最新上海立信会计学院第一节微分方程的基本概念
高等数学微分方程的基本概念教学ppt讲解
三、主要问题——求方程的解
微分方程的解:
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且 独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
独立的任意常数的个数=微分方程的阶数 含有几个任意常数的表达式，如果它们不能合并而使 得任意常数的个数减少，则称这表达式中的几个任意 常数相互独立．
由题意知 t = 0 时，
s 0, v ds 0 dt
(8)
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
把(8)式分别代入(6)，(7)式，得
C1 = 0 , C2 = 0. 故(7)式为
s 1 gt 2
是该微分方程的特解.
第一节 微分方程的基本概念
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第六章 常微分方程
内容小结
第一节 微分方程的基本概念
本节基本概念： 微分方程； 微分方程的阶； 微分方程的解； 通解，初始条件； 特解； 初值问题； 积分曲线．
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
例如y = C1x + C2x + 1 与 y = Cx+1 (C1,C2，
C都是任意常数）所表示的函数族是相同的，
因此y = C1x + C2x + 1中的C1，C2是不独立的；
代入初始条件
微分方程的基本概念
第十二章 微分方程§12. 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)x dxdy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2)把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3)其中C 是任意常数.把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得2=12+C ,由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1.例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式 4.022-=dt s d . (4) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:t =0时, s =0, 20==dtds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0=20. (5) 把(4)式两端积分一次, 得14.0C t dtds v +-==; (6) 再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (7)这里C 1, C 2都是任意常数.把条件v |t =0=20代入(6)得20=C 1;把条件s |t =0=0代入(7)得0=C 2.把C 1, C 2的值代入(6)及(7)式得v =-0.4t +20, (8)s =-0.2t 2+20t . (9)在(8)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间504.020==t (s ). 再把t =50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米,s ''=-0.4, 并且s |t =0=0, s '|t =0=20.把等式s ''=-0.4两端积分一次, 得s '=-0.4t +C 1, 即v =-0.4t +C 1(C 1是任意常数),再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2 (C 1, C 2都C 1是任意常数).由v |t =0=20得20=C 1, 于是v =-0.4t +20;由s |t =0=0得0=C 2, 于是s =-0.2t 2+20t .令v =0, 得t =50(s). 于是列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).几个概念:微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 ,y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x ,y (n ) +1=0,一般n 阶微分方程:F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0.y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上,F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0,那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解.通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 .一般写成00y y x x ==, 00y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x .积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线. 例3 验证: 函数x =C 1cos kt +C 2 sin kt是微分方程0222=+x k dt x d 的解.解 求所给函数的导数:kt kC kt kC dtdx cos sin 21+-=, )sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dt x d +-=--=. 将22dtx d 及x 的表达式代入所给方程, 得 -k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )+ k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )≡0.这表明函数x =C 1cos kt +C 2sin kt 满足方程0222=+x k dtx d , 因此所给函数是所给方程的解. 例4 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程0222=+x k dtx d 的通解, 求满足初始条件 x | t =0 =A , x '| t =0 =0的特解.解 由条件x | t =0 =A 及x =C 1 cos kt +C 2 sin kt , 得C 1=A .再由条件x '| t =0 =0, 及x '(t ) =-kC 1sin kt +kC 2cos kt , 得C 2=0.把C 1、C 2的值代入x =C 1cos kt +C 2sin kt 中, 得x =A cos kt .。
第一节 微分方程的基本概念
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
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例 一 曲 线 通 过 点 (1,2),且 在 该 曲 线 上 任 一 点 M (x,y) 处 的 切 线 的 斜 率 为 2x,求 这 曲 线 的 方 程 .
解 设所求曲y线 y为 (x)
d y 2 x ， y(1)2, dx
yxy, 一阶
y2y3yex, 二阶
(t2x)dtxdx0, 一阶
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定义 使方程成为恒等式的函数称微分方程的解. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独立 任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
例yy, 通解 yCex; yy0, 通 y 解 C 1six n C 2co xs
本章还要学习一阶常系数线性差分方程的解法.
