八年级数学上册知识点整理

第十一章——全等三角形知识点整理

*1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

*2.全等三角形：

（1）定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（2）表示方法： ABC全等于 DEF （ ABC DEF）

表示两个全等的三角形时对应顶点要写在对应的位置上。

（3）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等

全等三角形的对应角相等

全等三角形对应边上的高、中线，对应角的角平分

线相等

全等三角形的面积相等

*3.三角形全等的判定：

No.1 边边边(SSS): 三边对应相等的两个三角形全等。

No.2 边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

No.3 角边角（ASA）：两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等。

角角边（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。No.4 斜边，直角边 (HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。

注：①边边边、边角边、角边角、角角边四种判定方法实用于所有三角形，斜边，直角边只能判定直角三角形全等。

②三角形全等的判定方法没有角角角（AAA）、边边角（SSA）和角边边(ASS)

三种。

*4.角的平分线的性质：

1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

2.角的平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

第十二章——轴对称知识点整理

1.轴对称图形

定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

轴对称图形：长方形、正方形、等腰三角形、等边三角形、圆、正多边形、线段、角等。

正多边形对称轴线条数：正多边形对称轴线条数等于边数。

2.轴对称

定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够和另外一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对

称点。

性质：如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

判定：如果两个图形中任何一对对应点所连的线段都被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于某直线对称。

注(1)轴对称图形是指一个图形的性质，而轴对称是指两个图形的位置关系。

(2)成轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成轴对称。

3．线段的垂直平分线

?定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。

?性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

?判定：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

4．轴对称变换

定义：由一个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状和大小完全相同，这样的图形变换叫做周对称变换。

用坐标表示轴对称：

点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x,－y）

点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标为P′（－x,y）

简记：关于什么轴对称就什么坐标不变，另外一个坐标互为相反数。

5．轴对称图形的画法

★通用画法：（1）作原图形各顶点的对称点；（2）把所作各对称点按原图形依次联结。

作对称点的方法简记：过顶点，作垂线，取等长。

★平面直角坐标系中的画法：（1）求出原图形各顶点的对称点的坐标；（2）根据坐标在平面直角坐标系中描出各对称点；（3）把各对称点按原图形依次联结。

6．等腰三角形

定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形。

元素：等腰三角形相等的两条边叫腰（有两条），另外一条边叫底边（有一条），两腰的夹角叫顶角（有一个）两腰与底边的夹角叫底角（有两个）。

性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写为：等边对等角）。

（2）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为：三线合一）。

判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为：等角对等边）。

有关计算：

（1）已知顶角求底角：底角=（1800 －顶角）÷2

（2）已知底角求顶角：顶角=1800 －底角×2

（3）已知一角求另一角：①当已知角为顶角时，另一角=（1800 －顶角）÷2

②当已知角为底角时，另一角=1800 －底角×2

（4）已知腰长和底边长求周长：周长=腰长×2 + 底边长

（5）已知两边长求周长：周长=其中一边长×2 +另一边长（分两种情况讨论，但要注

意是否能构成三角形）

（6）已知周长和底边长求腰长：腰长=（周长－底边长）÷2

（7）已知周长和腰长求底边长：底边长=周长－腰长×2

（8）已知周长和一边长，求另外两边长：分两种情况计算：①当已知边为腰时；

②当已知边为底时。（但要注意是否能构成

三角形）

7.等边三角形

定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形。

性质：三边都相等，三个内角都等于60°。

判定：方法一：根据定义判定，即三边都相等的三角形叫等边三角形。

方法二：三个角都相等的三角形是等边三角形。

方法三：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

注：等边三角形是一种特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质

8.直角三角形的性质

直角三角形中，0

30角所对的直角边等于斜边的一半。

反之，斜边等于0

30角所对直角边的2倍。

第十三章——实数知识点整理

一、平方根：

1、定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根。

2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

3、平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

4、算术平方根：一个正数正的那个平方根叫做这个数的算术平方根.，0的算术平方根是0。

5、几个重要运算性质：

a (0

a≥)

（1）()2a a=(0)

a≥（2）2a=∣a∣=

-a (a＜0)

