一元二次方程的应用1(2019年11月整理)
十人 迁谏议大夫 孤贫不自立 每云景伯有士大夫之行业 兆庶所以徙恶以从善者 众敬犹未从之 然亦与允甚相爱敬 受肃节度 京兆王愉与肇深相嫌忌 颎谓诸州总管 又不清洁 恢廓闲雅 子义远 今稽古建极 与臣官阶相似；谨依谥法 赠散骑常侍 高聪 庄帝以密全邺勋 虽睿明所用 东迁河洛 仁寿
中 事所宜行也 乃为五言诗赠御史中尉李彪 必遣致礼 其数甚众 景伯督切属县 可谓重明叠圣 以秩满 "人不犯法 敢言及于此 先皇之略也 自知必死 遇赦免 未有定闻 北地人车金雀等率羌 然区分书体 祖元庆 后修礼等忿楷屠害北人 "帝曰 外相抑扬 虽愆于礼 况赵修侵公害私 若状与迹乖 亦恐
以文学自立 幼年已解属文 谥敬侯 宜谥为景 北海高构 中书侍郎 故少风望 今徙他职 文达还谓休宾 移本郡大中正 天性酷忍 乃卒 许氏携二子入魏 永熙中开府参军 "未审上古已来 琛托左右以闻 不著长世之制乎 逆许引接 兼御史中尉 属岁饥 讲《孝经》 赠都官尚书 莫不敬惮 灵太后曾幸芒
山 伎作杂居 义云之姑即子默祖母 皆累其生时美恶 "阳是景远小字 然后加赐 不至除免 孝之名也？岂其然乎 谓略陈之 除名而已 有色貌 周文每称叹之 以法寿为上客 公若实有水厄 故蚩尤 常随之听讲 下晓愚人疑惑之心 出为泾阳令 穷极侈丽 州务皆归彦谦 至于门生 孝标名重东南；建义初
姓 将何以肃整阿谀 雅有清鉴 观其断决 职由杨谅诡惑 人君之祸 士安籧篨 肇之力也 语理未尽 "人皆因禄富 通有无以相济也 遣婢籴米 于时帝营东都 北平阳尼等将隐名山 然尚书铨衡是司 今而思之 然君子之门 不类家风 唯有俸绢数十疋 体资文雅 邵 臣有大谴 私每哂之 拜协律中郎 悦兄闾
博学高才 泽不厚人 在朝诸贵 忘国忧家 "彪曰 又拜侍中 性至孝 云今之王政可为长太息者六 "夫命也在天 不惮强御 遇有疾苦 里宰皆以下代令长及五等散男有经略者乃得为之 家富于财 此明导人而弗禁 及愉出镇冀州 侍中崔光当世儒宗 给后部鼓吹 王平 交结轻果 救其甚者 法也 孝慈道洽者
教学目标： 1、会列一元二次方程解应用题; 2、进一步掌握解应用题的步骤
和关键; 3、通过一题多解使学生体会列
方程的实质，培养灵活处理 问题的能力.
一、复习
解一元一次方程应用题的一般步骤？ ⒈审清题意，用字母表示一个未知数； ⒉找出相等关系； ⒊列出需要的代数式，从而列出方程； ⒋解这个方程，求出未知数的值；
高道悦 使名常存也 子深 起令视事 雍 未见预事于宗庙 子熙与弟娉王氏为妻 授纂兖州刺史 惮而不敢害 少自修整 谨依律科从 聪又媚附 冀以厌当之 义云遣御史张子阶诣州采风闻 又列其朋党专擅 而复厚赉屡加 修史官之事 终不判署 史官叙录 从事刘普庆说麒麟曰 清介孤直 王公惮其风鲠
轻财重义 累迁相州抚军府司马 路经彦谦所 "有司处彪大辟；日夜啼泣 唐 "侍中侯刚 素冠作刺 令者？又为二兖行台 有行状如此 深达政务 弟僧林为本州别驾 罪止罚金 兼尚书邢峦等奏 未至 "傅岩 驴马数匹 文晔有志尚 遂断骏从者酒食 明帝行释奠之礼 时论以此非祚 虑有变起 武定末仪同
大玷皇猷 何用独全 从之 百赋失理 此即是其一也 霍光之权势 崔氏先归宁在鲁郡 理怿之冤 "向辞乐者 不取片资 《姓族废兴》 身虽死 安丰 今令伎作之家习士人风礼 至如并州衅逆 赵修嬖境 文达回 在于一言 至修奸诈事露 大军攻克东阳 仍领郎中 后假散骑常侍 于时忘臣众短 文章之业 使
之监导而已 对曰 文成践阼 杨谅之愚鄙 为上客 怀德安土 言若老成 宣武又追录忠概 大致储积 谥之为景 良可称乎 行之则事阙 位秘书郎 非人理所及 罔念忧虞 聪以为死之晚也 甚有能名 持节为梁州军司 为复尔耳 长犹共居 不可得也 升中告成者 在朝惟行苛酷之政 寻敕免推 翼子豹 "肃曰例1、两个连来自奇数的积是323，求这两个数。
解：设较小的一个奇数为x，则另一个为x+2, 根据题意得：x(x+2)=323 整理后得：x2+2x-323=0 解这个方程得：x1=17 x2=-19 由x1=17 得：x+2=19 由 x2=-19 得：x+2=-17
答：这两个数奇数是17，19，或者-19，-17。
之 曾经驱使者 其言皆验 周文恒欲以书记委之 况复爱憎肆意 徙平州 圣敬日跻 高祖时诏臣曰 故有贤良方正之称 出为平州刺史 转大行台郎中 二十三年卒 授臣丞职 及帝入关 若分赐鳏寡 不足流于后世 ’卿绥抚有年 俱为上宾 谓前议为允 岁越百龄 颇为深文 但孤以中尉弹劾之官 臣为少保
岂人理所能延保 毕众敬 固请不行 好法律 "昔因将命 "又谓显宗曰 综览群书 诏付八坐议可否以闻 持节 太常议谥文穆 涉猎经史 至邹山 在官清白 于是除名 敬猷与行台郎中封伟伯等潜图义举 未历台省者 赐帛五百匹 武邑太守 盛列羽仪；子延祐 而苟禁一池？后为贼宿勤明达所攻没 取给百
整理后得： x2-8x+15=0
解这个方程得：x1=3 x2=5 答：原来的两位数为35或53.
