六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙
六方最密堆积中正八面体空隙
和正四面体空隙中心的分数坐标
等径圆球紧密排列形成
密置层，如图所示。
在密置层内，每个圆球
周围有六个球与它相切。相
切的每三个球又围出一个三
角形空隙。仔细观察这些三
角形空隙，一排尖向上，接
着下面一排尖向下，交替排
列。而每个圆球与它周围的六个球围出的六个三角形空隙中，有三个
尖向上，另外三个
尖向下。如图所
示，我们在这里将
尖向上的三角形空
隙记为B，尖向下
的三角形空隙记为
C。第二密置层的
球放在B之上，第
三密置层的球投影
在C中，三层完成
一个周期。这样的
最密堆积方式叫做
立方最密堆积（ccp，
记为A1型），形成
面心立方晶胞。
若第三密置层的
球投影与第一密置层
的球重合，两层完成
一个周期。这样的最
密堆积方式叫做六方
最密堆积（hcp，记为
A3型），形成六方晶胞，如图所示。
在这两种堆积方式中，任何四个相切的球围成一个正四面体空隙；另外，相切的三个球如果与另一密置层相切的三个球空隙对应，它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就是说，围成正八面体空隙的这六个球可以分为相邻的两层，每层的正三角形中心的连线垂直于正三角形所在的密置层，参看下图，黑色代表的不是球而是正八面体的中心。
在这两种最密堆积方式中，每个
球与同一密置层的六个球相切，同时
与上一层的三个球和下一层的三个球
相切，即每个球与周围十二个球相切
（配位数为12）。中心这个球与周围
的球围出八个正四面体空隙，平均分
摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。这样，每个正四面体空隙分摊到的球数是四个八分之一，即半个。中心这个球周围还围出六个
八面体空隙，它平均分摊到每个正八面体空隙的是六分之一个球。这样，每个正八面体空隙分摊到的球数是六个六分之一，即一个。总之，这两种最密堆积中，球数: 正八面体空隙数: 正四面体空隙数= 1:1:2 。
面心立方最密堆积（ccp，A1型）中正八面体空隙和正四面体空隙的问题比较简单、直观。下面我们集中讨论六方最密堆积（hcp，A3型）中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标。
在六方最密堆积中画出一个六方晶胞，如下面两幅图所示。
平均每个六方晶胞中有两个正八面体空隙，如下面两幅图所示。空隙中心的分数坐标分别为：（2/3,1/3,1/4），（2/3,1/3,3/4）。
对于正四面体空隙，存在这样一个问题，即正四面体的中心到它的底面的距离是它的高的多少倍
解法一（分体积法）：以正四面体的
中心O为顶点，以正四面体的四个面为
底面将正四面体平均分为四个等体积的小
三棱锥，小三棱锥的高为OH，则有：
即正四面体的中心到底面的距离是它
的高的四分之一。
解法二（立方体法）：
将正四面体的四个顶点放在立方体相隔的四个顶点。设立方体的边长为1，则正四面体的边长为2，正四面体的高为623
2
?=。由
33
于立方体的体对角线为3，所以正四面体的中心（即立方体的中心）到它的底面的距离与它的高之比为：
解法三（外接球法）：如图，设正四面体的边长为1，则
即正四面体的中心到底面的距离是它的
高的四分之一。
解法四（正弦定理法）：
如图，正四面体中心到两个顶点之间
的夹角为°，等腰三角形的另两个角为°。根
据正弦定理即可求解。
下面我们来找出六方最密堆积一个晶胞中的所有正四面体。
六方晶胞内中间层的一个球与上面三个球和下面三个球各围成一个正四面体空隙，空隙中心的分数坐标分别是：（1/3,2/3,1/8），
（1/3,2/3,7/8）。
另外在每个棱上，晶胞顶点的八个球分别与中间层的
球围成正四面体空隙，这些空隙平均只有四分之一在这
个晶胞内，八个四分之一共为两个。空隙中心的分数坐
标分别是：（0,0,3/8），（0,0,5/8）。
四个坐标说明正四面体空隙共有四个。
用体积模型示意图来看各种空隙也是很有意思的。
请看左图。在六方硫化锌中，硫离子呈六方密堆积，锌离子填入空隙。锌离子填入的是什么空隙（正四面体还是正八面体）是否填满了所有的空隙将结果与立方硫化锌的情况作对比，看有哪些相似与不同。估计锌离子与硫离子的半径比。查阅锌离子与硫离子的半径数据，说明硫离子是不是最密堆积。
金属的结构和性质 体心立方堆积中八面体空隙与四面体空隙半径计算
08金属的结构和性质 【8.1】半径为R 的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。 解：4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图9.1（a ）和(b)，图9.1(c)示出堆积所形成的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2倍。 图9.1 由图和正四面体的立体几何知识可知： 边长AB=2R 高 () 12 12 2 2222 13AM AE EM AB BE DE ????=-=--?? ? ????? ? ( )1 12 2 222 222 11223AB AB AE R R R ???????????=--=--??? ? ???????????????? 1.633R =≈ 中心到顶点的距离：3 1.2254OA AM R R ==≈ 中心到底边的高度： 10.4084OM AM R = =≈ 中心到两顶点连线的夹角为：AOB ∠ ()( )) ( )() 2 2 2 2 2 1122/22cos cos 22/2R OA OB AB OA OB θ--?? -??+-??==???? ?????? ()1 cos 1/3109.47-=-=? 中心到球面的最短距离0.225OA R R =-≈ 本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为R 的等径圆球最密堆积结构中四面体空 隙所能容纳的小球的最大半径为0.225R 。而0.225正是典型的二元离子晶体中正离子的配位 多面体为正四面体时正、负离子半径比的下限。此题的结果也是了解hcp 结构中晶胞参数的
