2021年中考数学 专题训练 与圆相关的计算(含答案)
2021中考数学 专题训练：圆的有关性质(含答案)
2021中考数学 专题训练：圆的有关性质一、选择题1. 如图，线段AB 经过☉O 的圆心，AC ，BD 分别与☉O 相切于点C ，D.若AC=BD=4，∠A=45°，则圆弧CD 的长度为 ( )A .πB .2πC .2πD .4π2. 如图，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 的度数是( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°3. 如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P (0，－3)，那么经过点P 的所有弦中，最短的弦的长为( )A ．4B ．5C ．8D ．104. 如图，AB 是⊙O的直径，点C ，D ，E 在⊙O 上．若∠AED ＝20°，则∠BCD的度数为( )A ．100°B ．110°C ．115°D ．120°5. 如图，AB 是⊙O的直径，弦CD ⊥AB 于点E.若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是( )A.7 B ．27 C ．6 D ．86. 在⊙O 中，M为AB ︵的中点，则下列结论正确的是( )A ．AB ＞2AM B ．AB ＝2AMC ．AB ＜2AMD ．AB 与2AM 的大小关系不能确定7. 如图，将半径为6的⊙O 沿AB 折叠，AB ︵与垂直于AB 的半径OC 交于点D ，且CD ＝2OD ，则折痕AB 的长为( )A ．4 2B ．8 2C ．6D ．6 38. 如图，在⊙O内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则BC 的长为( )A ．19B ．16C ．18D ．209. 如图，等边三角形ABC 的边长为8，以BC 上一点O 为圆心的圆分别与边AB ，AC 相切，则⊙O 的半径为( )A．2 3 B．3 C．4 D．4－ 310. (2019•仙桃)如图，AB为的直径，BC为的切线，弦AD∥OC，直线CD交的BA延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是的切线；②；③；④．其中正确结论的个数有A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题11. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升了cm.12. 如图0，A，B是⊙O上的两点，AB＝10，P是⊙O上的动点(点P与A，B 两点不重合)，连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝________．13. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC 交于点E ，连接OD ，BE ，它们交于点M ，且MD ＝2，则BE 的长为________.14. 如图，AB ，CD是半径为5的⊙O 的两条弦，AB ＝8，CD ＝6，MN 是⊙O 的直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA ＋PC 的最小值为________．15. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，点P 在以点C 为圆心，5为半径的圆上，连接PA ，PB.若PB ＝4，则PA 的长为________．三、解答题16.如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 相交于点D ，E ，BD ＝C D ，过点D 作⊙O 的切线交边AC 于点F. (1)求证：DF ⊥AC ；(2)若⊙O 的半径为5，∠CDF ＝30°，求BD ︵的长．(结果保留π)17.如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为⊙O 上一点，AC ＝2.过点C 作⊙O 的切线DC ，P 点为优弧CBA ︵上一动点(不与A 、C 重合)． (1)求∠APC 与∠ACD 的度数；(2)当点P 移动到劣弧CB ︵的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形； (3)当PC 为⊙O 的直径时，求证：△APC 与△ABC 全等．18. 已知平面直角坐标系中两定点A (－1, 0)、B (4, 0)，抛物线y ＝ax 2＋bx －2（a≠0）过点A 、B ，顶点为C ，点P (m , n )（n ＜0）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标； （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围；（3）若m ＞，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （0＜t ＜）个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C ′、P ′，是否存在t ，使得顺次首尾连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．2021中考数学 专题训练：圆的有关性质-答案一、选择题1. 【答案】B [解析]连接CO ，DO ，因为AC ，BD 分别与☉O 相切于C ，D ，所以∠ACO=∠BDO=90°，所以∠AOC=∠A=45°，所以CO=AC=4， 因为AC=BD ，CO=DO ，所以OD=BD ，所以∠DOB=∠B=45°，所以∠DOC=180°-∠DOB -∠AOC=180°-45°-45°=90°，==2π，故选B .2. 【答案】A[解析] ∵∠A ＝50°，OA ＝OB ，∴∠B ＝∠A ＝50°，∴∠AOB ＝180°－50°－50°＝80°. ∵C 是AB ︵的中点， ∴∠BOC ＝12∠AOB ＝40°. 故选A.3. 【答案】C[解析] 过点P 作弦AB ⊥OP ，连接OB ，如图．则PB ＝AP ，∴AB ＝2BP ＝2OB2－OP2.再过点P 任作一条弦MN ，过点O 作OG ⊥MN 于点G ，连接ON . 则MN ＝2GN ＝2ON2－OG2.∵OP ＞OG ，OB ＝ON ，∴MN ＞AB ， ∴AB 是⊙O 中的过点P 最短的弦．在Rt △OPB 中，PO ＝3，OB ＝5，由勾股定理，得PB ＝4，则AB ＝2PB ＝8.4. 【答案】B[解析] 连接AC.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠AED ＝20°，∴∠ACD ＝20°，∴∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝110°.故选B.5. 【答案】B[解析] 连接OC ，则OC ＝4，OE ＝3.在Rt △OCE 中，CE ＝OC2－OE2＝42－32＝7.因为AB ⊥CD ，所以CD ＝2CE ＝2 7.6. 【答案】C[解析] 如图，∵M 为AB ︵的中点，∴AM ＝BM.∵AM ＋BM ＞AB ， ∴AB ＜2AM.故选C.7. 【答案】B[解析] 如图，延长CO 交AB 于点E ，连接OB .∵CE ⊥AB ，∴AB＝2BE .∵OC ＝6，CD ＝2OD ，∴CD ＝4，OD ＝2，OB ＝6.由折叠的性质可得DE ＝12×(6×2－4)＝4，∴OE ＝DE －OD ＝4－2＝2.在Rt △OEB 中，BE ＝OB2－OE2＝62－22＝4 2，∴AB ＝8 2.故选B.8. 【答案】D[解析] 如图，延长AO 交BC 于点D ，过点O 作OE ⊥BC 于点E.∵∠A ＝∠B ＝60°，∴△DAB 是等边三角形，∴AD ＝DB ＝AB ＝12，∠ADB ＝∠A ＝60°，∴OD ＝AD －OA ＝12－8＝4.在Rt △ODE 中，∵∠DOE ＝90°－∠ADB ＝30°，∴DE ＝12OD ＝2，∴BE ＝DB －DE ＝12－2＝10.由垂径定理，知BC ＝2BE ＝20.9. 【答案】A[解析] 如图，设⊙O 与AC 的切点为E ，连接AO ，OE.∵等边三角形ABC的边长为8，∴AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°. ∵⊙O分别与边AB，AC相切，∴∠OEC＝90°，∠BAO＝∠CAO＝12∠BAC＝30°，∴∠AOC＝90°，∴OC＝12AC＝4.在Rt△OCE中，∠OEC＝90°，∠C＝60°，∴∠COE＝30°，∴CE＝12OC＝2，∴OE＝2 3，∴⊙O的半径为2 3.10. 【答案】A【解析】如图，连接．∵为的直径，为的切线，∴，∵，∴，．又∵，∴，∴．在和中，，∴，∴．又∵点在上，∴是的切线，故①正确，∵，∴，∵，∴垂直平分，即，故②正确；∵为的直径，为的切线，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故③正确；∵，，∴，∴，∵，∴，故④正确，故选A．二、填空题11. 【答案】10或70[解析]作OD⊥AB于C，OD交☉O于点D，连接OB.由垂径定理得:BC=AB=30 cm.在Rt△OBC中，OC==40(cm).当水位上升到圆心以下且水面宽80 cm时，圆心到水面距离==30(cm)，水面上升的高度为:40-30=10(cm).当水位上升到圆心以上且水面宽80 cm时，水面上升的高度为:40+30=70(cm).综上可得，水面上升的高度为10 cm或70 cm.故答案为10或70.12. 【答案】5[解析] ∵OE过圆心且与PA垂直，∴PE＝EA.同理PF＝FB，∴EF是△PAB的中位线，∴EF＝12AB＝5.13. 【答案】8[解析] 连接AD，如图所示．∵以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∵AB＝AC，∴BD＝CD.又∵OA＝OB，∴OD∥AC，∴OD⊥BE，∴BM＝EM，∴CE＝2MD＝4，∴AE＝AC－CE＝6，∴BE＝AB2－AE2＝102－62＝8.14. 【答案】7 2[解析] 如图，连接OB，OC，BC，则BC的长即为P A＋PC 的最小值．过点C作CH⊥AB于点H，则四边形EFCH为矩形，∴CH＝EF，EH＝CF.根据垂径定理，得BE＝12AB＝4，CF＝12CD＝3，∴OE＝OB2－BE2＝52－42＝3，OF＝OC2－CF2＝52－32＝4，∴CH＝EF＝OE＋OF＝3＋4＝7，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝4＋3＝7.在Rt△BCH中，由勾股定理，得BC＝7 2，则P A＋PC的最小值为7 2.15. 【答案】3或73[解析] 如图，连接CP，PB的延长线交⊙C于点P′.∵PC＝5，BC＝3，PB＝4，∴BC2＋PB2＝PC2，∴△CPB为直角三角形，且∠CBP＝90°，即CB⊥PB，∴PB＝P′B＝4.∵∠ACB＝90°，∴PB∥AC.又∵PB＝AC＝4，∴四边形ACBP为平行四边形．又∵∠ACB＝90°，∴▱ACBP为矩形，∴PA＝BC＝3.在Rt△APP′中，∵PA＝3，PP′＝8，∴P′A＝82＋32＝73.综上所述，PA的长为3或73.三、解答题16. 【答案】(1)证明：如解图，连接OD，(1分)∵DF是⊙O的切线，D为切点，解图∴OD⊥DF，∴∠ODF＝90°，(2分)∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，(3分)∴OD∥AC，∴∠CFD＝∠ODF＝90°，∴DF⊥AC.(4分)(2)解：∵∠CDF＝30°，由(1)得∠ODF＝90°，∴∠ODB＝180°－∠CDF－∠ODF＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，(7分)∴∠BOD＝60°，∴lBD ︵＝nπR 180＝60π×5180＝53π.(8分)17. 【答案】(1)解：∵AC ＝2，OA ＝OB ＝OC ＝12AB ＝2，∴AC ＝OA ＝OC ，∴△ACO 为等边三角形，∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°，∴∠APC ＝12∠AOC ＝30°，又∵DC 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥DC ，∴∠DCO ＝90°，∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°；解图(2)证明：如解图，连接PB ，OP ，∵AB 为直径，∠AOC ＝60°，∴∠COB ＝120°，当点P 移动到CB ︵的中点时，∠COP ＝∠POB ＝60°，∴△COP 和△BOP 都为等边三角形，∴OC ＝CP ＝OB ＝PB ，∴四边形OBPC 为菱形；(3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径，∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 与Rt △CP A 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CP AC ＝AC ， ∴Rt △ABC ≌Rt △CP A (HL)．18. 【答案】（1）因为抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于A (－1, 0)、B (4, 0)两点， 所以y ＝a (x ＋1)(x －4)＝ax 2－3ax －4a ．所以－4a ＝－2，b ＝－3a ．所以，．所以。
2021年九年级中考数学 几何专题：与圆相关的计算(含答案)
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——高斯2021中考数学几何专题：与圆相关的计算一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，O1，O2，O3，O4分别是OA，OB，OC，OD的中点．若⊙O的半径是2，则阴影部分的面积为()A．8 B．4C．4π＋4 D．4π－42. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB ＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是()A．4 B．6.25 C．7.5 D．93. 如图半径为1的⊙O与正五边形ABCDE相切于点A，C，则劣弧AC的长度为()图A.35π B.45π C.34π D.23π4.如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝2，则图中阴影部分的面积是( )A. π4B.12＋π4C.π2D.12＋π25. 一元硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大为()A．12 mm B．12 3 mm C．6 mm D．6 3mm6. （2020·云南）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆椎的底面圆的半径是（）A．B．1 C．D．7. 若正方形的外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为()A. 2 B．2 2 C.22D．18. 如图，将两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a)重合在一起，下面一张纸片保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a个单位长度，则空白部分与阴影部分的面积之比是()A．5∶2 B．3∶2 C．3∶1 D．2∶19. 已知一个圆心角为270°的扇形工件，未搬动前如图所示，A，B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动旋转，再使它紧贴地面滚动，当A，B两点再次触地时停止，扇形工件所在圆的直径为6 m，则圆心O所经过的路线长是(结果用含π的式子表示)()A．6π m B．8π m C．10π m D．12π m10. （2020·株洲）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点1A，则此时线段CA扫过的图形的面积为（）A. 4πB. 6C. 43D. 8 3π二、填空题（本大题共6道小题）11. 在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为.12. （2020·黑龙江龙东）小明在手工制作课上，用面积为150πcm2，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为cm．13. （2020·玉林）如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF 绕顶点A顺时针旋转到四边形AD/E/F/处，此时边AD/与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是．14. (2019•十堰)如图，AB为半圆的直径，且6AB=，将半圆绕点A顺时针旋转60︒，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为__________．15. （2020·广西北部湾经济区）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠C＝60°，点E，F分别是AB，AD上的动点，且AE＝DF，DE与BF交于点P．当点E 从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为．16. （2020·青岛）如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N.已知∠BAC=120°，AB+AC=16，弧MN的长为π，则图中阴影部分的面积为.三、解答题（本大题共5道小题）17. 如图，BE是☉O的直径，点A和点D是☉O上的两点，过点A作☉O的切线交BE的延长线于点C.(1)若∠ADE=25°，求∠C的度数;(2)若AB=AC，CE=2，求☉O的半径长.18.如图，AB为⊙O的直径，C，D是半圆O的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．19. （2020·河北）如图13，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC=OD，以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆，点P 为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE ，CP .（1）①求证：△AOE ≌△POC ；②写出∠1，∠2和∠C 三者间的数量关系，并说明理由.（2）若OC =2OA =2，当∠C 最大时，直接指出CP 与小半圆的位置关系，并求此时S 扇形EOD （答案保留π）.备用图图1321BAO BAO CDDCPE20. 如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上的点F 处，点C 落在点A 处，再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG . (1)求证：EF ∥CG ；(2)求点C ，A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．