应用光学教案第一章

[考试要求]

本章要求考生了解几何光学的基本术语、基本定律、光路计算及完善成像 的条件。 [考试内容]

几何光学的基本定律、全反射现象的应用、完善成像的含义及条件、近轴光 学系统的光路计算和球面光学成像系统的物像位置关系。 ［作业］

P13：2、3、4、7、8、9、16、17、18、19、21

第一章 几何光学基本定律与成像概念

第一节 几何光学基本定律

一、 光波与光线 1、光波性质

性质：光是一种电磁波，是横波。 可见光波，波长范围 390nm —780nm 光波分为两种：

1)单色光波―指具有单一波长的光波；

2)复色光波―由几种单色光波混合而成。如：太阳光 2、光波的传播速度ν 1)与介质折射率 n 有关； 2)与波长λ有关系。

v = c / n

c 为光在真空中的传播速度 c ＝3×10 8 m/s ；n 为介质折射率。

例题 1：已知对于某一波长λ而言，其在水中的介质折射率 n ＝4/3，求该波长的 光在水中的传播速度。

解： v = c / n ＝3×10 8 /4/3＝2.25×10 8 m/s

3、光线：没有直径、没有体积却携有能量并具有方向性的几何线。

4、光束：同一光源发出的光线的集合。

会聚光束：所有光线实际交于一点（或其延长线交于一点）

图 1-1 会聚光束 图 1-2

发散光束

?n sin I m = n ' sin I '

根据折射定律， ?

发散光束：从实际点发出。（或其延长线通过一点）

说明：会聚光束可在屏上接收到亮点，发散光束不可在屏上接收到亮点，但却可 为人眼所观察。

5、波面（平面波、球面波、柱面波）

平面波：由平行光形成。平面波实际是球面波的特例，是 R ? 时的球面波。 球面波：由点光源产生。 柱面波：由线光源产生。 二、 几何光学的基本定律

即直线传播定律、独立传播定律、折射定律、反射定律。

1、 直线传播定律：在各向同性的均匀介质中，光沿直线传播（光线是直线）。 直线传播的例子是非常多的，如：日蚀，月蚀，影子等等。

2、 独立传播定律：从不同光源发出的光束，以不同的方向通过空间某点时，彼 此互不影响，各光束独立传播。

3、 反射定律： 反射光线和入射光线在同一平面、且分居法线两侧，入射角和 反射大小相等，符号相反。

4、 折射定律：入射光线、折射光线、通过投射点的法线三者位于同一平面， 且 sin I sin I '

＝

n ' n

图 3 折反定律

5、 全反射：

1） 定义：从光密介质射入到光疏介质，并且当入射角大于某值时，在二种介质 的分界面上光全部返回到原介质中的现象。

刚刚发生全反射的入射角为临界角，用 I m 表示。

? I ' = 90 ? sin I m = n ? I m = arcsin n ' n

2）全反射发生的条件：

光从光密介质射入光疏介质；入射角必须大于临界角。

例题2：设光从玻璃射入空气中，n玻＝1.52，求临界角的大小。

sin I m = n

n

= 1 / 1.52 ?? I m H 41o

3）应用：

全反射在光学仪器中有着十分重要的作用。

①反射棱镜

下面以直角棱镜为例：

I＞Im

I"