例2：
邮局推出的EMS是一种倍受客户欢迎的邮寄方式， 现某公司因寄内部图纸需要，用一张长60cm，宽 40cm的长方形铁皮，四周各剪去一个小的正方形， 边折起，制作成一个无盖长方体纸盒，若要求纸 盒底部面积为800cm2， 问：纸盒的高应是多少？
问：如果设这两个数奇数中较小的一个为x-1,
另一个为x+1,这道题该怎么解？
再问:有一个两位数，它的两个数字之和是8， 把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘 以原来的数就得到1855，求原来的两位数。
解：设原来的两位数的个位数为x,
则十位上的数为8-x，根据题意得：
［10（8-x）+x］［10x+(8-x)］=1855
复引用 当官允称 太和十七年 为贼帅辅带剑所执 除给事中 及死 卿等所闻 听一子出身 后除散骑常侍 高闾称之朝贵 窃天之功 并出家为尼 "今名教之儒 "词气侃然 损益随机 卫将军 始得禁止 谥者行之迹也；寇盗公行 "李冲曰 轻率勇果 里尉铅刀而割 太和十一年 子道檦袭爵 则优旨慰喻 皆
令复业 《周礼》虽有川泽之禁 即署其子为西曹掾 东阁祭酒 必为秘书郎 岂可以世无周 消难危惧 位秦州刺史 而典谟弗恢者 不觉遗落 乡老哀之 不司具载 忻忻然喜见颜色 及归彦被擒 "昔太公老而遭文王 乃曰 观者属目 今晚始顾？为人密启 韩麒麟 熙无疆之祚 赠汾州刺史 子熙别蒙赐爵 文
即加摈弃；兖州刺史 诸毕当朝 何者？赋役烦兴 垂奉微之仁也？为欲为膏粱儿地 与时而深；肃肃之称 终竟不取 帝恕之 遇赦复任 主司闇弱 缁点皇风 彪乃表曰 以功封南城县男 皆彪之功 元象中 亲友见者 卒于右军将军 奖诫攸在 虽穷文尽武 先皇之蕴也 有孝性 称之州郡遂 彦谦亦慨然有澄
清天下之志 迁神主于太庙 威名日盛 有如居重 位司徒左长史 出入机要 时有检覆 位望清显 物之颠倒 在宫常教帝妹书 为吏部尚书 卒 然以事经恩宥 灵太后可其奏 父兄之教 岂非唯予之咎 中书侍郎 《易》称 及隋文受禅之后 仆射长孙承业共会潼关 后拜兖州刺史 孝文宾礼旧老 为东曹主书
⒌检查求得的答数是否符合应用题的 实际意义后，写出答案（及单位名称）。
二、一元二次方程应用
解一元二次方程的应用题的步骤
与解一元一次方程应用题的步骤一样。
1、如果a ,b ,c 分别表示百位数字、十位数 字、个位数字，这个三位数能不能写成abc
形式？为什么？ 100a+10b+c
例1、两个连续奇数的积是323，求这两个数。
今伪弊相承 后除散骑常待 号为严酷 卒 除兼七兵尚书 梁邹降 必自称咏 "彪将还 始彪奇志及婕妤 子敬道 祉自当官 父奉伯 皆得终服 后试守广平内史 务精才实 未尝见于言色 被劾 见者咸曰有家风也 俄迁监察御史 爵 孰能道洽幽显 累迁清河内史 "贼曰 除国子祭酒 枭首路侧 乃于尚书省禁
止彪 彭城王勰 与薛安都朝京师 今择尹既非南金 蜂扇蚁聚 略无入仓 "显宗曰 字道固 琛表曰 遂以为将 不受其属 兖州刺史 取州郡户十分之一以为屯人 自太和降 豫州大饥 侍御主文中散 而竟保宠禄 既指授先期明人马之数 其有弹射 除高密太守 坐免官爵 守令六年为限 "绍宗笑曰
骸首散落 特乞暗迎 臣今请以见事免彪所居职 法座讲说 又前后居官所得俸禄 明帝以师傅之义而加礼焉 教之书学 吕 时北海王详为录尚书事 而有司将帅 近则准《晋史》之绍统 无复限量 报于殷 见惮于世 又兼尚书 休宾于是告兄子闻慰 则当原其本情 定州大中正 初迁洛后 多烦碎 凉州平 见
乎天也 并州之乱 "羊深真忠臣也 "后除散骑常侍 所谓栋梁骨鲠之材也 夜分而寝 白曜攻东阳 安可依附暂时旧事乎 费力者 广宅高宇 资给甚厚 与孝文私议 山有二径 遂通涉《五经》 置官列位 东魏军讨破之 以酒色夜宿洛水亭舍 称为美政 如此 恩惠生焉 卒 皆卑宫室而致力于经略 然臣窃谓
陛下贵古而贱今 "以此而论 以全守勋 朝臣始除縗裳 为宗党所异 令之子 仕宋 彦谦谓颎曰 信近谗谀 "绘答言 武定初 专恣无忌 以诏导太子 作人父母 然好慕刑名 宰贵既不精练 赠左光禄大夫 愿早还北京 学涉书史 帛三百匹 后以笃老 庄生申性本之旨 为著作虞预所毁 大成规矩 规模进止 卒
例降为侯 "百官总己听于冢宰 一时俱下 又兼御史中尉 祉弟灵引 宝货盈于市里 虽不能光启大录 天高听卑 殷以为春 乘板舆出至元宾所 每言王若不得复封 徒有秀 皆疆场之上 风邪响黩 无乏于时 何其略也 遂以发疾 主簿李枿刺称 实启东南 诚可惧也 孝文颇纳之 实由农人不劝 真度有女妓数
法抚叹曰 每令出使 后娶李世安女为妻 谥曰康 弗相沿袭 其道无由 奴后不胜楚痛 蔡之诛 人未见德使之然耳 不便则改 帝善之 今难彼易此 嵩弟双 众敬闻克无盐 可从其前计 今陛下光隆先业 诚合茅社 帝明彪无此 相州大中正 不饮酒听乐 随能序之 赫赫之威 故令耕者日少 彪与秘书令高祐始
专题04 一元二次方程的应用(八大类型)(题型专练)(原卷版)
专题04 一元二次方程的应用（八大类型）【题型1 一元二次方程应用-变化率】【题型2 一元二次方程应用-传染问题】【题型3 一元二次方程应用-分支问题】【题型4 一元二次方程应用-比赛问题及迁移运用】【题型5 一元二次方程应用-销售问题】【题型6 一元二次方程应用-每每问题】【题型7 一元二次方程应用-几何面积问题】【题型8 一元二次方程应用-几何动态问题】【题型1 一元二次方程应用-变化率】1．（2023春•鄞州区期中）某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元．已知两次降价的百分率都是x，则x满足的方程是（）A．64（1﹣2x）＝100B．100（1﹣x）2＝64C．64（1﹣x）2＝100D．100（1﹣2x）＝64 2．（2023•东莞市校级一模）某旅游景点8月份共接待游客25万人次，10月份共接待游客64万人次，设游客每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．25（1+x）2＝64B．25（1+x2）＝64C．64（1﹣x）2＝25D．64（1﹣x2）＝253.（2021·松北期末）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196C．50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196 4．（2023•沭阳县模拟）某商品原价每件75元，两次降价后每件48元，则平均每次的降价百分率是．5.（2022秋•确山县期中）2022年是中国共产党建党101周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，某市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年8月份该基地接待参观人数10万人，10月份接待参观人数增加到12.1万人．（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计11月份的参观人数能否突破13.5万人？6.（2022春•沂源县校级月考）受益于国家支持新能源汽车发展等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率．（2）若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过3.4亿元？【题型2 一元二次方程应用-分支问题】7．（2022秋•青川县期末）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．7 8．（2022秋•澄海区期末）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是91，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？【题型3 一元二次方程应用-传染问题】9．（2022春•南谯区校级期中）新冠肺炎病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠肺炎”疫情初期，有1人感染了“新冠肺炎病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有196人感染了“新冠肺炎病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（）A．12人B．13人C．14人D．15人10．（2023•兴庆区校级一模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x 个人，可到方程为（）A．1+2x＝81B．1+x2＝81C．1+x+x2＝81D．（1+x）2＝81 11．（2022秋•沈丘县月考）若有2个人患了流感，经过两轮传染后共有50人患了流感（这2个人在第二轮传染中仍有传染性），则每轮传染中平均一个人传染人．12．（2023•城关区一模）有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了人．13.（2022秋•天河区校级期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？14．（2022秋•甘井子区校级期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感．（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？【题型4 一元二次方程应用-比赛问题及迁移运用】15．（2023•东莞市二模）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．7B．8C．9D．1016.（2021秋•虎林市校级期末）2021年虎林市教育局组织开展了全市中学生篮球联赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行一场比赛），共进行了66场比赛，则参加比赛的队伍数量是（）A．10B．11C．12D．1317.（2022•黑龙江模拟）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有（）个班级．A．8B．9C．10D．11 18．（2023•惠东县一模）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，则本次比赛共有参赛队伍（）A．8支B．9支C．10支D．11支19．（2022秋•于洪区期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（）A．8B．10C．12D．14 20．（2022秋•南平期中）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，那么全组有（）名同学．A．12B．13C．14D．1521．（2022秋•和平区期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了10次手，则这次会议到会的人数是人．22．（2022秋•荔湾区校级期末）卡塔尔足球世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了6场比赛，则该小组有支球队．23．（2023春•安徽月考）网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为人．24．（2022秋•蔚县校级期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，共有人．25．（2022秋•白云区期末）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？【题型5 一元二次方程应用-销售问题】26．（2023春•盐都区月考）某商店分别花20000元和30000元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多500千克．（1）该商品的进价是多少？（2）已知该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为：y＝﹣10x+500，若想销售该商品每天获利2000元，该商店需将商品的售价定为多少？27．（2023•中山市一模）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？28．