2020年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
[70，80）
[80，90）
[90，99）
人数（人） 125
75
25
5
（1）从样本中 70 岁及以上老人中，采用分层抽样的方法抽取 21 人，进一步了解 他们的生活状况，则 80 岁及以上老人应抽多少人？ （2）从（1）中所抽取的 80 岁及以上的老人中，再随机抽取 2 人，求抽到 90 岁及 以上老人的概率； （3）该县按省委办公厅、省人民政府办公厅《关于加强新时期老年人优待服务工 作的意见》精神，制定如下老年人生活补贴措施，由省、市、县三级财政分级拨款： ①本县户籍 60 岁及以上居民，按城乡居民养老保险实施办法每月领取 55 元基本养 老金； ②本县户籍 80 岁及以上老年人额外享受高龄老人生活补贴； （a）百岁及以上老年人，每人每月发放 345 元生活补贴； （b）90 岁及以上、百岁以下老年人，每人每月发放 200 元的生活补贴； （c）80 岁及以上、90 岁以下老年人，每人每月发放 100 元的生活补贴． 试估计政府执行此项补贴措施的年度预算．
7.答案：C
解析：解：第一次 k=m，k＞m+2 否，S=m，k=m+1， 第二次 k=m+1，k＞m+2 否，S=m+m+1=2m+1，k=m+2， 第三次 k=m+2，k＞m+2 否，S=2m+1+m+2=3m+3，k=m+3， 第四次 k=m+3，k＞m+2 是，输出 S=3m+3=30， 得 3m=27， 得 m=9， 故选：C． 根据程序框图进行模拟运算即可． 本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．
设该长方体的外接球为球 O，半径为 r, 则长方体的 8 个顶点都在球 O 的球面上， 所以三棱锥 D-ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上， 故长方体的外接球与三棱锥的外接球都为球 O， 而根据长方体的对称性，球 O 的球心在长方体的体对角线上，且长方体的体对角线长是 球的半径的 2 倍，
（1）若 a=-1，求不等式 f（x）+1＞0 的解集； （2）已知 a＞0，若 f（x）+3a＞2 对于任意 x∈R 恒成立，求 a 的取值范围．
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1.答案：A
-------- 答案与解析 --------
解析：解：z= =
= =-3+3i，
故 z 的实部为-3， 故选：A． 结合复数的运算法则进行化简，即可得 z 的实部． 本题主要考查复数的有关概念，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．
双曲线 =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与过其右焦点的直线 y=2x-2 平行，
可得 ，又 a2+b2=5，解得 a=1，所以双曲线的实轴长为：2． 故选：B．
4.答案：C
解析：解：向量 ， 满足| |=2，| |=3，| |= ，
可得 4+9-2 =7，
可得 =3，
则 •（ + ）=
=4+3=7．
上，f（x）＞0，又由（x-1）f（x-1）≤0⇒
或
，解可得 x 的取值
范围，即可得答案． 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析 f（x）的函数值的正负情况， 属于基础题．
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11.答案：B
解析：【分析】 本题考查了三棱锥的外接球，属于中档题． 将三棱锥还原成长方体，根据长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，可得答案. 【解答】 解：如图，将三棱锥还原为长方体，
2.答案：D
解析：解：B={x|x≤0，或 x≥2}； ∴A∩B={2，3}． 故选：D． 可求出集合 B，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．
3.答案：B
解析：【分析】 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 求出右焦点的坐标，渐近线的斜率，然后求解 a 即可． 【解答】 解：直线 y=2x-2 经过双曲线的右焦点，可得 c= ，
（x-1）f（x-1）≤0⇒
或
，
解可得：x≤0 或 1≤x≤2， 即不等式的解集为（-∞，0]∪[1，2]； 故选：C． 根据题意，结合函数的单调性以及特殊值可得在区间[0，1]上，f（x）＜0，在区间[1， +∞）上，f（x）＞0，结合函数的奇偶性可得在区间[-1，0]上，f（x）＜0，在区间（-∞， -1]上，f（x）＞0，综合可得：在区间[-1，1]上，f（x）＜0，在区间（-∞，-1]和[1，+∞）
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16. 在锐角
中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，
，
则
的取值范围是
．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S10＝120，a2﹣a1，a4﹣a2，a1+a2 成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
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19. 如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，E 为 A1C1 的中点，AB＝BC＝2，C1F⊥AB，
（1）求证：AB⊥BC； （2）若 C1F∥平面 ABE，且 C1F＝2，求点 A 到平面 BCE 的距离．
20. 已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，过点 F，斜率为 1 的直线与抛物线 C
A. 210
B. 208
C. 206
D. 204
9. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子.19 岁的高斯得到了一个数学史
上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对
1+2+3+…+100 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前
后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数 f
5. 某研究机构在对具有线性相关的两个变量 x 和 y 进行统计分析时，得到如数据求得 y 关于 x 的回归方程为 =0.65x+ ，则在这些样本点中任取一点，该
点落在回归直线下方的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 若函数 f（x）=sinωx- cosωx（ω＞0）的最小正周期为 π，则 f（x）的单调增区间 为（ ）
交于点 A，B，且|AB|=8． （1）求抛物线 C 的方程； （2）过点 Q（1，1）作直线交抛物线 C 于不同于 R（1，2）的两点 D、E，若直线 DR，ER 分别交直线 l：y=2x+2 于 M，N 两点，求|MN|取最小值时直线 DE 的方程．
21. 已知函数 f（x）= -bx（a，b∈R）．
13. 曲线 y= +xex 在点（0，1）处的切线方程为______．
14. 已知变量 x，y 满足约束条件
，则目标函数 z=x+2y 的最小值为______．
15. 已知椭圆
=1（a＞0，b＞0）的左焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B，若点 F
到直线 AB 距离为 b，则该椭圆的离心率为______．
（1）当 b=0 时，讨论函数 f（x）的单调性； （2）若函数 g（x）= 在 x= （e 为自然对数的底）时取得极值，且函数 g（x） 在（0，e）上有两个零点，求实数 b 的取值范围．
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22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
(α 为参数),以坐标原点为
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8.答案：D
解析：解：几何体的直观图如图是正方体的一部分，
由题意可得：6×6×6-
=204．
故选：D． 画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体 积即可． 本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解 题的关键．
9.答案：A
解析：【分析】 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题．利用等差数列的求和公式即可得出． 【解答】
故选：C． 利用向量的模以及数量积化简求解即可． 本题考查向量的数量积以及向量的模的运算法则的应用，是基本知识的考查．
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5.答案：A
解析：【分析】 本题考查了回归方程问题，考查概率的计算以及样本点的中心，是一道基础题． 求出样本点的中心，求出 的值，得到回归方程得到 5 个点中落在回归直线下方的有（6， 2），（8，3），共 2 个，求出概率即可． 【解答】 解：∵ =8， =3.4，
A. [kπ- ，kπ+ ]（k∈Z）
B. [kπ- ，kπ+ ]（k∈Z）
C. [kπ- ，kπ+ ]（k∈Z）
D. [kπ- ，kπ+ ]（k∈Z）
7. 如图所示的程序框图，若输出的 S＝30，则输入的整数 m 值为（）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
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8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
（x）=
（m＞0），则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（m+2018）等于（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 已知函数 f（x）是偶函数，定义域为 R，单调增区间为[0，+∞），且 f（1）=0，则
（x-1）f（x-1）≤0 的解集为（）
A.