图1-4 等腰直角棱镜

②光纤

也是基于全反射的思想。

光纤的功能：具有传光、传象及传输其它信号的功能，在医学、工业、国防得到广泛的应用。

n0

n2

I

1

＞Im

纤芯

图1-5

n1

包层

光纤的全反射传光原理

满足的条件：对光纤而言，设射入光纤端面的入射角为I1，则：

n0 sin I1 = n22 n12

这就是光纤保证发生全反射的条件，又称n0 sin I1为光纤的数值孔径。三、费马原理（又称为极值光程定律）

费马原理中首次提出了光程的概念，并从光程的角度出发，对光的传播定律进行了高度概括，是直线传播定律、折射定律、反射定律的统一体现。

1、光程（S）：指光在介质中传播的几何路程l与该介质折射率n 的乘积。

s = s 1 + s 2 + L s m = n 1l 1 + n 2l 2 + L = n i l i

s = + n ⊕ dl

ds = d + ndl = 0 数学表示形式为： S = nl

例如：一束光从第一介质 n 1射入到第二介质 n 2 （全为均匀介质），则总 的光程为：

S = l 1n 1 + l 2 n 2

若光经过 m 层均匀介质，则总的光程可写为：

m

i =1

若光经过的是非均匀介质，即 n 是一个变量，这时折射定律不再适用， 光所走过的路径是一个曲线，总的光程：

B

A 2、费马原理：光从一点传播到另一点，经过任意多次反射和折射光程为极值，

即：

B

A

四、 马吕斯定律

光束在各向同性的均匀介质中传播时，始终保持着与波面的正交性，且入射

波面与出射波面各对应点之间的光程为定值。

S

A

C

B

光 学 系

图 1—6

各向同性介质中光线成像

如上图，入射球面波上三点 A 、B 、C ，出射球面波对应三点 A ' , B ' , C '，则根 据马吕斯定律有：

( AA ' ) = (BB ' ) = (CC ' ) = 定值 ，即从 S 到 S ' 之间的任何光路的光程为定值。

k A k §1－2

成像的基本概念与完善成像条件

一、光学系统与完善成像的概念

1、光学系统

1）共轴光学系统：各光学元件的曲率中心在同一条直线上。

2）非共轴光学系统：各光学元件曲率中心不在同一条直线。

A 1

n 1

W E E 1 E k E W ＇ n ＇

＇

O

O 1

图 1—7

O k O ＇

共轴光学系统

2、 完善成像：像与物体只有大小的变化没有形状的改变。

3、完善成像的条件：入射为球面波，出射也为球面波（入射为同心光束，出射

也为同心光束）。

光

A

学 系 统

A'

图 1—7 完善成像

二、物和像的虚实 1、 物：发出入射光波。

像：由出射光波形成。

2、实物、实像：由实际光线相交而成的。

A

A'

图 1—8 实物成实像

3、虚物、虚像：由实际光线的延长线相交而成的。

A A'

A' A

图1—9 虚物成实像图1—10 实物成虚像实像可由人眼或接收器所接收；虚像不可以被接收器所接收，但是却可以被人眼所观察。

四、物空间、像空间

物所在的空间称为物空间；像所在的空间叫像空间。

§1－3 光路计算与近轴光学系统

光学系统一般说来比较复杂，由多个反射面及折射面构成，物体经过系统成像逐面进行。所以首先需要了解单个面的反（折）射结果，才能最终得到整个光学系统的成像。首先研究的是符号规则。

一、符号规则

假设光是自左向右传播

1、对垂轴线段：以光轴为准，在光轴之上为“＋”，光轴之下为“－”；

2、对沿轴线段：以顶点O 为原点，顶点到光线与光轴交点的方向与光的传播方向相同则为“＋”，反之则为“－”；

3、光线与光轴夹角（物方孔径角为U，像方孔径角为U ' ）：由光轴转向光线，以锐角方向进行度量，顺时针为“＋”，逆时针为“－”；

4、法线与光轴的夹角（ ）：由光轴以锐角转向法线，顺时针为“＋”，逆时针为“－”；

5、光线与法线的夹角（入射角、反射角、折射角）：由光线以锐角转向法线，

顺时针为“＋”，逆时针为“－”；

6、折射面之间的间隔（d）：由前一折射面的顶点到后一折射面的顶点方向与光线的传播方向一致为“＋”，反之为“－”；

E

n I I＇n＇

A -U

O h

φ

C

U＇

A＇r

-L

图1—11

L＇

光线经过单个折射球面的折射

二、单个折射面的实际光线的光路计算

光路计算就是：已知一入射光，求出射光的具体位置（像点的位置）。光线的具体位置可用二个重要的参量来加以描述：一为孔径角，二为截距。

1、物在有限远

以下的公式是根据简单的几何三角关系得到的：

sin I 2 = n 2

sin I 2 = n 2

E

n I I ＇

n ＇

A

-U

O

C

U ＇ A ＇

r

-L

L ＇

图 1—12 物在有限远光线经过单个折射球面的折射

sin I = L r r sin U

n

sin I

U 2 = U + I I 2

L 2 = r (1 + sin I ' sin U 2

)

2、物在无限远

当物在无限远时， L = ，设一条光线平行于光轴入射，入射高度为 h ，则

有： I n E n' - L

=

∞ O h

r I' U C '

