计算机图形学-画椭圆和圆
圆弧和椭圆弧的绘制解读
该算法每一步均包含浮点乘法和开方运算，且所绘 制的像素间间隔不一，随着x的增加，间隔越来越大。
一种消除不等间距的方法是使用极坐标来计算 圆周上的点——角度DDA法产生圆弧。
算法的要点 1）以角度为参数，写出圆弧的参数方程。 2）按均匀的（角度）间隔，计算出圆弧 上点的坐标，用这些点（绘图时要对坐 标值取整）的连线来代替圆弧。
dt的一种取法
如图，设Pi(xi,yi)和Pi＋1 (xi+1,yi+1)对应的参数分别 为t和t+dt，显然， |dx|=｜xi+1-xi| =r|cos(t+dt)cost|=r|-sint’|dt≤r﹒dt 同理，|dy|=｜yi+1-yi| ≤r﹒dt 为使|dx| ≤1 &&｜dy| ≤1， 可取dt ≤1/r.
i) |k|<1的情况
设当前点为P（xp,yp), 则下一 点在两个候选点S(xp+1,yp) 和T (xp+1,yp－1)中选择。 判别规则: 设M为S 和T的中点 a)若M在椭圆内(上方), 则选S; b)否则选T。
P S T (a)
O
|k|>1 a x
P
S T
(b)
i) |k|>1的情况
设当前点为P（xp,yp), 则下一 点在两个候选点S(xp,yp-1) 和T (xp+1,yp－1)中选择。 判别规则: 设M为S 和T的中点 a)若M在椭圆内(左侧), 则选T; b)否则选S。
P S T
y
b |k|<1 a |k|>1 x
O
P S T
(a)
(b)
椭圆方程:
计算机图形学第3章 基本图形生成算法
例题：有点P0（4，3）；P1（6，5）；P2（10，
6 ）；P3（12，4），用以上4点构造2次B样条曲线。
2.1.7 非均匀有理B样条
非均匀有理B样条NURBS（Non Uniform Rational BSpline）；
3.2.2
Bresenham画圆法
该算法是最有效的算法之一。
不失一般性，假设圆心(xc，yc) ,圆上的点(x′，y′)，则：
x' x xc
y ' y yc
圆心为原点，半径为R的位于第一象限1/8圆弧的画法，即(0, R)～( R , R )。
2 2
yi )， 思想:每一步都选择一个距离理想圆周最近的点P( xi ， 使其误差项最小。
画其他曲线。
3.3
自由曲线的生成
正弦函数曲线
指数函数曲线
多项式函数曲线
自 由 曲 线
概率分布曲线及样条函数曲线
3.3.1 曲线的基本理论
基本概念
2.1.4
规则曲线：可用数学方程式表示出来的，如抛物 线等。
自由曲线：很难用一个数学方程式描述的，如高
速公路等。可通过曲线拟合(插值、逼近)的方法来
例题： 利用Bresenham算法生成P （0，0）到Q（6，5）的直 线所经过的像素点。要求先 列出计算式算出各点的坐标 值，然后在方格中标出各点。
（1，1）
3.1.5 双步画线法 原理
模式1：当右像素位于右下角时，中间像素位于底线 模式4：当右边像素位右上角时，中间像素位于中线 模式2和模式3：当右像素位于中线时，中间像素可能位于底线 上，也可能位于中线上，分别对应于模式2和模式3，需进一步 判断。 当0≤k≤1/2时，模式4不可能出现，当1/2≤k≤1时，模式1不 可能出现。
如何用几何画板画椭圆
如何用几何画板画椭圆一、定义法（到两定点的距离和等于定长）选取“线段”工具，在绘图板中作一线段AB（线段AB的长度为椭圆的长轴长2a）。
用“点”工具在线段上任取一点C，按住shift键先后选中A，C点，选择“变换”→“标记向量"A→C"”。
再用“点”工具再用点工具任取一点D，选中点D，选择“变换”→“平移”，选中“按标记的向量”，然后确定，会得到点D'。
按住shift键，先后选中点D和D'，选择“作图”→“以圆心和圆周上的点画圆”，选中点D'，按Ctrl+H键将其隐藏。
按住shift键，先后选中B，C点，选择“变换”→“标记向量"B→C"”。
用点工具另作一点E，使其与D点的距离小于线段AB的长（线段DE的长为2c），选中点E，选择“变换”→“平移”，选中“按标记的向量”，然后确定，会得到点E'。
按住shift键，先后选中点E和E'，选择“作图”→“以圆心和圆周上的点画圆”，选中点E'，按Ctrl+H键将其隐藏。
按住shift键，选中两个圆的圆周，选择“作图”→“交点”（或按Ctrl+I键），作出交点F 和G。
以下可以分两个方向进行：1.按住shift键，先后选中点F和点C，选择“作图”→“轨迹”，作出椭圆的上半部分；同理先后选中点G和点C，作出椭圆的下半部分（如图1）。