B.
C.
D.
11. 已知三棱锥 D﹣ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，若 DC⊥平面 ABC，∠ACB＝90°，
AB＝3 ，DC＝2 ，则球 O 的表面积为（ ）
A. 28π
B. 30π
C. 32π
D. 36π
12. 已知 f（x）=
【附20套高考模拟试题】2020届黑龙江省齐齐哈尔市龙江县二中高考数学模拟试卷含答案
2020届黑龙江省齐齐哈尔市龙江县二中高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知sin()cos()66ππαα-=+，则cos2=α（ ） A ． 1 B ．-1C ．12 D ．02．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n 等于（ ） A ．660 B ．720 C ．780 D ．8003．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．438π+B ．238π+C ．434π+D ．834π+4．已知,a b ∈R ，则“11a b>”是“a b <”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 5．函数的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知圆22220x y x y a +-++=截直线40x y +-=所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()217,217-+ B ．()217,2-C ．()15,-+∞D ．()15,2-7．设m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m n αα⊥，∥，则m n ⊥；②若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥；③若m αββγα⊥∥，∥，，则m γ⊥；④若m n m n αγβγ==I I ，，∥，则αβ∥. 其中真命题的序号是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．③④ D ．①④8．已知函数()()20,0f x x ax b a b =++<>有两个不同的零点1x ，2x ，-2和1x ，2x 三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()254f x x x =--B ．()254f x x x =++C ．()254f x x x =-+ D ．()254f x x x =+-9．若圆锥曲线：的离心率为2，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是''''A B C D Y ，如图2所示.其中24A'B'A'D'==，则该几何体的表面积为（ ）A ．1612+πB ．168+πC ．1610+πD ．8π11．已知(0,)x π∈，则()cos 22sin f x x x =+的值域为（ ）A ．(]11,2- B ．3[1,]2 C ．2(,2)2 D ．(0,22)12．已知直线是双曲线的一条渐近线，若的最大值为1，则该双曲线离心率的最大值为（ ） A ．2B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三下学期高考数学模拟试题(二模)含答案
黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三下学期高考数学模拟试题（二模）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知为整数集，，则（ ）U {}2Z 4A x x =∈>U A =ðA ．B ．C ．D ．{}0,1{}1,0,1,2-{}0,1,2{}2,1,0,1,2--2．若，则（ ）i i z z =+·z z =A ．B ．1C ．2D ．4123．样本数据16，20，21，24，22，14，18，28的分位数为（ ）75%A ．16B ．17C ．23D ．244．在中，，，则（ ）ABC 2sin 3sin A B =2AB AC =cos C =A ．B ．C ．D ．1212-1414-5．是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五60C 边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（ ）,,A B C ⋅=AB AC14．设为双曲线A Γ:x a 满足，4BC AC =AC =四、解答题：本题共515．已知不透明的袋子中装有中无放回地随机取球，每次取一个．【详解】当时，，单调递增，()1,x ∈-+∞()0P x '>()P x ，()()11e P x P ∴≥-=-，()1e e x f x x ∴≥≥-故选：B ．8．A【分析】利用累乘法，则得到规律，则求出，根据即可513a a =-41433k k a a +-=-50620253a =202520243a a =求出.2024a 【详解】，，()121π12cos 12a a =-+=-()23212cos π1a a =-+=-，，()3433π12cos 12a a =-+=-()45412cos2π3a a =-+=所以，53524112343a a a a a a a a a a =⨯⨯⨯=-同理可得，，．，953a a =-⋅⋅⋅41433k k a a +-=-因为，所以，则，202514506=+⨯()5065062025133a a =-=50620253a =因为，所以，()2024202520241cos1012π3a a =-+=50520243a =故选：A ．关键点点睛：本题的关键是得到，则得到，最后根据即可得到41433k k a a +-=-50620253a =202520243a a =答案.9．BD【分析】根据题意利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数的性质逐项分()π2sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭析判断.【详解】由题意可得：【详解】，所以，A 选项正确；0102p+-=2p =设，将抛物线与直线联立，得，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2:4C y x =:10l x y +-=()241y y =-即.2440y y +-=所以由韦达定理得，，，B 选项错误；124y y +=-124y y =-22121236116641y y OA OB y y -⋅=-=+= 由直线的斜率为，知其倾斜角为，AB 1-3π4故，222212121212123πtan 24AB y y y y y y y y y y ⎛⎫=-+-=-+-=- ⎪⎝⎭所以，C 选项正确；()2121212224216448AB y y y y y y =-=+-=+⨯=设的坐标为，到直线的距离为，则的面积.D ()24,4t t D AB L ABD △142S AB L L =⋅⋅=从而的面积为当且仅当.ABD △422L =另一方面，直线的方程是，由点到直线的距离公式，AB 10x y +-=知到直线的距离.D AB 2222441441211t t t t L +-+-==+所以当且仅当，即.2L =24412t t +-=()2244140tt +--=而我们有()224414tt +--()()22443441t t t t =+-++()()2221214t t ⎡⎤=++-⎣⎦()()()2212123t t t =+-+.211316222t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故满足条件的恰有三个.t 113,,222--设水晶球的半径为，则r 设圆台的高为，则h 7π又因为水晶球球心到圆台上底面的距离所以该奖杯的高为h r +期望的定义求出期望即可.【详解】（1）设事件为“前两次取出的球颜色不同”．A 设事件为“第一次取出了黑球，第二次取出了白球”，则，B ()4246515P B =⨯=事件为“第一次取出了白球，第二次取出了黑球”，则，C ()2446515P C =⨯=因为事件与不能同时发生，故它们互斥．