21. （2020•呼和浩特）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE ，圆心为O ，OA 与BE 交于点H ，AC 、AD 与BE 分别交于点M 、N ．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）（1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；（2）求证：，且其比值k＝；（3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．2021中考数学几何专题：与圆相关的计算-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A2. 【答案】A3. 【答案】B[解析] 连接OA，OC，则∠OAE＝∠OCD＝90°.∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠E＝∠D＝108°，∴∠AOC＝540°－∠OAE－∠OCD－∠E－∠D＝144°，∴劣弧AC的长度为144180×π×1＝45π.4. 【答案】A 【解析】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC＝2，∴AB＝2，则半径OA ＝OB＝1，∵△AOC≌△BOC，∴△AOC的面积与△BOC的面积相等，∴阴影部分的面积刚好是四分之一圆的面积，即为14π×12＝π4.5. 【答案】A[解析] 正六边形外接圆的直径等于正六边形边长的2倍．6. 【答案】D ．【解析】设圆椎的底面圆的半径为r ，根据题意可知：AD ＝AE ＝4，∠DAE ＝45°，∴2πr ＝，解得r ＝．所以该圆椎的底面圆的半径是． 7. 【答案】A[解析] 如图所示，连接OA ，OE.∵AB 是小圆的切线， ∴OE ⊥AB.∵四边形ABCD 是正方形， ∴AE ＝OE.在Rt △AOE 中，由勾股定理，得OA2＝AE2＋OE2，∴22＝AE2＋OE2， ∴OE ＝ 2.故选A.8. 【答案】C[解析] 正六边形的面积＝6×34×(2a )2＝6 3a 2，阴影部分的面积＝a ·2 3a ＝2 3a 2，∴空白部分与阴影部分的面积之比是＝6 3a 2∶2 3a 2＝3∶1.9. 【答案】A[解析] 如图，∠AOB ＝360°－270°＝90°，则∠ABO ＝45°，则∠OBC ＝45°，点O 旋转的长度是2×45π×3180＝32π(m)，点O 移动的距离是270π×3180＝92π(m)，则圆心O 所经过的路线长是32π＋92π＝6π(m)．10. 【答案】D【解析】求线段CA 扫过的图形的面积，即求扇形ACA 1的面积. 由题意，知AC=4,BC=4-2=2,∠A 1BC=90°.由旋转的性质，得A 1C=AC=4. 在Rt △A 1BC 中，cos ∠ACA 1=1BC A C =12.∴∠ACA 1=60°. ∴扇形ACA 1的面积为2460360π⨯⨯=83π. 即线段CA 扫过的图形的面积为83π.故选：D二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】5 [解析]如图，已知☉O ，圆内接正方形ABCD.连接OB ，OC ，过O 作OE ⊥BC ，设此正方形的边长为a ，由垂径定理及正方形的性质得出OE=BE=，由勾股定理得OE 2+BE 2=OB 2，即2+2=52，解得a=5.12. 【答案】10【解析】本题考查了圆锥侧面的展开图，解：∵S l•R ，∴•l•15＝150π，解得l ＝20π，设圆锥的底面半径为r ，∴2π•r ＝20π，∴r ＝10（cm ）． 故答案为：10． 13. 【答案】3π 【解析】先观察图中阴影部分的面积应该等于哪几个规则图形面积的和或差，然后再根据公式进行计算.∵六边形ABCDEF 是正六边形∴每个内角的度数为180°－3606＝120°，且AB ＝BC ，∴∠F AB ＝∠E ＝∠B ＝120°，∵AB ＝BC ，∴∠CAB ＝∠ACB ＝30°，∵任何正六边形都有一个外接圆，∴四边形ADEF 是正六边形外接圆中的内接四边形且AD 为直径，∴AD ＝6，∠E ＋∠F AD ＝180°，∴∠F AD ＝60°，∴∠DAC ＝120°－∠F AD －∠CAB ＝30°，由旋转的性质得：四边形AD /E /F /≌四边形ADEF ，则图中阴影部分的面积＝四边形ADEF 的面积＋扇形ADD '的面积－四边形AD /E /F /的面积＝扇形ADD '的面积＝2306360π⨯＝3π；故答案为：3π．14. 【答案】6π【解析】由图可得，图中阴影部分的面积为：22260π6π(62)π(62)6π36022⨯⨯⨯÷⨯÷+-=，故答案为：6π．15. 【答案】π【解析】如图，作△CBD 的外接圆⊙O ，连接OB ，OD ．∵四边形ABCD 是菱形，∵∠A ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ， ∴△ABD ，△BCD 都是等边三角形，∴BD ＝AD ，∠BDF ＝∠DAE ，∵DF ＝AE ，∴△BDF ≌△DAE （SAS ）， ∴∠DBF ＝∠ADE ， ∵∠ADE +∠BDE ＝60°， ∴∠DBF +∠BDP ＝60°， ∴∠BPD ＝120°，∵∠C ＝60°，∴∠C +∠DPB ＝180°， ∴B ，C ，D ，P 四点共圆， 由BC ＝CD ＝BD ＝2，可得OB ＝OD ＝2，∵∠BOD ＝2∠C ＝120°， ∴点P 的运动的路径的长π．，因此本题答案是π．16. 【答案】π33324--【解析】本题考查了切线的性质、四边形的内角和、弧长公式、三角形的面积公式、切线长定理、三角函数、组合图形的面积计算，解答过程如下：如图所示，连接OM 、ON 、OA ，设BC 与半圆O 分别交于点D 、E ，∵以O 为圆心的半圆分别与AB ，AC 相切于点M ，N ，∴OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，∠MAO=∠NAO=21∠BAC=21×120°=60°，AN=AM ，∴∠MON=360°-90°-90°-120°=60°，∴∠BOM+∠CON=180°-∠MON=180°-60°=120°.∵弧MN 的长为π，∴ππ=⋅18060OM，∴OM=ON=3.∵MAO AM OM ∠=tan ，∴306tan 3=︒=AM，∴3==AM AN . ∴图中阴影部分的面积为：NOE DOM AMON ABC S S S S 扇形扇形四边形△--- =)(2NOE DOM AOM ACO ABO S S S S S 扇形扇形△△△+--+=36012021221212OM OM AM ON AC OM AB ⋅-⋅⨯-⋅+⋅π =3)(212OM OM AM OM AC AB ⋅-⋅-⋅+π =3333316212⋅--⨯⨯π =π33324--.因此本题答案为π33324--．三、解答题（本大题共5道小题）17. 【答案】解:(1)如图，连接OA ，∵AC 为☉O 的切线，OA 是☉O 的半径，∴OA ⊥AC.∴∠OAC=90°.∵∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°.∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°.(2)∵AB=AC ，∴∠B=∠C.∵∠AOC=2∠B ，∴∠AOC=2∠C.∵∠OAC=90°，∴∠AOC +∠C=90°，∴3∠C=90°，∠C=30°.∴OA=OC.设☉O 的半径为r ，∵CE=2，∴r=(r +2).∴r=2.∴☉O 的半径为2.18. 【答案】解：(1)证明：连接OC .∵C ，D 为半圆O 的三等分点，∴AD ︵＝CD ︵＝BC ︵，∴∠DAC ＝∠BAC .∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠ACO ，∴∠DAC ＝∠ACO ，∴OC ∥AD .∵CE ⊥AD ，∴CE ⊥OC ，∴CE 为⊙O 的切线．(2)连接OD .∵AD ︵＝CD ︵＝BC ︵，∴∠AOD ＝∠COD ＝∠BOC ＝13×180°＝60°.又∵OC ＝OD ，∴△COD 为等边三角形，∴∠CDO ＝60°＝∠AOD ，∴CD ∥AB ，∴S △ACD ＝S △COD ，∴图中阴影部分的面积＝S 扇形COD ＝60×π×22360＝2π3.19. 【答案】解：解：（1）①证明：∵OA=OB ，OE=OC ，∠AOE=∠POC ，∴△AOE ≌△POC ； ②∠1+∠C=∠2.理由：∵△AOE ≌△POC ，∴∠E=∠C.∵∠1+∠E ＝∠2，∴∠1+∠C=∠2.（2）相切.如图，∵CP 与小半圆相切，∴CP ⊥OP.在Rt △OPC 中，∵OP=1，OC=2,∴cos ∠COP=12，∴∠COP=60°.∴∠DOE=120°.∴S 扇形EOD=2120243603ππ⨯=. 【解析】本题考查了平行四边形的性质、垂直的性质、三角形内角和定理、平行线的性质和全等三角形的判定和性质等知识．（1）在△AOE 中，由∠AEO 和∠AOE 的度数求得∠EAO 的度数，再由AC 平分∠DAE 求得∠OAD 的度数，进而由AD ∥BC 得到∠ACB ＝∠OAD ，问题得解；（2）先根据AAS 证明△AEO ≌△CFO ，再根据相似三角形对应边相等得到AE ＝CF.20. 【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝AD ＝2，∠ABC ＝90°.∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得△BFA ，∴△BFA ≌△BEC ，∴∠FAB ＝∠ECB ，∠ABF ＝∠CBE ＝90°，AF ＝CE ，∴∠AFB＋∠FAB＝90°.∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，AF＝FG，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，CE＝FG，∴CE綊FG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG.(2)∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝12AB.∵△BFA≌△BEC，∴BF＝BE＝12AB＝1，∴AF＝AB2＋BF2＝ 5.由(1)知四边形EFGC是平行四边形，FC为其对角线，∴点G到FC的距离等于点E到FC的距离，即BE的长，∴S阴影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形FAG＝90π·22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90π·（5）2360＝52－π4.21. 【答案】解：（1）连接圆心O与正五边形各顶点，在正五边形中，∠AOE＝360°÷5＝72°，∴∠ABE＝∠AOE＝36°，同理∠BAC＝×72°＝36°，∴AM＝BM，∴△ABM是等腰三角形且底角等于36°，∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝72°+72°＝144°，∴∠BAD＝∠BOD＝72°，∴∠BNA＝180°﹣∠BAD﹣∠ABE＝72°，∴AB＝NB，即△ABN为等腰三角形；（2）∵∠ABM＝∠ABE，∠AEB＝∠AOB＝36°＝∠BAM，∴△BAM∽△BEA，∴，而AB＝BN，∴，设BM＝y，AB＝x，则AM＝AN＝y，AB＝AE＝BN＝x，∵∠AMN＝∠MAB+∠MBA＝72°＝∠BAN，∠ANM＝∠ANB，∴△AMN∽△BAN，∴，即，则y2＝x2﹣xy，两边同时除以x2，得：，设＝t，则t2+t﹣1＝0，解得：t＝或（舍），∴＝；（3）∵∠MAN＝36°，根据对称性可知：∠MAH＝∠NAH＝∠MAN＝18°，而AO⊥BE，∴sin18°＝sin∠MAH＝＝＝．一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。
2021年中考数学 专题训练：与圆相关的计算(含答案)
2021中考数学专题训练：与圆相关的计算一、选择题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1.把△ABC分别绕直线AB 和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则()A. l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶2B. l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶2C. l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶4D. l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶42. 正八边形的中心角是()A．45°B．135°C．360°D．1080°3. 如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为()A. 10 cmB. 16 cmC. 24 cmD. 26 cm4. (2019•贵阳)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是A．30°B．45°C．60°D．90°5. 2018·宁夏用一个半径为30，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则这个圆锥的底面圆半径是()A．10 B．20 C．10π D．20π6. 如图某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心，AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形ADB的面积为()A．6 B．7 C．8 D．97. 2019·天水模拟一个圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆锥侧面展开图形的圆心角是()A．60°B．90°C．120°D．180°8. 如图，边长为3的正五边形ABCDE的顶点A，B在半径为3的圆O上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆O 上时，点C转过的度数为()A．12°B．16°C．20°D．24°9. 2019·宁波如图所示，在矩形纸片ABCD中，AD＝6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为()A．3.5 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm10. 2018·黑龙江如图在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图阴影部分的面积为( )图A.143π－6B.259πC.338π－3 D.33＋π二、填空题11. 如图①，把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图②所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于 .12. 若一个圆锥的底面圆半径为3 cm ，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是________cm .13. 若一个圆锥的底面圆的半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是________°.14. (2019•扬州)如图，AC 是⊙O 的内接正六边形的一边，点B 在弧AC 上，且B C 是⊙O 的内接正十边形的一边，若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n=__________．15. 2018·烟台如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，M 为AF 的中点，以点O为圆心，OM 长为半径画弧得到扇形MON ，点N 在BC 上；以点E 为圆心，DE 长为半径画弧得到扇形DEF .将扇形MON 的两条半径OM ，ON 重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r 1；将扇形DEF 以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r 2，则r 1∶r 2＝________.16. 佳佳对科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折(如图①所示)，旋转放置，做成科学方舟模型(如图②所示)．图①中正五边形的边心距OB 为2，图②中AC 为科学方舟船头A 到船底的距离，请你计算AC ＋12AB ＝________．三、解答题17. 如图，以△ABC 的边BC 为直径作☉O ，点A 在☉O 上，点D 在线段BC 的延长线上，AD=AB ，∠D=30°. (1)求证:直线AD 是☉O 的切线;(2)若直径BC=4，求图中阴影部分的面积.18. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作☉O ，点D 为☉O 上一点，且CD=CB ，连接DO 并延长交CB 的延长线于点E. (1)判断直线CD 与☉O 的位置关系，并说明理由; (2)若BE=2，DE=4，求☉O 的半径及AC 的长.19. 如图，☉O与△ABC的AC边相切于点C，与AB，BC边分别交于点D，E，DE∥OA，CE是☉O的直径.(1)求证:AB是☉O的切线;(2)若BD=4，CE=6，求AC的长.20. (2019•辽阳)如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，∠=∠．AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使EAC EDA(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若23==，求阴影部分的面积．CE AE21. 如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O、B重合)，作EC⊥OB 交⊙O于点C，作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB.(1)求证：AC平分∠FAB；(2)求证：BC2＝CE·CP；(3)当AB＝43且CFCP＝34时，求劣弧BD︵的长度．2021中考数学专题训练：与圆相关的计算-答案一、选择题1. 【答案】A【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，∴勾股定理得，AC＝ 5.①当△ABC绕AB旋转时，则底面周长l1＝2π×BC＝2π，侧面积为S1＝π×BC×AC ＝5π；②当△ABC绕BC旋转时，则底面周长l2＝2π×AB＝4π，侧面积为S2＝π×AB×AC＝25π，∴l1∶l2＝2π∶4π＝1∶2，S1∶S2＝5π∶25π＝1∶2.2. 【答案】A3. 【答案】C【解析】设弓形高为CD，则DC的延长线过点O，且OC⊥AB，因为半径为13，所以OB＝OD＝13，因为弓形高为8，所以CD＝8，在RtΔOBC 中，根据勾股定理得OC2＋BC2＝OB2，即BC＝OB2－OC2＝132－（13－8）2＝12，由垂径定理得AB＝2BC＝24 cm.4. 【答案】A【解析】∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD=(62)1806-⨯︒=120°，BC=CD，∴∠CBD=12(180°-120°)=30°，故选A．5. 【答案】A6. 