A' L

' 图 1—13 物在无限远光线经过单个折射球面的折射

sin I =

h r n

sin I

U 2 = U + I I 2

L 2 = r (1 + sin I sin U 2

)

三、近轴光的光路计算公式 1、 近轴光公式

实际上，近轴光的计算公式与实际光的计算公式是完全一样的，只不过凡有 正弦的位置处都用弧度值来取代了，并且为了以示区别，近轴光的计算公式都用

? i = r u u ' ?O E ?

i ' =

? ?u ' = u + i i '

?l ' = r (1 + ) l' 1）阿贝不变量 Q ： n ( ) = n ' ( )

n ( ) = n ' ( ) ?

小写来表示。

A

-u 1

-u

2

-l

-u 3

? i ' ? u '

当 l , r 为确定值时，在近轴区，无论 u 为何值，l '均为定值。即不同孔径角发 出的光交于一点，出射为同心光束。这就意味着当采用近轴光成像时，是完善的。

F n

D

n'

A

-u 1

-u 2

-u 3

O

E

u 3'

u C 2'

u 1'

A'

-l

r

l'

图 1—14

近轴光线成像

2、 阿贝不变量及高斯公式 1 1 1 1

r l r l '

2）高斯公式：通过把阿贝不变量展开整理而得到的：

1 1 1 1

r l r l '

n r l n r n ? n ' n

r

n n l

又根据阿贝不变量有：n ( ) = n ' ( ) ?

2） ? ? ＜1－－－成缩小象，象比物小

?

§1－4

球面光学成像系统

一、单个折射面成像的放大倍率

在几何光学中描述物体大小的参量共有三个，分别为：垂轴放大率 ? ；角放 大率 ? ；沿轴放大率? 。

1、垂轴放大率 ? ：像的大小与物的大小比值。

其数学表示形式为： ? = y ' / y

B

n

n'

y

A

-u

h

c

u'

A'

-y'

B'

r

-l

l'

图 1—15

近轴区有限大小的物体经过单个折射球面的成像

从图中可见，根据三角形相似有： y ' y l ' r l + r ? y l ' r

l r

= ? 1 1 1 1 r l r l '

n ' (l ' r ) rl ' n (l r ) rl ? l ' r l r nl '

n ' l

? ? = y

nl '

n ' l

下面根据此公式进行一下分析、讨论： 1） ? 是有符号数：

? > 0 成正像，即 l , l '同号，物、像位于球面的同一侧；而像的虚实与物相 反，实物成虚像；虚物成实像。

? < 0 成倒像，即 l , l '异号，物、像位于球面的两侧；而像的虚实与物相一 致，实物成实像；虚物成虚像。

? ? > 1－－－成放大象，象比物大

?

?

3）当物体位于不同的位置时， ? 不同。

2、轴向放大率：表示光轴上一对共轭点沿轴向移动量之间的关系。

它又分为二种情形来加以讨论：一为物体作微小移动；一为物体移动有限距

? tgu = l H u ? ?tgu ' = H u ' ? ? = n ' l

? ? ?? = ?

? 离。

1）物体作微小移动：

根据轴向放大率的定义，利用高斯公式，

n l

n ' n r

，有：

n ' l '2 dl '+ n l 2 dl = 0 ? dl ' dl nl ' 2 n ' l 2

= ?

上式就是沿轴向放大倍率的表示形式，显然其形式与垂轴放大率很相似，从而我 们可以将此式再进行一下变换，得到? , ? 之间的关系。

? = n ' 2

n

下面对上式进行讨论：

从上式见， ? ? 2 ，所以有 ? α> 0 ，这就意味着像与物将以相同的方

向移动。

同时又有：? ? ? ，即轴向放大率与垂轴放大率不等。

2）物体移动有限距离的话，同样可以得到相类似的结果：? =

n

?1? 2 ?1为第一位置处的垂轴放大率； ? 2 为第二位置处的垂轴放大率。

3、角放大率：近轴区内，一对共轭光线的像方孔径角 u 与物方孔径角 u’之比，

即： ? =

u '

u

? h

? l '

h ?? lu = l ' u ' ? ? =

u u l l '

Q ? =

nl ' n ' l

故有：

4、 ? , ? , ? 之间的关系

? =

n 1 n ' ? ? nl '

n ' 2 n ? ? = n 1 ? n ' ?

n ' 2 n 1 n n ' ?