6、二次根式0

当时有意义，即被开方数a的取值范围是0

a a≥

a≥。

二、立方根：

1、定义：如果一个数x的立方等于a，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根。

2、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。

3、立方根的性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。一个数只有一个立方根。

4、几个重要运算性质：

（1）()3

3

a a = （2）33a a = (3)33a a -=-

5、三次根式3a 当a 取任何实数时都有意义，即被开方数a 的取值范围是全体实数。 三、实数：

1、定义： 有理数和无理数统称为实数。

2、分类：

注：（1）∏是无理数，带根号的数不一定是无理数。

（2）一个无理数与任何一个有理数进行加减乘除运算后所得结果仍是无理数。 3、判断一个数是有理数还是无理数的方法：

先将这个数化成小数，如果是有限小数或无限循环小数，则原数是有理数；如

实数

有理数

无理数 整数

分数

有限小数和无限循环小数

无限不循环小数

按有理数和无理数分类

实数

正实数

正有理数

正整数

正分数

零

负实数

正无理数

负有理数

负无理数

负整数

负分数

按正、负分类

果是无限不循环小数，则原数是无理数。

第十四章—— 一次函数知识点整理

1、函数的有关概念 （1）常量和变量

在一个变化过程中数值发生变化的量叫做变量，数值始终不变的量叫做常量。 （2）函数定义

在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量。 （3）函数值

如果y 是x 的函数，x 是自变量，当x=a 时y=b ，那么b 叫做当自变量x 的值为a 时的函数值。 2、函数的三种表示方法 （1）解析式法 ( 2 )列表法 ( 3 )图像法

3、如何确定自变量的取值范围

（1）当实数的解析式是整式或奇次根式时，自变量可以取全体实数； （2）当实数的解析式含有分式时，自变量要取使分母不为零的实数；

（3）当实数的解析式含有偶次根式时，自变量必须取使被开方数大于或等于零的实数； （4）当实数的解析式是表示实际问题时，还必须使实际问题有意义；

（5）当实数的解析式是由分式、根式联合组成时，应通过解方程组或不等式组来确定自变量的取值范围。

4、画函数图象的步骤 （1）列表

列表给出自变量与函数的一些对应值。 （2）描点

以表中对应值为点的坐标，在坐标平面内描出相应的点。 （3）连线

按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线联结起来。 注意：所描的点越多，画出的图象越精确。 5、正比例函数 （1）定义 形如(0)y kx k k =≠常数，形式的函数叫做正比例函数。 （2）图像及其性质

①正比例函数(0)y kx k k =≠常数，的图象是一条经过原点的直线；

②当k ＞0时，直线从左到右上升，经过一、三象限，y 随x 的增大而增大； ③当k ＜0时，直线从左到右下降，经过二、四象限，y 随x 的增大而减小。 k>0 k<0

6、一次函数 （1）定义 形如)0,,(≠+=k b k b kx y 且为常数形式的函数叫做一次函数； （2）图像及其性质；

① 一次函数)0,,(≠+=k b k b kx y 且为常数的图像是一条直线；

② 当k>0时，直线从左到右上升，y 随x 的增大而增大，当k<0时，直线从左到右下降，y 随x 的增大而减小；

③ 当b>0时，直线交于y 的正半轴，当b>0时，直线交于y 的负半轴，当b=0时，直线经过原点。

k>0，b>0 k>0，b ﹤0 k>0， b=0

K ﹤0, b ﹤0 K ﹤0, b ﹤0 K ﹤0, b=0

（3）直线y 1=k 1x+b 1 与y 2=k 2x+b 2 位置关系

y

x

o y x o y x o y x o y x o y x o y x o y x o

①当k 1= k 2（k 1,k 2都不为零），b 1 ≠ b 2时，y 1∥y 1 ； ②当k 1=2

1

k -

（k 1,k 2都不为零），即k 1、k 2互为负倒数时，y 1⊥y 2。 7、正比例函数与一次函数关系 （1）当

b>0

时，直线

(0)

y kx k k =≠常数，b b ????????→←????????向上平移的绝对值个单位向下平移的绝对值个单位

直线

)0,,(≠+=k b k b kx y 且为常数；

（2）当b ﹤0时，直线(0)

y kx k k =≠常数，b b ????????→←????????向下平移的绝对值个单位向上平移的绝对值个单位

直线)0,,(≠+=k b k b kx y 且为常数；

（3） 属于

正比例 )0(≠=k kx y 一次函数)0,,(≠+=k b k b kx y 且为常数。

0=b

8、用待定系数法求函数解析式的步骤

（1）设：设所求函数解析式为一般形式，其中包括未知的系数；

（2）代：把函数图象经过的点的坐标或自变量与函数的对应值代入所设的一般形式中，得到关于待定系数的方程或方程组；

（3）解：解方程（组）求出待定系数的值； （4）写：根据系数的值写出所求函数的解析式。 9、一次函数与方程（组）、不等式 （1）0(,0)y kx b x kx b k b k =++=≠直线与轴交点的横坐标是一元一次方程的解是常数，；