六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙
六方最密堆积中正八面体空隙 和正四面体空隙中心的分数坐标 等径圆球紧密排列形成 密置层，如图所示。 在密置层内，每个圆球 周围有六个球与它相切。相 切的每三个球又围出一个三 角形空隙。仔细观察这些三 角形空隙，一排尖向上，接 着下面一排尖向下，交替排列。而每个圆球与它周围的六个球围出的 六个三角形空隙 中，有三个尖向 上，另外三个尖向 下。如图所示，我 们在这里将尖向上 的三角形空隙记为 B，尖向下的三角 形空隙记为C。第 二密置层的球放在 B之上，第三密置
层的球投影在C中， 三层完成一个周期。 这样的最密堆积方式 叫做立方最密堆积 （ccp，记为A1 型），形成面心立方 晶胞。 若第三密置层的 球投影与第一密置层的球重合，两层完成一个周期。这样的最密堆积方式叫做六方最密堆积（hcp，记为A3型），形成六方晶胞，如图所示。 在这两种堆积方式中，任何四个相切的球围成一个正四面体空隙；另外，相切的三个球如果与另一密置层相切的三个球空隙对应，它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就是说，围成正八面体空隙的这六个球可以分为相邻的两层，每层的正三角形中心的连线垂直于正三角形所在的密置层，参看下图， 黑色代表的不是球而是正八面体的中 心。 在这两种最密堆积方式中，每个 球与同一密置层的六个球相切，同时 与上一层的三个球和下一层的三个球
相切，即每个球与周围十二个球相切（配位数为12）。中心这个球与周围的球围出八个正四面体空隙，平均分摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。这样，每个正四面体空隙分摊到的球数是四个八分之一，即半个。中心这个球周围还围出六个八面体空隙，它平均分摊到每个正八面体空隙的是六分之一个球。这样，每个正八面体空隙分摊到的球数是六个六分之一，即一个。总之，这两种最密堆积中，球数: 正八面体空隙数: 正四面体空隙数= 1:1:2 。 面心立方最密堆积（ccp，A1型）中正八面体空隙和正四面体空隙的问题比较简单、直观。下面我们集中讨论六方最密堆积（hcp，A3型）中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标。 在六方最密堆积中画出一个六方晶胞，如下面两幅图所示。
金属的结构和性质 体心立方堆积中八面体空隙与四面体空隙半径计算
08金属的结构和性质 【】半径为R 的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。 解：4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图（a ）和(b)，图(c)示出堆积所形成的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2倍。 图 由图和正四面体的立体几何知识可知： 边长AB=2R 高 () 12 12 2 2222 13AM AE EM AB BE DE ????=-=--?? ? ????? ? ()1 12 2 2 2 2 222 113223AB AB AE R R R ???????????=--=--??? ? ???????????????? 26 1.6333R R =≈ 中心到顶点的距离：36 1.22542OA AM R R ==≈ 中心到底边的高度： 160.40846OM AM R R = =≈ 中心到两顶点连线的夹角为：AOB ∠ ()()) ()() 22 2 2 2 11226/22cos cos 226/2R R OA OB AB OA OB R θ--?? -??+-??==???? ?????? ()1 cos 1/3109.47-=-=? 中心到球面的最短距离0.225OA R R =-≈ 本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为R 的等径圆球最密堆积结构中四面体空
隙所能容纳的小球的最大半径为。而正是典型的二元离子晶体中正离子的配位 多面体为正四面体时正、负离子半径比的下限。此题的结果也是了解hcp 结构中晶胞参数的基础(见习题。 【】半径为R 的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。 解：正八面体空隙由6个等径圆球密堆积而成，其顶点即圆球的球心，其棱长即圆球的直径。空隙的实际体积小于八面体体积。图中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。 图 由图（c ）知，八面体空隙中心到顶点的距离为： 111 2222222OC AC AB R R = ==?= 而八面体空隙中心到球面的最短距离为： 20.414OC R R R R -=-≈ 此即半径为R 的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径。 是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时/r r +-的下限值。 【】半径为R 的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。 解：由图可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为： 223 1.15533OA AD R R = =≈ 图 三角形空隙中心到球面的距离为： 1.1550.155OA R R R R -≈-=
金属的结构和性质体心立方堆积中八面体空隙与四面体空隙半径计算