2.按住shift键，先后选中点F，选择“显示”→“追踪点”，同样选中点G和点C，选择“显示”→“追踪点”。
按住shift键，先后选中点C和线段AB，选择“编辑”→“操作类按钮”→“动画”，弹出“匹配路径”对话框，选择“双向”、“沿着线段j”、“慢慢地”，按“动画”按钮完成设置。
这时，绘图板上会出现一个“动画”按钮，双击“动画”按钮，就会自动画出椭圆。
完成，存盘退出。
二、准线法（到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e）打开一个新的绘图板，选择“图表”→“建立坐标轴”。
绘制圆圆弧椭圆等简单图形ppt课件
Fill设置为OFF
更改fill的模式后，应“重生成(re)” 图形才能看到效果。
五、椭圆和椭圆弧（ellipse）
1、通过指定轴端点创建椭圆
b a cos
离心率 e sin
2、通过指定中心点创建椭圆
3、创建椭圆弧
先要根据提示，确定椭圆弧所在的椭圆，然后根据下面 的提示提供椭圆弧的参数：
2、鼠标点取一点，AutoCAD可获得该点与起点之间的距离，并
以此距离（正数）作为弦长。
3、已知 起点、端点 绘制圆弧
这时需要提供第三个条件才能确定具体的圆弧。第三个 条件可以是圆心、角度、方向或半径。
绘制圆弧时，先指定圆弧的起 点，然后指定圆弧的端点，最后指定 第三个条件。
起点、端点、圆心
这个选项在菜单里是没有的，只有使用arc命令时会出现。 从起点 (1) 向终点逆时针绘制圆弧。终点将落在从圆心
用一圆弧光滑地连接相邻两线段的作图方法，称为圆弧连 接，其实质是连接圆弧与两条已知线段相切连接。圆弧连接的 关键问题是求连接圆弧的圆心位置。
1、圆弧连接的作图原理
(1) 与定直线相切的圆弧
半径为R 的连接圆弧与已知直线相切时， 圆心的轨迹是与直线相距为R且平行的直线， 切点为连接弧圆心向已知直线所作垂线的垂足T。
两个对象之间可以有多个圆角存在，圆角结果 与选择对象时鼠标的点选位置有关。
给多个对象集加圆角。
FILLET 将重复显示主提示和“选择第二个对象” 提示，直到用户按 ENTER 键结束该命令。
四、圆环（donut）
圆环内部的填充方式取决于 FILL 命令的当前设置。
fill命令
Fill设置为ON
(2)可以用修剪(trim)命令剪出圆弧，这个更常用。
计算机图形学实验报告
图 2-3 填充线与边界的交点
将填充线与图形边界的交点按照一定顺序排序。根据进出边界的顺序，可以 算出哪些部分是显示的哪些部分是隐藏的。一般的，填充线从基数的交点进入图 形，从偶数的交点离开图形，所以只需要将排好序的交点两两分组，作端点绘制 填充线，如图 2-3 只需绘制点 1 与点 2 之间的部分和点 3 与点 4 之间的填充线。 2.6 多边形区域填充的原理
多边形区域的颜色填充可以使用漫水法填充，针对一行进行区域判断绘点。 其实可以将漫水法理解为特殊的填充线绘制，在漫水法中，填充线的斜率退化为 1，填充线的间隔退化为 0，就是截距只增加 1。
三、程序结果
绘制直线部分没有单独展示，因为在用多边形逼近法绘制椭圆和多边形填充 线绘制会大量使用，只有在直线绘制成功的前提下，才能完成多边形的绘制，在 程序中，不同斜率的直线颜色也会有区别。在这里也没有展示多边形区域的颜色 填充。
在程序中体现为横纵坐标的对换。 F．绘制斜率 m＜0 的直线段
通过作 x 轴的对称线段，把斜率小于 0 的直线段转成斜率大于 0 的直线段。 随后按照斜率是否大于 1 继续判断用不用再对直线 y=x 作对称线段。最终转化为 斜率在[0,1]上直线段的绘制。
2.3 绘制圆弧的原理
圆是具有高度对称性的图元，所以可以利用对称性实现画圆算法的简化，现 在可以只考虑第一象限 y>x 的区域的部分。算法每一步都要寻找到离理想圆周最 近 的 点 （ 尽 量 保 证 到 圆 心 的 距 离 是 R ）， 所 以 对 每 一 点 来 说 误 差 为 |D(Pi)|=|xi^2+yi^2-R^2|,如下图：
degree += t; xk = longaxis*cos(degree); yk = shortaxis*sin(degree); lineBres(hdc, centra_x + xi, centra_y + yi, centra_x + xk, centra_y + yk); xi = xk; yi = yk; }
CAD绘制椭圆
CAD绘制椭圆椭圆是数学中常见的几何形状之一，也是CAD绘图中经常需要用到的图形。
在CAD软件中，我们可以通过一些特定的方法来绘制椭圆。
本文将介绍两种常用的CAD绘制椭圆的方法，并详细说明其步骤和注意事项。
