材料力学大作业-组合截面几何性质计算
材料力学 截面几何特性
4 4 2 2
= 278.33mm
4
I xC yC = A1 xc1 yc1 + A2 xc 2 yc 2
= 1200mm × (15mm) × (20mm)
2
A
ρ
= ∫ ( yC + b) 2 dA
A 2 = ∫ ( yC + 2byC + b 2 )dA A
= I xC + 2bS xC + b 2 A
I x = I xC + 2bS xC + b 2 A
因为C为形心 因为 为形心
S xC = AyC = 0
Ix = IxC + b2 A
同理: 同理:
+ 700mm × (25mm) × (35mm)
2
= 97.25 ×10 4 mm 4
(2)计算主轴位置
tan 2α 0 =
2 I xy Ix Iy
2 × 97.25 ×10 4 mm 4 = 100.33 ×10 4 mm 4 278.33 ×10 4 mm 4 = 1.093
α 0 = 113.80
I x1 = ∫ y12 dA
α
= ∫ ( x sin α + y cos α ) dA
2
= I x cos 2 α 2 I xy sin α cos α + I y sin 2 α
I x1 = I x cos 2 α 2 I xy sin α cos α + I y sin 2 α
I x1 = Ix + Iy 2 + Ix Iy 2 cos 2α I xy sin 2α
材料力学 截面的几何性质
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
材料力学—截面几何性质
主轴:满足惯性积为零的坐标轴
主惯性矩:对主轴的惯性矩
主形心轴与主形心惯性矩
I y
Iy
Iz
I y Iz cos2
I
2
2
z
I yz sin2
主形心轴 主形心轴
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz－任意直角坐标系
二者平行
第六章 弯曲应力
二、 惯性积的平行移轴定理
I yz
yzdA
A
y a y0 , z b z0
I yz Aa y0 b z0 dA
I y0z0 A y0 z0dA, A y0dA 0, A z0dA 0
I yz I y0z0 Aab
1
1
yc1 A1 yc2 A2 yc3 A3
n
n
yc
Sz A
Si
i 1
A
i 1
yci Ai A
Sz
S(整) z
S(孔) z
y
c
S(整) z
A( 整 )
S(孔) z
A(孔)
负面积法
第六章 弯曲应力
例： 确定下图所示截面的形心位置
50
50
A1
z
60
A2
10
解：将截面分为两部分， 利用组合截面的公式：
第六章 弯曲应力
A-4 转轴公式与惯性矩
一、 转轴公式 y1 ycos zsin z1 zcos ysin
I y1z1 A( ycos zsin )(zcos ysin )dA
：始边y轴，为正
I y1z1
Iy
2
Iz
sin2
I yzcos2
I y1 I y Iz I y Iz cos2
(材料力学)截面几何性质习题及参考答案
截面几何性质 作业专业班级 姓名 学号1. 判断题（1）任意平面图形至少有1对形心主惯性轴，等边三角形有3对形心主惯性轴。
（ × ） （2）平面图形的几何性质中，静矩和惯性矩的值可正、可负、可为零。
（ × ） （3）平面图形中，使静矩为零的轴必为对称轴。
（ × ） 2. 选择题（1）若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的（ A ）。
A. 静矩为零，惯性矩不为零B. 静矩和惯性矩均不为零C. 静矩和惯性矩均为零D. 静矩不为零，惯性矩为零（2）设图形具有三个以上（含三个）对称轴时，对某一形心轴的惯性矩I 1 ，对某一对正交形心轴的惯性积为I 2。
则当形心轴绕形心旋转时（ A ）。
A. I 1值不变，I 2恒等于零B. I 1 值不变，I 2不恒等于零C. I 1值变化，I 2恒等于零D. I 1值变化，I 2不恒等于零（3）任意图形的面积为A ，x C 轴通过形心C ，x 1轴和x C 轴平行，并相距a ，已知图形对x 1轴的惯性矩是I 1，则对x C 轴的惯性矩为（ A ）。
A. 21xC I I Aa =-B. 0xC I =C. 21xC I I Aa =+D. 1xC I I Aa =+C x 1（4）图示等底等高的矩形和平行四边形，对其形心轴y 的惯性矩I a 和I b 满足（ A ）。
A. I a = I bB. I a > I bC. I a < I bD. 不能确定（a ）（b ）（5）设矩形对其对称轴z 的惯性矩为I ，当其长宽比保持不变，面积增加1倍时，该矩形对其对称轴z 的惯性矩将变为（ A ）。
A. 4IB. 2IC. 8ID. 16I（6）图示任意形状图形，形心轴z 将图形分为两部分，则一定成立的是（ A ）。