111a x b y c +=

（2）121212

a a

y x c x c b b =-

+=-+直线与y 的交点坐标是方程组 222a x b y c +=

的解；

（3）y kx b x =+直线在轴上方的图象对应的自变量的取值范围是不等式kx+b ＞0的解； （4）y kx b x =+直线在轴下方的图象对应的自变量的取值范围是不等式kx+b ＜0的解； （5）11122211y k x b y k x b k x b =+=++直线在直线上方的图象对应的自变量的取值范围是不等式＞

22k x b +的解；

（6）11122211y k x b y k x b k x b =+=++直线在直线下方的图象对应的自变量的取值范围是不等式＜

22k x b +的解。

10、利用函数解决选择方案的步骤：

（1）设函数和自变量；

2

2))((b a b a b a -=-+ （2）列出函数关系式；

（3）确定自变量的取值范围；

（4）根据自变量的取值列出相应的方案； （5）选择符合题意的方案。

第十五章——整式的乘除与因式分解知识点整理

一、整式的乘法：

乘：底数 ，指数 。即=?n m a a （n

m 、1、同底数幂相都是正整数）

2、幂的乘方： 底数 ，指数 。即=n m a )( （n m 、都是正整数）

3、积的乘方：积的乘方，就是把 ，再把 。 即=n ab )( （n m 、都是正整数）

4、整式的乘法：

（1）单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，就是把 ，对于 把它单独作为积的一个因式。

（2）单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是用 ，再把 。

（3）多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，就是用 ，在把 。 二、乘法公式：

（1）平方差公式：

即：两个数的和乘与这两个数的差，等于这两个数的平方差。 （2）完全平方和公式：

222()2a b a ab b +=++

即：两个数的和的平方，等于这两个数的平方和，再加上这两个数的积的2倍。

（3）完全平方差公式：

222()2a b a ab b -=-+

即：两个数的差的平方，等于这两个数的平方和，再减去这两个数的积的2倍。

（4）完全平方式：形如222222a ab b a ab b ++-+或的式子叫完全平方式。

运用：若式子22x mxy y ++是完全平方式，则2mxy xy =±。

（5）添括号的法则：添括号时，括号前面是正号“+”，括到括号里面的每一项不变号；括号前面是负号“-”，括到括号里面的每一项要变号。 三、整式的除法：

1、同底数幂相除：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即

）并且都是正整数n m n m a a a n m n m >=÷-,,(

2、零次幂：任何一个不为0的数的0次幂都等于1。

3、整式的除法：

（1）单项式除以单项式：单项式除以单项式，就是把系数与系数相除，同底数幂相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则同它的指数把它单独作为商的一个因式。

（2）多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 四、因式分解：

1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式的式子变形叫做因式分解，也叫分解因式。

2、公因式：多项式中各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

3、确定公因式的方法：公因式的系数应取各项系数的最大公约数；同底数幂取各项的最低次幂。

4、分解因式的方法：

（1）提公因式法：把公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

（2）公式法：

①逆用平方差公式分解因式：

22()()a b a b a b -=+-

即：两个数的平方差，等于这两个数的和乘与这两个数的差。

②逆用完全平方和公式分解因式：

2222()a ab b a b ++=+

即：两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和的平方。 ③逆用完全平方差公式分解因式：

2222()a ab b a b -+=-

即：两个数的平方和减去这两个数的积的2倍，等于这两个数差的平方。

（3）十字相乘法：

如果一个二次项系数为1的二次三项式的常数项可以分解为两个因数的积，并且这两个因数的和等于一次项系数，则可以把这个二次三项式分解因式为：（字母+第一个因数）×（字母+第二个因数）

即：2()()()x p q x pq x p

x q +++=++