B C 所以，()()()()815P A P B C P B P C =+=+=所以前两次取出的球颜色不同的概率为；815（2）依题意，的取值为2，3，4，5，6，X 若第二次取出了全部白球，则只有两种取法（取决于2个白球取出的先后顺序），故，()2126515P X ===⨯若第三次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有2种可能，取出的那个黑球有4种可能，故．()2242365415P X ⨯⨯===⨯⨯若第四次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有3种可能，取出的另外2个黑球有种组合，它们又有2种排列方式，24C 6=故，()23621465435P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯若第五次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有4种可能，取出的另外3个黑球有种组合，它们又有种排列方式，34C 4=3!6=故，()2446456543215P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯若第六次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有5种可能，取出的另外4个黑球只有1种组合，它们有种排列方式，4!24=故．()25124166543213P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯所以的分布列为X X23456P1152151541513设平面的法向量为，则PBC (),,m x y z =，即，·0·0m PB m PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 3332640x y z x z -++=-+=令，则，，故．2x =0y =3z =()2,0,3m =显然平面的一个法向量为.ABE ()1,0,0n =而，2213cos ,13131m nm n m n ⋅===⨯故平面与平面夹角的余弦值为．PBC ABE 2131317．(1)()12n n a -=-(2)36355.5T =【分析】（1）运用求解即可.11, 1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）依题意可知，插入数列后，与所构成的数列为，，，，，，{}n b {}n a {}n b 1a 1b 2a 2b 3b 3a ，，，，结合等差数列前n 项和公式及错位相减法求和即可求得结果.4b 5b 6b 4a L 【详解】（1）当时，，所以，1n =11321S a =+11a =当时，，即，2n ≥1133322n n n n n a S S a a --=-=-12n n a a -=-所以，()12n n a -=-当时，符合，1n =()12n n a -=-所以；()12n n a -=-（2）依题意，，1212a a b +=，2323233222422a a a a b b a a +++=⨯--=，33453446433522a a a a b b b a a ++++=⨯--=︙．898929303689881022a a a a b b b a a ++++⋅⋅⋅+=⨯--=所以，1237893635131582a a a a a a T +++⋅⋅⋅++=即，①()()()()()()0126783622325213215282T =-+-+-+⋅⋅⋅+-+-+-则，②()()()()()()1237893642325213215282T -=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-+-由①②可得，-()()()()()()()()71788983621262222282152821292213312T ⎡⎤---⎣⎦=-+-+⋅⋅⋅+-+-----=+⨯+⨯=--，所以．36355.5T =18．(1)10x y --=(2)证明见解析【分析】（1）求导可得斜率，结合点斜式方程求解即可.（2）求，运用放缩可得，设，求导()g x '1ln 1x x +≥()e e sin x x g x x -≥-+'()e e sin x x h x x -=-+可得，结合基本不等式可得，从而可得单调性，进而可证得结果.()h x'()0h x '≥()g x 【详解】（1）解：当时，，则，2a =()12ln x f x x x -=+()1112ln101f -=+=又，所以，即，()222121x f x x x x -'=-=()211111f ⨯-'==()11k f '==所以在点处的切线方程为，即；()1,01y x =-10x y --=（2）证明：设（），则，()()e ln 1e cos x x g x x x-=++-0x ≥()00g =，()()1e ln 1e sin 1x x g x x xx -⎡⎤=++-+⎢⎥+⎣⎦'设，则，()1ln H x x x =+()22111x H x x x x ='-=-当时，，单调递减，()0,1x ∈()0H x '<()H x 当时，，单调递增，()1,x ∈+∞()0H x '>()H x ，()()1ln111H x H ∴≥=+=恒成立，1ln 1x x ∴+≥由可知，1ln 1x x +≥()1ln 111x x ++≥+所以（），()e e sin x x g x x-≥-+'0x ≥设（），则，()e e sin x x h x x-=-+0x ≥()00h =，()e e cos 2e e 110x x x x h x x --=++≥⋅-=>'所以当时，，单调递增，，[)0,x ∈+∞()0h x '≥()h x ()()()00g x h x h ≥'≥=所以单调递增，，()g x ()()00g x g ≥=所以．()e ln 1e cos 0x x x x -++-≥方法点睛：运用导数证明不等式常见方法：（1）将不等式转化为函数的最值问题：待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．（2）将不等式转化为两个函数的最值进行比较：若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含ln x 与ex ，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．（3）适当放缩证明不等式：导数方法证明不等式中，最常见的是和与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可e xln x 以考虑先对和进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式e xln x 如下：(1) ，当且仅当时取等号．(2)，当且仅当时取等号．e 1xx ≥+0x =ln 1≤-x x 1x =19．(1)63(2)11,82⎛⎫ ⎪⎝⎭由题意知，，设(,0)A a -P 代入椭圆方程，可得222a a ⎛⎫⎪⎝⎭设点，直线方程为()11,P x y PA 联立直线方程与椭圆方程可得整理可得，解得，()2220x a x a x a k a b -+⎛⎫++= ⎪⎝⎭2321222ab a k x a k b -=+所以，()22222111222121ab PA x a y k x a k a k b =++=++=++将替换为，同理可得，，k 1k -2222221ab k QA k a b k =++由，可得，tan 8PQA ∠=()2222228PAa b k QA k a k b +==+整理得，()3222810,1,88k b k k k a -=∈≠-由，解得或，()()3322181088k k k k k k--=>--8k >102k <<，即，解得或，328118k k k -<-()()2218108k k k k +-<-188k <<0k <故解集为.3281018k k k -<<-11{|}82k k <<综上所述，的取值范围为．k 11,82⎛⎫ ⎪⎝⎭。
2020届黑龙江省齐齐哈尔市高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
可以从反面考虑，即全是红球和全是白球的情况，然后用总数减去这两种情况就是符合
要求的，然后再由古典概型公式，得到概率.