A. S z 1 + S z 2 = 0B. I z 1 = I z 2C. A 1 = A 2D. S z 1 = S z 2（7）图形对通过某点的所有轴的惯性矩中，图形对主惯性轴的惯性矩一定（ A ）。
截面几何特性怎么计算公式
截面几何特性怎么计算公式截面几何特性的计算公式。
截面几何特性是指在工程学和物理学中，用来描述截面形状和尺寸的一些参数，这些参数对于材料的强度、刚度和形变等性能具有重要的影响。
在工程设计和分析中，我们经常需要计算截面的一些特性，比如面积、惯性矩、截面模量等。
下面我们将介绍一些常见的截面几何特性的计算公式。
1. 面积。
截面的面积是描述截面大小的一个重要参数，通常用A表示，其计算公式为：A = ∫y dA。
其中y是截面某一点到参考轴的距离，dA表示微元面积。
对于简单几何形状的截面，可以直接通过几何关系计算出面积，比如矩形的面积为长乘以宽，圆形的面积为πr^2。
2. 惯性矩。
截面的惯性矩描述了截面对于转动的惯性，通常用I表示，其计算公式为：I = ∫y^2 dA。
对于简单几何形状的截面，可以通过几何关系计算出惯性矩，比如矩形的惯性矩为bh^3/12，圆形的惯性矩为πr^4/4。
3. 截面模量。
截面模量描述了截面对拉伸和压缩的抵抗能力，通常用S表示，其计算公式为：S = I/c。
其中c为截面到参考轴的距离。
对于简单几何形状的截面，可以通过几何关系计算出截面模量，比如矩形的截面模量为bh^2/6，圆形的截面模量为πr^3/4。
4. 弯曲模量。
截面的弯曲模量描述了截面对弯曲的抵抗能力，通常用W表示，其计算公式为：W = S/y_max。
其中y_max为截面到参考轴的最大距离。
对于简单几何形状的截面，可以通过几何关系计算出弯曲模量，比如矩形的弯曲模量为bh^2/4，圆形的弯曲模量为πr^3/2。
5. 截面形心。
截面的形心描述了截面的几何中心，通常用x_bar和y_bar表示，其计算公式为：x_bar = ∫x dA / A。
y_bar = ∫y dA / A。
对于简单几何形状的截面，可以通过几何关系计算出形心的坐标，比如矩形的形心坐标为(b/2, h/2)，圆形的形心坐标为(0, 0)。
以上是一些常见的截面几何特性的计算公式，这些参数对于工程设计和分析具有重要的意义。
截面几何性质 (材料力学)
Ⅱ
O xⅡ 80
10
120
x1 5mm 2
y1
2
60mm
x
矩形II A2 10 70 700mm2
x2 10 70 45mm 2
y2
10 2
5mm
代入组合截面的形心坐标公式
2
Ai xi
x
i 1 2
Ai
i 1
2
Ai yi
y
i 1 2
Ai
n
Ai xi
x
i 1 n
Ai
i 1
n
Ai yi
y
i 1 n
Ai
i 1
（注：被“减去”部分图形的面积应代入负值）
例 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴
的静矩。
y
dy
h
b (y )
y
O
b
x
解： 取平行于x轴的狭长条，易求 b( y) b (h y)
h
因此 d A b (h y) d y 所以对x轴的静矩为
S x
h yd A
A
h b (h y) y d y bh2
0h
6
例：试计算图示截面形心C的位置。
y
10
Ⅰ
xⅠ
C (y ,x )
解：将截面分为1、2两个矩形。
建立坐标系如图示。
各矩形的面积和形心坐标如下： 矩形I
A1 10120 1200mm2
120 y1 y
Ⅱ
10
同理，有：
Ix Ixc a2 A I y I yc b2 A
材料力学第四章截面的几何性质
I y A z 2dA I z A y2dA
n
I y
I yi
i 1
n
I z
I zi
i 1
n
I p
I pi
i 1
z
I p A2dA
y
A1 A2
…
dA
An
z
y o
【例题 4】试计算图示圆环对其形心轴的惯性 矩和极惯性矩。
z
Iy
Iz
D4 64
d 4 64
y
C
D4 d 4
I p 32 32
0 23.7 0 23.7 90
zo z zc
1 cm
Iyc = 279 cm4
Izc = 100 cm4
Iyczc = -97 cm4
yo
12 cm
0
yc
c
o
8 cm
1 cm y
Imax
m in
I yc
I zc 2
I yc
2
I zc
2
I2 yc zc
Iyc = 279 cm4 Izc = 100 cm4 Iyczc = -97 cm4
0
o
y1
u
y
证明：设通过截面 O 点的y、z 轴为主轴，u、v 为另一对 主轴，其中o不是 /2 的整数倍，由转轴公式：
I uv
Iy
Iz 2
sin 20
I yz cos 20
0
而：I yz 0 sin 20 0 I y Iz
从而：
I y1z1
Iy
2
Iz
sin
2
I yz
cos 2
0
故过Ｏ点的任何一对正 交轴都是主轴，定理得证。
组合截面计算
钢铝组合截面杆件的设计闭思廉李硕龚沁华深圳中航幕墙工程有限公司深圳市皇城广场1804室 518045摘要钢铝组合截面是工程中经常应用的一种截面形式。