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定义 含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数 的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程. 定义 出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数，称为微分方程的阶.
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程， 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本 书中只讨论常微分方程，如下例：
(2)特解: 不含任意常数的解.
定解条件: 用来确定任意常数的条件.
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初始条件: 规定微分方程中的未知函数及其若干阶 导数在某一点处的取值 。
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
y f (x, y)
y
x
x0
y0
过定点的积分曲线;
二阶:
yf(x,y,y) yxx0 y0,yxx0 y0
第一章 微分方程基础
故 y cos kt sin kt 是所给微分方程的解.
例4、解微分方程y'' 3x2 sin x 5.
解、对两端积分，得
'
'' 2 y dx (3 x sin x 5)dx,
即 y x3 cos x 5 x C1.
1 4 5 2 即 y x sin x x C1 x C2 . 4 2
，并将
，
3 求非齐次线性方程的通解：将求出的u( x)代入y u( x)e
得到非齐次线性方程的通解.
P ( x ) dx
因为P( x) 2 x, Q( x) cos xe , 所以由一阶非齐次 线性方程的通解的公式得
ye
e
2 xdx
x2
x2
cos xe
解
求导，得
dy k sin kt k cos kt , dt
d2y 2 2 k cos kt k sin kt , 2 dt
d2y 将 2 和x的表达式代入所给微分方程中, 得 dt
k 2 (cos kt sin kt ) k 2 (cos kt sin kt ) 0.
dy 2x dx
s 0.2t 2 C1t C2
s 0.2t 2 20t ,
d 2s 0.4 2 dt
定义
如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任 意常数的个数与微分方程的阶数相同，则这样的 解叫做微分方程的通解.
函数y x 2 C C为任意常数 是 dy =2x的通解. dx
F ( x, y, y,, y ( n) ) 0,
( n 1) x , y , y , , y 中的某些变量可以不出现. 其中
微分方程的基本概念
利用后两式可得
因此所求运动规律为 s 0.2 t 2 20 t
说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 .
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二、微分方程的基本概念
1.微分方程：含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 实质：联系自变量，未知函数及其导数的式子 . 区别：与以往学习的代数方程的区别是：代数方程是含 未知数的等式，微分方程是含未知函数及其导数的等式 .
x
y
即 Fx cos x F sin x Fy y sin x F sin x
Fx y tan x
y
Fy
因此有
y y tan x y x0 1
y 1 , cos x
即y sec x
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内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
分类 常微分方程：所含未知函数是一元函数. 偏微分方程
注：本章只讨论常微分方程 2.微分方程的阶：方程中所含未知函数导数的最高阶数 叫做微分方程的阶.
如：d y 2x dx
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三、微分方程的主要问题-----求方程的解
1.微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数. 设y ( x)在区间 I 上有 n 阶导数, F( x,( x),( x),,(n)( x)) 0.
u
x
即 u lnCux
y
ln Cy
xy
故微分方程的解为 Cy e x .
