第一章----波动方程
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数学物理方程第二版答案
的通解可以写成
u
F x at Gx at hx
其中 F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:
t 0 : u x ,
解：令 h x u v 则
u x . t
v h x u u v , h x 2 u h x u x x x x
( ESu x ) x
利用微分中值定理，消去 x ，再令 x 0 得
若 s( x) 常量，则得
( x)
即得所证。
2u u = ( E ( x) ) 2 x x t
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由， (3)端点固定在弹性支承上，试 分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
2u u g [(l x) ] 。 2 x x t
5. 验证
u ( x, y , t )
1 t x y
2 2 2
在锥 t x y >0 中都满足波动方程
2 2 2
2u 2u 2u 1 2 2 2 在锥 t x y >0 内对变量 2 2 证：函数 u ( x, y, t ) 2 2 2 2 t x y t x y
t有
G(x+at) 常数.
即对任何 x, G(x) C 0 又 G（x）=
1 1 x C ( x) ( )d 2 2a x0 2a
所以 ( x), ( x) 应满足
( x)
或
1 x ( )d C1 （常数） a x0 1 ' (x)+ ( x) =0 a
( x) (1 ) 2
若 E ( x) E 为常量，则得
第一章 三类典型方程和定解条件
a 其中，ij (x), bi (x), c x , f (x)都只是 x1 , x2, , xm 的已知 函数，与未知函数无关。
若一个函数具有某偏微分方程中所需 要的各阶连续偏导数，并且代入该方程中 能使它变成恒等式，则此函数称为该方程 的解（古典解）。 初始条件和边界条件都称为定解条件。 把某个偏微分方程和相应的定解条件 结合在一起，就构成了一个定解问题。 只有初始条件，没有边界条件的定解问题 称为始值问题（或柯西问题）。反之，只 有边界条件，没有初始条件的定解问题称 为边值问题。既有初始条件又有边界条件 的定解问题，称为混合问题。
数学物理方程
第一章 三类典型方程和定解条件 第二章 分离变量法 第三章 Laplace方程的格林函数法
第四章 贝塞尔函数及勒让德多项式
第一章 三类典型方程和定解条件
数学物理方程的研究对象——定解问题。 一个定解问题是由偏微分方程和相应的定解 条件组成。我们先来介绍三类典型的方程：
三类典型方程
一、波动方程 二、热传导方程
用以说明初始状态的条件称为初始条件。 用以说明边界上的约束情况的条件称为边 界条件。
一、初始条件
比如说波动方程（1.3）其初始条件有两 个，一个是参数u，一个是u的一阶导数。 即： u u t 0 及 都已知。 t
t 0
而热传导方程（1.7）其初始条件只有一 个，就是参数u。即：
Байду номын сангаасu t 0 是已知。
一个定解问题提的是否符合实际情况，从 数学角度来看，有三方面可以加以检验：
1、解的存在性，看定解问题是否有解。
2、解的唯一性，看是否只有一个解。
3、解的稳定性，看当定解条件有微小
变动时，解是否相应地只有微小的变 动，若确实如此，则称此解是稳定的。
大学物理_波动方程
《大学物理》 4、波动方程的几点讨论：
I、波沿x轴负向传播时，波动方程为：
yAco2s(Tt x)
y
II、波动方程中，x取固定值则得
到振动方程。
0
t
y0Aco2s(Tt x0)
y
u
III、波动方程中，t取固定值则
得到波形方程。
yAco2s(T t0x)
0
x
《大学物理》
例2 频率为12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，棒的杨氏模量为
0.1 10 3 cos( 25 10 3 t ) m 2
可见此点的振动相位比原点落后，相位差为
2
， 或 落 后 1 T ， 即 2 10 5 s 。 4
( 4 ) 该 两 点 间 的 距 离 x 10 cm 0.10m
1 ，相应的相位差为 4
2
(5 ) t= 0 .0 0 2 1 s 时 的 波 形 为
1 0
2
根据已知条件,初相为:
x
2
y 1 co (t sx )[ /2 ]
《大学物理》
(2)按题设条件,t=1s时的波形方程为:
y1cos(1[x)/2]
y
u
sinx
1
(3)按题设条件,x=0.5m处的质点02 Nhomakorabeax
振动方程为:
y1cos(t[0.5)/2] cost()
《大学物理》
例题4 在x=0处有一个波源,振动初相为0,向x轴正向发出谐 波,波长为4m,振幅为0.01m,频率为50赫兹.现在x=10m处有 一个反射装置，将波反射.试求，反射波的波动方程.