【答案】D[解析] ∵正方形的边长为3，∴BD ︵的长度为6，∴S 扇形ADB ＝12lR ＝12×6×3＝9.7. 【答案】D8. 【答案】A[解析] 设点E 第一次落在圆上时的对应点为E ′，连接OA ，OB ，OE ′，如图．∵五边形ABCDE 为正五边形， ∴∠EAB ＝108°.∵正五边形ABCDE 绕点A 逆时针旋转，点E 第一次落在圆O 上的点E ′处， ∴AE ′＝AE ＝3.∵OA ＝AB ＝OB ＝OE ′＝3，∴△OAE ′，△OAB 都为等边三角形， ∴∠OAB ＝∠OAE ′＝60°， ∴∠E ′AB ＝120°， ∴∠EAE ′＝12°，∴当点E 第一次落在圆O 上时，点C 转过的度数为12°.9. 【答案】B10. 【答案】B[解析] ∵AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，∴AC 2＋BC 2＝25＝AB 2，∴△ABC为直角三角形．由旋转的性质得，△ADE 的面积＝△ABC 的面积，由图可知，阴影部分的面积＝△ADE 的面积＋扇形ADB 的面积－△ABC 的面积， ∴阴影部分的面积＝扇形ADB 的面积＝40π×52360＝259π.二、填空题11. 【答案】4-π[解析]如图，∵新的正方形的边长为1+1=2，∴恒星的面积=2×2-π×12=4-π，故答案为:4-π.12. 【答案】9【解析】由n＝360rl得120＝360×3l，解得l＝9.13. 【答案】120【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设扇形的圆心角为n°，则2π×2＝nπ·6180，解得n＝120.14. 【答案】15【解析】如图，连接OB，∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，∴∠AOC=360°÷6=60°，∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，∴∠BOC=360°÷10=36°，∴∠AOB=60°–36°=24°，即360°÷n=24°，∴n=15，故答案为：15．15. 【答案】3∶2[解析] 如图连接OA，OB，OF.∵六边形ABCDEF为正六边形，∴OA＝OF，∠AOF＝∠AOB＝60°，∠E＝120°.∵M为AF的中点，∴∠AOM＝30°.由题意，得ON＝OM.易证△BON≌△AOM，∴∠BON＝∠AOM＝30°，∴∠MON＝120°.设AM＝a，则AB＝OA＝2a，OM＝3 a，∴扇形MON的弧长为120×π×3a180＝2 33πa，则r1＝33a.同理可得，扇形DEF 的弧长为120×π×2a 180＝43πa ，则r 2＝23a ，∴r 1∶r 2＝3∶2.16. 【答案】522 [解析] 如图①，连接OF ，OE .由题意，知AB ⊥EF ，则S 正五边形AGFED ＝5×S △OEF ＝5×(12EF ·OB )＝2.5×2EF ＝5 2BE .如图②，连接AE .S 正五边形AGFED ＝2×S 四边形ABED ＝2×(S △ABE ＋S △ADE )＝2×(12AB ·BE ＋12DE ·AC )＝AB ·BE ＋DE ·AC ＝AB ·BE ＋2BE ·AC ＝BE ·(AB ＋2AC )，∴5 2BE ＝BE ·(AB ＋2AC )． ∴AB ＋2AC ＝5 2，∴AC ＋12AB ＝52 2.三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:如图，连接OA ，∵AD=AB ，∠D=30°，∴∠B=30°，∠DAB=120°. ∵BC 是直径， ∴∠BAC=90°，∴∠DAC=30°，∠BCA=60°， ∵AO=CO ，∴△ACO 是等边三角形， ∴∠CAO=60°，∴∠DAO=∠CAO +∠DAC=90°， ∴直线AD 是☉O 的切线.(2)由(1)知，Rt △ADO 中，AO=2，∠D=30°， ∴AD=2，∴S Rt △ADO =×2×2=2，又∵S==，扇形AOC=S Rt△ADO-S扇形AOC=2.∴S阴影18. 【答案】解:(1)直线CD与☉O相切.理由如下:连接CO.∵点D在圆上，∴OD=OB，又∵CD=CB，CO=CO，∴△COD≌△COB(SSS).∵∠ABC=90°，∴∠ODC=∠ABC=90°，∴OD⊥DC，∴直线CD与☉O相切.(2)设☉O的半径为x，∵DE=4，∴OE=4-x.在Rt△OBE中，BE2+BO2=OE2，即22+x2=(4-x)2，解得x=1.5，∴OD=OB=1.5.AB=2OB=3.∵CB，CD是圆的切线，∴CB=CD.则设CB=CD=y，在Rt△CDE中，CD2+DE2=CE2，即y2+42=(y+2)2，解得y=3，∴BC=3.在Rt△ABC中，AC==3.19. 【答案】解:(1)证明:连接OD，∵DE∥OA，∴∠AOC=∠OED，∠AOD=∠ODE，∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE，∴∠AOC=∠AOD，又∵OA=OA ，OD=OC ，∴△AOC ≌△AOD (SAS)，∴∠ADO=∠ACO. ∵CE 是☉O 的直径，AC 为☉O 的切线， ∴OC ⊥AC ，∴∠OCA=90°，∴∠ADO=∠OCA=90°，∴OD ⊥AB.∵OD 为☉O 的半径，∴AB 是☉O 的切线.(2)∵CE=6，∴OD=OC=3，∵∠BDO=180°-∠ADO=90°，∴BO 2=BD 2+OD 2，∴OB==5，∴BC=8，∵∠BDO=∠OCA=90°，∠B=∠B ，∴△BDO ∽△BCA ， ∴=， ∴=， ∴AC=6.20. 【答案】(1)如图，连接OA ，过O 作OF AE ⊥于F ，∴90AFO ∠=︒，∴90EAO AOF ∠+∠=︒，∵OA OE =， ∴12EOF AOF AOE ∠=∠=∠， ∵12EDA AOE ∠=∠， ∴EDA AOF ∠=∠，∵EAC EDA ∠=∠，∴EAC AOF ∠=∠，∴90EAO EAC ∠+∠=︒，∵EAC EAO CAO ∠+∠=∠，∴90CAO ∠=︒，∴OA AC ⊥，∴AC 是⊙O 的切线．(2)∵CE AE ==∴C EAC ∠=∠，∵EAC C AEO ∠+∠=∠，∴2AEO EAC ∠=∠，∵OA OE =，AEO EAO ∠=∠，∴2EAO EAC ∠=∠，∵90EAO EAC ∠+∠=︒，∴30EAC ∠=︒，60EAO ∠=︒，∴OAE △是等边三角形，∴OA AE =，60EOA ∠=︒，∴OA =∴2πAOE S =扇形，在Rt OAE △中，sin 32OF OA EAO =⋅∠==，∴11322AOE S AE OF =⋅=⨯=△∴阴影部分的面积=2π-21. 【答案】(1)证明：∵PF 切⊙O 于点C ，CD 是⊙O 的直径， ∴CD ⊥PF ，又∵AF ⊥PC ，∴AF ∥CD ，∴∠OCA ＝∠CAF ，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠CAF ＝∠OAC ，∴AC 平分∠FAB ；(2)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠DCP ＝90°，∴∠ACB ＝∠DCP ＝90°，又∵∠BAC ＝∠D ，∴△ACB ∽△DCP ，∴∠EBC ＝∠P ，∵CE ⊥AB ，∴∠BEC ＝90°，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DBC ＝90°，∴∠CBP ＝90°，∴∠BEC ＝∠CBP ，∴△CBE ∽△CPB ，∴BC PC ＝CE CB ，∴BC 2＝CE ·CP ；(3)解：∵AC 平分∠FAB ，CF ⊥AF ，CE ⊥AB ， ∴CF ＝CE ，∵CF CP ＝34，∴CE CP ＝34，设CE ＝3k ，则CP ＝4k ，∴BC 2＝3k ·4k ＝12k 2，∴BC ＝23k ，在Rt △BEC 中，∵sin ∠EBC ＝CE BC ＝3k 23k＝32， ∴∠EBC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形， ∴∠DOB ＝120°，∴BD ︵＝120π·23180＝43π3.。
2021中考数学复习圆的综合题专项训练6(附答案详解)
2021中考数学复习圆的综合题专项训练6（附答案详解）1．如图，四边形ABCD 内接于O ，AD ，BC 的延长线交于点E ，F 是BD 延长线上一点，1602CDE CDF ∠=∠=︒．()1求证：ABC 是等边三角形；()2判断DA ，DC ，DB 之间的数量关系，并证明你的结论．2．如图，B E ，是O 上的两个定点，A 为优弧BE 上的动点，过点B 作BC AB ⊥交射线AE 于点C ，过点C 作CF BC ⊥，点D 在CF 上，且EBD A ∠=∠． （1）求证：BD 与O 相切；（2）已知：30A ∠=①若3BE =，求BD 的长；②当O C ，两点间的距离最短时，判断A B C D ，，，四点所组成的四边形的形状，并说明理由．3．小明家的门框上装有一把防盗门锁（如图1），其平面结构图如图2所示，锁身可以看成由两条等弧AD ，BC 和矩形ABCD 组成的，BC 的圆心是倒锁按钮点M ．已知AD 的弓形高2GH cm =，8AD cm =，11 EP cm =．当锁柄PN 绕着点N 顺时针旋转至NQ 位置时，门锁打开，此时直线PQ 与BC 所在的圆相切，且PQDN ∥， tan 2NQP ∠=．（1）求BC 所在圆的半径；（2）求线段AB 的长度．（5 2.236≈，结果精确到0.1cm ）4．如图，已知直线483l y x =-+:交x 轴于点E ，点A 为x 轴上的一个动点（点A 不与点E 重合），在直线l 上取一点B （点B 在x 轴上方），使5BE AE =，连结AB ，以AB 为边在AB 的右侧作正方形ABCD ，连结OB ，以OB 为直径作P ．（1）当点A 在点E 左侧时，若点B 落在y 轴上，则AE 的长为______，点D 的坐标为_______；（2）若P 与正方形ABCD 的边相切于点B ，求点B 的坐标； （3）P 与直线BE 的交点为Q ，连结CQ ，当CQ 平分BCD ∠时，BE 的长为______．（直接写出答案）5．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA＝∠B，连接AD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD⊥CD，AB＝10，AD＝8，求AC的长；（3）如图2，当∠DAB＝45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．6．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为AB的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E．（1）当DC⊥AB时，则DA DBDC+＝；（2）①当点D在AB上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；（3）当9220PDAC=时，求DEOA的值．7．如图，已知⊙O 半径为3，直径AB 垂直弦CD 于E ，过点A 作∠DAF =∠DAB ，过点D 作AF 的垂线，垂足为点F ，交AB 的延长线于点P ，连接CO 并延长与圆交于点G ，连接EG ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若AD =DP ，求BD 的长度；（3）若tan C =25，求线段EG 的长．8．如图，O 是ABC ∆的外接圆，且5AB AC ==，延长AB 至点E ，使得2BE =，点D 是ACB 上的一个动点，连结AD ，BD ，ED ．（1）当DE BC ∥时，求证：ADB E ∠=∠；（2）若6BC =，则：①求O 的半径；②当ABD ∆为直角三角形时，求DE 的长．9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A -，()3,0D -，()4,3C -，四边形ABCD 是平行四边形．现将ABCD 沿x 轴方向平移n 个单位，得到1111A B C D ，抛物线M 经过点1A ，1C ，1D ．（1）若抛物线M 的对称轴为直线4x =，求抛物线M 的解析式；（2）抛物线M 的顶点为E ，若以A ，E ，1C 为顶点的三角形的面积等于ABCD 的面积的一半，求n 的值；（3）在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点P ，使得11C PA C EA ∠=∠？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知锐角△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC 于点D ，连接AO ．（1）如图1，求证：∠BAO ＝∠CAD ；（2）如图2，CE ⊥AB 于点E ，交AD 于点F ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，求证：AF ＝2OH ；（3）如图3，在（2）的条件下，若AF ＝AO ，tan ∠BAO ＝13，BC ＝215，求AC 的长．11．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 切x 轴、y 轴于C 、D 两点，直线交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，且与⊙P 相切于点 E ．若AC ＝4，BD ＝6．（1）求⊙P 的半径；（2）求切点E 的坐标．12．如图，点A 、B 在⊙O 上，直线AC 是⊙O 的切线，OC ⊥OB ，连接AB 交OC 于点D ．（1）求证：AC ＝CD ；（2）如果OD ＝1，tan ∠OCA ＝52，求AC 的长．13．在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 存在一点Q ，使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点． （1）当⊙O 的半径为2时，①在点1231135,0,,,,02222P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 中，⊙O 的关联点是_______________． ②点P 在直线y=-x 上，若P 为⊙O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y=-x+1与x 轴、y 轴交于点A 、B ．若线段AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围． 14．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝4，O 是BC 边上的点且⊙O 与AB 、AC 都相切，切点分别为D 、E ．（1）求⊙O 的半径；（2）如果F 为DE 上的一个动点（不与D 、E ），过点F 作⊙O 的切线分别与边AB 、AC 相交于G 、H ，连接OG 、OH ，有两个结论：①四边形BCHG 的周长不变，②∠GOH 的度数不变．已知这两个结论只有一个正确，找出正确的结论并证明；（3）探究：在（2）的条件下，设BG ＝x ，CH ＝y ，试问y 与x 之间满足怎样的函数关系，写出你的探究过程并确定自变量x 的取值范围，并说明当x ＝y 时F 点的位置．15．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C做⊙O的切线，与AE的延长线交于点D，且AD⊥CD．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AB=10，CD=4，求DE的长．16．如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O 与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．（1）若E是CD的中点时，证明：FG是⊙O的切线（2）试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时DE的长；若不能，请说明理由．17．如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，点P在边AC上运动（点P与点A、C不重合）．以P为圆心，PA为半径作⊙P交边AB于点D、过点D作⊙P的切线交射线BC于点E（点E与点B不重合）．（1）求证：BE＝DE；（2）若PA＝1．求BE的长；（3）在P点的运动过程中．（BE+PA）•PA的值是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．18．如图，以O 的弦AB 为斜边作Rt ABC ，C 点在圆内，边BC 经过圆心O ，过A 点作O 的切线AD ．（1）求证：2DAC B ∠=∠；（2）若3sin 5B =，6AC =，求O 的半径．19．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AE 是∠BAC 的平分线，∠ABC 的平分线 BM 交 AE 于点 M ，点 O 在 AB 上，以点O 为圆心，OB 的长为半径的圆经过点 M ，交 BC 于点G ，交 AB 于点 F ．（1）求证：AE 为⊙O 的切线．（2）当 BC=8，AC=12 时，求⊙O 的半径．（3）在（2）的条件下，求线段 BG 的长．20．如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，OE BC ⊥于点E ，交O 于点F ，AF 与BC 交于点,M D 为OF 延长线上一点，且ODB AFC ∠=∠．（1）求证：BD 是O 的切线；（2）求证：2CF FM FA =⋅；（3）若310,sin 5AB BAF =∠=，求BM 的长．21．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆弧上一点，在AC上取一点D，使BC=CD，连结BD并延长交⊙O于E，连结AE，OE交AC于F．(1)求证：△AED是等腰直角三角形；(2)如图1，已知⊙O的半径为5．①求CE的长；②若D为EB中点，求BC的长．(3)如图2，若AF：FD=7：3，且BC=4，求⊙O的半径．22．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA 交CA的延长线于点E．（1）连接AD，则∠OAD＝°；（2）求证：DE与⊙O相切；（3）点F在BC上，∠CDF＝45°，DF交AB于点N．若DE＝3，求FN的长．23．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC（1）求证：DE与⊙O相切；24．已知，AB为⊙O的直径，弦BC、AF相交于点E，过点E作ED⊥AB，∠AEC＝∠BED．（1）如图1，求证：AC CF；（2）如图2，当∠BAF＝45°时，OC交AF于点H，作FG⊥BH于点Q，交AB于点G，连接GH，求证：∠AGH＝∠BGF；（3）如图3，在（2）的条件下，射线HG与⊙O交于点P，过点P作PK⊥BH交AB于点M，垂足为点K，点N为BH的中点，MN＝10，求⊙O的半径．25．如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A ＝∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）求证：CG＝BG；（3）若∠DBA＝30°，CG＝8，求BE的长．26．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于E，过点A作AF⊥AC 于F交⊙O于D，连接DE，BE，BD（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若AB＝12，tan∠BED＝34，求CF的长．