本文对钢铝组合截面的截面特性计算以及截面验算进行简略的介绍。
关键词钢铝组合截面，钢铝叠合截面一．引言在幕墙支承结构和铝合金门窗骨架设计中，为了节省铝合金用量、降低成本，往往采用钢、铝组合截面的杆件，外露部分采用铝合金型材，隐蔽部分亦即主要受力部分采用钢型材，这样，即达到了外表美观靓丽、截面小巧而承载能力高、造价又低廉的目的。
另外，在幕墙加固工程中，钢铝组合截面也时有应用。
钢、铝组合截面的形式，一般常用的不外乎如图 1所示的两种。
其中 a所示的是将钢型材川入铝合金型材的腔内；而 b所示是钢、铝合金型材并列，二者截面一般有一个共同的对称轴。
钢、铝型材的组合方式，又可分为叠合式和组合式两种。
所谓叠合式，即钢、铝型材之间不加连接，仅仅从构造上能保证二者同时受力即可；而组合式和叠合式不同，它是在钢、铝型材之间用物理的或化学的方法将二者紧密相连的组合形式。
由于这两种截面的组合方式不同，所以在受力后的表现也不同，设计计算方法也完全不同，下面分别予以介绍。
图 1二．叠合式截面杆件的设计如图 2所示叠合式截面杆，当其在横向力作用下受弯时，杆件将发生弯曲变形。
由于钢、铝型材之间不加连接，因此，在二者接触面间无任何约束（忽略摩擦），当杆件发生弯曲变形时，在接触面间，二者会产生相互错动，受荷前在同一竖向截面内的abcd亦不在同一截面了，可见，此时的受弯杆件，已不符合“平截面的假定”条件，因此，二者已不能按一体进行计算了。
考虑到钢、铝型材受荷后，截面未脱开，二者有着共同的边界约束条件，在正常受力情况下，变形在弹性范围内，因此二者各自沿自身截面中和轴产生挠曲，且，二者产生的挠度相等。
所以：g l q q = gxg lx l I E I E 亦即，二者分配的荷载与其刚度成正比，于是有： q l =gxg lx l lxl I E I E I E q+；q g =gx g lx l gx g I E I E I E q +若以内力的形式来表达，亦可写成如下的形式： M l =gxg lx l lxl I E I E I E M+；M g =gx g lx l gx g I E I E I E M +N l =gg l l ll A E A E A E N+；N g =g g l l g g A E A E A E N +其中：M ， N-----总弯矩，总轴力M l ，N l -----铝合金型材分配的弯矩，轴力 M g ，N g -----钢型材分配的弯矩，轴力A l ，A g -----铝合金型材截面面积，钢型材截面面积 据此即可对叠合式截面杆件进行设计了。
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Harbin Institute of Technology材料力学电算大作业课程名称：材料力学设计题目：组合截面几何性质计算作者院系：作者班级：作者姓名：作者学号：指导教师：完成时间：一、软件主要功能X4，X5，X6分别是n1个圆形截面，n2个圆环形截面，n3个矩形截面的形心位置X与面积的乘积Y4，Y5，Y6分别是n1个圆形截面，n2个圆环形截面，n3个矩形截面的形心位置Y与面积的乘积Xc,Yc是总截面的形心坐标Ix1,Ix2,Ix3分别是n1个圆形截面，n2个圆环形截面，n3个矩形截面对通过形心且与x轴平行的轴的惯性矩Iy1,Iy2,Iy3分别是n1个圆形截面，n2个圆环形截面，n3个矩形截面对通过形心且与y轴平行的轴的惯性矩Ixy1,Ixy2,Ixy3分别是n1个圆形截面，n2个圆环形截面，n3个矩形截面对通过形心且与x,y轴平行的两轴的惯性积a是通过形心的主轴与x轴的夹角Imax,Imin分别是截面对形心主轴的主惯性矩软件截图：二、程序源代码Dim n1 As DoubleDim d1(10) As DoubleDim X1(10) As DoubleDim Y1(10) As DoubleDim n2 As DoubleDim d2(10) As DoubleDim d3(10) As DoubleDim X2(10) As DoubleDim Y2(10) As DoubleDim n3 As DoubleDim h(10) As DoubleDim d(10) As DoubleDim X3(10) As DoubleDim Y3(10) As DoubleDim S1 As Double, S2 As Double, S3 As DoubleDim X4 As Double, Y4 As Double, X5 As Double, Y5 As Double, X6 As Double, Y6 As DoubleDim Xc As Double, Yc As DoubleDim Ix1 As Double, Iy1 As Double, Ix2 As Double, Iy2 As Double, Ix3 As Double, Iy3 As Double, Imax As Double, Imin As DoubleDim