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【详解】
从 7 个球里取 3 个球，共有
种可能的情况，
全是红球的情况有
，全是白球的情况有
，
将这两种情况去掉，就是符合要求的情况，即既有红球又有白球的情况，
所以概率为 【点睛】 本题考查古典概型中从反面考虑的情况，属于简单题.
，
由
知
，
又
，所以 方程为
，
由内切圆圆心到直线 距离为 ，
第 8 页 共 19 页
即
得 ，所以 方程为
.
故选 D 项
【点睛】 本题考查内切圆的性质，直线的表示，点到直线的距离，属于中档题.
二、填空题 13．已知两个单位向量 ， 的夹角为 ，
__________．
，
.若 ，则实数
【答案】 【解析】由 ，得 的值. 【详解】
【详解】
由已知中的三视图可得：该几何体是由一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体， 正方体的边长为 6， 切去一个三棱锥的底面是直角边长分别为 6，6 的等腰直角三角形，高为 2，
故该几何体的体积为
.
故选 D 项.
【点睛】
本题考查三视图还原几何体，切割法求几何体体积，属于简单题. 第 4 页 共 19 页
，
，
，代入
，
，得到关于 的方程，得到
而
， ， 的夹角为
【点睛】
，.
本题考查向量垂直关系的表达，向量数量积运算，属于简单题.
14．在 4 个不同的红球和 3 个不同的白球中，随机取 3 个球，则既有红球又有白球的概
2020年黑龙江省高考理科数学仿真模拟试题二(附答案)
2020年黑龙江省高考理科数学仿真模拟试题二（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}2log (1)2A x x =-<，{}16B x x =-<<，则A B ⋂= ( ) A. {}15x x -<< B. {}16x x -<< C. {}15x x <<D. {}16x x <<2. 复数i z a b =+（,a b R ∈）满足2i(1)z z =-，则a b +=( ) A. 35-B. 15-C.15D.353. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. B. C.D.4. 为了计算满足的最大正整数，设置了如下图所示的程序框图，若判断框中填写的是“”，则输出框中应填（ ）A. 输出B. 输出C. 输出D. 输出5. 已知函数()cos x xf x e=，则()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为( ) A. 10x y ++= B. 10x y +-=C. 10x y -+=D. 10x y --=6. 某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102），已知 P （95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ） A. 10B. 9C. 8D. 77. 为了得到函数sin y x =的图像，只需将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ）A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移6π个单位 B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移6π个单位C. 横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向右平移6π个单位D. 横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位8. 若,a b 是从集合{}1,1,2,3,4-中随机选取两个不同元素，则使得函数()5ab f x x x =+是奇函数的概率为（ ） A.320B.310C.925D.359．已知命题2:233p x x a ++≥恒成立，命题():21xq y a =-为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是（ ） A ．1223a <≤ B ．102a <<C ．121a << D ．23a £10．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,)x m ∈-∞，都有()1f x <，则m 的取值范围是（ ）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11.倾斜角为15°的直线l 经过原点且和双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右两支交于A ，B 两点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.)+∞B. )+∞C. D. 12.曲线()xf x ke-=在x=0处的切线与直线x-2y-1=0垂直，则12,x x 是()()ln g x f x x =-的两个零点，则（ ）A.12211x x e e << B. 12211x x e << C. 1211x x e<< D. 212e x x e <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷(二)(有答案解析)
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={x|x2-5x-6＜0}，B={x|x=3k+1，k∈Z}，则 A∩B 等于（ ）
A. {2，3，4}
B. {1，2，3}
C. {2，5}
D. {1，4}
2. 已知复数 z＝
解：∵△ABC 的面积 S= cosC，且 a= ，b= ，
∴ cosC=
∴tanC= ，
∴cosC=
=，
sinC，cosC＞0，
∴c=
=
故选：A．
10.答案：A
=2．
解析：【分析】 本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式以及利用三角函数的单调性是 解决本题的关键．考查学生的推理能力． 利用图象确定 A，ω 和 φ 的值，求出函数的解析式，利用辅助角公式进行化简，结合三 角函数的单调性进行求解即可． 【解答】
是纯虚数，其中 a 是实数，则 z 等于（）
A. 2i
B. ﹣2i
C. i
D. ﹣i
3. 已知双曲线 ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的焦距为 4 ，且两条渐近线互相垂直，则该双
曲线的实轴长为（）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
4. 已知变量 满足约束条件
则目标函数
的最小值为（ ）
A. -9
5. 函数 f（x）=
解：f（-x）= =-f（x），
即函数 f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除，A，B， 当 x＞0 时，f（x）＞0，排除 D. 故选：C．
6.答案：C
解析：解：第一次 k=m，k＞m+2 否，S=m，k=m+1， 第二次 k=m+1，k＞m+2 否，S=m+m+1=2m+1，k=m+2， 第三次 k=m+2，k＞m+2 否，S=2m+1+m+2=3m+3，k=m+3， 第四次 k=m+3，k＞m+2 是，输出 S=3m+3=30， 得 3m=27， 得 m=9， 故选：C． 根据程序框图进行模拟运算即可． 本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的图像与性质易得b 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和c 的大小关系，进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知1314120131b ⎛⎫<= ⎪⎭<⎝，由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>，13log 141c =>，所以b 最小； 而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-lg13lg14lg12lg13=- 2lg 13lg12lg14lg12lg13-⋅=⋅ 由基本不等式可知()21lg12lg14lg12lg142⎡⎤⋅<+⎢⎥⎣⎦，代入上式可得()2221lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13⎡⎤-+⎢⎥-⋅⎣⎦>⋅⋅221lg 13lg1682lg12lg13⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅((lg13lg13lg 0lg12lg13+⋅-=>⋅所以a c >，综上可知a c b >>， 故选：D. 【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.2．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A ．240 B ．320C ．180D ．120【答案】C 【解析】 【分析】在所有两组至少都是3人的分组中减去3名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果. 【详解】两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4，又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为432882221180C C A A ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.3．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论： ①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④【答案】C 【解析】 【分析】①利用,x y 之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为,x y 的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据,x y 满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于4π. 