（1）如图①，点O 在斜边AB 上，以点O 为圆心，OB 长为半径的圆交AB 于点D ，交BC 于点E ，与边AC 相切于点F ．求证：∠1＝∠2；（2）在图②中作⊙M ，使它满足以下条件：①圆心在边AB 上；②经过点B ；③与边AC 相切．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）28．已知 AB 是⊙ O 的直径，点 D 是弧 AB 上一点，AD 的延长线交⊙ O 的切线 BM 于点 C ，点 E 为 BC 的中点；（1） 求证：DE 是⊙ O 的切线；（2）如图2，若 DC=4，1tan A 2∠=延长 OD 交切线 BM 于点 H ，求 DH 的值； （3）如图 3，若 AB=8，点 F 是弧 AB 的中点，当点 D 在弧 AB 上运动时，过 F 作 FG ⊥AD 于 G ，连接 BG ，求 BG 的最小值．29．对于平面直角坐标系xOy 中的点()(),0Q x y x ≠，将它的纵坐标y 与横坐标x 的比y x称为点Q 的“理想值”，记作Q L ．如()1,2Q -的“理想值”221Q L ==--．（1）①若点()1,Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_______；②如图，()3,1C ，C 的半径为1．若点Q 在C 上，则点Q 的“理想值”Q L 的取值范围是_______．（2）点D 在直线333y x =-+上，D 的半径为1，点Q 在D 上运动时都有03Q L ≤≤，求点D 的横坐标D x 的取值范围；（3）()()2,0M m m >，Q 是以r 为半径的M 上任意一点，当022Q L ≤≤时，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值．（要求画图位置准确，但不必尺规作图）30．如图，点O 为∠ABC 的边BC 上的一点，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，到点O 的距离等于线段OM 的长的所有点组成图形W ．图形W 与射线BC 交于E ，F 两点(点在点F 的左侧).（1）过点M 作MH BC ⊥于点H ，如果BE=2，2sin 3ABC ∠=，求MH 的长； （2）将射线BC 绕点B 顺时针旋转得到射线BD ，使得∠CBD 90MOB +∠=︒，判断射线BD 与图形W 公共点的个数，并证明．参考答案1．（1）详见解析；（2）.DA DC DB +=【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠CDE=∠ABC=60°，根据圆周角定理、等边三角形的判定定理证明；（2）在BD 上截取PD=AD ，证明△APB ≌△ADC ，根据全等三角形的性质证明结论．【详解】()1证明：1602CDE CDF ∠=∠=︒， 60CDE EDF ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 内接于O ，60CDE ABC ∴∠=∠=︒，由圆周角定理得，60ACB ADB EDF ∠=∠=∠=︒，ABC ∴是等边三角形；()2解：DA DC DB +=，理由如下：在BD 上截取PD AD =，60ADP ∠=︒，APD ∴为等边三角形，AD AP ∴=，60APD ∠=︒，120APB ∴∠=︒，1602CDE CDF ∠=∠=︒， 120ADC APB ∴∠=︒=∠，由圆周角定理得，ABP ACD ∠=∠，在APB △和ADC 中，,APB ADC ABP ACD AP AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩APB ∴≌()ADC AAS ，BP CD ∴=，BD BP PD CD AD ∴=+=+．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．2．（1）详见解析；（2）①BD =②四边形ABDC 是平行四边形，理由详见解析【解析】【分析】（1）如图1，作直径BG ，连接GE ，证∠EBD=∠G ，则∠EBD+∠GBE=90°，即可推出结论；（2）①如图2，连接AG ，证△BCD ∽△BAG，推出BD BG =，在Rt △BGE 中，求出BG 的长，可进一步求出BD 的长；②由①推出2BE BD =，因为B ，E 为定点，BE 为定值，所以BD 为定值，D 为定点，因为∠BCD=90°，所以点C 在以BD 为直径的⊙M 上运动，当点C 在线段OM 上时，OC 最小，证BM OB =∠OMB=60°，依次推出AB ∥CD ，AC ∥BD 即可． 【详解】（1）如图1，作直径BG ，连接GE ，则∠GEB=90°，∴∠G+∠GBE=90°，∵∠A=∠EBD，∠A=∠G，∴∠EBD=∠G，∴∠EBD+∠GBE=90°，∴∠GBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD与⊙O相切；（2）①如图2，连接AG，∵BC⊥AB，∴∠ABC=90°，由（1）知∠GBD=90°，∴∠GBD=∠ABC，∴∠GBA=∠CBD，又∵∠GAB=∠DCB=90°，∴△BCD∽△BAG，∴3tan 30BD BC BG BA === 又Rt BGE ∆中，30A ∠=︒，3BE =∴26BG BE ==∴63BD =⨯= ②四边形ABDC 是平行四边形．理由如下： 由①知12BE BG =，BD BG = ∴BE BD = ∵B E ，为定点，BE 为定值∴BD 为定值，D 为定点90BCD ∠=︒∴点C 在BD 为直径的M 上运动，∴当点C 在线段OM 上时，OC 最小此时在Rt OBM∆中，1212BD BM OB BG == ∴60OMB ∠=︒∴MC MD =∴30MDC MCD A ∠=∠=︒=∠AB BC ⊥，CD BC ⊥∴90ABC DCB ∠=∠=︒∴//AB CD∴180A ACD ∠+∠=︒∴180BDC ACD ∠+∠=︒∴//AC BD∴四边形ABDC 为平行四边形．【点睛】本题考查了圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等，解题关键是在第②问中能够确定点C 在以BD 为直径的⊙M 上运动，当点C 在线段OM 上时，OC 最小，并可根据此条件对四边形ABCD 的形状进行判定等．3．（1）即BC 所在圆的半径为5cm ；（2）29.8AB ≈cm ．【解析】【分析】（1）连结BM ，设HM 交 BC 于点K ，设BM r =，在Rt BMK △中，根据勾股定理，列方程，即可求解；（2）延长PQ 交NM 的延长线于点T ，设直线PQ 与BC 所在的圆相切于点 J ，连结M J ．由//DN PQ ，NP NQ =得DNE NQP ∠=∠，结合tan 2NQP ∠=，8DE NG ==cm ，15NP =cm ，由tan tan 2TMJ P ∠==，得30NT cm =，10TJ cm =，进而得(305)MN cm =-，即可求解．【详解】（1）如图，连结BM ，设HM 交 BC 于点K ． ∴BK=AG=142AD cm =, 设BM r =，∴在Rt BMK △中，2224(2)r r =+-，解得：=5r ，即BC 所在圆的半径为5cm ；（2）如图，延长PQ 交NM 的延长线于点T ，设直线PQ 与BC 所在的圆相切于点 J ，连结 M J ．//DN PQ ，DNE P ∴∠=∠．NP NQ =，P NQP ∴∠=∠，DNE NQP ∴∠=∠，tan tan 2DE DNE NQP NE∴∠=∠==． 4NE DG ==cm ，8DE NG ∴==cm ，41115NP NE EP ∴=+=+=cm ．直线PQ 与BC 所在的圆相切于点 J ，MJ PQ ∴⊥，5MJ =cm ，TMJ P ∴∠=∠，tan tan 2TMJ P ∴∠==，12MJ NP TJ NT ∴==， 15230NT cm ∴=⨯=，5210TJ cm =⨯=，MT ∴=cm ，(30MN NT MT cm ∴=-=-，83034129.8AB GN MN MK ∴=++=+-=-≈cm ．【点睛】本题主要考查圆的性质，切线的性质以及锐角三角函数的综合，掌握垂径定理，切线的性质定理和正切三角函数的定义，是解题的关键．4．（1）2，(12,4)；（2）点B 的坐标为(-12,24)或2424(,)77或4824(,)1111；（3）785． 【解析】【分析】（1）先求出直线483l y x =-+:交 x 轴于点0(6)E ，，交y 轴于点(0)8，，进而求出2AE =，得到(4,0)A ，过点D 作DM ⊥x 轴，得∆OBA ≅∆DAM ，进而即可求解；（2）分3种情况：①如图1，当P 与BC 相切于点B 时，90OBC ∠=︒，点A 与点O 重合，②如图2，当P 与直线AB 相切于点B ，点A 在点E 右侧时，则90OBA ∠=︒，③如图3，，当P 与直线AB 相切于点B ，点A 在点E 左侧时，则90OBA ∠=︒，分别求解，即可；（3）如图4，作BG OA 于点G ，连结OQ ．设AE m =，可得(63,4)B m m -，(6,0)A m -，(6,6)C m m +，再求出9672(,)2525Q ，由条件可知：C ，Q ，A 三点共线，列出关于m 的比例式，求出m 的值，进而即可求解．【详解】（1）直线483l y x =-+:交 x 轴于点0(6)E ，，交y 轴于点(0)8，， (0,8)B ∴，6OE ∴=，8OB =，10BE =．5BE AE =，2AE ∴=，∵点A 在点E 左侧，(4,0)A ∴，如图1，过点D 作DM ⊥x 轴，∵∠OBA+∠OAB=∠OAB+∠DAM=90°，∴∠OBA=∠DAM ，又∵AB=DA ，∠AOB=∠DMA=90°，∴∆OBA ≅∆DAM （AAS ），∴DM=OA=4，OB=AM=8，∴OM=8+4=12，(12,4)D ∴；（2）①如图2，当P 与BC 相切于点B 时，90OBC ∠=︒，又∵∠ABC=90°，点A 为x 轴上的一个动点，∴点A 与点O 重合，∴530BE OE ==，设P 与x 轴的交点为点N ，连接BN ，则∠BNO=90°，设直线l 与y 轴交于点K ，则OK=8， ∵BN ∥OK ， ∴BN NE BE OK OE KE ==，即：308610BN NE ==， ∴BN=24，NE=18，∴ON=18-6=12，∴(12,24)B -；．②如图3，当P 与直线AB 相切于点B ，点A 在点E 右侧时，则90OBA ∠=︒， 设P 与x 轴交于点H ，连接BH ，则∠OHB=90°，设AE m =，则5BE m =，∵sin ∠BEH=45， 4BH m ∴=，3EH m =，4AH BH m ∴==，45BAO ∴∠=︒．90OBA ∠=︒，45BOA ∴∠=︒，即点B 在直线y x =上， 联立483y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，解得：247247x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点2424,77B ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ③如图4，当P 与直线AB 相切于点B ，点A 在点E 左侧时，则90OBA ∠=︒， 设P 与x 轴交于点F ，连接BF ，则∠OFB=90°，设AE m =，则5BE m =，∵sin ∠BEF=45， ∴4BF m =，3EF m =，∴2AF m =．90OBA OFB ∠=∠=︒，∴∠ABF+∠OBF=∠BOF+∠OBF=90°，∴∠ABF=∠BOF ，∵∠AFB=∠BFO=90°，∴OFB BFA △∽△，∴2BF OF AF =⋅，216(63)2m m m ∴=-⋅，解得：126011m m ==，（舍去）， ∴点48241111B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 综上所述，点B 的坐标为(-12,24)或2424(,)77或4824(,)1111； （3）如图5，作BG OA 于点G ，连结OQ ．设AE m =，则5BE m =，由第（2）题，可知4BG m =，3EG m =，2AG m =，(63,4)B m m ∴-，(6,0)A m -，过点C 作CT ⊥GB ，交GB 的延长线于点T ，∵∠CBT+∠ABG=∠ABG+∠BAG=90°，∴∠CBT=∠BAG ，又∵∠CTB=∠BGA=90°，CB=BA ，∴∆CTB ≅∆BGA （AAS ），∴CT=BG=4m ，BT=AG=2m ，∴TG=6m ，点C 的横坐标=CT-OG=4m-(3m-6)=m+6，∴(6,6)C m m +，∵OB 是P 的直径，∴OQ ⊥直线l ，且过原点O ，∴直线OQ 的解析式为：34y x =， 联立48334y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：96257225x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 9672(,)2525Q ∴． CQ 平分BCD ∠，C ∴，Q ，A 三点共线，606(6)72960(6)2525m m m m -+--∴=---，解得：7825m =， 7825AE ∴=， 785BE ∴=． 故答案是：785．图1 图2图3 图4图5【点睛】本题主要考查圆的基本性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质，切线的性质定理的综合，添加辅助线，构造全等三角形和直角三角形，是解题的关键．5．（1）见解析；（2）AC的长为5（3）AC＝BC2EC，理由见解析【解析】【分析】(1)连接OC,由直径所对圆周角是直角可得∠ACB=90°,由OC=OB得出∠OCB=∠B,由因为∠DCA=∠B,从而可得∠DCA=∠OCB,即可得出∠DCO=90°;(2) 由题意证明△ACD∽△ABC,根据对应边成比例列出等式求出AC即可;(3) 在AC上截取AF使AF＝BC，连接EF、BE，通过条件证明△AEF≌△BEC,根据性质推出△EFC为等腰直角三角形,即可证明AC、EC、BC的数量关系．【详解】(1)证明：连接OC，如图1所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB，∵∠DCA＝∠B，∴∠DCA＝∠OCB，∴∠DCO＝∠DCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝∠ACB＝90°，∴CD⊥OC，∴CD是⊙O的切线；(2)解：∵AD⊥CD∴∠ADC＝∠ACB＝90°又∵∠DCA＝∠B∴△ACD∽△ABC∴AC ADAB AC=，即810AC AC =， ∴AC ＝45，即AC 的长为45；(3)解：AC ＝BC +2EC ；理由如下：在AC 上截取AF 使AF ＝BC ，连接EF 、BE ，如图2所示：∵AB 是直径，∴∠ACB ＝∠AEB ＝90°，∵∠DAB ＝45°，∴△AEB 为等腰直角三角形，∴∠EAB ＝∠EBA ＝∠ECA ＝45°，AE ＝BE ，在△AEF 和△BEC 中，AE BE EAF EBC AF BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BEC (SAS )，∴EF ＝CE ，∠AFE ＝∠BCE ＝∠ACB +∠ECA ＝90°+45°＝135°，∴∠EFC ＝180°﹣∠AFE ＝180°﹣135°＝45°，∴∠EFC ＝∠ECF ＝45°，∴△EFC 为等腰直角三角形．∴CF 2EC ，∴AC ＝AF +CF ＝BC 2EC ．【点睛】本题考查圆与三角形的结合,关键在于牢记基础性质,利用三角形的相似对应边以及三角形的全等进行计算．6．（1；（2）①DA+DB DC ，②S ＝12t 2﹣14m 2 ；（3）35DE OA =. 【解析】【分析】（1）首先证明当DC ⊥AB 时，DC 也为圆的直径，且△ADB 为等腰直角三角形，即可求出结果；（2）①分别过点A ，B 作CD 的垂线，连接AC ，BC ，分别构造△ADM 和△BDN 两个等腰直角三形及△NBC 和△MCA 两个全等的三角形，容易证出线段DA ，DB ，DC 之间的数量关系；②通过完全平方公式（DA+DB ）2＝DA 2+DB 2+2DA•DB 的变形及将已知条件AB ＝m 代入即可求出结果；（3）通过设特殊值法，设出PD 的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果．【详解】解：（1）如图1，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵C 为AB 的中点，∴AC BC =，∴∠ADC ＝∠BDC ＝45°，∵DC ⊥AB ，∴∠DEA ＝∠DEB ＝90°，∴∠DAE ＝∠DBE ＝45°，∴AE ＝BE ，∴点E 与点O 重合，∴DC 为⊙O 的直径，∴DC ＝AB ，在等腰直角三角形DAB 中，DA ＝DB＝2AB ， ∴DA+DB ＝2AB ＝2CD ，∴DA DB DC+＝2；（2）①如图2，过点A 作AM ⊥DC 于M ，过点B 作BN ⊥CD 于N ，连接AC ，BC ， 由（1）知AC BC =，∴AC ＝BC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠BNC ＝∠CMA ＝90°，∴∠NBC+∠BCN ＝90°，∠BCN+∠MCA ＝90°，∴∠NBC ＝∠MCA ，在△NBC 和△MCA 中，BNC CMA NBC MCA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△NBC ≌△MCA （AAS ）， ∴CN ＝AM ，由（1）知∠DAE ＝∠DBE ＝45°，AM 2DA ，DN 2DB ， ∴DC ＝DN+NC ＝22DB+22DA ＝22（DB+DA ）， 即DA+DB 2DC ；②在Rt△DAB中，DA2+DB2＝AB2＝m2，∵（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA•DB，且由①知DA+DB2DC2t，∴2t）2＝m2+2DA•DB，∴DA•DB＝t2﹣12m2，∴S△ADB＝12DA•DB＝12t2﹣14m2，∴△ADB的面积S与t的函数关系式S＝12t2﹣14m2；（3）如图3，过点E作EH⊥AD于H，EG⊥DB于G，则NE＝ME，四边形DHEG为正方形，由（1）知AC BC=，∴AC＝BC，∴△ACB为等腰直角三角形，∴AB2AC，∵220 PDAC=，设PD＝2，则AC＝20，AB＝2，∵∠DBA＝∠DBA，∠PAB＝∠ADB，∴△ABD∽△PBA，∴AB BD ADPB AB PA==，20292202 DB=+，∴DB＝162，∴AD＝22AB DB-＝122，设NE＝ME＝x，∵S△ABD＝12AD•BD＝12AD•NE+12BD•ME，∴12×122×162＝12×122•x+12×162•x，∴x＝4827，∴DE＝2HE＝2x＝967，又∵AO＝12AB＝102，∴96242735102DEOA=⨯=．【点睛】本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系．7．（1）证明见解析；（2）π；（3）21【解析】【分析】（1）连接OD，如图1，先证明∠ADO＝∠DAF得到OD∥AF，然后根据平行线的性质判断DF⊥OD，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）先证明∠P＝∠DAF＝∠DAB，然后根据三角形内角和计算出∠P＝30°，从而得到∠POD＝60°，然后根据弧长公式计算；（3）如图，连接GD，根据tan C 25，设GD=2a，5a，由勾股定理列出方程求出GD 与CD，再由垂径定理得出DE，在Rt△GED中，利用勾股定理即可求出EG的长度．