矩形截面—截面几何性质计算
附录 截面几何性质(1)
代入公式
xdA
ydA
xC
A
A
,
yC
A
A
，可得到截面的形心坐标与静矩间的
关系为
Sx AyC , S y AxC
若已知截面的静矩，则可由上式确定截面形心的位置；反之，
若已知截面形心位置，则可由上式求得截面的静矩。
由上式可以看出，若截面对某轴（例如x轴）的静矩为零 （Sx=0），则该轴一定通过此截面的形心（yC=0）。通过截面形心 的轴称为截面的形心轴。反之，截面对其形心轴的静矩一定为零。
截面形心C的坐标为
xC
A1xC1 A2 xC2 A1 A2
105000 175－ 22500 105000－22500
300
mm
140.9mm
yC
A1 yC1 A2 yC2 A1 A2
105000 150－ 22500 105000－22500
200
mm
136.4mm
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心 解法二。
将截面看作由大矩形减去三角 形组成的组合截面，被减去部分的 面积应取负值，这种方法称为负面 积法。矩形和三角形的面积及形心 C1、C2的坐标分别为
矩形 A1=105000mm2， xC1=175mm， yC1=150mm
三角形 A2=－22500mm2， xC2=300mm， yC2=200mm
分别用Sx和Sy表示，即
Sx
A ydA , Sy
xdA
A
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心
由定义知，静矩与所选坐标轴的位置有关，同一截面对不同坐 标轴有不同的静矩。静矩是一个代数量，其值可为正、为负、或为 零。静矩的单位为mm3或m3。
材料力学 截面的几何性质
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
常用截面几何性质计算公式JX
常用截面几何性质计算公式JX1.矩形截面：矩形截面是一种常见的结构截面形式。
假设矩形截面宽度为b，高度为h，则其面积可以通过以下公式计算：A=b*h质心位置可以通过以下公式计算：x=b/2y=h/2惯性矩可以通过以下公式计算：Ix=(b*h^3)/12Iy=(h*b^3)/12截面模数可以通过以下公式计算：Wx=(b*h^2)/6Wy=(h*b^2)/62.圆形截面：圆形截面是另一种常见的结构截面形式。
假设圆形截面的半径为r，则其面积可以通过以下公式计算：A=π*r^2质心位置在圆心上，即x=0，y=0。
惯性矩可以通过以下公式计算：Ix=(π*r^4)/4Iy=(π*r^4)/4截面模数可以通过以下公式计算：Wx=(π*r^3)/4Wy=(π*r^3)/43.等边三角形截面：等边三角形截面是一个等边三角形形状的结构截面。
假设等边三角形截面的边长为a，则其面积可以通过以下公式计算：A = (sqrt(3) * a^2) / 4质心位置可以通过以下公式计算：x=a/2y = (sqrt(3) * a) / 6惯性矩可以通过以下公式计算：Ix = (a^4 * sqrt(3)) / 48Iy=(a^4)/48截面模数可以通过以下公式计算：Wx = (a^3 * sqrt(3)) / 12Wy=(a^3)/12以上是常见的几种截面几何性质的计算公式，通过这些公式可以方便地计算结构截面的重要性质，为结构设计和分析提供参考。
在实际应用中，还需要根据具体的截面形状和尺寸选择相应的公式进行计算。
截面惯性矩计算公式
截面惯性矩计算公式截面的惯性矩是描述截面承受扭矩作用时的抗扭强度的重要参数。
在工程中，常常需要计算截面的惯性矩，用以评估截面的抗扭能力和设计结构的安全性。
本文将介绍两种常见的截面惯性矩计算公式，即矩形截面的惯性矩和圆形截面的惯性矩。
首先，我们来看矩形截面的惯性矩计算公式。
假设截面的宽度为b，高度为h。
根据几何性质可知，矩形截面的惯性矩由以下公式计算：Ix=(b*h^3)/12其中，Ix为截面绕x轴的惯性矩。
同样地，如果需要计算绕y轴的惯性矩Iy，公式将变为：Iy=(h*b^3)/12上述公式说明了矩形截面惯性矩与截面的长宽比有很大关系。
当截面为正方形时，长宽比为1，此时截面的主惯性矩I1和次惯性矩I2相等，即I1=I2=(b*h^3)/12、当长宽比不为1时，主次惯性矩产生差异，通常情况下，次惯性矩较大。
接下来，我们来看圆形截面的惯性矩计算公式。
假设截面的半径为r。
根据几何性质可知，圆形截面的惯性矩由以下公式计算：I=(π*r^4)/4其中，I为截面的惯性矩。
需要注意的是，圆形截面的惯性矩与其半径的四次方成正比，而与截面厚度无关。
需要指出的是，以上公式仅适用于矩形和圆形截面。
对于其他形状的截面，如梯形、T形、L形等，计算其惯性矩则需要根据具体的几何形状来进行推导和计算。
通常情况下，可以利用积分方法或使用计算机辅助设计软件进行计算。
此外，在复杂的工程问题中，还可利用有限元分析等数值方法进行截面惯性矩的计算。
总之，截面惯性矩是评估截面抗扭能力的重要参数。