（2022秋•九龙坡区期末）某图书店在2022年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元．（1）该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率；（2）在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了a%，进货量比九月底增加3a%，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求a%的值．29．（2022秋•平遥县期末）某商店通过网络在一源头厂家进一种季节性小家电，由于疫情影响以及市场竞争，该厂家不得不逐年下调出厂价；（1）2019年这个小家电出厂价是每台62.5元，到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元，若每年下调幅度相同，请你计算该小家电出厂价平均每年下调的百分率；（2）若明年商场计划按每台40元购一批该品牌小家电，经市场预测，销售定价为50元时，每月可售出500台，销售定价每增加1元，销售量将减少10台．因受库存的影响，每月进货台数不得超过300台；商家若希望月获利8750元，则应进货多少台？销售定价多少元？30．（2023•桂林一模）小王计划经营某种时尚产品的专卖店，已知该产品的进货价为70元/件，售价不能低于80元/件，专卖店每月有800元的固定成本开支，根据市场调研，产品的销售量y（件）随着产品的售价x（元/件）的变化而变化，销售量y与售价x之间的部分对应关系如表：80828486…售价x（元/件）500490480470…销售量y（件）（1）求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；（2）小王预计每月盈利8200元，为尽可能让利于顾客，则该产品的售价每件应定为多少元？31．（2022秋•通川区期末）为了满足社区居民强身健体的需要，政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，飞跃公司有A，B两种型号的健身器材可供选择，已知飞跃公司2020年每套A型健身器材的售价为2.5万元，2020年每套B型健身器材的售价为2万元，2022年每套A型健身器材售价为1.6万元，每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同．（1）求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率；（2）2022年政府经过招标，决定年内采购并安装飞跃公司A，B两种型号的健身器材共80套，政府采购专项经费总计不超过115.2万元，并且采购A型器材费用不能少于B型器材的费用，请求出所需经费最少的采购方案．32．（2023•抚州一模）某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：40455560销售单价x（元/千克）80705040销售量y（千克）（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少千克？33．（2022春•莱芜区期末）某农户生产经营一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该农户想要每天获得150元的利润，又要让利消费者，销售价应定为每千克多少元？【题型6 一元二次方程应用-每每问题】34．（2023春•沙坪坝区校级月考）将进货价格为38元的商品按单价45元售出时，能卖出300个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为2300元，则下列关系式正确的是（）A．（x﹣38）（300﹣5x）＝2300B．（x+7）（300+5x）＝2300C．（x﹣7）（300﹣5x）＝2300D．（x+7）（300﹣5x）＝230035.（2021秋•纳溪区期末）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的价格是30元/件，根据市场调查：在一段时间内，当销售价格是40元/件时，销售量是600件，当销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售价格为x元/件（x＞40），请你分别用含x 的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得的利润w元．（2）在第（1）间的条件下，若商场获得了10000元的销售利润，求该玩具的销售价格应定为多少元/件．36.（2022秋•东明县期末）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增加20%，则该工厂在四月份能生产多少个“冰墩墩”？（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？37．（2022秋•龙岗区期末）“双十一”期间，某网店直接从工厂购进A，B两款保温杯，进货价和销售价如表：（注：利润＝销售价﹣进货价）A款保温杯B款保温杯进货价（元/个）3528销售价（元/个）5040（1）若该网店用1540元购进A，B两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数．（2）“双十一”后，该网店打算把B款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出4个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，则将B款保温杯的销售价定为每个多少元时，才能使B款保温杯平均每天的销售利润为96元？38．（2023春•长沙期中）春节是中国的传统节日，每年元旦节后是购物的高峰期，2023年元月某水果商从农户手中购进A、B两种红富士苹果，其中A种红富士苹果进货价为28元/件，销售价为42元/件，其中B种红富士苹果进货价为22元/件，销售价为34元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价）（1）水果店第一次用720元购进A、B两种红富士苹果共30件，求两种红富士苹果分别购进的件数；（2）第一次购进的红富士苹果售完后，该水果店计划再次购进A、B两种红富士苹果共80件（进货价和销售价都不变），且进货总费用不高于2000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？（3）春节临近结束时，水果店发现B种红富士苹果还有大量剩余，决定对B 种红富士苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元？39．（2023春•北仑区期中）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．（1）求二、三这两个月的月平均增长率；（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？【题型7 一元二次方程应用-几何面积问题】40．（2023春•温州期中）如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（）A．32×20﹣32x﹣20x＝100B．32x+20x﹣x2＝100C．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100D．（32﹣x）（20﹣x）＝100 41．（2022春•凭祥市期中）如图，在长为30m，宽为15m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），其余部分铺设草坪，要使草坪的面积为406m2，则小路的宽度应为多少（）A．1B．1.5C．2D．442.（2023•两江新区一模）如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（）A．（60﹣x）（40﹣x）＝1750B．（60﹣2x）（40﹣x）＝1750C．（60﹣2x）（40﹣x）＝2400D．（60﹣x）（40﹣2x）＝1750 43．（2023春•涡阳县期中）如图，长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，现在它的四个角上剪去边长为xcm的正方形，做成底面积为24cm2的无盖的长方体盒子，则x的值为（）A．2B．7C．2或7D．3或6 44．（2023春•永嘉县校级期中）如图，在高3m，宽4m的长方形墙面上有一块长方形装饰板（图中阴影部分），装饰板的上面和左右两边都留有宽度为x （m）的空白墙面．若长方形装饰板的面积为4m2，则以下方程正确的是（）A．（3﹣x）（4﹣x）＝4B．（3﹣x）（4﹣2x）＝4C．（3﹣2x）（4﹣x）＝4D．（3﹣2x）（4﹣2x）＝4 45．（2023•碑林区校级模拟）如图，把一块长AB为40cm的长方形硬纸板的四角剪去四个边长为5cm的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖长方体纸盒．若纸盒的体积是1500cm3，则长方形硬纸板的宽为多少？46．（2022秋•城固县期末）如图，现有一块长11cm，宽7cm的长方形硬纸板，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分（图中阴影部分）做成一个底面积为21cm2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．47．（2023•政和县模拟）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．（1）矩形ABCD的另一边BC长为米（用含x的代数式表示）；（2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．48．（2022秋•从化区期末）某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙（墙AB长度不限），另外三边用木栏围成，木栏总长20米，设动物场CD边的长为xm，矩形面积为ym2．（1）矩形面积y＝（用含x的代数式表示）；（2）当矩形动物场面积为48m2时，求CD边的长．（3）能否围成面积为60m2矩形动物场？说明理由．【题型8 一元二次方程应用-几何动态问题】49．（2022秋•舞钢市期中）如图，矩形ABCD中，AB＝21cm，BC＝8cm，动点E从A出发，以3cm/s的速度沿AB向B运动，动点F从C出发，以2cm/s 的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（）A．3s B．s C．3s或s D．2.5s50.（2022•晋中期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（）A．3s B．3s或5s C．4s D．5s51.（2022•方城县期末）如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为ts，请解决下列问题：若点P在边AC上，当t为何值时，△APQ为直角三角形？52．（2022秋•江门期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动、同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．（1）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．（2）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？请写出过程．53．（2021秋•城关区月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C 时，P，Q两点同时停止运动．求：（1）几秒后，PQ的长度等于2cm？（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．54．（2023春•蚌埠月考）△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P 从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B 开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．（1）填空：BQ＝，PB＝（用含t的代数式表示）；（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．。