【详解】①：当x 变为x -时， ()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y 轴对称；当y 变为y -时，()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于x 轴对称；当y 变为x 时，()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y x =轴对称；当y 变为x -时，()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y x =-轴对称；综上可知：有四条对称轴，故正确； ②：因为()32222x y x y +=，所以()222322222x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，所以2214x y +≤2212x y +≤，取等号时2218x y ==，所以最大距离为12，故错误；③：设任意一点(),P x y ，所以围成的矩形面积为xy ， 因为()32222x yx y +=，所以()()3322222x y x y xy =+≥，所以18xy ≤，取等号时24x y ==，所以围成矩形面积的最大值为18，故正确；④：由②可知2214x y +≤，所以四叶草包含在圆2214x y +=的内部，因为圆的面积为：144S ππ=⋅=，所以四叶草的面积小于4π，故正确. 故选：C. 【点睛】本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲线的对称性，可通过替换方程中,x y 去分析证明.4．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC V 是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 中点，则球O 的表面积为（ ） A ．523πB ．403πC ．253πD ．24π【答案】A 【解析】 【分析】根据O 是CD 中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解. 【详解】解：设D 点到平面ABC 的距离为h ，因为O 是CD 中点，所以O 到平面ABC 的距离为2h ， 三棱锥D ABC -的体积11122sin602332ABC V S h h ︒==⋅⨯⨯⋅⨯⋅=V ，解得23h =⋅，作OO '⊥平面ABC ，垂足O '为ABC V 的外心，所以23CO '=，且32h OO '==，所以在Rt CO O 'V 中，22133OC CO O O ''=+=，此为球的半径， 213524433S R πππ∴==⋅=. 故选：A.【点睛】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题．5．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i【答案】B 【解析】 【分析】复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出a ，即得z .【详解】∵()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，∴21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，解得1a =-. 2z i ∴=-. 故选：B . 【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.6．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 【答案】D 【解析】 【分析】集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【详解】{}1210|2S x x x x ⎧⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭Q ，{}5|350|3T x x x x ⎧⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭，则15|23S T x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭故选D 【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题． 7．复数12i2i+=-（ ）．A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i -【答案】A 【解析】试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 8．若424log 3,log 7,0.7a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】将a 化成以4 为底的对数，即可判断,a b 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出,b c 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系. 【详解】依题意，由对数函数的性质可得244log 3log 9log 7a b ==>=.又因为40440.70.71log 4log 7c b =<==<=，故a b c >>.故选:A. 【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.9．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）A ．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B ．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP 比例持续7年保持在4%以上C ．从2010年至2018年，中国GDP 的总值最少增加60万亿D ．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年 【答案】C 【解析】 【分析】观察图表，判断四个选项是否正确． 【详解】由表易知A 、B 、D 项均正确，2010年中国GDP 为1.4670413.55%≈万亿元，2018年中国GDP 为3.6990904.11%=万亿元，则从2010年至2018年，中国GDP 的总值大约增加49万亿，故C 项错误．【点睛】本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础． 10．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ） A 2 B ．1C ．2D 5【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数代数形式的四则运算法则求出z ，即可根据复数的模计算公式求出||z ． 【详解】∵22)1121(1z i i i i i=-+=+=+++，∴||z == 故选：A ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用， 属于容易题．11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A．y =±B．y = C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出2c b =，结合22224c b a b ==+，得出223a b =，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由双曲线()222210,0x y a b a b-=>>可知，焦点在x 轴上，则双曲线的渐近线方程为：by x a=±， 由于焦距是虚轴长的2倍，可得：2c b =， ∴22224c b a b ==+， 即：223a b =，3b a =，所以双曲线的渐近线方程为：3y x =±. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程. 12．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ）A ．32B ．12C ．78 D ．98【答案】C 【解析】【分析】求得等比数列{}n a 的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得63S S 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，2019201680a a +=Q ，32019201618a q a ∴==-，12q ∴=-， 因此，6363317118S q q S q -==+=-. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省齐齐哈尔2020年普通高考全真模拟卷含解析【附16套高考模拟卷】
黑龙江省齐齐哈尔2020年普通高考全真模拟卷一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、甲、乙两车在平直公路上行驶，其v-t 图象如图所示．t=0时，两车间距为0s ；0t 时刻，甲、乙两车相遇．00t :时间内甲车发生的位移为s ，下列说法正确的是( )A ．00t :时间内甲车在前，002t t :时间内乙车在前B ．002t : 时间内甲车平均速度的大小是乙车平均速度大小的2倍C ．02t 时刻甲、乙两车相距012sD ．067s s = 2、质量为m 的光滑小球恰好放在质量也为m 的圆弧槽内，它与槽左右两端的接触处分别为A 点和B 点，圆弧槽的半径为R ，OA 与水平线AB 成60°角．槽放在光滑的水平桌面上，通过细线和滑轮与重物C 相连，细线始终处于水平状态．通过实验知道，当槽的加速度很大时，小球将从槽中滚出，滑轮与绳质量都不计，要使小球不从槽中滚出 ，则重物C 的最大质量为（ ）A 23mB ．2mC ．31)mD ．31)m3、如图所示，倾角为α的斜面体A 置于粗糙水平面上，物块B 置于斜面上，已知A 、B 的质量分别为M 、m ，它们之间的动摩擦因数为tan μα=。
现给B 一平行于斜面向下的恒定的推力F ，使B 沿斜面向下运动，A 始终处于静止状态，则下列说法中不正确的是（ ）A ．无论F 的大小如何，B 一定加速下滑B ．物体A 对水平面的压力N ()F M m g >+C ．B 运动的加速度大小为F a m= D ．水平面对A 一定没有摩擦力4、继我国探月工程之后，2020年我国计划启动火星探测任务，择机发射火星探测器。
若已知引力常量G 和火星的半径R ，火星探测器环绕火星表面飞行的周期T ，那么根据这些已知条件可估算（ ） A ．火星的第一宇宙速度B ．火星的自转角速度C ．探测器的质量D ．探测器受火星的引力5、如图所示，虚线为某匀强电场的等势线，电势分别为10V 、20V 和30V ，实线是某带电粒子在该电场中运动的轨迹。