~ 08金属的结构和性质 【】半径为R 的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。 解：4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图（a ）和(b)，图(c)示出堆积所形成的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2倍。 图 由图和正四面体的立体几何知识可知： 边长AB=2R 高 () 12 12 2 222 2 13AM AE EM AB BE DE ????=-=--?? ?????? ? \ ()112 2 222 222 113223AB AB AE R R R ???????????=--=--??? ? ???????????????? 26 1.6333R R =≈ 中心到顶点的距离：36 1.2254OA AM R R ==≈ 中心到底边的高度：160.4084OM AM R = =≈ 中心到两顶点连线的夹角为：AOB ∠ ()()) ()() 2 2 2 2 2 1122 6/22cos cos 226/2R R OA OB AB OA OB R θ--?? -??+-??==???? ?????? ()1 cos 1/3109.47-=-=? 中心到球面的最短距离0.225OA R R =-≈ } 本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为R 的等径圆球最密堆积结构中四面体空
隙所能容纳的小球的最大半径为。而正是典型的二元离子晶体中正离子的配位 多面体为正四面体时正、负离子半径比的下限。此题的结果也是了解hcp 结构中晶胞参数的基础(见习题。 【】半径为R 的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。 解：正八面体空隙由6个等径圆球密堆积而成，其顶点即圆球的球心，其棱长即圆球的直径。空隙的实际体积小于八面体体积。图中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。 图 、 由图（c ）知，八面体空隙中心到顶点的距离为： 1112222222OC AC AB R R = ==?= 而八面体空隙中心到球面的最短距离为： 20.414OC R R R R -=-≈ 此即半径为R 是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时/r r +-的下限值。 【】半径为R 的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。 ~ 解：由图可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为： 223 1.15533OA AD R R = =≈ 图 三角形空隙中心到球面的距离为： 1.1550.155OA R R R R -≈-= 此即半径为R 的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径，是“三角形
三维化学-正八面体与正方体
高中化学竞赛辅导专题讲座——三维化学 第三节 正八面体与正方体 前文我们学习了正方体与正四面体，现在我们来学习另一种空间正多面体——正八面体。由于在高中立体几何中并未涉及这种立体图形，使同学们在理解上存在一定的困难，那么就让我们先来讨论一下正八面体吧！ 【讨论】顾名思义，正八面体应该有八个完全相同的面，如右图3-1所示，每个面都是正三角形；另外正八面体有六个顶点，十二条棱。让我们与正方体作一对比，它们都有十二条棱，正方体有六个面（正八面体六个顶点）、八个顶点（正八面体八个面），与正八面体的面数和顶点数正好相反，它们是否存在内在的空间关系呢？我们连接正方体六个面的面心形成 的是什么空间图形呢？它就是正八面体（能理解了吧！我们也可以将空间直角坐标系xyz 轴上与原点等距的六个点连起来构成正八面体）。正八面体与正方体都是十二条棱，它们的空间位置显然是不一样的，但它们的十二条棱的棱心的空间位置又如何呢？应该是一样的吧。先让我们看个例题再讨论吧！ 【例题1】已知[Co(NH 3)6]3＋的立体结构如图3-2所示，其中1~6处 的小圆圈表示NH 3分子，且各相邻的NH 3分子间的距离相等（图中虚线长度相同）。Co 3+位于八面的中心，若其中两个NH 3被Cl －取代，所形成的[Co(NH 3)4Cl 2]+的同分异构体的数目是 ① A 1 B 2 C 3 D 4 【分析】正八面体每个顶点在空间是完全等价的， 另五个顶点就在空间形成两种相对的位置，四个是相邻的，的，故二氯取代物是两种，两个氯的距离分别是边长和对角线长。 【解答】B 【练习1】SF 6SF 6的分子结构如图3-3所示，呈正八面体型。如果F 的同位素，则SF 6的不同分子种数为 ② A 6种 B 7种 C 10种 D 12种 【讨论】用同位素考察分子的空间结构是一种新方法，方法。本题中主要来确定S a F 3b F 3的种数，三个a F 在空间也只有两种形式，即△和├；另外S a F 2b F 4与S a F 4b F 2的种数应该是一样的吧？（想 想为什么）！ F F F S F F F
正四、六、八面体的组合
第 1 页 共 5 页 高中化学竞赛辅导专题讲座——三维化学 第四节 正四、六、八面体的组合 前文我们学习了正方体、正四面体与正八面体，本节我们将对内容做进一步的巩固复习，并将探讨一下正四、八面体的组合。 【例题1】XeF 8是一种尚未合成的化合物，预测它的空间构型 ；F 有二种同位素，则XeF 8有 种不同分子。 （不计顺反异构和旋光异构）① 【分析】八个原子在空间的最对称排列是正方体。 在着重讨论过正四面体与正八面体后，再看这个正方体 问题。不妨设正方体八个顶点全被a F 占据，我们每一次 用0，1，2，3……8个b F 去取代，看两个b F ，有3 种，分别在棱上，面对角线上，体对角线上；看三个b F ，也 有3种，三个b F 构成的三角形边长分别为1，1，2；1，2，3；2，2，2。关键是看四个b F 时有几种。如图4-1所示正方体，四个b F 共面时有2种（如面ABCD 与面A 1B 1CD 型），四个b F 构成正三棱锥有2种（如正四面体型的ACB 1D 1与三棱垂直的ABDA 1），另外还各有一个ABCC 1型和ABCD 1型。因此总数应为(1＋1＋3＋3)×2＋6＝22种。 【解答】正方体 22 【练习1】1964年Eaton 合成了一种新奇的烷，叫立方烷，化学式为C 8H 8 (A )。