解 棒中的波速
u Y 1.9 1011 N m2 5.0 103 m/s
偏微分方程讲义
G(x) = φ(x/2) − F (0), F (0) + G(0) = φ(0) = ψ (0). ( ) ( ) x − at x + at ⇒ u(x, t) = ψ +φ − φ(0). 2 2
例 2.4 对非齐次波动方程的初值问题 (2.5)、(2.6), 证明: 当 f (x, t) 不变时, (1) 如果初始条件在 x 轴的区间 [x1 , x2 ] 上发生变化, 那么对应的解在区间 [x1 , x2 ] 的影响区域外不发生变化; (2) 在 x 轴区间 [x1 , x2 ] 上所给的初始条件唯一确定区间 [x1 , x2 ] 的决定区域中解的 数值. 解: 弄清影响区域、决定区域的定义. 例 2.5 求解 utt − a2 uxx = 0, x > 0, t > 0, u|t=0 = φ(x), ut |t=0 = 0, ux − kut |x=0 = 0,
其中 k 为正常数. 齐海涛 htqi2008@ 4
山东大学威海分校
2
达朗贝尔公式、波的传播
解: 波动方程的通解为 u = F (x − at) + G(x + at), 由初始条件得 F (x) + G(x) = φ(x), −aF ′ (x) + aG′ (x) = 0
1 C 1 C F (x) − G(x) = C, F (x) = φ(x) + , G(x) = φ(x) − , 2 2 2 2
1 其中 C = F (0) − G(0). 由于 x + at ≥ 0, G(x + at) = 2 φ(x + at) − C 2 . 当 x − at ≥ 0 1 C 1 时, F (x − at) = 2 φ(x − at) + 2 . 此时 u(x, t) = 2 [φ(x + at) + φ(x − at)]. 当 x − at < 0 时, 由边界条件知
第一章_波动方程
u ( 3) 2 x 0 y x 2u 2u 2u ( 4) 2 2 2 sin x xy y x
( 5)
2u x
2
2
3u x y
假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则 弦段(x, x+Δx)上的外力为：
x x
x
F ( x ,t) dx
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：
t x
t t x x
F ( x , t ) dx dt
数学物理方程
第一章 波动方程
于是有：
2 2 u ( x , t ) u ( x , t ) [ 2 T F ( x , t )] dx dt 0 2 t x t x t t x x
u T x
x a
k u x a
或
u u 0 x xa
数学物理方程
第一章 波动方程
§1.2 定解条件
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边
界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即
个性。 初始条件：够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束 情况的条件。 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。
y
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'
T
M
gds
x x dx x
数学物理方程
大学物理-波动方程
感谢观看
通过将波动方程中的空间和时间变量分离，简化求解过程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，便于分析波的频率 和振幅。
数值解法
对于复杂边界条件和初始条件，采用数值方法求解波动方程。
三维波动方程的应用
声波传播
研究声波在介质中的传播规律，如声呐、超声成像等。
光学研究
解释光波在介质中的传播规律，如折射、干涉、衍射等现象。
波动方程在声学中的应用
声波传播规律