Ixy1 As Double, Ixy2 As Double, Ixy3 As DoubleDim a As DoublePrivate Sub Text1_Change()n1 = Val(Text1.Text)For i = 1 To n1d1(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个圆的直径"))X1(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个圆的圆心的x坐标值")) Y1(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个圆的圆心的y坐标值")) Next iFor i = 1 To n1S1 = S1 + 3.14159 * d1(i) * d1(i) / 4X4 = X4 + X1(i) * 3.14159 * d1(i) * d1(i) / 4Y4 = Y4 + Y1(i) * 3.14159 * d1(i) * d1(i) / 4Next iEnd SubPrivate Sub Text2_Change()n2 = Val(Text2.Text)For i = 1 To n2d2(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个圆环的外径"))d3(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个圆环的内径"))X2(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个圆的圆心的x坐标值")) Y2(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个圆的圆心的y坐标值")) Next iFor i = 1 To n2S2 = S2 + 3.14159 * (d2(i) * d2(i) - d3(i) * d3(i)) / 4X5 = X5 + X2(i) * 3.14159 * (d2(i) * d2(i) - d3(i) * d3(i)) / 4Y5 = Y5 + Y2(i) * 3.14159 * (d2(i) * d2(i) - d3(i) * d3(i)) / 4Next iEnd SubPrivate Sub Text3_Change()n3 = Val(Text3.Text)For i = 1 To n3h(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个矩形的高"))d(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个矩形的宽"))X3(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个矩形形心的x坐标值")) Y3(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个矩形形心的y坐标值")) Next iFor i = 1 To n3S3 = S3 + h(i) * d(i)X6 = X6 + X3(i) * h(i) * d(i)Y6 = Y6 + Y3(i) * h(i) * d(i)Next iEnd SubPrivate Sub Command1_Click()Xc = (X4 + X5 + X6) / (S1 + S2 + S3)Yc = (Y4 + Y5 + Y6) / (S1 + S2 + S3)Text4 = XcText5 = YcEnd SubPrivate Sub Command2_Click()Picture1.BackColor = vbWhitePicture1.Scale (-Max - 10, Max + 10)-(Max + 10, -Max - 10)Picture1.Line (0, Max + 10)-(0, -Max - 10)Picture1.Line (Max + 10, 0)-(-Max - 10, 0)Picture1.FillStyle = 0For i = 1 To n1 Step 1Picture1.FillColor = vbBluePicture1.Circle (X1(i), Y1(i)), d1(i) / 2, vbRedNext iFor i = 1 To n2 Step 1Picture1.FillColor = vbGreenPicture1.Circle (X2(i), Y2(i)), d2(i) / 2, vbRedPicture1.FillColor = vbWhitePicture1.Circle (X2(i), Y2(i)), d3(i) / 2, vbRedNext iFor i = 1 To n3 Step 1Picture1.FillColor = vbRedPicture1.Line (X3(i) - d(i) / 2, Y3(i) - h(i) / 2)-(X3(i) + d(i) / 2, Y3(i) + h(i) / 2), vbRed, BFNext iEnd SubPrivate Sub Command3_Click()For i = 1 To n1Ix1 = Ix1 + 3.14159 * d1(i) * d1(i) * d1(i) * d1(i) / 64 + (Y1(i) -Yc) * (Y1(i) - Yc) * 3.14159 * d1(i) * d1(i) / 4Iy1 = Iy1 + 3.14159 * d1(i) * d1(i) * d1(i) * d1(i) / 64 + (X1(i) - Xc) * (X1(i) - Xc) * 3.14159 * d1(i) * d1(i) / 4Ixy1 = Ixy1 + (X1(i) - Xc) * (Y1(i) - Yc) * 3.14159 * d1(i) * d1(i) / 4Next iFor i = 1 To n2Ix2 = Ix2 + 3.14159 * (d2(i) * d2(i) * d2(i) * d2(i) - d3(i) * d3(i) * d3(i) * d3(i)) / 64 + (Y2(i) - Yc) * (Y2(i) - Yc) * 3.14159 * (d2(i) * d2(i) - d3(i) * d3(i)) / 4Iy2 = Iy2 + 3.14159 * (d2(i) * d2(i) * d2(i) * d2(i) - d3(i) * d3(i) * d3(i) * d3(i)) / 64 + (X2(i) - Xc) * (X2(i) - Xc) * 3.14159 * (d2(i) * d2(i) - d3(i) * d3(i)) / 4Ixy2 = Ixy2 + (X2(i) - Xc) * (Y2(i) - Yc) * 3.14159 * (d2(i) * d2(i) - d3(i) * d3(i)) / 4Next iFor i = 1 To n3Ix3 = Ix3 + h(i) * h(i) * h(i) * d(i) / 12 + (Y3(i) - Yc) * (Y3(i) - Yc) * h(i) * d(i)Iy3 = Iy3 + d(i) * d(i) * d(i) * h(i) / 12 + (X3(i) - Xc) * (X3(i) - Xc) * h(i) * d(i)Ixy3 = Ixy3 + (X3(i) - Xc) * (Y3(i) - Yc) * h(i) * d(i)Next iImax = (Ix1 + Ix2 + Ix3 + Iy1 + Iy2 + Iy3) / 2 + Sqr((Ix1 + Ix2 + Ix3 - Iy1 - Iy2 - Iy3) * (Ix1 + Ix2 + Ix3 - Iy1 - Iy2 - Iy3) / 4 + (Ixy1 + Ixy2 + Ixy3) * (Ixy1 + Ixy2 + Ixy3))Imin = (Ix1 + Ix2 + Ix3 + Iy1 + Iy2 + Iy3) / 2 - Sqr((Ix1 + Ix2 + Ix3 - Iy1 - Iy2 - Iy3) * (Ix1 + Ix2 + Ix3 - Iy1 - Iy2 - Iy3) / 4 + (Ixy1 + Ixy2 + Ixy3) * (Ixy1 + Ixy2 + Ixy3))Text6 = ImaxText7 = IminIf Ix <> Iy Thena = Math.Atn(-2 * (Ixy1 + Ixy2 + Ixy3) / (Ix1 + Ix2 + Ix3 - Iy1 - Iy2 - Iy3)) / 2Picture1.Line (Xc, Yc)-(Xc + 20, Yc + 20 * Tan(a)), vbGreenPicture1.Line (Xc, Yc)-(Xc - 20 * Tan(a), Yc + 20), vbGreenElsePicture1.Line (Xc, Yc)-(Xc, Yc + 20), vbGreenPicture1.Line (Xc, Yc)-(Xc + 20, Yc), vbGreenEnd IfEnd Sub程序见/share/link?shareid=734076929&uk=100682977 三、例题的计算结果数据已知一工字型钢如图所示上下两矩形一样，宽是1，高是0.4，中间的矩形宽是0.4，高是2 求形心及主惯性矩解：Xc=0.5 Yc=1.4Ix1= 0.58 Iy1=0.0333Ix2= 0.267 Iy2=0.0107Ix3= 0.58 Iy3=0.0333Ixy1= Ixy2= Ixy3=0夹角a=0°Ix总= Ix1+ Ix2+ Ix3=1.427Iy总= Iy1+ Iy2+ Iy3=0.0773Imax=1.427Imin=0.0773计算结果如图：。