92-4-3全纯函数的Taylor展开(更新)
常用十个泰勒展开公式

常用十个泰勒展开公式泰勒公式,泰勒公式[1]真的非常有名,我相信上过高数课的一定都记得它的大名。
即使你翘掉了所有的课,也一定会在考前重点里见过。
我对它的第一映像就是比较难,而且感觉没有太多意思,就是一个近似的函数而已。
最近重温了一下有了一些新的心得,希望尽我所能讲解清楚。
泰勒公式的用途在看具体的公式和证明之前,我们先来了解一下它的用途,然后带着对用途的理解再去思考它出现的背景以及原理会容易许多。
这也是我自学这么久总结出来的规律。
泰勒公式本质解决的是近似的问题,比如说我们有一个看起来很复杂的方程,我们直接计算方程本身的值可能非常麻烦。
所以我们希望能够找到一个近似的方法来获得一个足够近似的值。
从这里,我们得到了两个重点,一个是近似的方法,另一个是近似的精度。
我们既需要找到合适的方法来近似,同时也需要保证近似的精度是可控的。
否则一切都没有意义,结合实际其实很好理解,比如我们用机床造一个零件。
我们都知道世界上不存在完美的圆,实际上我们也并不需要完美,但是我们需要保证偏差是可控的,并且在一定的范围内。
泰勒公式也是一样,它既可以帮助我们完成近似,也可以保证得到的结果是足够精确的。
泰勒公式的定义我们下面来看看泰勒公式的定义,我们已经知道了它的用途是求一个函数的近似值。
但是我们怎么来求呢,其实一个比较朴素的思路是通过斜率逼近。
举个例子:这是一张经典的导数图,从上图我们可以看到,随着Δx的减小,点P0 和P 也会越来越接近,这就带来了Δy 越来越接近Δx f'(x0)。
当然,当Δx 比较大的时候显然误差就会比较大,为了缩小误差,我们可以引入二阶导数、三阶导数以及高阶导数。
由于我们并不知道函数究竟可以有多少阶导数,我们不妨假设f(x)在区间内一直有(n+1)阶导数,我们试着写出一个多项式来逼近原函数:我们希望这个式子与原值的误差越小越好,究竟要多小才算足够好呢?数学家们给出了定义,希望它是(x-x0)^n 的高阶无穷小。
第六节 Taylor级数与函数的幂级数展开

令z 0,并由此递推关系,得 f (0) 1, f '(0) a , f "(0) a(a 1),
,
f ( n ) (0) a(a 1) (a n 1),
1 n 1 n 1 ( 1) nz ,( z 1) 2 (1 z ) n 1
2、间接展开法
利用已知函数的展开式,结合幂级数的运算性质, 以求得目标函数的展开式。
例4 把 sin z 和cos z 展开为z 的幂级数。
解:
e iz e iz cos z 2 又, n n ( iz ) ( iz ) iz iz e , e n! n0 n ! n0 故 1 ( iz )n ( iz )n 1 i n ( i )n n z cos z 2 n! 2 n0 n ! n! n0
=
n0
f
(n)
(a ) ( z a )n n!
证毕
上式右端的级数称为f ( z )在点a 的Taylor级数,或 f ( n ) (a ) Taylor 展开式。cn 称为Taylor系数。 n!
若a 0,f ( z ) =
n0
+
f
( n)
(0) n z 称为f ( z )的Marclaurin级数。 n!
由于
k 2( 1) , n n i (i ) 0,
n 2k n 2k 1
故
1 2( 1)k 2 k ( 1)k 2 k z cos z z 2 k 0 (2k )! k 0 (2 k )!
多元函数的Taylor公式与极值问题课件

实际应用中的考虑因素
实际问题的背景
在应用极值理论时,需要考虑实际问题的背景和限制条件,如物 理定律、约束条件等。
数据的不确定性
在实际问题中,数据往往存在不确定性,需要考虑这些不确定性 对极值分析的影响。
模型的适用性
在应用极值理论时,需要考虑模型的适用性,确保模型能够准确 地反映实际情况。
07
与望
05
利用Taylor公式求解极
方法概述
定义
Taylor公式是用于近似表达一 个多元函数在某点附近的行 为
的公式。
形式
Taylor公式的一般形式为 f(x)≈f(a)+f'(a)(x−a)+12f''(a) (x−a)2+…+1n!f(n)(a)(x−a)n
+…。
应用
利用Taylor公式,我们可以找 到函数在某点的极值。
06
极求解的注事与 技巧
常见错误分析
忽视函数的定义域
在求解极值问题时,必须先确定函数的定义域,否 则可能导致错误的结论。
对导数的理解不足
导数描述了函数在某一点的切线斜率,若对导数的 理解不准确,可能导致错误的极值点判断。
未考虑多极值点的情况
在某些情况下,函数可能有多个极值点,需要全面 考虑,避免遗漏。
定义
一元函数在某点的Taylor公式是 该函数在该点附近的一个多项式 近似表示。
形式
一元函数的Taylor公式的一般形 式为 f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)(x -a)^n/n! + Rn(x)
泰勒展式