= ?

+ = 即轴向放大率与角放大率之积与垂轴放大率相等。 5、单个折射面的拉氏不变量（J ）

J = nuy = n ' u ' y '

描述物高、像高（反映的是视场的大小）；物方孔径角、像方孔径角（反映进入 系统的能量多少）之间关系的物理量。 二、球面反射镜成像

球面反射镜有二种：一为凸面镜；一为凹面镜。

y B

A ＇

-i

i" E

A

C -y'

O

B'

l ＇ r -l

图 1—16 凹面镜成像 B i

-i"

E

y B'

C

A

l

O

l'

A'

F'

r

1、物像位置关系式：

图 1—17

凸面镜成像

我们已知道折射面的物像位置关系式：

n ' n r

n

n l

由于反射是折射的特例，是 n ' = n 时的情况，代入上式就可得到：

2、放大率公式：

1 l ' 1 l 2

r

? ? = n ' l

?

?? = ? nl ??

? + = ? r 1 , r 2 , r 3 LL r k ? ? nl '

? n ' l ' 2

2 ? ? = n n ' ?

l '

l

?? ? = ? 2 ，

1

?

同时有： J = uy = u ' y '

例题 3：现有一球面反射镜，曲率半径为 r ，请问无穷远物体发出的光成像在什

么位置处？

C

A'

o

-' -r

-=∞

图 1—18

无限远物体经球面反射镜成像

?1 1 解： ?l ' l

?? l =

2

r ?? l ' = r

2

，即成像于曲率中心与折射面顶点的中间位置处。

三、共轴球面系统

复杂的系统由多个折射面构成，必须解决折射面与折射面之间的过渡问题。 1、过渡公式：

假设系统由多个折射面 k 构成，各折射面的参量如下所示，分别为：

?

?d 1 , d 2 , d 3 LL d k 1 ? n 1 , n 2 , n 3 LL n k +1

分别为各折射面的曲率半径；折射面之间的间隔；介质折射率。

u 2 = u 12 , u 3 = u 22 ,LL u k ? y 2 = y 12 , y 3 = y 22 ,LL y k 2 2 U 2 = U 12,U 3 = U 22 ,LL U k = U k 2 1 , ? y 2 = y 12 , y 3 = y 22 ,LL y k = y k 2 1 , 2 2 2 l ' l ' L l ' k

⊕ ⊕ 3 3 ⊕ 4 4 L = 1 ⊕ 1 2

图 1-19 共轴球面光学系统的成像 那么对于近轴光来说，有：

? n 2 = n 1, n 3 = n 2 ,LL n k

? ?

?

??l 2 = l 12 d 1, l 3 = l 22 d 2 LL l k = n k 2 1, = u k 2 1, = y k 2 1 , = l k 2 1 d k 1

对于实际光线，公式同上，只不过，符号大写：

? n 2 = n 1 , n 3 = n 2 ,LL n k = n k 1 ,

? ?

?

??L 2 = L 121 d 1 , L 3 = L 22 d 2 LL L k = L k 2 1 d k 1

设 h 为光线在折面上入射高度，则有：

tgu 12 =

h 1 + ( h 2 )

d 1

H u 12 ?? h 2 = h 1 d 1u 12

故有： h 2 = h 1 d 1u 12 , h 3 = h 2 u 22 LL h k = h k 1 d k 1u k 2 1 2、J 及放大率

我们已经讲了单个折射面的 J ，不仅对单个折射面 J 是个定值，对于整个系 统而言，它也是个不变的量。

1） 系统的 J ： J = n 1u 1 y 1 = n 1 ' u 1 ' y 1 ' = n 2u 2 y 2 = n 2 ' u 2 ' y 2 ' = LL = u k 2 n k 2 y ' k 2） 系统的放大率：

? = ?1? 21? 3 LL ? k = n 1l '1 n 2l '2 n l ' n l ' n

n '1 l 1 n ' 2 l 2 n '3 l 3 n ' 4 l 4 n ' k l 1l 2 L l k

? = ?1? 2 L ? k =

n ' k n 1 ? 2

? = ? 1? 2 L ? k =

且仍有?? = ?

n 1 1

n ' k ?