【详解】（1）证明：连接OD，如图1，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∵∠DAF＝∠DAB，∴∠ADO＝∠DAF，∴OD∥AF，又∵DF⊥AF，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；（2）∵AD＝DP∴∠P＝∠DAF＝∠DAB，而∠P＋∠DAF＋∠DAB＝90°，∴∠P＝30°，∴∠POD＝60°，又∵半径为3，∴BD的长度603180ππ⨯==，（3）如图，连接GD，∵CG是直径，半径为3，∴∠CDG=90°，CG=6，∵tan C 25，即255GDCD=∴设GD=2a ，CD=5a （a ＞0）在Rt △CGD 中，由勾股定理可得：222GD CD CG +=，即224536a a +=，解得：2a =或a=-2（舍去）∴GD=4，CD=25，又∵AB ⊥CD ，∴DE=CE=152CD = 在Rt △GED 中，EG=()22224521GD DE +=+=，∴EG=21．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，弧长的计算以及三角函数在圆中的计算问题，解题的关键是熟悉圆的性质以及锐角三角函数的定义．8．（1）证明见解析；（2）①258r =；②174DE =或1009DE = 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABC=∠E ，根据圆周角定理得到∠ADB=∠ACB ，等量代换证明结论；（2）①连接AO 并延长交BC 于F ，连接OC ，根据垂径定理得到AF ⊥BC ，根据等腰三角形的性质求出CF ，根据勾股定理求出AF ，根据勾股定理列式计算即可；②分∠ABD=90°、∠BAD=90°两种情况，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：（1）∵//DE BC ，∴ABC E ∠=∠，∵AB AC =，∴∠=∠ACB ABC ，∴ACB E ∠=∠，∵ACB ADB ∠=∠，∴ADB E ∠=∠．（2）①连接AO 并延长交BC 于点F ，连接OC ．∵AB AC =，OB OC =，∴AF BC ⊥，∵6BC =，∴3CF =，在Rt ACF ∆中，5AC =，由勾股定理得：4AF =，设半径为r ，则4OF r =-，由勾股定理，得：()22243r r -+=，解得：258r =． ②当D 运动到AD 过圆O 时，90ABD ∠=︒， ∴AD=2524r =， ∴2222222225172544DE BE BD BE AD AB ⎛⎫=+=+-=+-= ⎪⎝⎭． 当D 运动到BD 过圆O 时，90BAD ∠=︒，∴BD=2524r =， ∴22222222251009754DE AE AD AE BD AB ⎛⎫=+=+-=+-= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的是圆的有关概念、勾股定理、直角三角形的性质，掌握垂径定理、圆周角定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．9．（1）()2y x 41=--；（2）3n =；（3）30,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或30,2⎛ ⎝⎭． 【解析】【分析】（1）根据题意，先求出a 的值，然后得到二次函数的解析式，然后得到平移后的解析式； （2）根据题意，先求出直线1C E 的解析式，然后根据面积公式，即可得到答案； （3）点A 、C 1、E 作圆Q ，则点Q 在AC 1的中垂线上，设点Q （m ，32），则求出m=1，然后根据勾股定理，即可求出t 的值.【详解】解：（1）由题意得，()1,0A -，()3,0D -，∴设过点,,A C D 的抛物线的解析式为：()()13y a x x =++，把()4,3C -代入()()13y a x x =++，得1a =．∴()()()21321y x x x =++=+-．∵平移之后过点1A 、1C 、1D 的抛物线的顶点坐标()41-,．∴抛物线M 的解析式为()2y x 41=--．（2）由题意得，平移n 个单位后，()14,3C n -，()2,1E n --．设直线1C E :y kx b =+，把点()14,3C n -，()2,1E n --代入， 得225k b n =-⎧⎨=-⎩， ∴225y x n =-+-．令0y =，得252n x -=， ∵236ABCD S =⨯=，∴1125143 22AEC nS ∆-⎛⎫=⨯+⨯=⎪⎝⎭，解得：3n=．（3）存在，理由：由（2）知点C（-1，3），点A（-1，0），则AC⊥x轴，故点A、C1、E作圆Q，则点Q在AC1的中垂线上，设点Q（m，32），则此时，∠C1PA=∠C1EA，由QC1=QE得：（m+1）2+（3-32）2=（m-1）2+（1+32）2，解得：m=1，则点Q（1，32），设点P（0，t），由QP=QE得：1+（32-t）2=（52）2，解得：321t±=，故点P的坐标为：3210,2⎛⎝⎭或3210,2⎛⎫-⎪⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），通过构建圆M，确定∠C1PA=∠C1EA是本题的难点．10．（1）详见解析；（262．【解析】【分析】（1）延长AO交⊙O于K，连接BK．利用等角的余角相等证明即可．（2）延长CO交⊙O于M，连接AM，BM，连接BF．证明四边形AMBF是平行四边形，BM＝2OH即可解决问题．（3）延长CO交⊙O于M，连接AM，BM，连接BF．证明∠BAO＝∠DAC＝∠DBF，推出tan∠DBF＝tan∠BAP＝13＝DF CDBD AD，设DF＝x，则BD＝3x，CD＝215﹣3x，AD＝615﹣9x，AF＝BM＝615﹣10x，构建方程即可解决问题．【详解】（1）证明：延长AO交⊙O于K，连接BK．∵AK是直径，∴∠ABK＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠BAO+∠K＝90°，∠DAC+∠C＝90°，∠K＝∠C，∴∠BAO＝∠DAC．（2）证明：延长CO交⊙O于M，连接AM，BM，连接BF．∵CM是直径，∴∠CBM＝∠MAC＝90°，∵OH⊥BC，∴BH＝CH，∠OHC＝∠CBM＝90°，∴AD∥BM，∵OC＝OM，∴BM＝2OH，∵AD⊥BC，CA⊥AB，∴BF⊥AC，∵A⊥AC，∴AM∥BF，∴四边形AMBF是平行四边形，∴AF＝BM，∴AF＝2OH．（3）解：延长CO交⊙O于M，连接AM，BM，连接BF．由（2）可知，四边形AMBF是平行四边形，∴AF＝BM，∴OA＝AF，∴BM＝OA，∴CM＝2BM，∵∠CBM＝90°，∴∠BCM＝30°，∵∠BAO＝∠DAC＝∠DBF，∴tan∠DBF＝tan∠BAP＝13＝DF CDBD AD，设DF＝x，则BD＝3x，CD＝153x，AD＝159x，AF＝BM＝1510x，∵BC＝∴BM＝BC•tan30°＝∴10x＝∴x＝5，∴AC5==．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．11．（1）2；（2）E（185，165）．【解析】【分析】（1）如图，连接PD，PC．设PD＝DO＝OC＝PC＝x，利用切线长定理以及勾股定理即可解决问题．（2）作EH⊥OA于H．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【详解】（1）如图，连接PD，PC．∵OB，OA，AB是⊙P的切线，∴BD＝BE＝6，AC＝CE＝4，OD＝OC，PD⊥OB，PC⊥OC，∴四边形PDOC是正方形，设PD＝DO＝OC＝PC＝x，∵OB2+OA2＝AB2，∴（x+6）2+（x+4）2＝102，解得x＝2或﹣12（舍弃），∴⊙P的半径为2．（2）作EH⊥OA于H．∵EH∥OB，∴EH AE AH OB AB AO==，∴48106EH AH==，∴EH＝165，AH＝125，∴OH＝6﹣125＝185，∴E（185，165）．【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握切线长定理以及勾股定理、平行线分线段成比例定理是解题的关键．12．（1）详见解析；（2）2．【解析】【分析】（1）由直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，易得∠ADC＝∠DAC，根据等角对等边，可得AC＝CD；（2）由tan∠OCA 5，可得52OAAC=，则可设AC＝2x，则AO5，由勾股定理，求得OC＝3x，继而可表示出AC＝CD＝2x，可得OC＝2x+1，即可得方程3x＝2x+1，继而求得答案．【详解】（1）证明：∵直线AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAC ＝90°，即∠OAB +∠DAC ＝90°，∵OC ⊥OB ，∴∠B +∠ODB ＝90°，∵OA ＝OB ，∴∠B ＝∠DAB ，∵∠ODB ＝∠ADC ，∴∠ADC ＝∠DAC ，∴AC ＝CD ；（2）解：在Rt △OAC 中，∠OAC ＝90°，∵tan ∠OCA ，∴OA AC∴设AC ＝2x ，则AO ，由勾股定理得：OC ＝3x ，∵AC ＝CD ，∴AC ＝CD ＝2x ，∵OD ＝1，∴OC ＝2x +1，∴2x +1＝3x ，解得：x ＝1，∴AC ＝2．【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握切线的性质、等角对等边、解直角三角形、勾股定理是解题的关键．13．（1）①P 2、P 3，②≤x≤－2或2 ；（2）－2≤x≤1或 . 【解析】试题分析：（1）①由题意得，P 只需在以O 为圆心，半径为1和3两圆之间即可，由23,OP OP的值可知23,P P 为⊙O 的关联点；②满足条件的P 只需在以O 为圆心，半径为1和3两圆之间即可，所以P 横坐标范围是－322 ≤x≤－22 或22 ≤x≤322； （2）.分四种情况讨论即可，当圆过点A ， CA=3时；当圆与小圆相切时；当圆过点 A ，AC=1时；当圆过点 B 时，即可得出.试题解析：（1）12315,01,22OP P OP ===， 点1P 与⊙的最小距离为32 ，点2P 与⊙的最小距离为1，点3P 与⊙的最小距离为12， ∴⊙的关联点为2P 和3P ．②根据定义分析，可得当直线y=-x 上的点P 到原点的距离在1到3之间时符合题意； ∴ 设点P 的坐标为P (x ，-x) ，当OP=1时，由距离公式可得，OP=22(0)(0)1x x -+--= ，解得22x =± ，当OP=3时，由距离公式可得，OP=22(0)(0)3x x -+--= ，229x x +=，解得322x =±， ∴ 点的横坐标的取值范围为－322 ≤x≤－22 或22 ≤x≤322（2）∵y=-x+1与轴、轴的交点分别为A 、B 两点，∴ 令y=0得，-x+1=0，解得x=1， 令得x=0得，y=0，∴A(1，0) ，B (0，1) ，分析得：如图1，当圆过点A时，此时CA=3，∴点C坐标为，C ( -2，0)如图2，当圆与小圆相切时，切点为D，∴CD=1 ，又∵直线AB所在的函数解析式为y=-x+1，∴直线AB与x轴形成的夹角是45°，∴ RT△ACD中，2，∴ C点坐标为2，0)x≤12，∴C点的横坐标的取值范围为；-2≤c如图3，当圆过点A时，AC=1，C点坐标为(2，0)如图4，当圆过点B 时，连接BC ，此时BC =3，在Rt△OCB中，由勾股定理得OC=23122-=，C点坐标为(22，0)．∴ C点的横坐标的取值范围为2≤cx2；∴综上所述点C的横坐标的取值范围为－322≤c x≤－22或22≤c x≤322．【点睛】本题考查了新定义题，涉及到的知识点有切线，同心圆，一次函数等，能正确地理解新定义，正确地进行分类讨论是解题的关键.14．（1）2；（2）②的结论正确，证明详见解析；（3）y＝8x，2≤x≤4，F为AO与圆的交点同时F是DE的中点．【解析】【分析】（1）连接OD、OE、OA；构造正方形和直角三角形，利用勾股定理和正方形的性质解答；（2）连接OF、OG、OH；根据切线长定理和圆的半径相等，构造全等三角形，即△DOG≌△FOG，△FOH≌△EOH；得到相等的角∠DOG＝∠FOG，∠FOH＝∠EOH；进而得到∠GOH＝DOE2＝45°；（3）当x＝y时，有AG＝AH，根据平行线分线段成比例定理的逆定理，判定GH∥BC，根据切线性质，判断F为AO与圆的交点同时F是DE的中点．【详解】（1）连接OD、OE、OA，∵O是BC边上的点且⊙O与AB、AC都相切，∴OD⊥AB，AC⊥OE，又∵∠BAC＝90°，且OD＝OE，∴四边形ADOE为正方形，∴OE＝AE，`∴∠OAE＝45°；又∵∠C＝45°，∴OE＝2，△OAC为等腰直角三角形，AE＝EC＝12AC＝12×4＝2，即⊙O的半径是2；（2）②的结论正确；理由如下：连接OF、OG、OH，由题意，GD、GF以及HF、HE与圆相切，所以GD＝GF，HE＝HF，∠DOG＝∠FOG，∠FOH＝∠HOE，而∠DOE＝90°，所以可以得到∠GOH＝DOE2＝45°．（3）BG＝x，CH＝y，易得：GF＝GD＝x﹣2，FH＝HE＝y﹣2，AG＝4﹣x，AE＝4﹣y，所以GH＝x+x﹣4，由∠A＝90°，可得GH2＝AG2+AH2，代入上述各数值，化简可得y＝8x，由AG≥0，AE≥0，可得x≤4，y≤4，所以2≤x≤4，当x＝y时，有AG＝AH，由于AB＝AC所以可得GH与BC平行，连接AO，设AO交GH于F'，有∠OFH＝90°，所以F'为切点F，即F为AO与圆的交点同时F是DE的中点．【点睛】本题是一道关于圆的综合题，考查了切线的性质、和圆相关的正方形的性质、切线长定理以及结合切线长定理的点的存在性问题，范围较广，有一定的开放性，有利于培养同学们的发散思维能力．15．（1）见解析；（2）DE=2【解析】【分析】（1）连接OC，利用切线的性质可得出OC∥AD，再根据平行线的性质得出∠DAC=∠OCA，又因为∠OCA=∠OAC，继而可得出结论；（2）方法一：连接BE交OC于点H，可证明四边形EHCD为矩形，再根据垂径定理可得出4CD HE BH ===，得出8BE =，从而得出6AD =，再通过三角形中位线定理可得出3OH =，继而得出结论2CH DE ==；方法二：连接BC 、EC ，可证明△ADC ∽△ACB ，利用相似三角形的性质可得出AD=8，再证△DEC ∽△DCA ，从而可得出结论；方法三：连接BC 、EC ，过点C 做CF ⊥AB ，垂足为F ，利用已知条件得出OF=3，再证明△DEC ≌△CFB ，利用全等三角形的性质即可得出答案．【详解】解：（1）证明：连接OC ，∵CD 切☉O 于点C∴OC ⊥CD∵AD ⊥CD∴∠D=∠OCD=90°∴∠D+∠OCD=180°∴OC ∥AD∴∠DAC=∠OCA∵OA=OC∴∠OCA=∠OAC∴∠DAC=∠OAC∴AC 平分DAB（2）方法1：连接BE 交OC 于点H∵AB 是☉O 直径∴∠AEB=90°∴∠DEC=90°∴四边形EHCD为矩形∴CD=EH=4DE=CH∴∠CHE=90°即OC⊥BH∴EH=BE=4∴BE=8∴在Rt△AEB中AE22108=-=6∵EH=BHAO=BO∴OH=12AE=3∴CH=2∴DE=2方法2：连接BC、EC∵AB是直径∴∠ACB=90°∴∠D=∠ACB∵∠DAC=∠CAB∴△ADC∽△ACB∴AC AD AB AC=∠B=∠DCA∴AC2=10·AD∵AC2=AD2+CD2∴10·AD=AD2+16∴AD=2舍AD=8∵四边形ABCE内接于☉O ∴∠B+∠AEC=180°∵∠DEC+∠AEC=180°∴∠B=∠DEC∴∠DEC=∠DCA∵∠D=∠D∴△DEC∽△DCA∴CD DE AD CD=∴CD2=AD·DE∴16=8·DE∴DE=2；方法3：连接BC、EC，过点C做CF⊥AB，垂足为F∵CD⊥AD，∠DAC=∠CAB∴CD=CF=4，∠D=∠CFB=90°∵AB=10∴OC=OB=5∴OF=3∴BF=OB-OF=5-3=2∵四边形ABCE内接于☉O∴∠B+∠AEC=180°∵∠DEC+∠AEC=180°∴∠B=∠DEC∴△DEC≌△CFB∴DE=FB=2．【点睛】本题是一道关于圆的综合题目，涉及的知识点有切线的性质、平行线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质等，综合利用以上知识点是解此题的关键．16．（1）见解析；（2）点E不存在，BE不能与⊙O相切，理由见解析【解析】【分析】（1）要证明FG是⊙O的切线只要证明OF⊥FG即可；（2）先假设BE能与⊙O相切，则AE⊥BE，即∠AEB=90°．设DE的长为x，然后用x表示出CE的长，根据勾股定理可得出一个关于x的一元二次方程，若BE能与⊙O相切，那么方程的解即为DE的长；若方程无解，则说明BE不可能与⊙O相切．【详解】（1）连接OF、EF；∵AE是⊙O的直径，AF⊥EF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，AB＝CD，∴四边形ADEF是矩形，∴AF＝DE，∴EC＝BF，∵E是CD的中点，∴F是AB的中点，∴OF∥BE，∵FG⊥BE，∴OF⊥FG，∴FG为⊙O的切线．（2）若BE能与⊙O相切，因AE是⊙O的直径，则AE⊥BE，∠AEB＝90°．设DE＝x，则EC＝5﹣x．由勾股定理得：AE2+EB2＝AB2，即（9+x2）+[（5﹣x）2+9]＝25，整理得x2﹣5x+9＝0，∵b2﹣4ac＝25﹣36＝﹣11＜0，∴该方程无实数根，∴点E不存在，BE不能与⊙O相切．【点睛】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．本题还要会熟练运用勾股定理作为相等关系列方程求解．17．（1）证明见解析；（2）BE＝3；（3）（BE+PA）•PA有最大值，最大值为254．【解析】【分析】（1）由半径相等可设∠PAD＝∠ADP＝α，根据切线的性质得到∠EDP＝90°，证明∠BDE=90°-α，由∠ACB＝90°，得到∠B＝90°﹣α，再根据“等角对等边”即可求解；（2）过点E作EG⊥BD，则点G为BD的中点，根据等量代换得到∠GED＝∠BAC，从而求出tan∠BAC12=，则cos∠BAC5=，sin∠BAC5=，根据锐角三角函数的定义。
2021中考数学压轴题满分训练 – 圆的专题含答案解析