波动方程可以用来描述 声波在空气、固体等介 质中的传播规律，如声 速、声压、声强等。
声学仪器设计
在声学仪器设计中，如 超声波探伤仪、声呐等， 需要利用波动方程来计 算和优化仪器的性能。
声音信号处理
在声音信号处理中，如 音频压缩、降噪等，可 以利用波动方程对声音 信号进行分析和变换。
数值解法
对于一些复杂的问题，可以通过 数值计算方法求解二维波动方程， 如有限差分法、有限元法等。
二维波动方程的应用
声波传播
在声学领域，二维波动方程可以用来描述声波在 固体、液体或气体中的传播规律。
地震波传播
在地球物理学中，二维波动方程可以用来模拟地 震波在地壳中的传播和散射。
电磁波传播
在电磁学领域，二维波动方程可以用来描述电磁 波在介质中的传播特性。
物理背景
波动方程基于物理原理，如牛顿第二定律和弹性力学 等，用于描述波在空间中的传播和变化。
建立过程
通过将物理原理和数学方法相结合，可以建立二维波 动方程的数学表达式。
二维波动方程的解法
分离变量法
通过将二维波动方程中的空间和 时间变量分离，将问题简化为求 解一系列一维方程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时间和空间域 的函数转换为频率域的函数，从 而简化求解过程。
通过将波动方程中的空间和时间变量分离，简化求解过程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，便于分析波的频率 和振幅。
数值解法
对于复杂边界条件和初始条件，采用数值方法求解波动方程。
三维波动方程的应用
声波传播
研究声波在介质中的传播规律，如声呐、超声成像等。
光学研究
解释光波在介质中的传播规律，如折射、干涉、衍射等现象。
波动方程在声学中的应用
声波传播规律
波动方程可以用来描述 声波在空气、固体等介 质中的传播规律，如声 速、声压、声强等。
声学仪器设计
在声学仪器设计中，如 超声波探伤仪、声呐等， 需要利用波动方程来计 算和优化仪器的性能。
声音信号处理
在声音信号处理中，如 音频压缩、降噪等，可 以利用波动方程对声音 信号进行分析和变换。
数值解法
对于一些复杂的问题，可以通过 数值计算方法求解二维波动方程， 如有限差分法、有限元法等。
二维波动方程的应用
声波传播
在声学领域，二维波动方程可以用来描述声波在 固体、液体或气体中的传播规律。
地震波传播
在地球物理学中，二维波动方程可以用来模拟地 震波在地壳中的传播和散射。
电磁波传播
在电磁学领域，二维波动方程可以用来描述电磁 波在介质中的传播特性。
物理背景
波动方程基于物理原理，如牛顿第二定律和弹性力学 等，用于描述波在空间中的传播和变化。
建立过程
通过将物理原理和数学方法相结合，可以建立二维波 动方程的数学表达式。
二维波动方程的解法
分离变量法
通过将二维波动方程中的空间和 时间变量分离，将问题简化为求 解一系列一维方程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时间和空间域 的函数转换为频率域的函数，从 而简化求解过程。
数学物理方程Ch1
-1-
1.2 习题选讲
其中x∗ ∈ (x, x + ∆x).约去∆x并令∆x → 0,即得 ∂ ∂u ∂ ρ (x) S (x) = ∂t ∂t ∂x 当S (x)为常数时，即为
∂ ∂t ρ (x) ∂u ∂t = ∂ ∂x E ∂u ∂x ,
E (x) S (x)
∂u ∂x
2. 在杆纵向振动时,假设(1)端点固定,(2)端点自由,(3)端点固定在弹性支承上,试分别导出这三种 情况下所对应的边界条件.
-3-
1.2 习题选讲
因此, 根据达朗贝尔公式, v (x, t)的通解可写为 v (x, t) = F (x − at) + G(x + at),从而 F (x − at) + G(x + at) u(x, t) = h−x
(2) 根据上述变换, v (x, t)所满足的初始条件为 t = 0 : v = (h − x)ϕ(x), ∂v = (h − x)ψ (x) ∂t
图 1-2
图示
4. 绝对柔软而均匀的弦线有一端固定,在它自身重力的作用下,此线处于铅垂的平衡位置,试导出 此线的微小横振动方程.