20年后，在Eaton 研究小组工作的博士后XIONG YUSHENG (译音熊余生)合成了这种烷的四硝基衍生物(B ), 是一种烈性炸药。最近，有人计划将B 的硝基用19种氨基酸取代，得到立方烷的四酰胺基衍生物 (C )，认为极有可能从中筛选出最好的抗癌、抗病毒，甚至抗爱滋病的药物来。四硝基立方烷理论上可以有多种异构体，但仅只一种是最稳定的，它就是(B )，请画出它的结构式；C 中每个酰胺基是一个氨基酸基团。请估算，B 的硝基被19种氨基酸取代，理论上总共可以合成多少种氨基酸组成不同的四酰胺基立方烷(C )？（不考虑光学异构体）② 【讨论】C 8H 8分子是正方体型的结构，其中四个氢被硝基取代的产物应有6种，而最稳定的是正四面体型的构型，它的对称性最强。关于正方体中取正四面体问题，我们在第一节中就已详细讨论。 第二问是个排列组合问题，相当于从19种酰胺基填入4个完全相同的位置。在数学排列组合问题中，关键是如何分类计算，我们根据这四个位置上酰胺基是否重复可分为A 4、A 3B 、A 2B 2、A 2BC 、ABCD 5类，总数分别为：119C 、219P 、219C 、218119C C 、419C 。 （关于排列组合问题在后面专题讨论） 图4-1
金属的结构及性质体心立方堆积中八面体空隙及四面体空隙半径计算.doc
8 金属的结构和性质 【 8.1 】半径为 R 的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。 解： 4 个等径圆球作紧密堆积的情形示于图 9.1 （ a ）和 (b) ，图 9.1(c) 示出堆积所形成 的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的 2 倍。 图 9.1 由图和正四面体的立体几何知识可知： 边长 AB=2R 2 2 1 2 2 1 AMAE EM 2 AB BE DE 高 3 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 AB 2 1 AB 1 A E R 2 3 R 2R 2 3 3 2 6R 1.633R 3 OA 3 AM 6 R 1.225R 中心到顶点的距离： 4 2 OM 1 AM 6 R 0.408R 中心到底边的高度： 4 6 中心到两顶点连线的夹角为： AOB 2 6R / 2 2 2 2 2 2 2R cos 1 OA OB AB cos 1 2 6R / 2 2 2 OA OB cos 1 1/3 109.47 中心到球面的最短距离 OA R 0.225R 本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为 R 的等径圆球最密堆积结构中四面体空 隙所能容纳的小球的最大半径为 0.225R 。而 0.225 正是典型的二元离子晶体中正离子的配 位
多面体为正四面体时正、 负离子半径比的下限。 此题的结果也是了解 hcp 结构中晶胞参数的基础 ( 见习题 9.04) 。 【8.2 】半径为 R 的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。 解：正八面体空隙由 6 个等径圆球密堆积而成， 其顶点即圆球的球心， 其棱长即圆球的直径。空隙的实际体积小于八面体体积。 图 9.2 中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。 图 9.2 由图（ c ）知，八面体空隙中心到顶点的距离为： 1 1 1 OCAC 2 AB 2 2R2R 2 2 2 而八面体空隙中心到球面的最短距离为： OC R 2R R 0.414R 此即半径为 R 的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径。 0.414 是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时 r / r 的下限值。 【 8.3 】半径为 R 的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。 解：由图 9.3 可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为： OA 2 AD 2 3R 1.155R 3 3 图 9.3 三角形空隙中心到球面的距离为： OA R 1.155R R 0.155R 此即半径为 R 的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径， 0.155 是“三 角形离子配位多面体”中 r / r 的下限值。 A3 a c
第四节 正四、六、八面体的组合
第四节 正四、六、八面体的组合 前文我们学习了正方体、正四面体与正八面体，本节我们将对内容做进一步的巩固复习，并将探讨一下正四、八面体的组合。 【例题1】XeF 8是一种尚未合成的化合物，预测它的空间构型 ；F 有二种同位素，则XeF 8有 种不同分子。 （不计顺反异构和旋光异构） 【分析】八个原子在空间的最对称排列是正方体。在着重讨论过 正四面体与正八面体后，再看这个正方体问题。不妨设正方体八个顶 点全被a F 占据，我们每一次用0，1，2，3……8个b F 去取代，看两 个b F ，有3种，分别在棱上，面对角线上，体对角线上；看三个b F ， 也有3种，三个b F 构成的三角形边长分别为1，1，2；1，2，3 ；2，2 ，2。关键是看四个b F 时有几种。如图4-1所示正方体，四个b F 共面时有2种（如面ABCD 与面A 1B 1CD 型），四个b F 构成正三棱锥有2种（如正四面体型的ACB 1D 1与三棱垂直的ABDA 1），另外 还各有一个ABCC 1型和ABCD 1型。因此总数应为(1＋1＋3＋3)×2＋6＝22种。 【解答】正方体 22 【练习1】1964年Eaton 合成了一种新奇的烷，叫立方烷，化学式为C 8H 8 (A )。20年后，在Eaton 研究小组工作的博士后XIONG YUSHENG (译音熊余生)合成了这种烷的四硝基衍生物(B ), 是一种烈性炸药。最近，有人计划将B 的硝基用19种氨基酸取代，得到立方烷的四酰胺基衍生物(C )，认为极有可能从中筛选出最好的抗癌、抗病毒，甚至抗爱滋病的药物来。