本文介绍了矩形和圆形截面惯性矩的计算公式，并提醒读者在计算其他形状的截面惯性矩时需根据具体几何形状进行相应的推导和计算。
截面的几何性质截面的几何性质
分别为图形对于z 轴和y 轴的静矩。
3
平面图形的静矩
S z = ∫A ydA
S y = ∫ A zd A
• 静矩与截面面积大小及坐标设置有关； • 静矩可正、可负、可为零； • 静矩的单位为m3或 mm3。
4
平面图形的形心Leabharlann • 平面图形的形心 — 平面图形几何形状的中心。 • 通过截面形心的坐标轴称为形心轴 。
设图形的形心C坐标为(zC , yC)， 由均质等厚薄片重心坐标公式： A yC = ∫A ydA = S z
A z C = ∫ A zd A = S y Sy S yC = z , z C = A A
• 截面对形心轴的静矩必为零；反之，若截面对
某轴的静矩等于零，则该轴必为形心轴。
5
平面图形的静矩和形心
h 1 h * = b − y1 + y1 S z = A* yC 2 2 2 b 2 = ( h2 − 4 y1 ) 8
7
h 2
组合图形的静矩和形心位置 • 组合图形 — 由几个简单图形（如矩形、圆形
或三角形等规则图形）组成的图形。
zC =
8
∑ Ai zC i ∑ Ai
截面的几何性质 • 平面图形的静矩和形心 • 平面图形的惯性矩、惯性积和惯性半径 • 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 • 惯性矩和惯性积的转轴公式 • 主惯性轴和主惯性矩
9
平面图形的极惯性矩和惯性矩 • 定义
I z = ∫A y 2dA
I y = ∫ A z 2 dA
• 组合图形对某一对正交轴的惯性积等于各组成
部分对同一对正交轴的惯性积之和。
I yz = ∑ ( I yz ) i
建筑力学第七章 截面的几何性质
第七章平面图形的几何性质研究截面几何性质的意义从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A、极惯性矩I P、抗扭截面系数W P等一些几何量密切相关。
因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。
另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。
第一节 静矩一、静距的概念Ay S z d d =Az S y d d =⎰⎰⎰⎰====AAy y AAz z Az S S A y S S d d d d zy d A yz静距是面积与它到轴的距离之积。
平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。
静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。
它常用单位是m 3或mm 3。
形心d A zyy zCx Cy ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅∆∑=⋅∆∑=A y A y Az A z C C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A ydA y A zdA z AC A C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S y A S z z C y C ⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S 平面图形对z 轴（或y 轴）的静矩，等于该图形面积A 与其形心坐标y C （或z C ）的乘积。
当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。
如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。
⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S二、组合图形的静矩根据平面图形静矩的定义，组合图形对z 轴（或y 轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+++==+++=∑∑==ni Ci i Cn n C C y ni Ci i Cn n C C z z A z A z A z A S y A y A y A y A S 1221112211 式中 y Ci 、z Ci 及A i 分别为各简单图形的形心坐标和面积;n 为组成组合图形的简单图形的个数。
截面几何性质计算