方法一：使用命令绘制椭圆在CAD软件中，我们可以使用特定的命令来绘制椭圆。
下面将以AutoCAD为例，详细介绍使用命令绘制椭圆的步骤和注意事项。
步骤一：打开CAD软件，创建新的绘图文件。
步骤二：在绘图界面上，点击“绘图”或输入“ELLIPSE”命令来激活绘制椭圆的工具。
步骤三：在命令行中输入椭圆的两个焦点坐标。
焦点是椭圆的两个关键点，可以通过直接输入坐标值或者使用其他绘图工具来确定。
步骤四：输入椭圆的长轴和短轴长度。
长轴是椭圆的主轴，短轴是椭圆的次轴。
可以直接输入数值或者通过其他绘图工具进行测量。
步骤五：按下“Enter”键，CAD软件将自动绘制出完整的椭圆。
注意事项：1. 在输入焦点坐标和长短轴长度时，要保证输入的值是准确的，以免绘制出不符合要求的椭圆。
2. 可以使用捕捉功能来辅助输入焦点坐标和长度数值，保证绘制的椭圆准确无误。
方法二：使用绘图工具绘制椭圆除了使用命令，CAD软件中也提供了绘图工具来绘制椭圆。
下面将以SketchUp为例，详细介绍使用绘图工具绘制椭圆的步骤和注意事项。
步骤一：打开CAD软件，创建新的绘图文件。
步骤二：在绘图界面上，点击“绘制”或选择相应的绘图工具栏，找到绘制椭圆的工具。
步骤三：点击椭圆绘制工具，然后在绘图界面上按住鼠标左键，拖动鼠标来绘制椭圆。
步骤四：根据绘制的需求，调整椭圆的长轴和短轴长度。
步骤五：松开鼠标左键，CAD软件将自动绘制出完整的椭圆。
注意事项：1. 使用绘图工具绘制椭圆时，要保持手稳定，以免绘制出形状不规则的椭圆。
2. 可以使用软件提供的辅助工具，如吸附功能和对象捕捉，来实现更精确的绘制。
总结：本文介绍了两种常用的CAD绘制椭圆的方法，使用命令和绘图工具。
计算机图形学基础实验指导书
计算机图形学基础实验指导书目录实验一直线的生成 ............................................................... -..2.-实验二圆弧及椭圆弧的生成........................................................ -..3 -实验三多边形的区域填充 ......................................................... - (4)-实验四二维几何变换 ............................................................. -..5.-实验五裁剪算法 ................................................................. -..6.-实验六三维图形变换 ............................................................. -..7.-实验七BEZIER 曲线生成......................................................... -..8.-实验八交互式绘图技术实现........................................................ -..10-实验一直线的生成一、实验目的掌握几种直线生成算法的比较，特别是Bresenham 直线生成算法二、实验环境实验设备：计算机实验使用的语言： C 或Visual C++ 、OpenGL三、实验内容用不同的生成算法在屏幕上绘制出直线的图形，对不同的算法可设置不同的线形或颜色表示区别。
四、实验步骤直线Bresenham 生成算法思想如下1）画点（x i, y i）, dx=x2-x i, dy=y2-y i,计算误差初值P i=2dy-dx , i=1;2）求直线下一点位置x i+i=x i+i 如果P i>0,贝U y i+i=y i+i，否则y i+i=y i；3）画点（x i+i ，y i+i ）；4）求下一个误差P i+i 点，如果P i>0，贝U P i+i=P i+2dy-2dx，否则P i+i=P i+2dy;i=i+i ，如果i<dx+i 则转步骤2，否则结束操作。
计算图形学 补充-圆和椭圆
圆的内接正多边形逼近法
内接正n边形代替圆 内接正 边形代替圆
• 计算多边形各顶点的递推公式 Xi+1 Rcos( a+ θi)
=
Yi +1 Xi+1
=
Rsin
(a+ θi) - sin a cosa Yi
cos a sin a
Yi +1