2021中考数学压轴题满分训练–圆的专题1．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，CA＝CD．（1）连接BC，求证：BC＝OB；（2）E是中点，连接CE，BE，若BE＝4，求CE的长．2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝20，BC＝16，求CD的长．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AB于E．（1）求证：DE⊥AB；（2）如果tan B＝，⊙O的直径是5，求AE的长．4．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切于点F，设⊙O的半径为E，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．下面是该定理的证明过程（部分）：延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．∵∠D＝∠N，∴∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）．∴△MDI∽△ANI．∴＝，∴IA•ID＝IM•IN，①如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF．∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°．∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI＝90°，∴∠DBE＝∠IFA．∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等），∴△AIF∽△EDB，∴＝．∴IA•BD＝DE•IF②任务：（1）观察发现：IM＝R+d，IN＝（用含R，d的代数式表示）；（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为6cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm．5．【发现】如图（1），AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数（填“变”或“不变”）；若∠AOB＝150°，则∠ACB ＝°．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某一个确定的圆上运动呢？【研究】为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若AB＝2，直线AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰Rt△AOB，再以O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．请根据小明的思路在图（2）中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B 铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．【应用】（1）如图（3），AB＝2，平面内一点C满足∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为．（2）如图（4），已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE ＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心．①∠BPE＝°，∠BPA＝°；②连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为．6．如图，BE为⊙O的直径，C为线段BE延长线上一点，CA为⊙O的切线，A为切点，连接AB，AE，AO．∠C＝30°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：BO＝CE；（3）已知⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）7．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB＝BE．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BE＝3，BC＝7，求⊙O的半径长；（3）求证：CE2＝CD•CA．8．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．（1）求证：∠AED＝∠CAD；（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA；（3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝1.5，求EF的长．9．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．（1）如图2，△ABC的顶点是4×4网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）AB边上的“好点”；（2）△ABC中，BC＝14，tan B＝，tan C＝1，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长；（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连接CH并延长交⊙O于点D．若点H是△BCD中CD边上的“好点”．①求证：OH⊥AB；②若OH∥BD，⊙O的半径为r，且r＝3OH，求的值．10．如图，DE是△DBC的外角∠FDC的平分线，交BC的延长线于点E，DE的延长线与△DBC的外接圆交于点A．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠DCB＝90°，sin E＝，AD＝4，求BD的长．11．已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D．（1）如图1，求证：BD＝ED．（2）如图2，AD为⊙O的直径．若BC＝12，sin∠BAC＝，求OE的长．12．如图，AB是大半圆O的直径．OA是小半圆O1的直径，点C是大半圆O上的一个动点（不与点A、B重合），AC交小半圆O1于点D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD＝DC；（2）求证：DE是半圆O1的切线；（3）如果OE＝EC，请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论．13．已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径．点D是⊙O外一点，连接AD 和OD，OD与AC相交于点E，且OD⊥AC．（1）如图1，若AD是⊙O的切线，tan∠BAC＝，证明：AD＝AB；（2）如图2，延长DO交⊙O于点F，连接CD，CF，AF．当四边形ADCF为菱形，且∠BAC＝30°，BC＝1时，求DF的长．14．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过C作CD∥AB，CD交⊙O于D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）求证：AB2﹣BE2＝BE•EC；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝64，求BG的长．15．已知：△ABC内接于⊙O，连接CO并延长交AB于点E，交⊙O于点D，满足∠BEC ＝3∠ACD．（1）如图1，求证：AB＝AC；（2）如图2，连接BD，点F为弧BD上一点，连接CF，弧CF＝弧BD，过点A作AG⊥CD，垂足为点G，求证：CF+DG＝CG；（3）如图3，在（2）的条件下，点H为AC上一点，分别连接DH，OH，OH⊥DH，过点C作CP⊥AC，交⊙O于点P，OH：CP＝1：，CF＝12，连接PF，求PF的长．参考答案1．解：（1）如图，连接OC，AE，过点A作AM⊥CE，垂足为M，∵PC是⊙O的切线，∴∠CAB＝∠DCB，又∵CA＝CD，∴∠CAB＝∠CDB，∴∠DCB＝∠CDB，∴BC＝BD，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵∠CBA＝2∠CDB＝2∠CAB，∴∠CBA＝90°×＝60°，∵OC＝OB，∴△OBC是正三角形，∴BC＝OB；（2）连接AE，过点A作AM⊥CE，垂足为M，∵E是中点，∴AE＝BE＝4，∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝×90°＝45°，在Rt△AEM中，AE＝4，∠AEM＝∠CBA＝60°，∴EM＝AE＝2，AM＝AE＝2，在Rt△ACM中，AM＝2，∠ACM＝45°，∴CM＝AM＝2，∴CE＝EM+CM＝2+2，答：CE的长为2+2．2．（1）证明：连接OC，∵DC切⊙O于C，∴OC⊥CD，∵AE⊥CD，∴AE∥OC，∵AO＝BO，∴EC＝BC，∴OC＝AE，∵OC＝OA＝OB＝AB，∴AE＝AB；（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACE＝90°，AC⊥BE，∵由（1）知：AB＝AE，∴EC＝BC，∵BC＝16，∴EC＝16，在RtACB中，由勾股定理得：AC＝＝＝12，在Rt△ACE中，S△ACE＝＝，∵AE＝AB＝20，∴＝CD，解得：CD＝9.6．3．（1）证明：连接AD，OD，∵AC为⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠BAD＝∠ODA，∴AB∥OD，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴DE⊥AB；（2）解：∵tan B＝＝，∴设AD＝k，BD＝2k，∴AB＝＝k，∵AB＝AC＝5，∴k＝，∴AD＝，BD＝2，∵S△ABD＝AB•DE＝AD•BD，∴DE＝＝2，∴AE＝＝＝1．4．解：（1）∵O、I、N三点共线∴OI+IN＝ON∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d故答案为：R﹣d．（2）BD＝ID．理由如下：∵点I是△ABC的内心∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD+∠ABI ∠DBI＝∠DBC+∠CBI∴∠BID＝∠DBI∴BD＝ID．（3）由（2）知BD＝ID∴式子②可改写为IA•ID＝DE•IF又∵IA•ID＝IM•IN∴DE•IF＝IM•IN∴2R•r＝（R+d）（R﹣d）∴R2﹣d2＝2Rr∴d2＝R2﹣2Rr．（4）∵d2＝R2﹣2Rr＝62﹣2×6×2＝12∴d＝2．故答案为：2．5．解：【发现】根据圆周角性质，∠ACB的度数不变，∵∠AOB＝150°，∴∠ACB＝∠AOB＝75°，故答案为：不变，75°；【研究】补全图形如图1所示，【应用】（1）如图2，记△ABC的外接圆的圆心为O，连接OA，OB，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝30°，过点O作OH⊥AB于H，∴AH＝AB＝，在Rt△AHO中，设⊙O的半径为2r，则OH＝r，根据勾股定理得，（2r）2﹣r2＝3，∴r＝1（舍去负数），∴OA＝2，OH＝1，∵点C到AB的最大距离h为r+OH＝2+1＝3，∴S△ABC最大＝AB•h＝×2×3＝3，故答案为：3；（2）①∵EF⊥AB，∴∠EFB＝90°，∴∠BEF+∠EBF＝90°，∵点P是△BEF的内心，∴PE，PB分别是∠BEF和∠EBF的角平分线，∴∠BEP＝∠BEF，∠EBP＝∠ABP＝∠ABE，∴∠BPE＝180°﹣（∠BEP+∠EBP）＝180°﹣（∠BEF+∠EBF）＝180°﹣×90°＝135°；在△BPE和△BPA中，，∴△BPE≌△BPA（SAS）．∴∠BPA＝∠BPE＝135°，故答案为：135°，135°；②如图3，作△ABP的外接圆，圆心记作点O，连接OA，OB，在优弧AB上取一点Q，连接AQ，BQ，则四边形APBQ是⊙O的圆内接四边形，∴∠AQB＝180°∠BPA＝45°，∴∠AOB＝2∠AQB＝90°，∴OA＝OB＝AB＝，连接OC，与⊙O相交于点P'此时，CP'是CP的最小值，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CB，交CB的延长线于N，则四边形OMBN是正方形，∴ON＝BN＝BM＝AB＝1，∴CN＝BC+BN＝3，在Rt△ONC中，OC＝＝，∴CP 的最小值＝CP'＝OC﹣OP'＝﹣，故答案为：﹣．6．（1）解：∵CA为⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠C＝60°，由圆周角定理得，∠ABC＝∠AOC＝30°；（2）证明：在Rt△AOC中，∠C＝30°，∴OA＝OC，∵OA＝OB＝OE，∴OB＝CE；（3）解：在Rt△AOC中，AC＝＝6，∴图中阴影部分的面积＝×6×6﹣＝18﹣6π．7．（1）证明：连接OB、OE，如图所示：在△ABO和△EBO中，，∴△ABO≌△EBO（SSS），∴∠BAO＝∠BEO，∵⊙O与边BC切于点E，∴OE⊥BC，∴∠BEO＝∠BAO＝90°，即AB⊥AD，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵BE＝3，BC＝7，∴AB＝BE＝3，CE＝4，∵AB⊥AD，∴AC＝＝＝2，∵OE⊥BC，∴∠OEC＝∠BAC＝90°，∠ECO＝∠ACB，∴△CEO∽△CAB，∴，即，解得：OE＝，∴⊙O的半径长为．（3）证明：连接AE，DE，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∵BA是⊙O的切线，∴∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∴∠DEC＝∠EAD，∴△EDC∽△AEC，∴，∴CE2＝CD•CA．8．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAD，∵＝，∴∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠CAD；（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点，∴＝，∴∠EDB＝∠DAE，∵∠DEG＝∠AED，∴△EDG∽△EAD，∴，∴ED2＝EG•EA；（3）解：连接OE，∵点E是劣弧BD的中点，∴∠DAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠AEO＝∠DAE，∴OE∥AD，∴，∵BO＝BF＝OA，DE＝，∴，∴EF＝3．9．解：（1）如图：D即为△ABC边AB上的“好点”；（2）如答图1：过A作AH⊥BC于H，∵tan B＝，tan C＝1，∴，＝1，设AH＝3k，则BH＝4k，CH＝3k，∵BC＝14，∴3k+4k＝14，解得k＝2，∴BH＝8，AH＝CH＝6，设BD＝x，则CD＝14﹣x，DH＝8﹣x，Rt△ADH中，AD2＝AH2+DH2＝62+（8﹣x）2，而点D是BC边上的“好点”，有AD2＝BD•CD＝x•（14﹣x），∴62+（8﹣x）2＝x•（14﹣x），解得x＝5或x＝10，∴BD＝5或BD＝10；（3）①∵∠CAH＝∠HDB，∠AHC＝∠BHD，∴△ACH∽△DBH，∴，∴AH•BH＝CH•DH，∵点H是△BCD中CD边上的“好点”，∴BH2＝CH•DH，∴AH＝BH，∴OH⊥AB；②如答图2：连接AD，∵OH⊥AB，OH∥BD，∴AB⊥BD，∴AD是直径，∵r＝3OH，设OH＝m，则OA＝3m，BD＝2m，Rt△AOH中，AH＝＝2m，∴BH＝2m，Rt△BHD中，HD＝＝2m，∵点H是△BCD中CD边上的“好点”，∴BH2＝CH•DH，∴CH＝＝m，∴＝＝．10．（1）证明：∵DE是△DBC的外角∠FDC的平分线，∴∠FDE＝∠CDE，∵∠ADB＝∠ACB＝∠FDE，∠ABC＝∠CDE，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：∵∠DCB＝90°，∴∠DCE＝∠BAD＝90°，∴∠E+∠CDE＝∠ABD+∠ADB＝90°，∵∠ADB＝∠FDE＝∠CDE，∴∠ABD＝∠E，∵sin E＝，∴sin∠ABD＝＝，∵AD＝4，∴BD＝4．11．（1）证明：如图1，连接BE．∵E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD，∵∠DBC＝∠CAD．∴∠DBC＝∠BAD，∵∠BED＝∠BAD+∠ABE，∴∠DBE＝∠DEB，∴BD＝ED；（2）如图2 所示；连接OB．∵AD是直径，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，且BF＝FC＝6，∵，∴OB＝10．在Rt△BOF中，BF＝6，OB＝10，∴，∴DF＝2，在Rt△BDF中，BF2+DF2＝BD2，∴，∴，∴．12．证明：（1）连接OD，∵AO为圆O1的直径，则∠ADO＝90°．∵AC为⊙O的弦，OD为弦心距，∴AD＝DC．（2）证明：∵D为AC的中点，O1为AO的中点，∴O1D∥OC．又DE⊥OC，∴DE⊥O1D∴DE与⊙O1相切．（3）如果OE＝EC，又D为AC的中点，∴DE∥O1O，又O1D∥OE，∴四边形O1OED为平行四边形．又∠DEO＝90°，O1O＝O1D，∴四边形O1OED为正方形．13．解：（1）证明：∵OD⊥AC，∴AE＝EC＝AC，∠DEA＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵tan∠BAC＝＝，∴BC＝AC，∴AE＝BC，∵AD是⊙O的切线，∴DA⊥AB，∴∠DAO＝∠ACB＝90°，∴∠DAE+∠CAB＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠DAE＝∠ABC，在△DAE和△ABC中，，∴△DAE≌△ABC（ASA），∴AD＝AB；（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝2，AC＝，∵∠ABC＝∠AFC＝60°，∵四边形ADCF为菱形，∴AC＝FC＝，∴△AFC是等边三角形，∴∠DFC＝AFC＝30°，∴CE＝FC＝，∴EF＝CE＝，∴DF＝2EF＝3．14．解：（1）如图1，连接OA，∵AB＝AC，∴＝，∠ACB＝∠B，∴OA⊥BC，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠B，∴∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB，∴∠CAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴OA⊥AF，∴AF为⊙O的切线；（2）∵∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∠B＝∠B，∴△ABE∽△CBA，∴，∴AB2＝BC•BE＝BE（BE+CE）＝BE2+BE•CE，∴AB2﹣BE2＝BE•EC；（3）由（2）知：AB2＝BC•BE，∵BC•BE＝64，∴AB＝8，如图2，连接AG，∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，∵点G为内心，∴∠DAG＝∠GAC，又∵∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB，∠BAD＝∠ACB，∴∠BAG＝∠BGA，∴BG＝AB＝8．15．（1）证明：如图1中，连接AD．设∠BEC＝3α，∠ACD＝α．∵∠BEC＝∠BAC+∠ACD，∴∠BAC＝2α，∵CD是直径，∴∠DAC＝90°，∴∠D＝90°﹣α，∴∠B＝∠D＝90°﹣α，∵∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α．∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．（2）证明：如图2中，连接AD，在CD上取一点Z，使得CZ＝BD．∵＝，∴DB＝CF，∵∠DBA＝∠DCA，CZ＝BD，AB＝AC，∴△ADB≌△AZC（SAS），∴AD＝AZ，∵AG⊥DZ，∴DG＝GZ，∴CG＝CZ+GZ＝BD+DG＝CF+DG．（3）解：连接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延长线于T．∵CP⊥AC，∴∠ACP＝90°，∴PA是直径，∵OR⊥PC，OK⊥AC，∴PR＝RC，∠ORC＝∠OKC＝∠ACP＝90°，∴四边形OKCR是矩形，∴RC＝OK，∵OH：PC＝1：，∴可以假设OH＝a，PC＝2a，∴PR＝RC＝a，∴RC＝OK＝a，sin∠OHK＝＝，∴∠OHK＝45°，∵OH⊥DH，∴∠DHO＝90°，∴∠DHA＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∵CD是直径，∴∠DAC＝90°，∴∠ADH＝90°﹣45°＝45°，∴∠DHA＝∠ADH，∴AD＝AH，∵∠COP＝∠AOD，∴AD＝PC，∴AH＝AD＝PC＝2a，∴AK＝AH+HK＝2a+a＝3a，在Rt△AOK中，tan∠OAK＝＝，OA＝＝＝a，∴sin∠OAK＝＝，∵∠ADG+∠DAG＝90°，∠ACD+∠ADG＝90°，∴∠DAG＝∠ACD，∵AO＝CO，∴∠OAK＝∠ACO，∴∠DAG＝∠ACO＝∠OAK，∴tan∠ACD＝tan∠DAG＝tan∠OAK＝，∴AG＝3DG，CG＝3AG，∴CG＝9DG，由（2）可知，CG＝DG+CF，∴DG+12＝9DG，∴DG＝，AG＝3DG＝3×＝，∴AD＝＝＝，∴PC＝AD＝，∵sin∠F＝sin∠OAK，∴sin∠F＝＝，∴CT＝×FC＝×12＝，FT＝＝＝，PT＝＝＝，∴PF＝FT﹣PT＝﹣＝．。