四硝基立方烷理论上可以有多种异构体，但仅只一种是最稳定的，它就是 (B )，请画出它的结构式；C 中每个酰胺基是一个氨基酸基团。请估算，B 的硝基被19种氨基酸取代，理论上总共可以合成多少种氨基酸组成不同的四酰胺基立方烷(C )？（不考 虑光学异构体） 【讨论】C 8H 8分子是正方体型的结构，其中四个氢被硝基取代的产物应有6种，而最稳定的是正四面体型的构型，它的对称性最强。关于正方体中取正四面体问题，我们在 第一节中就已详细讨论。 第二问是个排列组合问题，相当于从19种酰胺基填入4个完全相同的位置。在数学排列组合问题中，关键是如何分类计算，我们根据这四个位置上酰胺基是否重复可分为 A 4、A 3 B 、A 2B 2、A 2B C 、ABC D 5类，总数分别为：119C 、219P 、219C 、218119C C 、419C 。（关于排列组合问题在后面专题讨论） 【例题2】金刚烷（C 10H 16）是一种重要的脂肪烷烃，其结构高度对称， 如图4-2所示。金刚烷能与卤素发生取代反应，其中一氯一溴金刚烷 （C 10H 14ClBr ）的同分异构体数目是 A 4种 B 6种 C 8种 D 10种 【分析】金刚烷有10个碳原子，它们在空间是如何排列的呢？这10个 碳原子有2种，分别是4个叔碳原子与6个仲碳原子。4个叔碳原子在空间 图4-1 图4-2
典型的晶体结构
典型的晶体结构 1.铁 铁原子可形成两种体心立方晶胞晶体：910℃以下为α－Fe，高于1400℃时为δ－Fe。在这两种温度之间可形成γ－面心立方晶。这三种晶体相中，只有γ－Fe能溶解少许C。问：1．体心立方晶胞中的面的中心上的空隙是什么对称？如果外来粒子占用这个空隙，则外来粒子与宿主离子最大可能的半径比是多少？ 2．在体心立方晶胞中，如果某空隙的坐标为（0，a/2，a/4），它的对称性如何？占据该空隙的外来粒子与宿主离子的最大半径比为多少？ 3．假设在转化温度之下，这α－Fe和γ－F两种晶型的最相邻原子的距离是相等的，求γ铁与α铁在转化温度下的密度比。 4．为什么只有γ－Fe才能溶解少许的C？ 在体心立方晶胞中，处于中心的原子与处于角上的原子是相接触的，角上的原子相互之间不接触。a＝(4/3)r。 ①②③ 1．两个立方晶胞中心相距为a，也等于2r＋2r h［如图①］，这里r h是空隙“X”的半径，a ＝2r＋2r h＝(4/3)r r h/r＝0.115（2分） 面对角线（2a）比体心之间的距离要长，因此该空隙形状是一个缩短的八面体，称扭曲八面体。（1分） 2．已知体心上的两个原子（A和B）以及连接两个晶体底面的两个角上原子［图②中C和D］。连接顶部原子的线的中心到连接底部原子的线的中心的距离为a/2；在顶部原子下面的底部原子构成晶胞的一半。空隙“h”位于连线的一半处，这也是由对称性所要求的。所以我们要考虑的直角三角形一个边长为a/2，另一边长为a/4［图③］，所以斜边为16 /5a。（1分）r＋r h＝16 /5a＝3/5r r h/r＝0.291（2分） 3．密度比＝42︰33＝1.09（2分） 4．C原子体积较大，不能填充在体心立方的任何空隙中，但可能填充在面心立方结构的八面体空隙中（r h/r＝0.414）。（2分） 2.四氧化三铁 科学研究表明，Fe3O4是由Fe2＋、Fe3＋、O2－通过离子键而组成的复杂离子晶体。O2－的重复排列方式如图b所示，该排列方式中存在着两种类型的由O2－围成的空隙，如1、3、6、7的O2－围成的空隙和3、6、7、8、9、12的O2－围成的空隙，前者为正四面体空隙，后者为正八面体空隙，Fe3O4中有一半的Fe3＋填充在正四面体空隙中，另一半Fe3＋和Fe2＋填充在正八面体空隙中，则Fe3O4晶体中正四面体空隙数与O2－数之比为2：1，其中有12.5%正四面体空隙填有Fe3＋，有50%正八面体空隙没有被填充。 Fe3O4中三价铁离子：亚铁离子：O原子=2：1：4 晶胞拥有8个正四面体空隙，4个O2－离子；所以2：1 一半三价铁离子放入正四面体空隙，即一个三价铁离子，所以为1/8=12.5%晶胞实际拥有4个正八面体空隙，其中已经有一个放Fe3+，另外一个Fe2+占据一个正八面体空隙，所以50%的正八面体空隙没有被填充。
六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标
密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙 晶体结构的密堆积原理密堆积结构是指在由无方向性的金属键,离子键和范德华力结合的晶体中,原子、分子或离子等微粒总是趋向于相互配位数高，能充分利用空间的堆积密度大的那些结构。密堆积方式由于充分利用了空间，从而可使体系的势能尽可能降低。结构稳定。最常见的密堆积型式有：面心立方最密堆积（A1），六方最密堆积（A3）和体心立方密堆积 （A2）。 我们主要介绍面心立方密堆积和六方密堆积。 等径圆球紧密排列形成密置层， 如图所示。 在密置层内，每个圆球周围有六 个球与它相切。相切的每三个球又围 出一个三角形空隙。仔细观察这些三 角形空隙，一排尖向上，接着下面一 排尖向下，交替排列。而每个圆球与 它周围的六个球围出的六个三角形空 隙中，有三个尖向上，另外三个尖向 下。如图所示，我们在这里将尖向上 的三角形空隙记为B，尖向下的三角形空隙记为C。第二密置层的球放在B之上，第三密置层 的球投影在C中，三层完成一个周 期。这样的最密堆积方式叫做立方 最密堆积（ccp，记为 A1型）， 形成面心立方晶胞。
若第三密置层的球投影与第一密置层的球重合，两层完成一个周期。这样的最密堆积方式叫做六方最密堆积（hcp ，记为A3型），形成六方晶胞，如图所示。 在这两种堆积方式中，任何四个相切的球围成一个正四面体空隙；另外，相切的三个球如果与另一密置层相切的三个球空隙对应，它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就是说，围成正 八面体空隙的这六个球可以分为相邻的两层，每层的正三角形中心的连线垂直于正三角形所在的密置层，参看下图，黑色代表的不是球而是正八面体的中心。 在这两种最密堆积方式中，每个球与同一密置层的六个球相切，同时与上一层的三个球和下一层的三个球相切，即每个球与周围十二个球相切（配位数为12）。中心这个球与周围的球围出八 个正四面体空隙，平均分摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。这样，每个正四面体空隙分摊到的球数是四个八分之一，即半个。中心这个球周围还围出六个八面体空隙，它平均分摊到每个正八面体空隙的是六分之一个球。这样，每个正八面体空隙分摊到的球数是六个六分之一，即一个。总之，这两种最密堆积中，球数 : 正八面体空隙数 : 正四面体空隙数 = 1:1:2 。等径球的两种最密堆积具有相同的堆积密度，都为74.05%. 下面计算四面体空隙和八面体空隙中所能容纳的球的半径的大小。