因为: a是常数， sin a， cosa只在开始时计算一次 所以，一个顶点只需4次乘法，共4n次乘法，外 加直线段的中点算法的计算量。
中点画圆法
MidpointCircle(int r, int color) { int x,y; float d; x=0; y=r; d=1.25-r; drawpixel(x,y,color); while(x<y){ if(d<0){ d+ = 2*x+3; x++ } else{d+ = 2*(x-y) + 5; x++;y--; } } }
图元扫描转换
直线段扫描转换 圆弧扫描转换 椭圆弧扫描转换
椭圆的扫描转换
• F(x,y)=b2x2+a2y2-a2b2=0 • 椭圆的对称性，只考虑第一象限椭圆弧生成， 分上下两部分，以切线斜率为-1的点作为分界 点。 • 椭圆上一点处的法向： N(x,y) = (Fx)' i + (Fy)' j = 2b2 xi + 2a2 yj i 和j分别为沿x轴和y轴方向的单位向量
假设圆的方程为： 2 2 2 X + Y = R
圆弧扫描算法
X + Y = R 2 2 Y = ±Sqrt(R - X ) 在一定范围内，每给定一 X值，可得一Y值。 当X取整数时，Y须取整。
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班级：软工152
y--;
)
x++;
glVertex2i(x +xc, y +yc);
glVertex2i(y +xc, x +yc);
glVertex2i(y +xc, -x +yc);
glVertex2i(x +xc, -y +yc);
glVerteile (y > 0)
(
if (d < 0)
(
d += sqb * (2 * x + 2) + sqa * ((-2) * y + 3);
++x;
)
else
(
d += sqa * ((-2) * y + 3);
)
--y;
Ellipsepot( x0, y0, x, y);
)
)
实
验
结
果
结
签名：2017年10月24日
double sqa = a*a;
double sqb = b*b;
double d = sqb + sqa*(0.25 -b);
int x = 0;
int y = b;
Ellipsepot( x0, y0, x, y);
// 1
while (sqb*(x + 1) < sqa*(y - 0.5))
glVertex2i(-y +xc,-x +yc);
glVertex2i(-x +xc,y +yc);
glVertex2i(-y +xc,x +yc);
)
)
椭圆：
void Ellipsepot( int x0, int y0, int x, int y)
(
//1
setPixel(( x0 + x), ( y0 + y));
(
if (d < 0)
(
d += sqb*(2 * x + 3);
) else
(
d += (sqb*(2 * x + 3) + sqa*((-2)*y + 2));
--y;
)
++x;
Ellipsepot( x0, y0, x, y);
)
d = ( b * (x + 0.5)) * 2 + ( a * (y - 1)) * 2 - ( a * b) * 2;
int x, y, d;
x = 0;
y = r;
d = 3 - 2 * r;
glVertex2i(x + xc, y + yc);
while (x < y)
(
if (d < 0)
(
d = d + 4 * x + 6;
)
else
(
d = d + 4 * (x - y) + 10;
学院：计算机科学与技术
圆、椭圆的中点算法
学 院：计算机科学与技术学院
专 业：软件工程
班 级：软工152
学 号：08
学生姓名：刘强坤
姓名
刘强坤
学号
408
实验组
实验时间
10-24
指导教师
成绩
实验项目名称
圆，椭圆中点算法
实
验
要
求
优化后的算法：二次差分法
可任意指定圆心坐标
实
验
目
的
实
验
环
境
VS 2015
实
验
内
容
圆：
void Bresenham_Circle( int xc, int yc, int r) (
// 2
setPixel(( x0 + x), ( y0 - y));
// 3
setPixel(( x0 - x), ( y0 - y));
// 4
setPixel(( x0 - x), ( y0 + y));
)
//中点画椭圆算法
void MidPoint_Ellipse( int x0, int y0, int a, int b) (