第四章 级 数第二节 泰勒展式4、解析函数泰勒展式:定理4.1、设函数f (z )在圆盘R z z U <-|:|0内解析,那么在U 内,...)(!)(...)(!2)(")(!1)(')()(00)(200000+-++-+-+=n n z z n z f z z z f z z z f z f z f证明:设D z ∈。
以0z 为心,在U 内作一个圆C ,使z 属于其内区域。
我们有⎰-=C d zf i z f ,)(21)(ζζζπ 由于当C ∈ζ时,100<=--q z z z ζ。
又因为 )1|...(|...1112<+++++=-αααααn 所以∑+∞=+--=---⋅-=---=-010000000)()(111)(11n n nz z z z z z z z z z z ζζζζζ 上式的级数当C ∈ζ时一致收敛。
把上面的展开式代入积分中,然后利用一致收敛级数的性质,得...)(...)()(0010+-++-+=n n z z z z z f ααα其中,)1!0,...;2,1,0(,!)()()(210)(1==⎰=-=+n n z f d z f i C n n n ζζζπα 由于z 是U 内任意一点,定理的结论成立。
定理4.2 函数f (z )在一点0z 解析的必要与充分条件是:它在0z 的某个邻域内有定理4.1中的幂级数展式。
注解:在定理4.1中,f (z )在U 内的幂级数展式我们称为它在U 内的泰勒展式。
系4.1 幂级数...)(...)()()(020201000+-++-+-+=∑-+∞=n n n n n z z z z z z z z ααααα是它的和函数f (z )在收敛圆内的泰勒展式,即,...).2,1,0(!)(),(0)(00===n n z f z f n n αα 因此,我们有解析函数的幂级数展式的唯一性定理:系4.2 在定理4.1中,幂级数的和函数f (z )在U 内不可能有另一种形式的幂级数。
4-3泰勒Talor级数

)
(z
z0
)n
事实上,因为
|
f
(
)|<M,|
-z0|=,z
z0 z0
q1
1
RN (z) 2
C
n N
(
f () z0 )n1
(z
z0
)n
d
1
f ( )
n
z z0 ds 1
M 2qn MqN
2 C nN z0 z0
则 f (z0 ) a0,再由幂级数的逐项求导性质得,
f ' ( z ) a1 2a2 ( z z0 ) nan ( z z0 )n1 f ' ( z0 ) a1
, 依此 类推 得,an
1 n!
f
(n) (z0 )
n 0,1,2,
由此可见,任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数,因而是唯一的。
以下定理给出了肯定回答: 任何解析函数都一定能用幂级数表示。
定理:设 f(z) 在区域D内解析,z0∈D,d为z0到D的边界上 各点的最短距离,则当|z-z0|<d时,有
f ( z ) cn ( z z0 )n (4) n0
D Z0
成立。其中
1 f ( z )
cn 2i C ( z z0 )n1 dz
z
dz
z
dz
z zdz
z (1)n zndz
0 1 z 0
0
0
ln(1 z) z z2 1 z3 (1)n zn1 z 1
20.Taylor级数展开定理

f ( n) (0) ( 1)( n 1),
于是
(1 z )
1z
( 1)
2!
z
2
( 1)( 2)
3! zn
z
3
( 1)( n 1)
n!
z 1 .
Taylor级数展开定理
实函数在一点的邻域内展开成Taylor级数是 非常重要的问题,它是表示函数、研究函数性质 以及进行数值计算的一种工具.
对于复变函数, 我们已经知道幂级数在收敛
圆域内收敛于解析函数. 在本节我们将证明解析
函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数 —Taylor级数. 这是解析函数的重要特征.
f ( z ) Байду номын сангаас ( 1)e( 2)ln(1 z ) ,
f ( n) ( z ) ( 1)( n 1)e( n)ln(1 z ) ,
令z=0, 有
f (0) 1, f (0) , f (0) ( 1), ,
D
n 0, 1, 2, .
系数cn按上述表示的幂级数称为
f ( z ) 在 z0 点的Taylor级数.
z f ( z ) e 在 z 0的Taylor展开式. 例1 求
e 在复平面上解析,且 因为 f ( z ) MATLAB 解 运行下面的 语句.
z
>> syms z; f ( n ) (0) (e z )( n ) z 0 e z z 0 1, >> f=exp(z); 所以它在 z 0 处的Taylor级数为 >> taylor(f,z,8) % 这里8是展开的项数 ( n) n ans = e z f (0) z n z n! n 0 n 0 n ! 1+z+1/2*z^2+1/6*z^3+1/24*z^4+1/120*z^5+1/720 z2 zn 1 z , *z^6+1/5040*z^7 2! n! >> taylor(f,z) % 展开的默认值是6项 并且收敛半径 R . ans =
泰勒级数课件