截面几何性质计算计算过上部的人都知道，在计算横向力分布系数和冲击系数的时候都需要计算截面的抗弯惯距和抗扭惯距，下面就介绍几种方法来计算抗弯惯距和抗扭惯距（本教程拿30米简支转连续箱梁截面做样例）：一、在AUTOCAD中有一个命令massprop可以计算截面的面积、周长、质心、惯性矩操作简介：1、首先在CAD中画出如下图的图形；2、用region命令将图形转化成内外两个区域；3、用subtract命令求内外区域的差集；4、用move命令将图形移动至（0，0，0），用scale命令将图形单位调整为米；5、用massprop命令计算截面性质（可惜这个命令不能计算抗扭惯距）Command: mas MASSPROPSelect objects: 1 foundSelect objects:---------------- REGIONS ----------------Area（面积）: 1.2739Perimeter（周长）: 13.7034Bounding box（边缘）: X: -1.7000 -- 1.7000Y: 0.0000 -- 1.6000Centroid（质心）: X: 0.0000Y: 1.0458Moments of inertia: X: 1.7883Y: 0.7922Product of inertia: XY: 0.0000Radii of gyration: X: 1.1848Y: 0.7886Principal moments and X-Y directions about centroid:I: 0.3950 along [1.0000 0.0000]这就是惯距J: 0.7922 along [0.0000 1.0000]2008-6-6 23:10结果.jpg(132.71 KB)2008-6-6 23:00第二种方法：采用桥博计算截面惯距操作简介：本人使用的是桥博3.03，大家可以新建一个项目组，在新建项目上右键选择截面设计，选择C:\Program Files\TongHao\DoctorBridge30\EXAMPLES\Tool\DbDebug2.sds,当前任务类型选择截面几何特征，在截面描述中清除当前截面（包括附加截面还有主截面里面的钢筋），选择“斜腹板单箱单室”（大家在可根据自己计算的截面选择相应的截面，如果桥博内置的截面没有的话，可以选用从CAD中导入，ＣＡＤ导入将在后面的教程中介绍）输入截面相应的数据（附图）输出结果附后<<桥梁博士>>---截面设计系统输出文档文件: C:\Program Files\TongHao\DoctorBridge30\EXAMPLES\Tool\DbDebug2.sds文档描述: 桥梁博士截面设计调试任务标识:任务类型: 截面几何特征计算------------------------------------------------------------截面高度: 1.6 m------------------------------------------------------------计算结果:基准材料: 中交85混凝土:50号混凝土基准弹性模量: 3.5e+04 MPa换算面积: 1.27 m**2换算惯矩: 0.396 m**4中性轴高度: 1.04 m沿截面高度方向5 点换算静矩(自上而下):主截面:点号: 高度(m): 静矩(m**3):1 1.6 0.02 1.2 0.3143 0.8 0.3074 0.4 0.2435 0.0 0.0------------------------------------------------------------计算成功完成未完待续[本帖最后由gexiin 于2008-6-14 22:48 编辑]附件输入数据.jpg(153.31 KB)2008-6-6 23:31第三种方法：采用midas/SPC计算截面性质，也是编者向大家推荐采用的方法！！他不仅可以计算抗弯惯距而且可以计算抗扭惯距！！操作简介：1、首先需要大家把画好的截面存成dxf文件格式（需要把截面的内外区域放到一个图层里，截面单位与刚进SPC里选用的单位统一，本教程选用的单位为米，坐标系为大地坐标系）2、在File菜单中选择import/AUTOCAD DXF,然后选择文件，这时候大家就可以看到你画的截面就被导入SPC中了；3、选择model菜单中Section/Generate,用鼠标框选截面（被选择后线型变成红色）；4、这一步最关键，在apply正上方，有一个Caculate Properties Now复选框，勾选他，然后选择Aplly；5、选择Property菜单中的Display可以查阅Asx和Asy（抗剪面积）、Ixx和Iyy（这两项是抗弯惯距）、Ixy、J（抗扭惯距）。
截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴公式
1
HOHAI UNIVERSITY
2
HOHAI UNIVERSITY
例1 求如图矩形Sz和Sy
解：Sz
ydA
A
ah
ybdy
a
bh(a h) 2
A yC
同样地
Sy
bh(d
b) 2
A
zC
z b/2 b/2 a
y h/2
h/2
dy
y
d
3
HOHAI UNIVERSITY
解： A1 15050mm 2 A2 18050mm 2
150
A3 250 50mm 2
50
C1