2021年九年级中考数学 几何专题训练：圆的有关性质(含答案)
2021中考数学 几何专题训练圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，⊙O 过点B 、C ，圆心O 在等腰直角△ABC 的内部，∠BAC ＝90°，OA ＝1，BC ＝6，则⊙O 的半径为( )A. 10B. 2 3C.13 D. 3 22. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立．．．的是( )A ．∠COE ＝∠DOEB ．CE ＝DEC ．OE ＝BED.BD ︵＝BC ︵3. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( )A．51°B．56°C．68°D．78°4. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( )A.7 B．27 C．6 D．85. 在⊙O中，圆心角∠AOB＝3∠COD(∠COD<60°)，则劣弧AB，劣弧CD的大小关系是( )A.AB︵＝3CD︵B.AB︵>3CD︵C.AB︵<3CD︵D．3AB︵<CD︵6. 2019·梧州如图，在半径为13的⊙O中，弦AB与CD 交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是( )A．2 6 B．2 10 C．2 11D．4 37. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm.若不计容器壁厚度，则球的半径为( )A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm8. 如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，AB︵与垂直于AB的半径OC交于点D，且CD＝2OD，则折痕AB的长为( )A．4 2 B．8 2 C．6D．6 39. 2020·武汉模拟小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a 为160 mm ，直角顶点A 到轮胎与地面接触点B 的距离AB 为320 mm ，请帮小名同学计算轮胎的直径为( )A ．350 mmB ．700 mmC ．800 mmD ．400 mm10. (2019•仙桃)如图，AB 为的直径，BC为的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交的BA 延长线于点E ，连接BD ．下列结论：①CD 是的切线；②；③；④．其中正确结论的个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个O O O CO DB ⊥EDA EBD △∽△ED BC BO BE ⋅=⋅二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图所示，AB为☉O的直径，点C在☉O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC=65°，连接AD，则∠BAD= 度.12. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD＝28°，则∠ABD＝________°.13. 2018·孝感已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD 之间的距离是________cm.14. 已知：如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C 是AB︵的中点，则四边形OACB是________．(填特殊平行四边形的名称)15. 如图，点A，B，C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在BC︵上，且OA＝AB，则∠ABC＝________°.16. 如图，在⊙O中，BD为⊙O的直径，弦AD的长为3，AB的长为4，AC平分∠DAB，则弦CD的长为________．17. 如图2，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升________cm.链接听P39例4归纳总结18. 只用圆规测量∠XOY 的度数，方法是：以顶点O 为圆心任意画一个圆，与角的两边分别交于点A ，B(如图)，在这个圆上顺次截取AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝…，这样绕着圆一周一周地截下去，直到绕第n 周时，终于使第m(m ＞n)次截得的弧的末端恰好与点A 重合，那么∠XOY 的度数等于________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，直线AO 与⊙O 交于点E 和点D ，OB 与⊙O 交于点F ，连接DF ，DC.已知OA ＝OB ，CA ＝CB.(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线； (2)求证：∠CDF ＝∠EDC ；(3)若DE ＝10，DF ＝8，求CD 的长．20. 如图，AB为⊙O的直径，C为圆外一点，AC交⊙O于点D，BC2＝CD·CA，ED︵＝BD︵，BE交AC于点F.(1)求证：BC为⊙O的切线；(2)判断△BCF的形状并说明理由；(3)已知BC＝15，CD＝9，∠BAC＝36°，求BD︵的长度(结果保留π).21. 如图，点E是△ABC的内心，线段AE的延长线交BC 于点F(∠AFC≠90°)，交△ABC的外接圆于点D.(1)求点F与△ABC的内切圆⊙E的位置关系；(2)求证：ED＝BD；(3)若∠BAC＝90°，△ABC的外接圆的直径是6，求BD的长；(4)B ，C ，E 三点可以确定一个圆吗？若可以，则它们确定的圆的圆心和半径分别是什么？若不可以，请说明理由．22. (2019•辽阳)如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使． (1)求证：是⊙的切线； (2)若，求阴影部分的面积．BE O A D O AE AD DE A BE C EAC EDA ∠=∠AC O CE AE ==2021中考数学 几何专题训练：圆的有关性质-答案 一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C 【解析】延长AO 交BC 于点D ，连接OB.由AB ＝AC 得点A 在线段BC 的垂直平分线上，因而可得AD ⊥BC ，所以BD ＝3，不难得出AD ＝BD ＝3，于是OD ＝AD －OA ＝2，在R t △ODB 中，OB ＝OD 2＋DB 2＝22＋32＝13.2. 【答案】C3. 【答案】A [解析] ∵BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°， ∴∠BOC ＝∠COD ＝∠EOD ＝34°，∴∠AOE ＝180°－∠EOD －∠COD －∠BOC ＝78°. 又∵OA ＝OE ，∴∠AEO ＝∠OAE ， ∴∠AEO ＝12×(180°－78°)＝51°.4. 【答案】B [解析] 连接OC ，则OC ＝4，OE ＝3.在Rt △OCE 中，CE ＝OC2－OE2＝42－32＝7.因为AB ⊥CD ，所以CD ＝2CE ＝2 7.5. 【答案】A [解析] 把∠AOB三等分，得到的每一份角所对的弧都等于CD︵，因此有AB︵＝3CD︵.6. 【答案】C7. 【答案】A [解析] 作出该球轴截面的示意图如图所示．依题意，得BE＝2 cm，AE＝CE＝4 cm.设OE＝x cm，则OA ＝(2＋x)cm.∵OA2＝AE2＋OE2，∴(2＋x)2＝42＋x2，解得x＝3，故该球的半径为5 cm.8. 【答案】B [解析] 如图，延长CO交AB于点E，连接OB.∵CE⊥AB，∴AB＝2BE.∵OC＝6，CD＝2OD，∴CD＝4，OD＝2，OB＝6.由折叠的性质可得DE＝12×(6×2－4)＝4，∴OE＝DE－OD＝4－2＝2.在Rt△OEB中，BE＝OB2－OE2＝62－22＝4 2，∴AB＝8 2.故选B.9. 【答案】C10. 【答案】A【解析】如图，连接．∵为的直径，为的切线，∴，∵，∴，．又∵，∴，∴．在和中，，∴，∴．又∵点在上，∴是的切线，故①正确，∵，∴，∵，∴垂直平分，即，故②正确；DOAB O BC O90CBO∠=︒AD OC∥DAO COB∠=∠ADO COD∠=∠OA OD=DAO ADO∠=∠COD COB∠=∠COD△COB△CO COCOD COBOD OB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩COD COB△≌△90CDO CBO∠=∠=︒D O CD OCOD COB△≌△CD CB=OD OB=CO DB CO DB⊥∵为的直径，为的切线，∴， ∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故③正确；∵，，∴，∴，∵，∴，故④正确，故选A ．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】20 [解析]如图，连接DO ，∵CO ⊥AB ，∴∠COB=90°，∵∠AEC=65°，∴∠C=25°，∵OD=OC ，∴∠ODC=∠C=25°，∴∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∵2∠BAD=∠DOB ，∴∠BAD=20°.12. 【答案】62 【解析】根据直径所对的圆周角等于90°及∠BCD ＝28°，可得∠ACD ＝∠ACB －∠BCD ＝90°－28°＝62°，再根据同弧所对圆周角相等有∠ABD ＝∠ACD ＝AB O DC O 90EDO ADB ∠=∠=︒90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒ADE BDO ∠=∠OD OB =ODB OBD ∠=∠EDA DBE ∠=∠E E ∠=∠EDA EBD △∽△90EDO EBC ∠=∠=︒E E ∠=∠EOD ECB △∽△ED OD BE BC =OD OB =ED BC BO BE ⋅=⋅62°.13. 【答案】2或14 [解析] ①当弦AB和CD在圆心同侧时，连接OA，OC，过点O作OE⊥CD于点F，交AB于点E，如图①，∵AB＝16 cm，CD＝12 cm，∴AE＝8 cm，CF＝6 cm.∵OA＝OC＝10 cm，∴EO＝6 cm，OF＝8 cm，∴EF＝OF－OE＝2 cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，连接OA，OC，过点O作OE⊥CD于点E并反向延长交AB于点F，如图②，∵AB＝16 cm，CD＝12 cm，∴AF＝8 cm，CE＝6 cm.∵OA＝OC＝10 cm，∴OF＝6 cm，OE＝8 cm，∴EF＝OF＋OE＝14 cm.∴AB与CD之间的距离为2 cm或14 cm.14. 【答案】菱形[解析] 连接OC.∵C是AB︵的中点，∴∠AOC＝∠COB＝60°.又∵OA＝OC＝OB，∴△OAC和△OCB都是等边三角形，∴OA＝AC＝BC＝OB，∴四边形OACB是菱形．15. 【答案】15 [解析] ∵OC⊥OB，∴∠COB＝90°. 又∵OC＝OB，∴△COB是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°.∵OA＝AB，OA＝OB，∴OA＝AB＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠OBA＝60°，∴∠ABC＝∠OBA－∠OBC＝15°.16. 【答案】522 [解析] ∵BD为⊙O的直径，∴∠DAB＝∠DCB＝90°.∵AD＝3，AB＝4，∴BD＝5.又∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∴∠DBC＝∠DAC＝45°，∠CDB＝∠BAC＝45°，从而CD ＝CB ，∴CD ＝522.17. 【答案】10或70 [解析] 对于半径为50 cm 的圆而言，圆心到长为60 cm 的弦的距离为40 cm ，到长为80 cm 的弦的距离为30 cm.①当圆心在两平行弦之外时，两弦间的距离＝40－30＝10(cm)；②当圆心在两平行弦之间时，两弦间的距离＝40＋30＝70(cm)．综上所述，水位上升10 cm 或70 cm.18. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫360n m °[解析] 设∠XOY 的度数为x ，则mx＝n ×360°，所以x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫360n m °.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OC.∵OA ＝OB ，AC ＝CB ，∴OC ⊥AB.又∵点C 在⊙O 上，∴直线AB是⊙O的切线．(2)证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC.∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD.∵∠AOB＝∠ODF＋∠OFD＝∠AOC＋∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠CDF＝∠EDC.(3)如图，过点O作ON⊥DF于点N，延长DF交AB于点M.∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝4.在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4，∴ON＝OD2－DN2＝3.由(2)知OC∥DF，∴∠OCM＋∠CMN＝180°.由(1)知∠OCM＝90°，∴∠CMN＝90°＝∠OCM＝∠MNO，∴四边形OCMN是矩形，∴CM＝ON＝3，MN＝OC＝5.在Rt△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN＋MN ＝9，∴CD＝DM2＋CM2＝92＋32＝310.20. 【答案】(1)证明：∵BC2＝CD·CA，∴BCCA＝CD BC，∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴∠CBD＝∠BAC，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠BAC＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＋∠CBD＝90°，即AB⊥BC，又∵AB为⊙O的直径，∴BC为⊙O的切线；(2)解：△BCF为等腰三角形．证明如下：∵ED︵＝BD︵，∴∠DAE＝∠BAC，又∵△CBD∽△CAB，∴∠BAC＝∠CBD，∴∠CBD＝∠DAE，∵∠DAE＝∠DBF，∴∠DBF＝∠CBD，∵∠BDF＝90°，∴∠BDC＝∠BDF＝90°，∵BD＝BD，∴△BDF≌△BDC，∴BF＝BC，∴△BCF为等腰三角形；(3)解：由(1)知，BC为⊙O的切线，∴∠ABC＝90°∵BC2＝CD·CA，∴AC＝BC2CD＝1529＝25，由勾股定理得AB＝AC2－BC2＝252－152＝20，∴⊙O的半径为r＝AB2＝10，∵∠BAC＝36°，∴BD︵所对圆心角为72°.则BD︵＝72×π×10180＝4π.21. 【答案】解：(1)设⊙E切BC于点M，连接EM，则EM⊥BC.又线段AE的延长线交BC于点F，∠AFC≠90°，∴EF>EM，∴点F在△ABC的内切圆⊙E外．(2)证明：∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∴∠BED＝∠EBD，∴ED＝BD.(3)如图①，连接CD.设△ABC的外接圆为⊙O.∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.∵⊙O的直径是6，∴BC＝6.∵E为△ABC的内切圆的圆心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又∵BD 2＋CD 2＝BC 2，∴BD ＝CD ＝3 2.(4)B，C ，E 三点可以确定一个圆．如图②，连接CD .∵点E 是△ABC 的内心，∴∠BAD ＝∠CAD ，∴BD ＝CD .又由(2)可知ED ＝BD ，∴BD ＝CD ＝ED ，∴B ，C ，E 三点确定的圆的圆心为点D ，半径为BD (或ED ，CD )的长度．22. 【答案】(1)如图，连接，过作于，∴，∴，OA O OF AE ⊥F 90AFO ∠=︒90EAO AOF ∠+∠=︒∵，∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，∴是⊙的切线．(2)∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， OA OE =12EOF AOF AOE ∠=∠=∠12EDA AOE ∠=∠EDA AOF ∠=∠EAC EDA ∠=∠EAC AOF ∠=∠90EAO EAC ∠+∠=︒EAC EAO CAO ∠+∠=∠90CAO ∠=︒OA AC ⊥ACO CE AE ==C EAC ∠=∠EAC C AEO ∠+∠=∠2AEO EAC ∠=∠OA OE =AEO EAO ∠=∠2EAO EAC ∠=∠90EAO EAC ∠+∠=︒∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，∴， 在中，， ∴， ∴阴影部分的面积．30EAC ∠=︒60EAO ∠=︒OAE △OA AE =60EOA ∠=︒OA=2πAOE S =扇形Rt OAE△sin 3OF OA EAO =⋅∠==11322AOE S AE OF =⋅=⨯=△=2π-。
2021中考数学复习圆的综合题专项训练3(填空题 附答案详解)
1．如图，在平面直角坐标系中，等边 的边 在 轴正半轴上，点 ， ，点 、 分别从 、 出发以相同的速度向 、 运动，连接 、 交于点 ， 是 轴上一点，则 的最小值为______.
2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝___________．
14．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为．
15．如图，⊙ 上三点 ， ， ，半径 ， ，⊙ 的切线 交 延长线于点 ，从现图中选取一条以P为端点的线段，此线段的长为_____．（注明选取的线段）
∴点F是经过点A，B，F的圆上的点，记圆心为O’，在圆O’上取一点N，使
点N和点F在弦AB的两侧，连接AN，BN，
∴∠ANB=180°-∠AFB=60°，
连接O’A，O’B，
∴∠AO’B=2∠ANB=120°，
∵O’A=O’B，
∴∠ABO’=∠BAO’，
∴∠ABO’= (180°-∠AO’B)= (180°-120°)=30°，
30．在 中， ， ， ，圆 在 内自由移动.若 的半径为1，则圆心 在 内所能到达的区域的面积为______.
参考答案
1．
【解析】
【分析】
先证明 ，即可得出∠AFB=120°，即可判断出点F的轨迹是以O’为圆心的圆上的一段弧（劣弧AB），然后确定出圆心O’的位置及其坐标，即可确定点M和点F的位置，使FM的长度最小.