e , 例如 f ( x ) 0,
1 x2
x0 x0
(n)
在x=0点任意可导, 且 f
(0) 0 ( n 0,1,2,)
f ( x )的麦氏级数为 0 x n
n 0
该级数在(,)内和函数s( x ) 0. 可见
除 x 0 外, f ( x ) 的麦氏级数处处不收敛 f ( x ). 于
例5 将函数
1 (1) n x n ( 1 x 1 ) 解: f ( x) 1 x n 0 从 0 到 x 积分, 得 x (1) n n 1 ln(1 x) (1) n x n d x x , 1 x 1 1 x 1 n 0 n 0 n 1 0
如果函数 f ( x )
a n ( x x0 ) n , 即
n 0
f ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a n ( x x0 )
n
易得a0 f ( x0 ),
逐项求导任意次,得
f ( x ) a1 2a 2 ( x x0 ) na n ( x x0 ) n1
令 S n 1 ( x)
k 0
n
f
(k )
( x0 ) ( x x0 ) k k!
f ( x) S n 1 ( x) Rn ( x)
n
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
x ( x0 )
二、函数展开成幂级数
x
例8 将
展成
的幂级数.
解: sin x sin ( x ) 4 4
泰勒公式ppt课件

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泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项 Rn ( x)之和:
f (x)
f (x0)
f ( x0 )( x x0 )
2! 4!
(2m) !
(1)m1 cos( x)
x2m2
(0 1)
(2m 2) !
又 cos2 x 1 1 cos 2x,
22
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所以 cos2 x 1 1 1 1 2x2 1 2x4
2 2 2!
4!
1m
1 2m
!
2
x
2
m
1 2m
2!
2
x
2m2
所以 f 0 f ' 0 f '' 0 f n 0 1.
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复变函数
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4.3 全纯函数的Taylor展开
已知幂级数的和函数是其收敛圆盘上的全纯函
数.自然要问,圆盘上的全纯函数是不是某个幂级数
的和函数?
定理4.3.1 若
,则 在
上能展开
成Taylor级数
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证:对于固定的
,取正数 满足
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作业:
习题4.2.
1,4,5,6(ⅰ),7(ⅰ,ⅱ),12.
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Taylor资料
Brook Taylor,于1685 年8月18 日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出 生。1709年后移居伦敦,获法学 硕士学位。他在1712年当选为英 国皇家学会会员,并于两年后获 法学博士学位。同年(即1714年) 出任英国皇家学会秘书,四年后 因健康理由辞退职务。1717年, 他以泰勒定理求解了数值方程。 最后在1731年12月29日于伦敦逝 世。
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命题4.3.5 设 是域
上的全纯函数.若
是 的“ 阶零点”,则 .
证:记
,则显然
是 中的闭集.再由定理4.3.1,便知 是 中的
开集.因为 是连通的,故 和 二者必
居其一.已知 ,因此 .( 的连通性发
挥了重要作用)
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命题4.3.6 设 是域
上的全纯函数, .
若 是 的零点,则存在开圆盘
,
使得 在
中仅有 这一个零点.即 的零点
是孤立的.
证: 由命题4.3.5,可设 是 的 阶零点,故
,使得
(命题4.3.4).由
,可取足够小的开圆盘
使得
.于是, 在
中仅有 这一个零点.
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定理4.3.7(唯一性定理) 设 是区域,
.若存在彼此不同的点列
,
使得
,则
.
证:(反证法)假定
.注意到
每个 都是全纯函数 的零点,便知 是 的非孤
立零点,这与命题4.3.6相矛盾.
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例4.3.8 所有实变量的三角恒等式在复变量 时也成立;实变量初等函数的Taylor展开式在 复变量时也成立. 证: 使这些等式成立的实轴上的点集没有孤立 点,再由唯一性定理.
d.
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,则
.
注意到
,
由Weierstrass判别法便知函数项级数
关于 在圆周
上一致收敛,故
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定理4.3.2 复变函数 在 处全纯当且仅当 它在 附近能展开为幂级数. 证: 由定理4.2.4和定理4.3.1.
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几个常用的Taylor展开式 ; ; ; ;(满足 . (满足
| |R
f
( ) n
n1z
zn1 n1
zn
d
1
(
2 i ||R
f ( )
f ( ) 2
z
f ( ) n
z n1
f ( n
)
z
n
)d
f (0) f (0)z f (0) z2 2!
f (
n!
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附加: 习题讲解
P155 7. 设 f H (B(0, R)) C(B(0, R)) ,
Sn (z)
n k 0
f (k) (0)d
k!
,证明:
(i)
Sn (z)
1
2 i
| |R
f
( )
n1 (
zn1
z) n1
d ,z
的分支) 的分支)
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定义4.3.3 设 在
处全纯.若
使得
,
则称 是 的 阶零点.
命题4.3.4 设 是域
上的全纯函数, .
那么, 是 的 阶零点当且仅当
,
使得
.
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证:“仅当”.在 附近,有
这说明
而
,并且
. 在 处全纯,从 .
“当”.
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)
z n1
Sn (z)
.
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(ii) f (z) Sn (z)
1
f
2 i ||R
( ) d
z
1
2 i ||R
f
( ) n1 (
zn1
z) n1
d
z n1
2 i
| |R
(
f ( ) z) n1
B(0,
R);
(ii) f
(z)
Sn (z)
z n1
2 i
| |R
f
(
)
n1 n1(
z)
d ,z
B(0, R).
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2 i
| |R
f
( ) n1
z n1 z
d n1
1
2 i