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷含解析
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直角坐标系 xOy 中，双曲线2222 1x y a b -=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、 B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率e =（ ） A ．43 B ．54 C ．65 D ．76【答案】D【解析】【分析】根据题干得到点A 坐标为()3,3x x ，代入抛物线得到坐标为()6,23b b ，再将点代入双曲线得到离心率.【详解】因为三角形OAB 是等边三角形，设直线OA 为33y x =，设点A 坐标为()3,3x x ，代入抛物线得到x=2b,故点A 的坐标为()6,23b b ，代入双曲线得到22221371.366b b e a a =⇒=+= 故答案为：D.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).2．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【详解】抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A ．【点睛】本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．3．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元【答案】D【解析】由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 项正确；结余最高为7月份，为802060-=，故B 项正确；1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C 项正确；前6个月的平均收入为1(406030305060)456+++++=万元，故D 项错误． 综上，故选D ．4．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ） A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}3【答案】A【解析】【分析】 根据交集的结果可得3是集合B 的元素，代入方程后可求m 的值，从而可求B .【详解】依题意可知3是集合B 的元素，即23230m -⨯+=，解得3m =-，由2230x x --=，解得1,3x =-.【点睛】本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.5．执行下面的程序框图，如果输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是（ ）A ．58B ．57C ．56D ．55【答案】B【解析】【分析】 先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.【详解】本程序框图的功能是计算m ，n 中的最大公约数，所以199********=⨯+，228171157=⨯+，1713570=⨯+，故当输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是57.故选：B.【点睛】本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题. 6．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）A ．800B ．1000C ．1200D ．1600【答案】B【解析】【分析】 由图可列方程算得a ，然后求出成绩在[250,350]内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在[250,350]内的学生人数.【详解】由频率和为1，得(0.0020.00420.002)501a +++⨯=，解得0.006a =，所以成绩在[250,350]内的频率(0.0040.006)500.5=+⨯=，所以成绩在[250,350]内的学生人数20000.51000=⨯=.故选：B【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.7．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长相等，60ABC ︒∠=，则直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于（ ）A 6B ．10C 5D 15 【答案】D【解析】【分析】以A 为坐标原点，AE 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．求解平面11ACC A 的法向量，利用线面角的向量公式即得解.【详解】如图所示的直四棱柱1111ABCD A B C D -，60ABC ︒∠=，取BC 中点E ，以A 为坐标原点，AE 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．设2AB =，则11(0,0,0),(0,0,2),(3,1,0),(3,1,0),(3,1,2)A A B C C -， 11(0,2,2),(3,1,0),(0,0,2)BC AC AA ===u u u r u u u r u u u r ．设平面11ACC A 的法向量为(,,)n x y z =r ， 则130,20,n AC x y n AA z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩v v 取1x =， 得(1,3,0)n =r ．设直线1BC 与平面11ACC A 所成角为θ， 则11236sin 484||BC n BC n θ⋅-===⋅⋅u u u r r u u u r r ， 2610cos 14θ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴直线1BC 与平面11ACC A 15 故选：D【点睛】本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题. 8．已知函数1()cos 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的极大值点为( )A ．3π-B ．6π-C ．6πD ．3π 【答案】A【解析】【分析】求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可.【详解】因为()11cos 222f x x x x sinx π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭， 故可得()12f x cosx '=-+， 令()0f x '=，因为,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故可得3x π=-或3x π=， 则()f x 在区间,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增， 在,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， 故()f x 的极大值点为3π-. 故选：A.【点睛】 本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题.9．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ）A ．19B ．29C ．13D ．49【答案】B【解析】【分析】根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为2211332222C C C C A ，然后计算1A 和1B 分在一组的数目为1122C C ，最后简单计算，可得结果.【详解】由题可知：分别从3名男生、3名女生中选2人 ：2233C C将选中2名女生平均分为两组：112122C C A 将选中2名男生平均分为两组：112122C C A 则选出的4人分成两队混合双打的总数为：221111112223322212133222222218C C C C C C C C C C A A A A == 1A 和1B 分在一组的数目为11224C C = 所以所求的概率为42189= 故选：B【点睛】 本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成m 组，则要除以m m A ，即!m ，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.10．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8【答案】B【解析】【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可得出()()02P X P X <=>，进而可得出结果.【详解】 ()1,4X N Q :，所以，()()020.3P X P X <=>=.故选：B.【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.11．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A．23B．163C．6 D．与点O的位置有关【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论. 【详解】如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点O在平面11ADD A上，高为2，所以四棱锥的体积为184233⨯⨯=，所以该几何体的体积为816 833 -=.故选:B.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.12．如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE14SB =.，异面直线SC与OE所成角的正切值为（）A．222B．5C．1316D．113【答案】D【解析】【分析】可过点S作SF∥OE，交AB于点F，并连接CF，从而可得出∠CSF（或补角）为异面直线SC与OE所成的角，根据条件即可求出3210SC SF CF===，，这样即可得出tan∠CSF的值.【详解】如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF（或补角）即为异面直线SC与OE所成的角，∵14SE SB=，∴13SE BE=，又OB＝3，∴113OF OB==，SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴32SC=；SO⊥OF，SO＝3，OF＝1，∴10SF=；OC⊥OF，OC＝3，OF＝1，∴10CF=，∴等腰△SCF中，2232(10)()112332tan CSF∠-==.故选：D.【点睛】本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角的关系，平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题含解析