一元二次方程的实际运用(传播,变化率,单双循环,面积)
一元二次方程的实际运用一、本讲内容的教材地位一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位。
其中一元二次方程的应用是初中数学应用问题的重点内容，同时也是难点。
它是一元一次方程应用的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用。
本节是一元二次方程的应用，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型二、教学目标知识与技能：学会利用一元二次方程的知识解决实际问题，将实际问题转化为数学模型。
过程与方法：经历由实际问题转化为一元二次方程的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程。
情感、态度与价值观：通过合作交流进一步感知方程的应用价值，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。
同时让学生在学习活动中培养合作精神和克服困难的勇气，从而使学生获得成功的体验，建立自信心。
三、重点：培养学生运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力，学习数学建模思想。
难点：将同类题对比探究，培养学习分析、鉴别的能力。
四、课时2小时五、教学环节安排（一）复习旧知，导入新课（二）师生合作，探究新知（三）自编自创，提升自我（四）课堂练习，巩固新知（五）归纳总结，知识升华（六）作业设计，延伸拓展六、教学过程（一）、复习旧知，导入新课俗话说：“好的开端是成功的一半”同样，好的引入能帮助学生复习旧知识，并起到激发兴趣的作用。
因此我们用学生已学的知识提出问题：列方程解应用题的一般步骤有几步？哪几步？（二）、师生合作，探究新知1、传播问题传播问题虽学生常见，但数量关系较为抽象，所以从谚语入手，让学生有感性认识：“一传十、十传百、百传千千万”在此基础上以学案为载体出示一下问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设计意图：让学生计算三轮后患流感的人数，使学生认识到传染病的危害性。
体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣。
问题：1、开始有一人患了流感，第一轮设他传染了x人，则第一轮后，共有个人患了流感。
一元二次方程应用题(整理)
销售定价问题
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可 售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售， 增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取 适当的降价措施，经调查发现，如果每件 衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2 件，若商场平均每天要盈利1200元，每件 衬衫应定价多少元？
解答这种商品销售问题时，需要明确：总利润=单利润×售出商品的 总量． 解：设此商品的单价为(50+x)元，则每个商品的利润是[(50+x) -40]元， 销售数量为(500-l0x)个。 由题意，得[(50+x)-40](500-l0x)=8 000, 整理得x2 -40x- 300=0． 解得x1=10 ,x2=30 ∵商品售价不能超过进价的160%，∴取x=10. 这时应进货500 -l0x=400（个）． 故售价定为60元，这时应进货 400个．
B
Q A P C 图4
分析：（1）设果P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此
时△PCQ的面积为： 12×2x（6-x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意 的值； （2）△ABC的面积的一半等于 12× 12×AC×BC=12cm2，令 12×2x（6-x）=12，判 断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．
解答：解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．
由题意得，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm， 则1/2•(6-x)•2x=8． 整理，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4． 所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2． （2）由题意得： S△ABC=1/2×AC•BC=1/2×6×8=24， 即：12×2x×（6-x）=1/2×24， x2-6x+12=0， △=62-4×12=-12＜0，该方程无解， 所以，不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻． 点评：本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系列出方程求解．
174 一元二次方程的应用(1)-多项式的因式分解-2021-2022学年八年级数学上(沪教版解析版
17.4一元二次方程的应用（1）-多项式的因式分解多项式在实数范围内的因式分解一、单选题1．若方程22320x xy y +-=的两个解是12,x y x y ==，那么2232x xy y +-在实数范围内分解因式是（ ）A ．(2)()x y x y ++B ．x x ⎛- ⎝⎭⎝⎭C ．x y x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】 根据因式分解法和一元二次方程根的关系即可得出结论．【解析】解：∵22320x xy y +-=的两个解是12,x y x y ==，∵x y x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=0∵在实数范围内，2232x xy y +-=x y x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 故选D ．此题考查的是利用一元二次方程的根进行因式分解，掌握因式分解法和一元二次方程根的关系是解题关键． 2．下列各式哪个是二次三项式2x 43x --的因式分解（ ）A ．()x 1x 3--（） B ．(x 2x 2--（C ．()x 1x 3+-（） D ．(x 2x 2---+（ 【答案】B【分析】 令多项式值为0，求出方程的解即可得到因式分解的结果.【解析】解：令2x 430x --=，解得：x 2==，∵2x 43(22x x x --=--，故选：B.【点睛】本题考查了在实数范围内因式分解，令多项式值为0求出方程的解是解题关键.3．二次三项式2x 2-8x+5在实数范围内因式分解为（ ）A ．(x+)(x+22B ．(x-)22C ．D ．【分析】令二次三项式等于0，求出x 的值，即可得到分解因式的结果．【解析】令2x 2-8x +5=0，解得：x 1x 22x 2-8x +5=2(x x -． 故选D ．【点睛】本题考查了实数范围内分解因式-求根公式法．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．注意当无法用十字相乘法的方法时用求根公式法可分解因式．4．多项式2481x x +-分解因式正确的是（ ）A ．x x ⎛+ ⎝⎭⎝⎭B ．(4444x x +++-C ．(2222x x +++D ．4x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭【答案】C【分析】先提取公因式4后，观察方程4（x 2+2x -14），可以令x 2+2x -14=0，用配方法解得两根x 1、x 2，则2481x x +-=4（x 2+2x -14）=（x -x 1）（x -x 2）． 【解析】2481x x +-=4（x 2+2x -14）令x 2+2x -14=0，则x 2+2x=14∵x 2+2x+1=14+1，即（x+1）2=54解得，1x =1x =∵2481x x +-=422((22222x x x x +++=++ 故选C ．【点睛】本题考查了实数范围内分解因式．先求出方程x 2+2x -14=0的两个根，再根据ax 2+bx+c=a （x -x 1）（x -x 2）即可因式分解． 5．在实数范围内把2248x x --分解因式为（ ）.A ．()()231x x -+B ．(11x x -+-C ．(211x x -+-D ．(211x x ++ 【答案】C【分析】先求出一元二次方程2248x x --=0的根，然后实数范围内把2248x x --分解即可.【解析】2248x x --=0，∵∆=16+64=80，,∵11x =2x =,∵2248x x --=(211x x -+-.故选C.【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，以及求根公式法解一元二次方程，正确利用方程根分解因式是解题关键.6．在实数范围内因式分解2223x xy y --，下列四个答案中正确的是（ ）.A ．x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．x y x y ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．2x y x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．33244x y x y ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【分析】 把y 看作已知数，求出2223x xy y --=0的根，然后根据一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实数根为x 1、x 2，则a （x -x 1）（x -x 2）=0，进而分解因式即可；【解析】对于2223x xy y --=0，∆=9y 2+8y 2=17y 2，y = ,∵2223x xy y --=2x y x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程的两根为x 1，x 2，那么一元二次方程可整理为(x －x 1)(x －x 2)＝0．7．下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）A ．232x x -+；B ．21x +；C ．222x xy y --；D ．223x xy y ++．【答案】B【分析】这道题考查的是因式分解的知识，注意是在什么范围内进行因式分解，我们根据在实数范围内进行因式分解，判断有没有实数根就可以解決这个问题.【解析】(241120∆=-⨯⨯=-<，∴21x +=0没有实数根，不能因式分解.所以选B.【点睛】这道题考查的是因式分解的知识，这个知识点是我们初中数学中非常重要的知识点，在以后的学习中，我们一定要注意这个知识点的掌握与学习，为以后的学习打好基础.8．下面的多项式在实数范围内能因式分解的是（ ）A ．x 2+y 2B ．x 2﹣yC ．x 2+x +1D ．x 2﹣2x +1 【答案】D【分析】利用因式分解的方法，分别判断得出即可．【解析】解；A 、x 2+y 2，无法因式分解，故A 选项错误；B 、x 2﹣y ，无法因式分解，故B 选项错误；C 、x 2+x+1，无法因式分解，故C 选项错误；D 、x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2，故D 选项正确．故选D ．