 x 2 y 2 0 的最大距离是 10 16 4
8. 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为 4
52
和
5 ，过 P 点作焦点所
33
在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
PF2 PF1
1， 2
可求出 PF1F2
6
， 2c
PF1
cos 6
2
5 3
，从而 b2
a2
c2
10 ． 3
∴所求椭圆方程为 x2 3y2 1或 3x2 y2 1．
5 10
10 5
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第 2 课 椭圆 B
【考点导读】 1. 掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题; 2. 能解决椭圆有关的综合性问题. 【基础练习】
最小值。
【分析】①列方程组求得 P 坐标；②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注意椭圆上点
坐标的范围.
解：（1）由已知可得点 A(－6,0),F(0,4)
设点 P( x , y ),则 AP =（ x +6, y ）, FP =（ x －4, y ）,由已知可得
x
2
y2
1
36 20
(x 6)(x 4) y2 0
解：设点 M 的坐标为(x，y)，则 F1M (x c, y) ，F2 M (x c, y) 。由 F1M F2 M 0 ，得 x2-c2+y2=0，
即 x2-c2=-y2。
①
又由点 M 在椭圆上，得 y2=b2
b2 a2
x 2 ，代入①，得 x2-c2
b2 a2
x2
b 2 ，即 x 2
22
2
2
∴ a 10 ，又∵ c 2 ，∴ b2 a2 c2 10 4 6 ，
所以，椭圆的标准方程为 y2 x2 1。 10 6
（2）方法一：①若焦点在
x
轴上，设方程为
x2 a2
y2 b2
1a
b
0，
9
∵点 P（3,0）在该椭圆上∴
a2
1即 a2
9又a