-2-
第一章 波动方程
解: 根据弦的微小横振动方程,有
ρ ∂2u ∂ = 2 ∂t ∂x T (x) ∂u ∂x
其中T (x)为弦的内部张力.在本题中,T (x) = ρg (l − x) ,故有 ∂2u ∂ ∂u =g (l − x) . 2 ∂t ∂x ∂x
1 1 − ak ak u (x, t) = φ (x + at) + φ (at − x) + φ (0) , 2 2 (1 + ak ) 1 + ak 6. 求解初边值问题 utt − uxx = 0, 0 < t < kx, k > 1, u| x 0, t=0 = ϕ0 (x) , ut |t=0 = ϕ1 (x) , x 0, ut |t=kx = ψ (x) , 0 < x < at
第一章----波动方程
总之：
无外力作用的一维弦振动方程：
2u t 2
a2
2u x2
0
外力作用下的弦振动方程：
(1.4)
2u t 2
a2
2u x2
f (x,t)
(1.5)
其中 a2 T , f F , f 称为非齐次项（自由项）。
注：弦振动方程也叫波动方程，因为它描述的是一种 振动或波动现象，后面将给出解释。
1973年布莱克（Black）和休尔斯（Scholes）建立了倒向 微分方程决定欧式期权的无套利价格：
f t
rS
f S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
这里，对买入期权有 f (S,t) |tT max{ST X ,0} ；对卖出期权有
f (S,t) |tT max{X ST ,0} 。其中 r 为无风险利率， S 为股票价格，
一般步骤（从宇宙探星谈起）： 1、将物理问题归结为数学上的定解问题； 2、求解定解问题； 3、对求得的解给出物理解释。
四、偏微分方程的研究内容－适定性的概念
1、存在性 2、唯一性 3、稳定性
如果一个定解问题的解是存在的、 唯一的，而且是稳定的，则称该定 解问题是适定的。
五、微分方程的重要作用
可以说有了微积分，就有了微分方程 （微积分是17世纪为了解决物理、力学、 天体问题而产生的，而这些问题多为数学 物理方程）。
1 (tan )2 dx 1 2 dx dx
（2）弦上各点的张力是常数
由于弦做横振动，弦沿 x 轴无运动，所以合力为零
T1 cos1 T2 cos2 T1 T2 T
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非线性偏微分方程： 不是线性的偏微分方程。
两个自变量的二阶线性偏微分方程一般形式：
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy c u f , (0.1) 如果 f 0, 则称（0.1）为齐次方程；
否则为非齐次方程。
二、偏微分方程的解
三、偏微分方程的研究方法
微分方程在自然现象、军事科技和国 民经济中发挥着重要的作用，现举例如下：
1、导弹动力学弹道方程组
m dv P cos Q mg sin
dt
m d P sin Y mg cos
dt
dx v cos
dt
dy v sin
dt
dm dt
mc
注意：在弹道设计中，
（2）弦是柔软的：弦在离开平衡位置时各点均不 抵抗弯曲，弦的张力方向沿着弦的切线方向；
拉紧：在弹性范围内，满足Hook（胡克）定律。 （3）弦作微小横振动：弦的位置在同一平面内作 微小变化（|ux|<<1）；弦上各点的位移与平衡位 置垂直（位u 移沿u轴方向）。
建立坐 标系：
以弦的平衡位置为 x轴，在弦作振动的平面
1973年布莱克（Black）和休尔斯（Scholes）建立了倒向 微分方程决定欧式期权的无套利价格：
f t
rS
f S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
这里，对买入期权有 f (S,t) |tT max{ST X ,0} ；对卖出期权有
f (S,t) |tT max{X ST ,0} 。其中 r 为无风险利率， S 为股票价格，
上与x轴垂直的方向为 u轴。以 u( x, t )表
示弦上点x 在时刻t 垂直于x 轴方向的位移
对于弦的微小振动，可设倾角（弦上一点的 ,cos 1,tan
在这种假设下，有：
（1）弦的伸长可忽略不计
ds (dx)2 (du)2 1 ( du)2 dx dx
t
x y
y
c2H
其中 h 平均海平面下水深； 海平面相对平均海平面的高度； H h 总水深； u,v 垂直平均流速的 x, y 分量
几乎所有学科：分子扩散过程、激光诱导DNA分子动