典型的晶体结构
典型得晶体结构 1、铁 铁原子可形成两种体心立方晶胞晶体:910℃以下为α－Fe,高于1400℃时为δ－Fe。在这两种温度之间可形成γ－面心立方晶。这三种晶体相中,只有γ－Fe能溶解少许C。问: 1.体心立方晶胞中得面得中心上得空隙就是什么对称？如果外来粒子占用这个空隙,则外来粒子与宿主离子最大可能得半径比就是多少？ 2.在体心立方晶胞中,如果某空隙得坐标为(0,a/2,a/4),它得对称性如何？占据该空隙得外来粒子与宿主离子得最大半径比为多少？ 3.假设在转化温度之下,这α－Fe与γ－F两种晶型得最相邻原子得距离就是相等得,求γ铁与α铁在转化温度下得密度比。 4.为什么只有γ－Fe才能溶解少许得C？ 在体心立方晶胞中,处于中心得原子与处于角上得原子就是相接触得,角上得原子相互之间不接触。a＝(4/3)r。 ①②③ 1.两个立方晶胞中心相距为a,也等于2r＋2r h［如图①］,这里r h就是空隙“X”得半径,a ＝2r＋2r h＝(4/3)r r h/r＝0、115(2分) 面对角线(2a)比体心之间得距离要长,因此该空隙形状就是一个缩短得八面体,称扭曲八面体。(1分) 2.已知体心上得两个原子(A与B)以及连接两个晶体底面得两个角上原子［图②中C与D］。连接顶部原子得线得中心到连接底部原子得线得中心得距离为a/2;在顶部原子下面得底部原子构成晶胞得一半。空隙“h”位于连线得一半处,这也就是由对称性所要求得。所以我们要考虑得直角三角形一个边长为a/2,另一边长为a/4［图③］,所以斜边为16 /5a。(1分) r＋r h＝16 /5a＝3/5r r h/r＝0、291(2分) 3.密度比＝42︰33＝1、09(2分) 4.C原子体积较大,不能填充在体心立方得任何空隙中,但可能填充在面心立方结构得八面体空隙中(r h/r＝0、414)。(2分) 2、四氧化三铁 科学研究表明,Fe3O4就是由Fe2＋、Fe3＋、O2－通过离子键而组成得复杂离子晶体。O2－得重复排列方式如图b所示,该排列方式中存在着两种类型得由O2－围成得空隙,如1、3、6、7得O2－围成得空隙与3、6、7、8、9、12得O2－围成得空隙,前者为正四面体空隙,后者为正八面体空隙,Fe3 O4中有一半得Fe3＋填充在正四面体空隙中,另一半Fe3＋与Fe2＋填充在正八面体空隙中,则Fe3O4晶体中正四面体空隙数与O2－数之比为 2:1,其中有12、5%正四面体空隙填有Fe3＋,有 50%正八面体空隙没有被填充。ClMXxzK。zNa2qb4。 Fe3O4中三价铁离子:亚铁离子:O原子=2:1:4 晶胞拥有8个正四面体空隙,4个O2－离子;所以2:1 一半三价铁离子放入正四面体空隙,即一个三价铁离子,所以为1/8=12、5% 晶胞实际拥有4个正八面体空隙,其中已经有一个放Fe3+,另外一个Fe2+占据一个正八面体空隙,所以50%得正八面体空隙没有被填充。USLphY1。N1iF2Vt。
第三节正八面体与正方体
第三节 正八面体与正方体 【讨论】顾名思义，正八面体应该有八个完全相同的面，如右图3-1所示，每个面都是正三角形；另外正八面体有六个顶点，十二条棱。让我们与正方体作一对比，它们都有十二条棱，正方体有六个面（正八面体六个顶点）、八个顶点（正八面体八个面），与正八面体的面数和顶点数正好相反，它们是否存在内在的空间关系呢？我们连接正方体六个面的面心形成的是什么空间图形呢？它就是正八面体（能理解了吧！我们也可以将空 间直角坐标系xyz 轴上与原点等距的六个点连起来构成正八面体）。正八面体与正方体都是十二条棱，它们的空间位置显然是不一样的，但它们的十二条棱的棱心的空间位置又如何呢？应该是一样的吧。先让我们看个例题再讨论吧！ 【例题1】已知[Co(NH 3)6]3＋ 的立体结构如图3-2所示，其中1~6处的小圆圈表示NH 3分子，且各相邻的NH 3分子间的距离相等（图中虚线长度相同）。Co 3+位于八面的中心，若其中两个NH 3被Cl －取代，所形成的[Co(NH 3)4Cl 2]+的同分异构体的数目是 ① A 1 B 2 C 3 D 4 【分析】正八面体每个顶点在空间是完全等价的，当选定一个顶 点后，另五个顶点就在空间形成两种相对的位置，四个是相邻的，一 个是相对的，故二氯取代物是两种，两个氯的距离分别是边长和对角线长。 【解答】B 【练习1】SF 6是一种无色气体，具有很强的稳定性，可用于灭火。SF 6的分子结构如图3-3所示，呈正八面体型。如果F 元素有两种稳定的同位素，则SF 6的不同分子种数为 ② A 6种 B 7种 C 10种 D 12种 【讨论】用同位素考察分子的空间结构是一种新方法，也是一种好方法。本题中主要来确定S a F 3b F 3的种数，三个a F 在空间也只有两种形 式，即△和├；另外S a F 2b F 4与S a F 4b F 2的种数应该是一样的吧？（想想为什么）！ 【练习2】正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中截取最大正八面体，再从该正八面体中截取最大正方体A ’B ’C ’D ’—A 1’B 1’C 1’D 1’，计算它们的体积比。 【讨论】本题是用来巩固正方体与正八面体的关系，利用立体几何 知识并不难解决。 如果我们连接大正方体的对角线，则该对角线也正好通过小正方体 的对角线和正八面体的两个面的面心， 且与正八面体这两个面正好垂直。我们沿这条对角线观察正八面体，可得如图3-4所示的图形，它是我们 从另一种角度观察得到的图形，也是一种很重要的图形，请看例题2： 图3-4
典型的晶体结构