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．163【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为1122223⨯⨯⨯+11622223⨯⨯⨯⨯=.故选D. 【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.2．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】设球心为，三棱柱的上底面的内切圆的圆心为，该圆与边切于点，根据球的几何性质可得为直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积．【详解】如图，设三棱柱为，且，高．所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点，则圆的半径为．设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且，所以，即球的半径为，所以球的体积为．故选A．【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：（1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法．（2）若直角三角形的两直角边为，斜边为，则该直角三角形内切圆的半径，合理利用中间结论可提高解题的效率．3．已知双曲线C：2222x ya b-=1（a＞0，b＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为3y x=，则C为（）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2211648x y -=D ．2214816x y -=【答案】A 【解析】 【分析】 由题意求得c 与ba的值，结合隐含条件列式求得a 2，b 2，则答案可求. 【详解】由题意，2c ＝8，则c ＝4，又ba=a 2+b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝12.∴双曲线C 的方程为221412x y -=.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.4．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）A ．－10B ．－9C ．－7D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数表达式，先求得()1f -的值，然后结合()f x 的奇偶性，求得((1))g f -的值. 【详解】因为函数3,0()(),0x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，所以(1)(1)2f f -=-=-，((1))(2)(2)(2)10g f g f f -=-=-=-=-.故选：B 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.5．已知函数()ln 2f x x ax =-，()242ln ax g x x x=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a的取值范围为（ ） A ．(]0,eB ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),e +∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意可将方程转化为ln 422ln x ax a x x -=-，令()ln xt x x=，()()0,11,x ∈+∞U ，进而将方程转化为()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()2t x =-或()2t x a =，再利用()t x 的单调性与最值即可得到结论.【详解】由题意知方程()()f x g x =在()()0,11,+∞U 上恰有三个不相等的实根，即24ln 22ln ax x ax x x-=-，①.因为0x >，①式两边同除以x ，得ln 422ln x axa x x-=-. 所以方程ln 4220ln x axa x x--+=有三个不等的正实根. 记()ln x t x x=，()()0,11,x ∈+∞U ，则上述方程转化为()()4220a t x a t x --+=. 即()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()2t x =-或()2t x a =. 因为()21ln xt x x-'=，当()()0,11,x e ∈U 时，()0t x '>，所以()t x 在()0,1，()1,e 上单调递增，且0x →时，()t x →-∞.当(),x e ∈+∞时，()0t x '<，()t x 在(),e +∞上单调递减，且x →+∞时，()0t x →.所以当x e =时，()t x 取最大值1e，当()2t x =-，有一根. 所以()2t x a =恰有两个不相等的实根，所以102a e<<. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题.6．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()cos ,1b α=r，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B．3-C．3-D ．13-【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案. 【详解】//a b∴r r 1cos tan sin 3ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.7．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(],1-∞【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()()1g x f x =-，通过分析()g x 的单调性和对称性，求得不等式()(32)2f x f x +-≤的解集. 【详解】构造函数()()()11111x x g x f x ex e --=-=-+-，()g x 是单调递增函数，且向左移动一个单位得到()()11x x h x g x e x e=+=-+， ()h x 的定义域为R ，且()()1xx h x e x h x e-=--=-， 所以()h x 为奇函数，图像关于原点对称，所以()g x 图像关于()1,0对称. 不等式()(32)2f x f x +-≤等价于()()13210f x f x -+--≤， 等价于()()320g x g x +-≤，注意到()10g =，结合()g x 图像关于()1,0对称和()g x 单调递增可知3221x x x +-≤⇒≥. 所以不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是[)1,+∞. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.8．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（ ） A ．235B．835C ．635D ．37【答案】B 【解析】 【分析】由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有1142C C ，所有的情况有37C 种，由古典概型的概率公式即得解. 【详解】由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有1142C C ，所有的情况有37C 种 由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为：114237835C C P C ==故选：B 【点睛】本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．40322017B ．20152016C ．20162017D ．20151008【答案】D 【解析】循环依次为1111,1,2;3,1,3;6,1,4;336s t i s t i s t i =====+===++=L直至1111,2016;12123122015t i =++++=++++++L L 结束循环，输出1111111112(1)1212312201522320152016t =++++=-+-++-++++++L L L120152(1)20161008=-=，选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（）A．5B．4C．2D．22【答案】D【解析】【分析】先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.【详解】根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：由三视图知：2AD = ，3,2,CE SD ==所以2SC DC ==， 所以222222,22SA SDADSB SCBC=+==+=所以该几何体的最长棱的长为22 故选：D 【点睛】本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.12．设a r ，b r ，c r 是非零向量.若1()2a cbc a b c ⋅=⋅=+⋅r r r r r r r，则（ ）A ．()0a b c ⋅+=rrrB ．()0a b c ⋅-=rrrC ．()0a b c +⋅=rrrD ．()0a b c -⋅=rrr【答案】D 【解析】试题分析：由题意得：若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则()0a b c -⋅=r r r ；若a c b c ⋅=-⋅r r r r ，则由1()2a c b c a b c⋅=⋅=+⋅r r r r r r r 可知，0a c b c ⋅=⋅=r r r r ，故()0a b c -⋅=r r r 也成立，故选D.考点：平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年黑龙江高三二模数学试卷(理科)