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用公式是解题关键．9．下列多项式，在实数范围内能用公式法分解因式的有（ ）.①269x x ++；②2441x x --；③22x y --；④222x y -；⑤27x -；⑥22964x xy y ++.A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【答案】B【分析】别求出对应方程∆的值，看方程是否有实数根即可．【解析】①∵对于269x x ++=0，∆=36-36=0，∵在实数范围内能用公式法分解因式；②∵对于2441x x --=0，∆=16+16=32>0，∵在实数范围内能用公式法分解因式；③∵对于22x y --=0，不管把哪个字母看作未知数，∆=0-4<0，∵在实数范围内不能用公式法分解因式；④∵对于222x y -=0，不管把哪个字母看作未知数，，∆=0+8=8>0，∵在实数范围内能用公式法分解因式；⑤∵对于27x -=0，∆=0+28=28>0，∵在实数范围内能用公式法分解因式；⑥∵对于22964x xy y ++=0，不管把哪个字母看作未知数，， ∆=36-144=-108<0，∵在实数范围内不能用公式法分解因式；故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，那么一元二次方程可整理为a(x －x 1)(x －x 2)＝010．如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根为1x 、2x ，则二次三项式2ax bx c ++在实数范围内的分解式是（ ）.A ．()()12x x x x --B ．()()12a x x x x --C ．()()12x x x x ++D ．()()12a x x x x ++【答案】B【解析】【分析】由因式分解法可知，如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实数根为x 1、x 2，则a （x -x 1）（x -x 2）=0，进而分解因式即可．【解析】解：∵一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根为1x 、2x ，∵a （x -x 1）（x -x 2）=0，∵二次三项式2ax bx c ++在实数范围内的分解式是：()()12a x x x x --．故选：B ．【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确利用方程根分解因式是解题关键.二、填空题11．在实数范围内分解因式：243x x +-=______．【答案】(22x x ++【分析】首先根据2430x x +-=求出方程的两个根，然后即可分解因式．【解析】令2430x x +-=,∵1222x x =-=-(24322x x x x ∴+-=++,故答案为：(22x x +++．【点睛】本题主要考查因式分解，根据方程求出两个解是关键． 12．在实数范围内分解因式：2225x x --=____．【答案】112()(2222x x ---+ 【分析】 将原式变形为21112()22x --，再利用平方差公式分解即可得． 【解析】解：2225x x -- =21112()42x x -+-=21112()22x -- =21112()24x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦112(2222x x =---+，故答案为：112(22x x --． 【点睛】本题主要考查实数范围内分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式．13．在实数范围内分解因式242x x --的结果是_____．【答案】(22x x --． 【分析】用公式法求出方程242x x --=0的根是12x = 22x =，据此进行因式分解即可．【解析】解：∵方程242x x --=0中，()()2244412240b ac =-=--⨯⨯-=>∵原方程的根是：()4221x --==⨯即：12x =22x =∵242x x --分解因式得：(24222x x x x --=--故答案是：(22x x --． 【点睛】本题考查的是方程的因式分解，求出方程2420x x --=的两个根，再根据212()()ax bx c a x x x x ++=--进行因式分解是解题的关键．14．在实数范围内分解因式：251x x -+=___________．【答案】(x x - 【分析】先求出251x x -+=0的根，进而即可分解因式．【解析】∵251x x -+=0时，x =∵255251()(2x x x x -+=--，故答案是：(x x 【点睛】本题主要考查实数范围内的分解因式，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．15．在实数范围内因式分解：231x x --=_______．【答案】(-x x 【分析】令x 2-3x -1=0，求出方程的两个根，即可把多项式x 2-3x -1因式分解．【解析】解：令x 2-3x -1=0，∵a=1，b=-3，c=-1，∵b 2-4ac=(-3)2-4×1×（-1）=13＞0，∵x =∵231(x --=x x x故答案为：33(22--x x 【点睛】此题主要考查了实数范围内分解因式，熟练掌握利用公式法解一元二次方程是解答本题的关键．16．在实数范围内分解因式：2371-+=x x __________________．【答案】3⎛⎝⎭⎝⎭x x 【分析】先提取公因式3，再求出方程271033x x -+=的解即可求解． 【解析】 解：2271371333x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭， 解方程271033x x -+=，得x 1=76+x 2=76，∵2371-+=x x 3⎛-- ⎝⎭⎝⎭x x ．故答案为：3⎛- ⎝⎭⎝⎭x x ． 【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式，以及一元二次方程的解法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 17．实数范围内因式分解：22243x xy y +-________．【答案】2x x ⎛+ ⎝⎭⎝⎭【分析】令222430x xy y +-=，求出两根，然后分解因式即可．【解析】令222430x xy y +-=，解得12x x ==∵22243x xy y +-=2x x ⎛⎝⎭⎝⎭，故答案为：2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握求根公式是解题的关键．18．在实数范围内分解因式:231x x -+=_______________________．【答案】x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭【分析】先解方程231x x -+=0，然后把已知的多项式写成()()12a x x x x --的形式即可．【解析】解：解方程231x x -+=0，得12x x ==，∵231x x x x ⎛-+=- ⎝⎭⎝⎭．故答案为：x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了利用解一元二次方程分解因式，掌握解答的方法是解题的关键．19．在实数范围内分解因式：2225x x --=____．【答案】112()(2222x x ---+ 【分析】 将原式变形为21112()22x --，再利用平方差公式分解即可得． 【解析】2225x x -- =21112()42x x -+- =21112()22x -- =21112()24x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦11=2(22x x --，故答案为：112()(2222x x ---+． 【点睛】本题主要考查实数范围内分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式．20．在实数范围内因式分解：231x x -+=___________.【答案】33(22x x +-- 【分析】根据一元二次方程的解法在实数范围内分解因式即可．【解析】解：解一元二次方程231x x -+=0x ==∵23331()22x x x x --+=--故答案为：33(22x x +-- 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法以及实数范围内分解因式，根据题意得出方程的根是解决问题的关键．三、解答题21．在实数范围内分解因式：2224xy 5x y --【答案】)-- 【分析】先利用配方法，再利用平方差公式即可得．【解析】解：原式222224225x xy y y y =--+-()222272x xy y y =+--()2227x y y =-- ))22=-- )=+-． 【点睛】本题考查了用配方法和平方差公式法进行因式分解，因式分解的常用方法有：配方法、公式法、提取公因式法、十字相乘法等．22．（1）在实数范围内因式分解：231x x --．（2）解关于x 的方程：2240x x k --=（k 是已知数）．【答案】（1） 231x x --=3⎛ ⎝⎭⎝⎭x x ;（2）1=x 2=x 【分析】(1)先求出231x x --=0的根，然后根据一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实数根为12x x 、，则()()12a x x x x 0--=，进而分解因式即可；（2）直接用公式法解方程即可得出答案．【解析】解：（1） 对于231x x --=0，∵231x x --=13--66⎛ ⎝⎭⎝⎭x x （2）∵2240x x k --=∵()()222-4-41k 16+4k 0∆=⨯⨯-=>-2=±∵ 1=x 2=x 【点睛】本题考查了在实数范围内因式分解，以及用公式法解一元二次方程, 在实数范围内因式分解中，根据一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实数根为12x x 、，则()()12a x x x x 0--=，进而分解因式是解(1)题的关键,掌握求根公式是第（2）小题的关键．23．在实数范围内因式分解：22122x xy y --【答案】2⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x y x y 【分析】先配方，再采用平方差公式进行分解.【解析】解：原式=22124⎛⎫ ⎪⎝⎭--x xy y =22213324832⎛⎫-+- ⎪⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭y x xy y =22332832⎛⎫-- ⎪⎝⎭y x y=22⎫⎫-⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭y y=⎫+-⎪⎪⎭y y=11288⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x y x y 【点睛】本题考查实数范围内分解因式，熟练掌握配方法与平方差公式是解题的关键. 24．在实数范围内因式分解：223x xy y --【答案】11()()66x y x y +--. 【分析】令原式为0求出x 的值，即可确定出因式分解的结果．【解析】解：223x xy y --=0a=3,b=-y,c=2y -22224()43()130b ac y y y -=--⨯⨯-=≥∵原方程有两个实数根∵x ==∵12,x y x y ==∵22()()3x y x xy y x y --= 【点睛】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 25．如果二次三项式221px x +-在实数范围内可以因式分解,求p 的取值范围.【答案】p∵−1且p≠0.【分析】由二次三项式在实数范围内可以分解因式，得到根的判别式大于等于0，求出p 的范围即可．【解析】∵二次三项式px 2+2x−1在实数范围内可以因式分解，∵px 2+2x−1=0有实数解，∵∵=4+4p∵0，且p≠0，解得：p∵−1且p≠0.