力学模型、桥梁工程设计中的力学振动问题、流体力学、 量子力学、生物人口模型、最优控制论等等
练习：
求解下列二阶偏微分方程
uxy 0
复习：
牛顿运动定律、质量守恒定律、
动量守恒定律、热量守恒定律等基本的 物理定律？
冲量、动量等概念？
本学期（数学物理方程）学习的基本内容：
一、三类数理方程（弦振动方程、热传导方程 和调和方程)定解问题的
1、适定性 2、基本求解方法 3、解的性质等 二、二阶线性偏微分方程的分类 注：弦振动方程也叫波动方程
一般步骤（从宇宙探星谈起）： 1、将物理问题归结为数学上的定解问题； 2、求解定解问题； 3、对求得的解给出物理解释。
四、偏微分方程的研究内容－适定性的概念
1、存在性 2、唯一性 3、稳定性
如果一个定解问题的解是存在的、 唯一的，而且是稳定的，则称该定 解问题是适定的。
五、微分方程的重要作用
可以说有了微积分，就有了微分方程 （微积分是17世纪为了解决物理、力学、 天体问题而产生的，而这些问题多为数学 物理方程）。
第一章 波动方程
第一节 方程的导出和定解条件
一、方程的导出（以弦振动为例）：
模型：一根拉紧的均匀柔软的细弦，两端固定，长
为 l ，在外力作用下，弦在平衡位置附近作微
小的横振动－振动方向与弦的平衡位置垂直。
问题： 研究弦上各点的运动规律。
分析：（理想化假设）
（1）弦是均匀的：线密度 是常数；
细弦：横截面直径与弦的长度相比可以忽略。
X 为期权的行使价格，f (S,t) 为基于 S 的期权价格。
3、流体力学海域潮流场模型（龙卷风、 海啸模型）
(Hu) (Hv) 0
t
x
x
1
u t
u u x
v u y
fu
g
x
g
u(u 2 v2 ) 2 c2H
1
v u v v v fu g g v(u 2 v2 ) 2
v 导弹速度 (t) 弹道倾角 y 飞行高度 mc 推进剂秒流量
2、金融数学（金融工程期权定价模型）
在基于股票的衍生证券市场上，欧式买入期权的行使办法是：
在到期日 ，当T 股票价格
X
S（T 行X 使价格）时，则按
欧式卖出期权的行使办法是：在到期日 T ，当股票价格 ST X （行使价格）时，则按 X 卖出股票，否则不行使期权。
姜礼尚等编，北京：高等教育出版社，１９９６年 １２月
引言
一、什么是数学物理方程？
从物理、力学等实际问题中产生的函数方程， 主要是偏微分方程或积分方程。
偏微分方程：
含有两个或两个以上自变量和未知函数 以及未知函数的偏导数的关系式。
偏微分方程的阶：
方程中所含偏导数的最高阶阶数。
线性偏微分方程：
如果一个偏微分方程对于未知函数以及它的各阶 偏导数都是线性的。
数学物理方程
主讲教师： 王 术 北京工业大学应用数理学院
wangshu@ Tel:６７３９２２１２（Ｏ）
教材：《数学物理方程》（第二版）
谷超豪、李大潜、陈恕行、郑宋穆、谭永基 编著， 北京：高等教育出版社， 2002年7月
参考书：《数学物理方程》
陈恕行、秦铁虎、周忆编著，上海：复旦大学出版 社，2003年9月
1 (tan )2 dx 1 2 dx dx
（2）弦上各点的张力是常数
由于弦做横振动，弦沿 x 轴无运动，所以合力为零
T1 cos1 T2 cos2 T1 T2 T
求解动力学弹道的目
的是为了得到
x, y,v
三个参数，以便对射 程、导引方法及燃料 添置等方案进行选择
其中 P,Q,Y,, g 分别表示发动机的推力，气体阻力，升力（飞行速度、飞
行高度、导弹外形等因素确定），推力与速度的夹角在垂 直平面上的投影，重力加速度
m 导弹质量 x 飞行路程
两个自变量的二阶线性偏微分方程一般形式：
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy c u f , (0.1) 如果 f 0, 则称（0.1）为齐次方程；
否则为非齐次方程。
二、偏微分方程的解
三、偏微分方程的研究方法
微分方程在自然现象、军事科技和国 民经济中发挥着重要的作用，现举例如下：
1、导弹动力学弹道方程组
m dv P cos Q mg sin
dt
m d P sin Y mg cos
dt
dx v cos
dt
dy v sin
dt
dm dt
mc
注意：在弹道设计中，
（2）弦是柔软的：弦在离开平衡位置时各点均不 抵抗弯曲，弦的张力方向沿着弦的切线方向；
拉紧：在弹性范围内，满足Hook（胡克）定律。 （3）弦作微小横振动：弦的位置在同一平面内作 微小变化（|ux|<<1）；弦上各点的位移与平衡位 置垂直（位u 移沿u轴方向）。
建立坐 标系：
以弦的平衡位置为 x轴，在弦作振动的平面