yC1 255mm yC2 140mm
5c0
C2
yC3 25mm zC1 zC2 zC3 0
50
C3
z
yC
A1
yC1 A2 yC2 A1 A2 A3
A3
yC 3
250
y
15050 255 18050140 25050 25 mm 15050 18050 25050
i=1
同理
n
Iz =∑ Izi
i=1
n
Iyz =∑ Iyzi
i=1
12
HOHAI UNIVERSITY
例5 图示矩形中，挖去两个直径为d 的圆形，求余下 图形对z轴的惯性矩。
b/2 b/2
z
Iz
1 bh3 12
5 d 4
32y13HOHAI UNIVERSITY
14
HOHAI UNIVERSITY
作业题 求图示工字形截面对z轴的惯性矩。
b d
z
15
截面的几何性质
附录Ⅰ 截面的几何性质§I −1 截面的静矩和形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z S A y S A y Az d d （I −1） 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。
由静力学中确定物体重心的公式可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A A z z A A y y AC ACd d利用公式（I −1），上式可写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A S A A z z A S A Ay y y AC z AC d d （I −2） 或⎭⎬⎫==C y C z Az S Ay S （I −3）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S z A S y y C z C （I −4）如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。
即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11（I −5）式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。
将式（I −5）代入式（I −4），得到组合图形形心坐标的计算公式为图I −1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====n i i ni ci i c ni i ni ci i c A z A z A y A y 1111（I −6） 例题I −1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。
解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。
因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ=0.08m 2 y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m m323.008.0072.02.008.046.0072.0III IIII I I 11=+⨯+⨯=++==∑∑==A A y A y A AyA y ni ini cii c§I −2 惯性矩、惯性积和极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
《工程力学》课件第6章 截面图形的几何性质
Ip
r2dA A
D 2
r2
2
rdr
D4
0
32
Ip Iy Iz
Iy
பைடு நூலகம்
Iz
Ip 2
D4
64
四、组合截面的惯性矩与惯性积
z
I
例如工字型截面 A AI AII AIII
II
y
III
Iy
z 2 dA
A
z2dA z2dA z2dA
AI
AII
AIII
m
I yI I yII I yIII I yi
包括：形心、静矩、极惯性矩、惯性矩、惯性半径、惯 性积、主轴和形心主轴、主矩和形心主矩等
6.1 静矩和形心
一、静矩
截面对z轴的静矩
z
Sz
ydA
A
截面对y轴的静矩
y
dA
A
z
Sy
zdA
A
o
单位： m3
y
静矩的数值可大于零、等于零或小于零。
二、形心
如图所示均质薄板，重心与形心C重合，
由静力学可知形心坐标在yoz：
何关系， y R sin , dy R cosd ,
dA 2R cosdy 2R2 cos2 d
Sz
A
（2）形心
ydA yC
2 0
Sz A
R sin 2R2 cos2 d
2 R3 3
4R
1 R2 3
zC
2 3
0
R3
2
三、组合截面的静矩和形心 z
D d
y
整个图形对某一轴的静矩等于各个分图形对同一轴的静矩之和。
z1
y1 z
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