4 ?为什么只有丫― Fe 才能溶解少许的 C ？ 在体心立方晶胞中，处于中心的原子与处于角上的原子是相接触的，角上的原子相互之间不接触。1.铁 铁原子可形成两种体心立方晶胞晶体： 间可形成Y-面心立方晶。这三种晶体相中，只有 1 ?体心立方晶胞中的面的中心上的空隙是什么对称？如果外来粒子占用这个空隙，则外来粒子与宿主 离子最大可能的半径比是多少？ 2 ?在体心立方晶胞中，如果某空隙的坐标为（ 子与宿主离子的最大半径比为多少？ 3 ?假设在转化温度之下，这a 化温度下的密度比。 910 C 以下为a — Fe ,高于1400 C 时为S — Fe 。在这两种温度之 丫― Fe 能溶解少许C 。问： 0, a/2, a/4），它的对称性如何？占据该空隙的外来粒 Fe 和丫- F 两种晶型的最相邻原子的距离是相等的，求丫 铁 与a 铁在转 a = 1 XI A 丿 i 0 \J 1 ?两个立方晶胞中心相距为 （4/ , 3）r r h /r = 0.115 （ 2 分） 面对角线（J 2 a ）比体心之间的距离要长，因此该空隙形状是一个缩短的八面体，称扭曲八面体。（ 分） 2?已知体心上的两个原子（ A 和B ）以及连接两个晶体底面的两个角上原子［图②中 C 和D ］。连接 顶部原子的线的中心到连接底部原子的线的中心的距离为 a/2;在顶部原子下面的底部原子构成晶胞的一半。 空隙“ h ”位于连线的一半处，这也是由对称性所要求的。所以我们要考虑的直角三角形一个边长为 a/2，另 一边长为a/4 ［图③］，所以斜边为 5/16 a o （ 1分） r + r h = ,5/16 a =、5/3 r r h /r = 0.291 （2 分） 3 .密度比=4 .2 : 3、3 = 1.09 （2 分） 4. C 原子体积较大，不能填充在体心立方的任何空隙中，但可能填充在面心立方结构的八面体空隙中 （r h /r = 0.414）。（ 2 分） 2.四氧化三铁 a ,也等于2r + 2r h ［如图①］，这里 r h 是空隙“ X ”的半径, a = 2r + 2r h 科学研究表明，Fe 3O 4是由Fe 2+、Fe 3+、O 2—通过离子键而组成的复杂离子晶体。 O 2— 的重复排列方式如图b 所示，该排列方式中存在着两种类型的由 O 2— 围成的空隙，如1、3、 6 7的O 2—围成的空隙和3、6、7、& 9、12的O 2—围成的空隙，前者为正四面体空隙， 后者为正八 面体空隙，Fe 3O 4中有一半的卩63+填充在正四面体空隙中，另一半 Fe 3+和Fe 2+ 填充在正八面体空隙中，则 Fe 3O 4晶体中正四面体空隙数与 O 2—数之比为2: 1，其中有1 2.5%正四面体空隙填有Fe 3+ ,有50%正八面体空隙没有被填充。 Fe 3O 4中三价铁离子：亚铁离子： O 原子=2: 1: 4 晶胞拥有8个正四面体空隙，4个O 2— 离子；所以2： 一半三价铁离子放入正四面体空隙，即一个三价铁离子， 晶胞实际拥有4个正八面体空隙，其中已经有一个放 面体空隙，所以50%的正 八面体空隙没有被填充。 ?铁的原子核是最稳定的原子核组态，所以在可以孕育生命的大红星中，累积很多，这导致铁在宇宙的 含量很多， 地球也含有很多铁。 1 ?在制作青灰瓷中，Fe 2O 3被部分还原，产生 这些不同氧化铁化合物的存在，造成了青灰瓷的特殊色彩。 1 所以为 1/8=12.5% Fe 3+,另外一个Fe 2+ 占据一个正八 ① （4/ .. 3）r 。 小障中心 的混合物, （Fe 3O 4 ）
金属的结构和性质体心立方堆积中八面体空隙与四面体空隙半径计算
【】半径为的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。 解：4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图（a）和(b)，图(c)示出堆积所形成的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2倍。 图 由图和正四面体的立体几何知识可知： 边长AB=2R 高 中心到顶点的距离： 中心到底边的高度： 中心到两顶点连线的夹角为： 中心到球面的最短距离 本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为R的等径圆球最密堆积结构中四面体空隙所能容纳的小球的最大半径为。而正是典型的二元离子晶体中正离子的配位 多面体为正四面体时正、负离子半径比的下限。此题的结果也是了解hcp结构中晶胞参数的基础(见习题。 【】半径为的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。 解：正八面体空隙由6个等径圆球密堆积而成，其顶点即圆球的球心，其棱长即圆球的直径。空隙的实际体积小于八面体体积。图中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。 图 由图（c）知，八面体空隙中心到顶点的距离为： 而八面体空隙中心到球面的最短距离为： 此即半径为R的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径。 是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时的下限值。 【】半径为的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。 解：由图可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为： 图 三角形空隙中心到球面的距离为： 此即半径为R的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径，是“三角形