1973年布莱克（Black）和休尔斯（Scholes）建立了倒向 微分方程决定欧式期权的无套利价格：
f t
rS
f S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
这里，对买入期权有 f (S,t) |tT max{ST X ,0} ；对卖出期权有
f (S,t) |tT max{X ST ,0} 。其中 r 为无风险利率， S 为股票价格，
上与x轴垂直的方向为 u轴。以 u( x, t )表
示弦上点x 在时刻t 垂直于x 轴方向的位移
对于弦的微小振动，可设倾角（弦上一点的 ,cos 1,tan
在这种假设下，有：
（1）弦的伸长可忽略不计
ds (dx)2 (du)2 1 ( du)2 dx dx
t
x y
y
c2H
其中 h 平均海平面下水深； 海平面相对平均海平面的高度； H h 总水深； u,v 垂直平均流速的 x, y 分量
几乎所有学科：分子扩散过程、激光诱导DNA分子动
力学模型、桥梁工程设计中的力学振动问题、流体力学、 量子力学、生物人口模型、最优控制论等等
练习：
求解下列二阶偏微分方程
uxy 0
复习：
牛顿运动定律、质量守恒定律、
动量守恒定律、热量守恒定律等基本的 物理定律？
冲量、动量等概念？
本学期（数学物理方程）学习的基本内容：
一、三类数理方程（弦振动方程、热传导方程 和调和方程)定解问题的
1、适定性 2、基本求解方法 3、解的性质等 二、二阶线性偏微分方程的分类 注：弦振动方程也叫波动方程
一般步骤（从宇宙探星谈起）： 1、将物理问题归结为数学上的定解问题； 2、求解定解问题； 3、对求得的解给出物理解释。
四、偏微分方程的研究内容－适定性的概念
1、存在性 2、唯一性 3、稳定性
如果一个定解问题的解是存在的、 唯一的，而且是稳定的，则称该定 解问题是适定的。
五、微分方程的重要作用
可以说有了微积分，就有了微分方程 （微积分是17世纪为了解决物理、力学、 天体问题而产生的，而这些问题多为数学 物理方程）。
第一章 波动方程
第一节 方程的导出和定解条件
一、方程的导出（以弦振动为例）：
模型：一根拉紧的均匀柔软的细弦，两端固定，长
为 l ，在外力作用下，弦在平衡位置附近作微
小的横振动－振动方向与弦的平衡位置垂直。
问题： 研究弦上各点的运动规律。
分析：（理想化假设）
（1）弦是均匀的：线密度 是常数；
细弦：横截面直径与弦的长度相比可以忽略。
X 为期权的行使价格，f (S,t) 为基于 S 的期权价格。
3、流体力学海域潮流场模型（龙卷风、 海啸模型）
(Hu) (Hv) 0
t
x
x
1
u t
u u x
v u y
fu
g
x
g
u(u 2 v2 ) 2 c2H
1
v u v v v fu g g v(u 2 v2 ) 2
v 导弹速度 (t) 弹道倾角 y 飞行高度 mc 推进剂秒流量
2、金融数学（金融工程期权定价模型）
在基于股票的衍生证券市场上，欧式买入期权的行使办法是：
在到期日 ，当T 股票价格
X
S（T 行X 使价格）时，则按
欧式卖出期权的行使办法是：在到期日 T ，当股票价格 ST X （行使价格）时，则按 X 卖出股票，否则不行使期权。
姜礼尚等编，北京：高等教育出版社，１９９６年 １２月
引言
一、什么是数学物理方程？
从物理、力学等实际问题中产生的函数方程， 主要是偏微分方程或积分方程。
偏微分方程：
含有两个或两个以上自变量和未知函数 以及未知函数的偏导数的关系式。
偏微分方程的阶：
方程中所含偏导数的最高阶阶数。
线性偏微分方程：
如果一个偏微分方程对于未知函数以及它的各阶 偏导数都是线性的。
数学物理方程
主讲教师： 王 术 北京工业大学应用数理学院
wangshu@ Tel:６７３９２２１２（Ｏ）
教材：《数学物理方程》（第二版）
谷超豪、李大潜、陈恕行、郑宋穆、谭永基 编著， 北京：高等教育出版社， 2002年7月
参考书：《数学物理方程》
陈恕行、秦铁虎、周忆编著，上海：复旦大学出版 社，2003年9月
1 (tan )2 dx 1 2 dx dx
（2）弦上各点的张力是常数
由于弦做横振动，弦沿 x 轴无运动，所以合力为零
T1 cos1 T2 cos2 T1 T2 T
求解动力学弹道的目
的是为了得到
x, y,v
三个参数，以便对射 程、导引方法及燃料 添置等方案进行选择
其中 P,Q,Y,, g 分别表示发动机的推力，气体阻力，升力（飞行速度、飞
行高度、导弹外形等因素确定），推力与速度的夹角在垂 直平面上的投影，重力加速度
m 导弹质量 x 飞行路程