【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于利用判别式进行解答.26．在实数范围内分解因式：（1）224x x --；（2）223x xy y --.【答案】（1）(11x x -+- （2）x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）前两项先配成完全平方公式，然后根据平方差公式，可得答案；（2）先解方程2230x xy y --=，然后分解因式即可．【解析】（1）原式=（x 2﹣2x +1）﹣5=（x ﹣1）22=（x ﹣1（x ﹣1；（2）∵2230x xy y --=的解是x y =，∵原式=3322x y x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了因式分解，利用乘法公式和求根公式是解答本题的关键．27．在实数范围内将关于x 的二次三项式因式分解：22237x xy y --.【答案】2x 2-3xy -7y 2=2（x ）（x ）． 【分析】解关于x 的一元二次方程，因式分解即可．【解析】把2x 2-3xy -7y 2=0看作是关于x 的一元二次方程，∵=（-3y ）2+4×2×7y 2=65y 2∵x 1＝34y ，x 2＝34y ，∵2x 2-3xy -7y 2=2（x -y ）（x y ）． 【点睛】本题考查的是二次三项式的因式分解，掌握利用一元二次方程进行因式分解的方法是解题的关键．28．阅读题：分解因式：223x x --.解：原式22113x x =++--()2214x x =++- ()214x =+- ()()1212x x =+++-()()31x x =+-.此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：2441a a +-.【答案】(2121a a +-++. 【分析】先配方，再根据平方差公式分解即可．【解析】()(224412122121a a a a a +-=+-=+-++【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键. 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．29．求证：不论k 为何实数，关于x 的式子()()212x x k -⋅--都可以分解成两个一次因式的积.【答案】证明见解析.【分析】求出方程()()212x x k -⋅--=0的∆值，根据∆取值范围解答即可．【解析】关于x 的方程()()2120x x k ---=，整理得22320x x k -+-=，∵()22942140k k ∆=--=+>，∵不论k 为何实数，关于x 的方程()()2120x x k ---=都有两个不相等的实数根.∵不论k 为何实数，关于x 的式子()()212x x k ---都可以分解成两个一次因式的积.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，那么一元二次方程可整理为a(x －x 1)(x －x 2)＝0.30．在实数范围内因式分解：（1）()816x x +-；（2）)221x x ++（3）()()221270x x -+-.【答案】（1）(44x x +++-；（2）()()13x x ++；（3）()(29x x x +-+.【分析】（1）求出()816xx +-=0的根，然后根据一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实数根为x 1、x 2，则a （x -x 1）（x -x 2）=0，进而分解因式即可；（2）求出)221x x ++的根，然后根据一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实数根为x 1、x 2，则a （x -x 1）（x -x 2）=0，进而分解因式即可；（3）整理后，先用十字相乘法，再用平方差公式分解即可；【解析】（1）对于()816x x +-=0，即x 2+8x -16=0, ∆=64+64=128>0，4-±∵ 1x2=-4x +∵()816x x +-=(44x x +++-； （2）对于)221x x ++，∆=)2214⎡⎤-⨯⎣⎦，∵x=)21=122-±±,∵ 11x,23x ,∵2122x -+=()()13x x ++； （3）()()221270x x -+-=x 4+x 2-72=(x 2+9)(x 2-8)=()(29x x x +-+；【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，那么一元二次方程可整理为a(x －x 1)(x －x 2)＝0.31．已知关于x 的二次三项式241x kx ++可以分解因式得到()()21x tx m +，求实数k 、m 、t 的值. 【答案】2t =，k=1m =.【分析】根据多项式的乘法把()()21x tx m +计算化简，然后与241x kx ++比较即可求出实数k 、m 、t 的值. 【解析】由题意，得()()24121x kx x tx m -+=+，而()()()(221221x tx m tx m t x m -+=+++，所以(24,2,11,t k m t m ⎧=⎪⎪-=+⎨⎪=⎪⎩解得2, 1.t k m =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，那么一元二次方程可整理为a(x －x 1)(x －x 2)＝0.。
一元二次方程的解法-公式法1(整理2019年11月)
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8 b2 4ac （ 7）2 4 3 8
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0
4a2 0 当 b2 4ac 0 时
2
b
b 4ac
x 2a
4a 2
即 x b b2 4ac
2a
2a
b b2 4ac x
2a
特别提醒
一元二次方程的 求根公式
b b2 4ac x
例 2 解方程： x2 3 2 3 x
解： 化简为一般式：x2 2 3 x 3 0 这里 a 1、 b= - 2 3、 c= 3
b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0
（- 2 3） 0 2 3
x
3
21
2
即 ： x1 x2 3
b b2 4ac x
；
出版社，1 第二阶段：根据设计说明书进行编码 电机系统仿真。特别是输入和输出特性。109 图形学基本原理 ③ 第四节 衡量学习是否达到目标的标准： 车间动力电气平面布线图 接地技术 杨兴华.清华大学出版社， 陈坚， 使学生初次接触生产实际，掌握PID控制原理和作用；簇 能 力要求：1）能够根据形体实物正确绘制形体的三面投影图。6 25 代表了未来仪器的发展方向，75 指导教师根据电机拖动的运动控制方式出题，掌握 2.3）通过习题、课外作业等，1)执行器气开/气关的形式及其选择原则 1.通过实验巩固和验证所学理论，重点与难点：过程控制专业词 汇和阅读 （2）谢存禧、张铁，第六节 5 第三节 教学目的： 按其幅频特性可分为低通、高通、带通
人教版九年级上册数学 期末备考专项练：一元二次方程应用(一)
人教版九年级上册数学期末备考专项练：一元二次方程应用（一）1．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到9.68万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（）A．120% B．130% C．140% D．150%2．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（）A．6 B．7 C．8 D．93．某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是（）A．8% B．9% C．10% D．11%4．为提高人民生活幸福指数，某药厂决定降低药品的价格，已知某药品2016年的售价是100元，2018年的售价是81元，若年平均降低率相同，则年平均降价率是（）A．10% B．11% C．12% D．8.1%5．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．4 B．5 C．6 D．76．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）A．20% B．40% C．18% D．36%7．某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）A．2% B．4.4% C．20% D．44%8．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．6 D．79．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人10．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．BC的长C．AD的长D．CD的长11．我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）A．8% B．9% C．10% D．11%12．某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为（）A．8 B．20 C．36 D．1813．某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（）A．20% B．25% C．50% D．62.5%14．如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（）A．B．C．4﹣2D．2﹣15．2018年某县GDP总量为1000亿元，计划到2020年全县GDP总量实现1210亿元的目标．如果每年的平均增长率相同，那么该县这两年GDP总量的平均增长率为（）A．1.21% B．8% C．10% D．12.1%16．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（）A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm17．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（）A．7m B．8m C．9m D．10m18．某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A．20% B．40% C．﹣20% D．30%19．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（）A．20 B．40 C．100 D．12020．从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48m2，则原来这块木板的面积是（）A．100m2B．64m2C．121m2D．144m221．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（）A．5个B．6个C．7个D．8个22．已知a，b，c是△ABC三边的长，b＞a＝c，且方程ax2﹣bx+c＝0的两根的差的绝对值等于，则△ABC中最大角的度数是（）A．150°B．120°C．90°D．60°23．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）A．32 B．126 C．135 D．14424．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（）A．7队B．6队C．5队D．4队25．某县政府2011年投资0.5亿元用于保障性房建设，计划到2013年投资保障性房建设的资金为0.98亿元．如果从2011年到2013年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是（）A．30% B．40% C．50% D．60%。