25．如图,⊙P的半径为10，A、B是圆上任意两点,且AB=12，以AB为边作正方形ABCD(点D、P在直线AB两侧)，若AB边绕点P旋转一周,则CD边扫过的面积为_____
中考数学专题训练：与圆有关的计算(附参考答案)
中考数学专题训练：与圆有关的计算（附参考答案）1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC⏜)，点O是这段弧所在圆的圆心，B 为AC⏜上一点，OB⊥AC于D.若AC＝300√3 m，BD＝150 m，则AC⏜的长为( )A．300π m B．200π mC．150π m D．100√3π m2．将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是( )A．30°B．60°C．105°D．210°3．如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路(劣弧AB)和便民路(线段AB)．已知A，B是圆上的两点，O为圆心，∠AOB＝120°，小强从点A走到点B，走便民路比走观赏路少走( )A．(6π－6√3)米B．(6π－9√3)米C．(12π－9√3)米D．(12π－18√3)米4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝√5，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为( )A．8－πB．4－πC．2－π4D．1－π45．如图，两个半径长均为√2的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形FCD的圆心C 是AB⏜的中点，且扇形FCD 绕着点C 旋转，半径AE ，CF 交于点G ，半径BE ，CD 交于点H ，则图中阴影部分的面积等于( )A ．π2－1 B ．π2－2 C ．π－1D ．π－26．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点M 在AB⏜上，则∠CME 的度数为( )A ．30°B ．36°C ．45°D ．60°7．如图，在以AB 为直径的⊙O 中，C 为圆上的一点，BC⏜＝3AC ⏜，弦CD ⊥AB 于点E ，弦AF 交CE 于点H ，交BC 于点G .若H 是AG 的中点，则∠CBF 的度数为( )A ．18°B ．21°C ．22.5°D ．30°8．设圆锥的底面圆半径为r ，圆锥的母线长为l ，满足2r ＋l ＝6，这样的圆锥的侧面积( ) A ．有最大值94π B ．有最小值94π C ．有最大值92πD ．有最小值92π9．如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面圆的半径是( )A ．π4 B ．√24 C ．12D ．110．圆心角为90°，半径为3的扇形弧长为( ) A ．2π B ．3π C ．32πD ．12π11．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，半径为4，连接OB ，OC ，OA .若∠CAO ＝40°，∠ACB ＝70°，则阴影部分的面积是( )A ．43π B ．83π C ．163πD ．323π12．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1，则圆的面积约为正方形面积的( )A ．27倍B ．14倍C ．9倍D ．3倍13．如图所示，点A ，B ，C 对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转，当点A 首次落在矩形BCDE 的边BE 上时，记为点A ′，则此时线段CA 扫过的图形的面积为( )A ．4√3B ．6C ．43πD ．83π14．如图，要用一张扇形纸片围成一个无底的圆锥(接缝处忽略不计)．若该圆锥的底面圆周长为20π cm ，侧面积为240π cm 2，则这个扇形的圆心角的度数是_______度．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝2√3，半径为1的⊙O 在Rt △ABC 内平移(⊙O 可以与该三角形的边相切)，则点A 到⊙O 上的点的距离的最大值为__________．16．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，E 为BC 的中点，连接AE ，DE ，以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE ，DE 交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)17．已知AB 为⊙O 的直径，AB ＝6，C 为⊙O 上一点，连接CA ，CB .(1)如图1，若C 为AB⏜的中点，求∠CAB 的大小和AC 的长； (2)如图2，若AC ＝2，OD 为⊙O 的半径，且OD ⊥CB ，垂足为点E ，过点D 作⊙O 的切线，与AC 的延长线相交于点F ，求FD 的长．18．如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E，F，G，H，ED与⊙O相交于点M，则sin ∠MFG的值为______．19．一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为______厘米．20．如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线⏜的中点，弦CE，BD相交于点F.交于点P，∠ABC＝2∠BCP，E是BD(1)求∠OCB的度数；(2)若EF＝3，求⊙O的直径长．21．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD.(1)求证：CF是⊙O的切线．(2)如果AB＝10，CD＝6.①求AE的长；②求△AEF的面积．参考答案1．B 2．D 3．D 4．D 5．D6．D 7．C8．C 9．B10．C 11．C 12．B 13．D14．150 15．2√7＋1 16．4－π17．(1)∠CAB＝45°AC＝3√2(2)FD＝2√2 18．√5519.2620．(1)∠OCB＝60°(2)⊙O的直径长为6√321．(1)证明略(2)①AE＝454②△AEF的面积为2258。
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2021中考数学专题训练与圆相关的计算一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图所示的扇形纸片半径为5 cm，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4 cm，则该圆锥的底面周长是()A. 3πcmB. 4πcmC. 5πcmD. 6πcm2. 如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝2，则图中阴影部分的面积是()A. π4B.12＋π4C.π2D.12＋π23. 若正方形的外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为()A. 2 B．2 2 C.22D．14. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为()A．4π－8 B．2πC．4π D．8π－85. 运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB ∥CD ∥EF ，AB ＝10，CD ＝6，EF ＝8.则图中阴影部分的面积是( )A.252π B ．10π C ．24＋4π D ．24＋5π6. 下列用尺规等分圆周的作法正确的有( )①在圆上依次截取等于半径的弦，就可以六等分圆；②作相互垂直的两条直径，就可以四等分圆；③按①的方法将圆六等分，六个等分点中三个不相邻的点三等分圆；④按②的方法将圆四等分，再平分四条弧，就可以八等分圆．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的半径为2，以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是( )A ．4π－4B ．4π－8C ．8π－4D ．8π－88. 如图是由7个全等的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，设定AB边如图所示，则使△ABC是直角三角形的格点有()A．10个B．8个C．6个D．4个9. 如图0，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断()A．甲对，乙不对B．甲不对，乙对C．两人都对D．两人都不对10. (2020·南充）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为A. 4πB. 4πC. 8πD. 4π二、填空题（本大题共8道小题）11. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为.12. 如图是一个圆锥形冰激凌外壳(不计厚度)，已知其母线长为12 cm，底面圆的半径为3 cm，则这个冰激凌外壳的侧面积等于________ cm2(结果精确到个位)．13. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形.若圆锥的底面圆半径r=2 cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l为cm.14. （2020·菏泽）如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为_______．15. 在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB＋BC＝10 m．拴住小狗的10 m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S(m2)．(1)如图1，若BC＝4 m，则S＝________m2.(2)如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE 区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变．则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为________m.①②16. （2020·凉山州）如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点．若阴影部分的面积是32，则半圆的半径OA的长为．DCB17. （2020·宿迁）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD3，P为边AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ．当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为．18. （2020·广西北部湾经济区）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠C ＝60°，点E ，F 分别是AB ，AD 上的动点，且AE ＝DF ，DE 与BF 交于点P ．当点E 从点A 运动到点B 时，则点P 的运动路径长为．三、解答题（本大题共6道小题）19. 如图，AB 是☉O 的直径，点C 为☉O 上一点，CN 为☉O 的切线，OM ⊥AB 于点O ，分别交AC ，CN 于D ，M 两点.(1)求证:MD=MC ;(2)若☉O 的半径为5，AC=4，求MC 的长.20. （2020•丽水）如图，的半径OA ＝2，OC ⊥AB 于点C ，∠AOC ＝60°．Q PDCB A（1）求弦AB的长．（2）求的长．21. 如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦且与小半圆相切，AB＝24，求图中阴影部分的面积．22. 如图，☉O与△ABC的AC边相切于点C，与AB，BC边分别交于点D，E，DE∥OA，CE是☉O的直径.(1)求证:AB是☉O的切线;(2)若BD=4，CE=6，求AC的长.23. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H.(1)判断DH与☉O的位置关系，并说明理由;(2)求证:点H为CE的中点.24. 如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D 为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E.射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G.设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ.(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似．．数据α30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．2021中考数学专题训练与圆相关的计算-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D【解析】如解图，由题意可知，OA＝4 cm，AB＝5 cm，在Rt△AOB 中，利用勾股定理可求得OB＝3 cm，∴该圆锥的底面周长是6πcm.2. 【答案】A【解析】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC＝2，∴AB＝2，则半径OA＝OB＝1，∵△AOC≌△BOC，∴△AOC的面积与△BOC的面积相等，∴阴影部分的面积刚好是四分之一圆的面积，即为14π×12＝π4.3. 【答案】A[解析] 如图所示，连接OA，OE.∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB.∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝OE.在Rt △AOE 中，由勾股定理，得OA2＝AE2＋OE2，∴22＝AE2＋OE2， ∴OE ＝ 2.故选A.4. 【答案】A [解析] 由题意可知∠BOC ＝2∠A ＝45°×2＝90°.∵S 阴影＝S 扇形OBC －S △OBC ，S 扇形OBC ＝14S 圆＝14π×42＝4π，S △OBC ＝12×42＝8，所以阴影部分的面积为4π－8.故选A.5. 【答案】A [解析] 如图，连接OC ，OD ，OE ，OF.∵AB ∥CD ，∴S △ACD ＝S △OCD ，∴AB 上方的阴影面积＝S 扇形OCD. 同理，AB 下方的阴影面积＝S 扇形OEF.延长EO 交⊙O 于点G ，连接FG ，则∠EFG ＝90°. ∴FG ＝EG2－EF2＝102－82＝6. ∵CD ＝6，∴FG ＝CD ，∴∠FOG ＝∠COD ，∴S 扇形OCD ＝S 扇形OFG ，∴S 阴影＝S 扇形OCD ＋S 扇形OEF ＝S 扇形OFG ＋S 扇形OEF ＝S 半圆＝12π×52＝252π.故选A.6. 【答案】A7. 【答案】A [解析] 由正方形与圆的轴对称性可知S 弓形AB ＝S 弓形BC ，S 弓形AD ＝S弓形CD ，∴S 阴影＝S 扇形AEF －S △ABD ＝90π×42360－12×4×2＝4π－4.故选A.8. 【答案】A[解析] 如图，当AB 是直角边时，点C 共有6个位置，即有6个直角三角形；当AB 是斜边时，点C 共有4个位置，即有4个直角三角形． 综上所述，使△ABC 是直角三角形的格点有6＋4＝10(个)．故选A.9. 【答案】C[解析] 由甲的作法可知连接OB ，BD ，OC ，CD 后，OB ＝BD ＝OD＝OC ＝CD ，所以△BOD 和△COD 都是等边三角形，四边形OBDC 是菱形，所以∠BOC ＝120°，则∠BAC ＝60°.因为四边形OBDC 是菱形，所以AD ⊥BC ，AD 平分BC ，所以AB ＝AC ，所以△ABC 是等边三角形，所以他的作法是正确的．由乙的作法可知∠BOC ＝120°，所以∠BAC ＝60°.又因为AD ⊥BC ，所以AD 平分BC ，所以AB ＝AC ，所以△ABC 是等边三角形，所以他的作法是正确的．故选C.10. 【答案】A【解析】如图，设正六边形的中心为0，连接OA ，OB. 由题意得△AOB 是等边三角形，边长为4，∴142AOB S ∆=⨯⨯=6个弓形的面积和是2464316243ππ⋅-⨯=-，∴阴影部分的面积是2162(16243)121624324342πππππ⨯⋅--=-+=-.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】4π[解析]设此圆锥的底面半径为r ，由题意可得2πr=，解得r=2，故这个圆锥的底面圆的面积为4π.12. 【答案】113 [解析] 这个冰激凌外壳的侧面积＝12×2π×3×12＝36π≈113(cm2)．故答案为113.13. 【答案】6[解析]2π×2=，∴l=6.14. 【答案】23－π【解析】利用规则图形的面积和差求不规则图形的面积．在菱形OABC 中，OA ＝AB ，又∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB =∠A =60°．如图，连接OD ，则OD ⊥AB ，OD =2·sin60°＝3，∴S △AOB ＝21×2×3＝3，扇形的面积为：2360)3(602ππ=︒⨯⨯︒，∴阴影部分的面积为：2×(3－2π)＝23－π．15. 【答案】88π；52 【解析】(1)因为AB ＋BC ＝10 m ，BC ＝4 m ，则AB ＝6 m ，小狗活动的范围包括三个部分，第一部分是以点B 为圆心，10为半径，圆心角为270°的扇面；第二部分是以C 为圆心，6为半径，圆心角为90°的扇形，第三部分是以A 为圆心，4为半径，圆心角为90°的扇形，则S ＝270π·102360＋90π·62360＋90π·42360＝88πm 2；(2)当在右侧有一个等边三角形时，设BC ＝x 米，根据题意得S ＝270π·102360＋30π·（10－x ）2360＋90π·x 2360＝π3x 2－53πx ＋2503π，所以当x ＝－(－53π)÷(2×π3)＝52时，S 最小，即此时BC 的长为52米．16. 【答案】3【解析】如答图，连接OC 、OD 、CD ，则∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°．∵OB ＝OD ＝OC ，∴△OCD 和△OBD 均为正三角形．∴∠ODC ＝∠BOD ＝60°．∴AB ∥CD ．∴S △BCD ＝S △OCD ．∴S 阴影部分＝S 扇形OCD ．∴26033602r ππ⋅=．解得r ＝3，于是半圆的半径OA 的长为3．故答案为3．DCBA17. 【答案】33π-．【解析】如答图，图中阴影部分的面积即为点P 从点A 运动到点D 时，线段PQ 在平面内扫过的面积．∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD＝3，∴∠ABC ＝∠BAC ＝∠C ＝∠Q ＝90°，∠ADB ＝∠DBC ＝∠ODB ＝∠OBQ ＝30°．∴∠ABQ ＝120°．易知△BOQ ≌△DOC ．S 阴影部分＝S 四边形ABQD －S 扇形ABQ ＝S 四边形ABOD ＋S △BOQ －S 扇形ABQ ＝S 四边形ABOD ＋S △COD －S 扇形ABQ＝S 矩形ABCD －S 扇形ABQ ＝1×3－21201360π⋅＝33π-．故答案为33π-．18. 【答案】π【解析】如图，作△CBD 的外接圆⊙O ，连接OB ，OD ．∵四边形ABCD 是菱形，∵∠A ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，∴BD＝AD，∠BDF＝∠DAE，∵DF＝AE，∴△BDF≌△DAE（SAS），∴∠DBF＝∠ADE，∵∠ADE+∠BDE＝60°，∴∠DBF+∠BDP＝60°，∴∠BPD＝120°，∵∠C＝60°，∴∠C+∠DPB＝180°，∴B，C，D，P四点共圆，由BC＝CD＝BD＝2，可得OB＝OD＝2，∵∠BOD＝2∠C＝120°，∴点P的运动的路径的长π．，因此本题答案是π．三、解答题（本大题共6道小题）19. 【答案】解:(1)证明:连接OC，∵CN为☉O的切线，∴OC⊥CM，∴∠OCA+∠MCD=90°.∵OM⊥AB，∴∠OAC+∠ODA=90°.∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠MCD=∠ODA.又∵∠ODA=∠MDC，∴∠MCD=∠MDC，∴MD=MC.(2)依题意可知AB=5×2=10，AC=4，∵AB为☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC==2.∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，∴△AOD∽△ACB，∴=，即=，得OD=.设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得x +2=x 2+52，解得x=，即MC=.20. 【答案】解：（1）∵的半径OA ＝2，OC ⊥AB 于点C ，∠AOC ＝60°，∴AC ＝OA•sin60°＝2，∴AB ＝2AC ＝2；（2）∵OC ⊥AB ，∠AOC ＝60°，∴∠AOB ＝120°，∵OA ＝2，∴的长是：．21. 【答案】[解析] 小圆向右平移，使它的圆心与大圆的圆心重合，于是阴影部分的面积可转化为大半圆的面积减去小半圆的面积．解：将小半圆向右平移，使两半圆的圆心重合，如图，连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝BC ＝12.∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切， ∴OC 为小半圆的半径，∴S 阴影＝S 大半圆－S 小半圆＝12π·OB2－12π·OC2＝12π(OB2－OC2)＝12π·BC2＝72π.22. 【答案】解:(1)证明:连接OD ，∵DE ∥OA ， ∴∠AOC=∠OED ，∠AOD=∠ODE ，∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE，∴∠AOC=∠AOD，又∵OA=OA，OD=OC，∴△AOC≌△AOD(SAS)，∴∠ADO=∠ACO.∵CE是☉O的直径，AC为☉O的切线，∴OC⊥AC，∴∠OCA=90°，∴∠ADO=∠OCA=90°，∴OD⊥AB.∵OD为☉O的半径，∴AB是☉O的切线.(2)∵CE=6，∴OD=OC=3，∵∠BDO=180°-∠ADO=90°，∴BO2=BD2+OD2，∴OB==5，∴BC=8，∵∠BDO=∠OCA=90°，∠B=∠B，∴△BDO∽△BCA，∴=，∴=，∴AC=6.23. 【答案】[解析](1)连接OD，AD，先利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据等腰三角形的性质得BD=CD，再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，根据DH⊥AC，所以OD⊥DH，然后根据切线的判定定理可判断DH为☉O的切线.(2)连接DE，由圆内接四边形的性质得∠DEC=∠B，再证明∠DEC=∠C，然后根据等腰三角形的性质得到CH=EH.解:(1)DH与☉O相切.理由如下:连接OD，AD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，而AO=BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH为☉O的切线.(2)证明:连接DE，如图，∵四边形ABDE为☉O的内接四边形，∴∠DEC=∠B，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∵DH⊥CE，∴CH=EH，即H为CE的中点.24. 【答案】【思维教练】(1)观察表格可猜想β＝90°＋α，γ＝180°－α.连接BG，由直径所对的圆周角为90°和圆内接四边形的对角和为180°即可得出β＝90°＋α；由题干条件易知△EBD≌△EGD，∠EBC＝∠ECB，再由三角形的外角和定理和β＝90°＋α，利用角度之间的转化即可得出结论；(2)由(1)的结论可以得出α＝∠BAG＝45°，β＝∠ACB＝135°，∴∠ECB＝45°，∠CEB＝90°，△ECD、△BEC、△ABG 都是等腰直角三角形，由CD的长，可得出BE和CE的长，再由题干条件△ABE 的面积是△ABC的面积的4倍可得出AC的长，利用勾股定理在△ABE中求出AB的长，再利用勾股定理在△ABG求出AG的长，即可求出半径长．①(1)①β＝90°＋α，γ＝180°－α证明：如解图①，连接BG，∵AG是⊙O的直径，∴∠ABG＝90°，∴α＋∠BGA＝90°，(1分)又∵四边形ACBG内接于⊙O，∴β＋∠BGA＝180°，∴β－α＝90°，即β＝90°＋α；(3分)②∵D是BC的中点，且DE⊥BC，∴△EBD≌△ECD，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EAG＋∠EBA＝γ，∴∠EAB＋α＋∠EBC＋∠CBA＝γ，∵∠EAB＋∠CBA＝∠ECB，∴2∠ECB＋α＝γ，(4分)∴2(180°－β )＋α＝γ，由①β＝90°＋α代入后化简得，γ＝180°－α；(6分)(2)如解图②，连接BG，②∵γ＝135°，γ＝180°－α，∴α＝45°，β＝135°，∴∠AGB＝∠ECB＝45°，(8分)∴△ECD和△ABG都是等腰直角三角形，又∵△ABE的面积是△ABC的面积的4倍，∴AE＝4AC，∴EC＝3AC，(9分)∵CD＝3，∴CE＝32，AC＝2，∴AE＝42，(10分)∵∠BEA＝90°，∴由勾股定理得，AB＝BE2＋AE2＝（32）2＋（42）2＝50＝52，(11分)∴AG＝2AB＝2×52＝10，∴r＝5.(12分)。