2020年黑龙江高三二模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.已知复数 的实部为，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ）．A. B. C. D.3.已知双曲线则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）．A. B. C. D.4.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．下图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：，，，，，其中，．根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭．塔共层，若，，则这五层正六边形的周长总和为（ ）．A.B.C.D.5.对于直线，和平面，，，有如下四个命题：（）若，，则； （）若，，，则；（）若，，，则； （）若，，则．其中真命题的个数是A.B.C.D.6.已知正方体，为底面的中心，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）．A.B.C.D.7.函数，若要得到奇函数的图象，可以将函数的图象（ ）．A.向左平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向右平移个单位8.一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究，表为各个学段每个内容主题所包含的条目数，图是将表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图．由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是：学段内容主题第一学段（年级）第二学段（年级）第三学段（年级）合计数与代数图形与几何统计与概率综合与实践合计表第一学段第二学段第三学段综合与实践统计与概率图形与几何数与代数图A.除了"综合与实践"外，其他三个内容领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其"图形与几何"在第三学段急剧增加，约是第二学段的倍．B.在所有内容领域中，"图形与几何"内容最多，占，"综合与实践"内容最少，约占．C.第一、二学段"数与代数"内容最多，第三学段"图形与几何"内容最多．D."数与代数"内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，"图形与几何"内容条目数，百分比都随学段的增长而增长．9.定义在上的偶函数满足：对任意的，（），有，则（ ）．A.B.C.D.10.给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心为半径的圆弧上运动，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.11.若数列满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为（ ）．A.B.C.D.12.设椭圆的两焦点为，，焦距为，过点的直线与椭圆交于，两点．若，且，则椭圆的离心率为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若，满足约束条件，则的最大值是 ．14.甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为，，，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为 ．15.数列是等差数列，前项和为，，，且，则实数．16.在四棱锥中，底面为正方形，，为等边三角形，线段的中点为，若，则此四棱锥的外接球的表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.在中，角，，所对的边分别为，，，且．求的值．若为锐角三角形，求的最小值．（1）（2）18.随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．下表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取名学生的统计数据．成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课不选修生涯规划课总计根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由．如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取名学生，求抽到成绩不够优秀的学生人数的分布列和数学期望（将频率当作概率计算）．参考附表：参考公式，其中．19.四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，为的中点，为的中点，平面底面．（1）（2）证明：平面平面．若与底面所成的角为，求二面角的余弦值．（1）（2）20.已知点，为抛物线上任意一点，且为的中点．设动点的轨迹为曲线．求曲线的方程．关于的对称点为．是否存在斜率为的直线交曲线于，两点，使得为以为底边的等腰三角形？若存在，请求出的面积；若不存在，请说明理由．（1）（2）21.已知函数，．讨论函数在上的单调性．判断当时，与的图象公切线的条数，并说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．求曲线的参数方程与直线的普通方程．设点为曲线上的动点，点和点为直线上的点，且，求面积的取值范围．（1）（2）23.已知函数，，．当时，有，求实数的取值范围．若不等式的解集为，正数，满足，求的最小值．【答案】解析:集合，集合，∴．故选项．解析:∵ 复数，∵ 实数部为，即，∴ 复数，故复数的虚部为．故选．解析:由题意得：，，∴，故双曲线的焦点坐标为和，令，则，即双曲线的渐近线方程为：，∴双曲线焦点到其渐近线的距离为：．故选．解析:五层：，，，，，∴周长和．故选．D 1.A 2.B 3.C 4.解析:（）∵，∴（设面），又∵，∴，又∵，∴，（）∵，又∵，∴，又∵，∴，（）∵，，∴，又∵，∴，（）时，不平行于，∴（）（）（）正确，∴选．解析:C 5.C 6.以正方体，为坐标原点，边为轴，为轴，为轴作空间坐标系，设，则，，，，，，，，则，，，，则异面直线与所成角的余弦值为．故选．解析:∵函数，要得到有函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位．故正确．故选．D 7.解析:∵，时，，∴在单调递减，∵为偶函数，∴在单调递增，∵，∴，∵，∵，，∴，∴．故选．解析:，∵设，则，且，∴，∵，即，∴，∴．故选：．D 8.D 9.B 10.解析:由题意知，即，则，，逐项累加得：，又∵，∴，∴，则，，，，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为．故选．解析:如图所示：由椭圆定义知，，∵，∴．∵，A 11.C 12.∴，∴．在，由余弦定理知：，在，由余弦定理知：．∵，∴，∴，即，∴，∴，故选．13.解析:如图所示阴影部分为约束条件表示的可行域，目标函数可化为，其中表示直线的纵截距，平移直线至点时，纵截距最大，即最大．∵,∴．14.解析:由题意可知：三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为：,故答案为：．15.解析:，则，∵，∴，，，∴，．16.解析:，交于点，过点作面，四棱锥球心在直线上，（1）设球心为，过点作面的垂线，交面于点，取中点为，连接，，，∵为等边三角形，，∴，设，，在中，，在中，，即，解得，∴，，过点作交于点，，设，在中，，即①，在中，，即②，①②联立可得，∴四棱锥外接球表面积为．解析:在中，，由正弦定理，得，故，（1）．（2）．17.（2）（1）（2）∴，，则．由得，，∵，由均值不等式得，，当且仅当时，等号成立，解得，∴的最小值为．解析:由题意知，的观测值，所以有的把握认为“学生的成绩优秀与是否选修生涯规划课有关”．由题意知在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取名学生成绩优秀的概率为，成绩不优秀的概率为，可取值为，，，，，，，，所以的分布列为：∵，（1）有的把握认为“学生的成绩优秀与是否选修生涯规划课有关”，证明见解析．（2）．18.（1）（2）∴．解析:∵，∴四边形是平行四边形，∴．又∵，∴．又∵面面，面面，面，∴面，且面，∴平面平面．连结，∵，为中点，∴又平面，平面平面，平面平面，∴底面，又，以，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，，取平面的法向量，，，∴，，∴，（1）证明见解析．（2）．19.（1）（2）∴，，设平面的法向量，∴，令，∴，，设二面角的平面角为，∴，又为钝角，∴，即二面角的余弦值为．解析:设，，∵是的中点，则，∵在上，∴，∴，∴，故曲线的方程为．由题意得，设，，，将代入得，∴，∴的中点，∵，∴，∴符合，∴存在，∴化为，∴，，∴．（1）．（2）存在，．20.（1）（2）解析:，，当时，，所以函数在上单调递减，当时，由得：，由得：，所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增．函数在点处的切线方程为，即，函数在点处的切线方程为，即，若与的图象有公切线，则，由①得代入②整理得：，③由题意只需判断关于的方程在上解的个数，令，，令，解得，单调递减极小值单调递增∴，∵，，∴，（1）函数在上单调递减，函数在上单调递增．（2）与的图象有两条公切线，证明见解析．21.①②（1）（2）（1），且图象在不连续不断，∴方程在及上各有一个根，即与的图象有两条公切线．解析:由题意：，∴，∴，∴，∴曲线的参数方程为（为参数），由直线的参数方程得代入，得，∴，∴直线的普通方程为．设到直线的距离为，，，∴，∴面积的取值范围是．解析:∵在上恒成立，∴，∴，又∵，（1）（为参数）；．（2）．22.（1）．（2）．23.（2）当且仅当，即时等号成立，∴，即．令，∴，①若时，∴解集为，不符合题意，②若时，解集为，不符合题意，③若时，∴，∴，又∵，∴，综上所述，∴，∴，∵，∴，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，此时，∴当，时，．。