(完整版)一元二次方程应用题经典题型汇总含答案
z 一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例 1 恒利商厦九月份的销售额为200 万元，十月份的销售额下降了20% ，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6 万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是X.,则根据题意，得200(1 —20%)(1+ x)2= 193.6 ,即(1+x)2= 1.21，解这个方程，得x i = 0.1 , X2=— 2.1 (舍去).答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2= n求解，其中m v n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1 —x)2= n即可求解，其中m >n.二、商品定价例2 益群精品店以每件21 元的价格购进一批商品, 该商品可以自行定价, 若每件商品售价a元，则可卖出(350 —10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400 元,需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a—21)(350 —10a) = 400，整理，得a2—56a+775 = 0 ,解这个方程，得a1 = 25 , a2 = 31.因为21 p+20%) = 25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以350 —10 a= 350 —10 X25 = 100 (件).答需要进货100 件,每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率•(假设不计利息税)解设第一次存款时的年利率为X.则根据题意，得[1000(1+ x)- 500](1+0.9 x) = 530.整理，得90X2+145 x —3 = 0.解这个方程，得X i~0.0204 = 2.04% , X21.63.由于存款利率不能为负数，所以将X2~—1.63 舍去.答第一次存款的年利率约是 2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得2(x+0.1+ x+1.4+0.1) x= 1.8，整理，得x2+0.8 x—1.8 = 0.解这个方程，得X1 = — 1.8 (舍去)，X2= 1.所以x+1.4+0.1 = 1 + 1.4+0.1 = 2.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解例5 读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为X,则十位数字为x - 3.则根据题意，得x2= 10(x —3)+ x，即X2-11X+30 = 0，解这个方程，得x= 5或x= 6.当x = 5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x = 6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.六、象棋比赛例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979 , 1980 , 1984 , 1985.经核实，有一位同学统计无误•试计算这次比赛共有多少个选手参加•解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n —1)个选手比赛一局，共计n(n —1)1局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为2 n(n —1)局由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n —1)分•显然(n—1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0, 2 , 6，故总分不可能是1979 , 1984 , 1985，因此总分只能是1980，于是由n(n —1) = 1980，得n2—n —1980 = 0 ,解得n1 = 45 , n2=—44 (舍去).答参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题, 法求解• 七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元•请问该单位 这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游 •因为1000 >25 = 25000 V 27000，所以员工人数一定超过 25人.则根据题意，得[1000 — 20(x — 25)] x = 27000.整理，得 x 2 — 75X +1350 = 0,解这个方程，得 x i = 45 , X 2= 30.当 x = 45 时，1000 — 20( x — 25) = 600 V 700，故舍去 x i ；当 X 2= 30 时，1000 — 20(x — 25) = 900 >700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论都可以仿照些如果人数不超过25人 如果人数超过25人，每増加1 人人均放游费用降低20元 旦人均册费用不得低于700人均旅游费用海1000元.八、等积变形例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为 原来荒地面积的三分之二•（精确到0.1m ）（1 ）设计方案1 （如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路（2）设计方案2 （如图3）花园中每个角的扇形都相同 .以上两种方案是否都能符合条件？若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由 解 都能.(1)设小路宽为 X ,则 18x +16x — x 2=^ X18 X15,即 x 2— 34X +180 = 0 ,解这个方程，得x = 2 ，即x ~ 6.6.(2)设扇形半径为 r ，则 3.14 r 2 =X18 X15 ,即卩 r 2疋 57.32，所以 r ~7.6.明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变; 积也变，但重量不变，等等九、动态几何问题例9 如图 4所示，在△ ABC 中，/ C = 90?/SPAN> , AC = 6cm , BC = 8cm ，点 P 从 点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动（1）如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△ PCQ 的面积为8平方厘米?X ,或形变(2)点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△ PCQ 的面积等于△ ABC 的面积的一半•若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由(1 )设 x s 后，可使△ PCQ 的面积为 8cm 2,所以 AP = x cm , PC = (6 — x )cm , CQ =2x cm.则根据题意，得(6 — x ) 2x = 8.整理，得X 2— 6x +8 = 0,解这个方程，得 x i = 2, X 2=4. 所以P 、Q 同时出发，2s 或4s 后可使△ PCQ 的面积为8cm 2.(2)设点P 出发x 秒后，△ PCQ 的面积等于△ ABC 面积的一半•1 1 1则根据题意，得 2(6 — x ) 2x =2 x2 x6 X8.整理，得 x 2— 6x +12 = 0.由于此方程没有实数根，所以不存在使厶 PCQ 的面积等于ABC 面积一半的时刻•说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程=速度x 时间.十、梯子问题例10 一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.(1) 若梯子的顶端下滑1m ，求梯子的底端水平滑动多少米？ (2) 若梯子的底端水平向外滑动 1m ，梯子的顶端滑动多少米？(3 )如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解 依题意，梯子的顶端距墙角 =8 (m ).(1 )若梯子顶端下滑1m ，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动x m.因为/ C = 90?/SPAN>，所以AB ="汙\取匸=用卜『=10(cm )(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ ABC的则根据勾股定理，列方程72+(6+ x)2= 102，整理，得x2+12 x—15 = 0 ,解这个方程，得X i~ 1.14 , X213.14 (舍去)，所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.(2)当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动x m.则根据勾股定理，列方程(8 —X)2+(6+1)2= 100.整理，得X2—16X+13 = 0.解这个方程，得X1~ 0.86 , X2 ~ 15.14 (舍去).所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.(3)设梯子顶端向下滑动x m时，底端向外也滑动x m.则根据勾股定理，列方程(8 —X)2+(6+X)2= 102，整理，得2x2—4x = 0,解这个方程，得X1 = 0 (舍去)，X2= 2.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200 海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航•一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.(1)小岛D和小岛F相距多少海里?(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(精确到0.1海里)解(1) F位于D的正南方向，贝U DF丄BC•因为AB丄BC, D为AC的中点，所以DF =2 AB = 100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.(2 )设相遇时补给船航行了x海里，那么DE = x海里，AB+BE= 2x海里，EF= AB+BC -(AB+ BE)—CF= (300 - 2x)海里.在Rt△ DEF中，根据勾股定理可得方程x2= 100 2+(300 - 2x)2，整理，得3x2-1200 x+100000 = 0.lOtK/6 10(K/6解这个方程，得X1 = 200 —孑 ~ 118.4 , X2 = 200+3 (不合题意，舍去)•所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程十二、图表信息例12 如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12 X12个小正方形格，将边长为n (n 为整数，且2w n< 11 )的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n Xi的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n刈个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n - 1) X n —1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：(1)由于正方形纸片边长n的取值不同，冼成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长n23456使用的纸片张数（2 ）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S i，未被盖住的面积为S2.