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例1 求解微分方程 y2 x2 d y xy d y . dx dx
另解 原方程可变为：d x x ( x )2 dy y y
微分方程的基本概念
微分方程是数学中重要的一个分支，其在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。
微分方程的基本概念包括了方程的定义、解的定义、初值问题以及一阶线性微分方程等。
首先，我们来看微分方程的定义。
微分方程是包含未知函数及其导数或微分的关系式。
它是数学分析的研究对象，用来研究函数在局部上的变化规律。
通常用x来表示自变量，用y表示函数的取值，用y'表示函数y对x的导数。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
接下来，我们来看微分方程的解的定义。
微分方程的解是指满足该方程的函数。
一般来说，微分方程的解不是唯一的，而是存在无穷多个。
例如，对于一阶线性微分方程y'+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，可以通过积分的方法求得其解。
解的形式可以是显式解或隐式解，取决于方程的形式和解的表达方式。
然后，我们来看初值问题。
初值问题是指在微分方程中给定一个特定的初值条件，要求求解满足该条件的解。
例如，对于一阶线性微分方程y'+y=0，给定初始条件y(0)=1，可以求解得到解y(x)=e^{-x}。
初值问题在应用领域中具有重要的意义，例如在物理学中，我们常常根据初始条件求解出系统的运动规律。
最后，我们来看一阶线性微分方程。
一阶线性微分方程是最简单和最常见的微分方程形式。
一般来说，一阶线性微分方程可以写作y'+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
我们可以通过积分的方法求解这类方程，即将方程两边同时积分，得到y=∫q(x)e^{-\int p(x)dx}dx+C。
其中C是一个常数，它代表了方程的任意常数。
总结起来，微分方程是数学中重要的一个分支，它可以用来研究函数在局部上的变化规律。
微分方程具有基本的概念，包括方程的定义、解的定义、初值问题以及一阶线性微分方程等。
微分方程在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用，例如求解物理系统的运动规律、分析电路的行为、研究经济的增长模式等。
101微分方程的基本概念
数，则称其为方程的通解; 若n阶微分方程的解中不含有 任意常数，则称其为方程的特解.
例如 y Ce2x 是方程 y 2 y 0 的通解
y C1 sin x C2 cos x 是方程 y y 0 的通解 y e2x 是方程 y 2 y 0 的特解.
确定n阶微分方程通解中n个独立的任意常数时, 通
§10.1 微分方程的基本概念
一. 引例 二. 微分方程的概念
一. 引例
例1 已知曲线通过点(0,1)且在该曲线上的任一点 M ( x, y) 处的切线斜率为 2x, 求该曲线方程.
解 设所求曲线的方程为 y = f (x) , 根据导数的几何意 义知道, 未知函数 应满足关系式
dy 2x dx
其中 F 是 x, y , y', … , y (n) 的已知函数, x 为自变量, y
为未知函数, 且方程中一定含有 y(n).
n阶微分方程的另一种形式为
y(n) f ( x, y, y, , y(n1) )
其中 f 是 x , y , y', … , y ( n - 1) 的已知函数.
y
x0
y0 ,
y
x0
y1 ,
, y(n1) x0 yn1
微分方程解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积 分曲线. 初值问题的几何意义, 就是求微分方程的通 过点 ( x0 , y0 ) 的那条积分曲线.
例3 验证 函数 y = C1cosx + C2 sinx + x 是微分方程
解 设所求的函数关系为 Q = Q (p)
则由题意可知，它应满足
p
Q
dQ dp
上海立信会计金融高等数学 b-微积分
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(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
故 xC 1co k stC 2sikn 是 t 原方 . 程 xt0A , d dtx t00, C 1 A ,C 2 0 .
所求特解为 x A ck o .ts
作业
10-1: 5、10
结束语
谢谢大家聆听！！！
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上海立信会计学院第一节 微分方程的基本概念
问题的提出
例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点
M(x,y)处的切线的斜率为 2x,求这曲线的方程.
解 设所求曲y线 y为 (x)
dy 2x dx
其 x 1 中 时 ,y 2
y2xdx即 yx2C, 求C 得 1,
所求曲线方y程x2为 1.
xt0A,ddxtt00的 特 解 . 解 d d x t k1s C k in tk2c Ck o ,ts
d d 2 2 x t k 2 C 1 ck o k ts 2 C 2sk i,n t 将dd2t2x和x的表达式代入,原方程
k 2 ( C 1 c k C 2 o s k t ) k i 2 s ( C 1 t c n k C 2 o s k t ) i 0 . s
一阶:
y f(x, y) yxx0 y0
过定点的积分曲线;
二阶:
yf(x,y,y) yxx0 y0,yxx0 y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
例3验 证 :函 数xC1coks t C2sik n是 t 微 分
方 程 dd22xtk2x0的 解 . 并 求 满 足 初 始 条 件