离子配位多面体”中的下限值。 【】半径为的圆球堆积成结构，计算简单立方晶胞参数和的数值。 解：图示出A3型结构的—个简单六方晶胞。该晶胞中有两个圆球、4个正四面体空隙和两个正八面体空隙。由图可见，两个正四面体空隙共用一个顶点，正四面体高的两倍即晶胞参数c，而正四面体的棱长即为晶胞参数或。根据题的结果，可得： 图 【】证明半径为的圆球所作的体心立方堆积中，八面体空隙只能容纳半径为的小球，四面体空隙可容纳半径为的小球。 证明：等径圆球体心立方堆积结构的晶胞示于图（a）和（b）。由图（a）可见，八面体空隙中心分别分布在晶胞的面心和棱心上。因此，每个晶胞中6个八面体空隙。而每个晶胞中含2个圆球，所以每个球平均摊到3个八面体空隙。这些八面体空隙是沿着一个轴被压扁了的变形八面体，长轴为，短轴为（是晶胞参数）。 （圆球，八面体空隙中心，四面体空隙中心） 图 八面体空隙所能容纳的小球的最大半径即从空隙中心（沿短轴）到球面的距离，该距离为。体心立方堆积是一种非最密堆积，圆球只在轴方向上互相接触，因而。代入，得。 由图（b）可见，四面体空隙中心分布在立方晶胞的面上，每个面有4个四面体中心，因此每个晶胞有12个四面体空隙。而每个晶胞有2个球，所以每个球平均摊到6个四面体空隙。这些四面体空隙也是变形的，两条长棱皆为，4条短棱皆为。 四面体空隙所能容纳的小球的最大半径等于从四面体空隙中心到顶点的距离减去球的半径R。而从空隙中心到顶点的距离为，所以小球的最大半径为 【】计算等径圆球密置单层中平均每个球所摊到的三角形空隙数目及二维堆积密度。 解：图示出等径圆球密置单层的—部分。 图 由图可见，每个球(如A)周围有6个三角形空隙，而每个三角形空隙由3个球围成，所以每个球平均摊到个三角形空隙。也可按图中画出的平行四边形单位计算。该单位只包含一个球（截面）和2个三角形空隙，即每个球摊到2个三角形空隙。 设等径圆球的半径为R，则图中平行四边形单位的边长为2R。所以二维堆积系数为： 【】指出型和型等径圆球密置单层的方向是什么 解：A1型等径团球密堆积中，密置层的方向与轴垂直，即与(111)面平行。A3型等径圆球密堆积中，密置层的方向与六重轴垂直，即与(001)面平行。下面将通过两种密堆积型式划分出来的晶胞进一步说明密置层的方向。 A1型密堆积可划分出如图(a)所示的立方面心晶胞。在该晶胞中，由虚线连接的圆球所处的平面即密置层面，该层面垂直于立方晶胞的体对角线即轴。每一晶胞有4条体对角线，即在4个方向上都有轴的对称性。因此，与这4个方向垂直的层面都是密置层。
六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙
六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
六方最密堆积中正八面体空隙 和正四面体空隙中心的分数坐标 等径圆球紧密排列形成 密置层，如图所示。 在密置层内，每个圆球 周围有六个球与它相切。相 切的每三个球又围出一个三 角形空隙。仔细观察这些三 角形空隙，一排尖向上，接 着下面一排尖向下，交替排列。而每个圆球与它周围的六个球围出的 六个三角形空隙 中，有三个尖向 上，另外三个尖向 下。如图所示，我 们在这里将尖向上 的三角形空隙记为 B，尖向下的三角 形空隙记为C。第 二密置层的球放在 B之上，第三密置 层的球投影在C 中，三层完成一个
周期。这样的最密堆 积方式叫做立方最密 堆积（ccp，记为 A1 型），形成面心立方 晶胞。 若第三密置层的 球投影与第一密置层 的球重合，两层完成 一个周期。这样的最密堆积方式叫做六方最密堆积（hcp，记为A3型），形成六方晶胞，如图所示。 在这两种堆积方式中，任何四个相切的球围成一个正四面体空隙；另外，相切的三个球如果与另一密置层相切的三个球空隙对应，它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就是说，围成正八面体空隙的这六个球可以分为相邻的两层，每层的正三角形中心的连线垂直于正三角形所在的密置层，参看下图，黑色代表的不是球而是正八面体的中心。 在这两种最密堆积方式中，每个 球与同一密置层的六个球相切，同时 与上一层的三个球和下一层的三个球 相切，即每个球与周围十二个球相切 （配位数为12）。中心这个球与周围 的球围出八个正四面体空隙，平均分摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。这样，每个正四面体空隙分摊到的球数是四个八分之一，
六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙
六方最密堆积中正八面体空隙 与正四面体空隙中心得分数坐标 等径圆球紧密排列形成 密置层,如图所示。 在密置层内,每个圆球周 围有六个球与它相切。相切 得每三个球又围出一个三角 形空隙。仔细观察这些三角 形空隙,一排尖向上,接着下面 一排尖向下,交替排列。而每 个圆球与它周围得六个球围出得六个三角形空隙中,有三个尖向上,另外 三个尖向下。如图 所示,我们在这里 将尖向上得三角形 空隙记为B,尖向下 得三角形空隙记为 C。第二密置层得 球放在B之上,第 三密置层得球投影 在C中,三层完成 一个周期。这样得 最密堆积方式叫做 立方最密堆积(ccp,
记为A1型),形成面心立方晶胞。 若第三密置层得球投影与第一密置层得球重合,两层完成一个周期。这样得最密堆积方式叫做六方最密堆积(hcp,记为A3型),形成六方晶胞,如图所示。 在这两种堆积方式中,任何四个相切得球围成一个正四面体空隙;另外,相切得三个球如果与另一密置层相切得三个球空隙对应,它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就就是说,围成正八面体空隙得这六个球可以分为相邻得两层,每层得正三角形中心得连线垂直于正三角形所在得密置层,参瞧下图,黑色代表得不就是球而就是正八面体得中心。 在这两种最密堆积方式中,每个球 与同一密置层得六个球相切,同时与上 一层得三个球与下一层得三个球相切, 即每个球与周围十二个球相切(配位数 为12)。中心这个球与周围得球围出 八个正四面体空隙,平均分摊到每个正 四面体空隙得就是八分之一个球。这 样,每个正四面体空隙分摊到得球数就是四个八分之一,即半个。中心这个球周围还围出六个八面体空隙,它平均分摊到每个正八面体空隙得就是六分之一个球。这样,每个正八面体空隙分摊到得球数就是六个六分之一,即一个。总之,这两种最密堆积中,球数: 正八面体空隙数: 正四面体空隙数= 1:1:2 。 面心立方最密堆积(ccp, A1型)中正八面体空隙与正四面体空隙得问题比较简单、直观。下面我们集中讨论六方最密堆积(hcp,A3型)中正八面体空隙与正四面体空隙中心得分数坐标。