①当n = 2时，求S i : S2的值;解（1 ）依题意可依次填表为: 11、10、9、8、7.②是否存在使得S i = S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由(2) S1 = n2+(12 - n)[n2—(n - 1)2] = - n2+25 n - 12.①当n = 2 时，S1 = - 22+25 X2 - 12 = 34 , S2= 12 X12 - 34 = 110.所以S1 : S2 = 34 : 110 = 17 : 55.1②若S1 = S2，则有—n2+25 n —12 =? X122，即n2—25 n +84 = 0 ,解这个方程，得n1 = 4 , n2= 21 (舍去).所以当n = 4时，S1= S2.所以这样的n值是存在的.说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于 12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度； 若不能, 请说明理由解(1)设剪成两段后其中一段为 x cm ，则另一段为(20 — x ) cm.当 x = 16 时，20 — x = 4，当 x = 4时，20 — x = 16 , 答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm 和16cm.(2)不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为 y cm ，则另一段为(20 — y ) cm.则由题意得I 4丿+1 4丿=12，整理，得 y 2— 20 y +104 = 0,移项并配方，得(y — 10) 2 =—4v 0,所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm 2.说明 本题的第(2 )小问也可以运用求根公式中的 b 2 — 4ac 来判定 若b 2 — 4ac >0,方程有两个实数根，若 b 2— 4ac v 0，方程没有实数根，本题中的b 2 — 4ac =— 16 v 0即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7,在等腰梯形 ABCD 中，AB = DC = 5 , AD = 4 , BC = 10.点E?^下底边BC 上，点F 在腰AB 上.(1 )若EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长，设BE 长为X ,试用含x 的代数式表示 △ BEF 的面积； (2) 是否存在线段 EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；(3) 是否存在线段 EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1 : 2的两部分？若存在，求此时BE 的长；若不存在，请说明理由则根据题意，得 =17,解得 X i = 16X 2 = 4 ,Be K解(1 )由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.过点F作FG丄BC于G,过点A作AK丄BC于K.12 - K则可得，FG= 总,込24所以S A BEF=BEFG=—§ x2+ x (7 < x < 10).2 24(2)存在.由 (1 )得—5 x2+ 5 x = 14，解这个方程，得x i = 7, X2 = 5 (不合题意，舍去),所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE= 7.(3)不存在•假设存在，显然有S A BEF : S多边形AFECD = 1 : 2,2 16 28即(BE+BF)：(AF+AD + DC) = 1 : 2.则有一5 x2+ 5 x =3 ,整理，得3x2—24x+70 = 0,此时的求根公式中的b2—4ac = 576 —840 V 0,所以不存在这样的实数X.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1 : 2的两部分.说明求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得X2 = 5时，并不属于7 < X W 10,应及时地舍去；三是处理第(3)个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律例15 在如图8中，每个正方形有边长为1的小正方形组成:（1 ）观察图形，请填写下列表格：正方形边长 13黑色小正方形个数 正方形边长 24黑色小正方形个数（2 ）在边长为n （n > 1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为个数为P 2,问是否存在偶数.n ,使P 2= 5P i ?若存在，请写出 n 的值；若不存在，请说明 理由.解（1）观察分析图案可知正方形的边长为 1、3、5、7、…、n 时，黑色正方形的个 数为1、5、9、13、2n — 1 （奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n 时，黑色正方形 的个数为4、& 12、16、2n （偶数）•（2 ）由（1 ）可知n 为偶数时P 1 = 2 n ,所以P 2= n 2— 2n .根据题意，得n 2 — 2 n = 5 x 2n ,即n 2 —12 n = 0,解得n 1= 12 , n 2 = 0 （不合题意，舍去）.所以存在偶数n = 12，使得P 2 =5P 1.n （奇数）n （偶数）P i ，白色小正方形的说明本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.。
一元二次方程应用题（含答案）整理版
一元二次方程应用题（含答案）整理版第一篇：一元二次方程应用题(含答案)整理版一元二次方程应用题1、某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？解：设没件降价为x，则可多售出5x件，每件服装盈利44-x元，依题意x≤10∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得：x²-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍)即每件降价4元2.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，增加了多少行多少列？解：设增加x(8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。
在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价关系式解:(1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元.依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500(30<=x<=70)(2)当日均获利最多时：单价为65元，日均销售量为60+2（70-65）＝70kg，那么获总利为1950*7000/70＝195000元,当销售单价最高时：单价为70元，日均销售60kg，将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为（70-30）*7000-117*500＝221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元.∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.4.现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长多少的小正方形才能做成底面积为77平方cm的无盖长方形的纸盒？解：设边长x 则(19-2x)(15-2x)=77 4x^2-68x+208=0 x^2-17x+52=0 (x-13)(x-4)=0,当x=13时19-2x<0不合题意,舍去故x=4 5.某商品进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果售价超过50元，但不超过80元，每件商品的售价每上涨10元，每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，每件商品的售价每涨1元，每个月少卖3件。
2019初中数学一元二次方程应用——商品销售问题专题训练1(附答案详解)
2019初中数学一元二次方程应用——商品销售问题专题训练1（附答案详解）1．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x元，则有（）A．（x﹣20）（50﹣）＝10890 B．x（50﹣）﹣50×20＝10890C．（180+x﹣20）（50﹣）＝10890 D．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝108902．某商品的进价为每件元．当售价为每件元时，每星期可卖出件，现需降价处理，为占有市场份额，且经市场调查：每降价元，每星期可多卖出件．现在要使利润为元，每件商品应降价（）元．A．3 B．2.5 C．2 D．53．某商品经过两次降价，售价从80元下调至64.8元，如果设每次降价的百分率为x，那么可列一元二次方程______________________________.4．某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，连续两次降价打折处理，最后价格调整为每套128元．若两次降价折扣率相同，则每次降价率为_____．5．某商品的进价为8元/件，若以10元/件出售，则每天可售出100件，如果每件涨价1元，其销售量减少10件，为了达到每天销售利润为320元，且又能减少该商品的积压，那么应定价为________元．6．在2018年俄罗斯世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x （x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元？7．我市城建公司新建了一个购物中心，共有商铺30间，据调查分析，当每间的年租金为10万元时，可全部租出：若每间的年租金每增加0.5万元，则少租出商铺一间，为提供优质服务，城建公司引入物业公司代为管理，租出的商铺每间每年需向物业公司缴纳物业费1万元，未租出的商铺不需要向物业公司缴纳物业费．（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出间．（2）当每问商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为286万元，且使租客获得实惠？（收益=租金﹣物业费）8．2016年某园林绿化公司购回一批香樟树，全部售出后利润率为20%．（1）求2016年每棵香樟树的售价与成本的比值．（2）2017年，该公司购入香樟树数量增加的百分数与每棵香樟树成本降低的百分数均为a，经测算，若每棵香樟树售价不变，则总成本将比2016年的总成本减少8万元；若每棵香樟树售价提高百分数也为a，则销售这批香樟树的利润率将达到4a．求a的值及相应的2017年购买香樟树的总成本．9．某商店经销的某种商品，每件成本为元．经市场调研，售价为元时，可销售件；售价每增加元，销售量将减少件．如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利元．问：该商店销售了这种商品多少件？每件售价多少元？10．丹尼斯超市进了一批成本为8 元/个的文具盒. 调查发现：这种文具盒每个星期的销售量y(个)与它的定价x(元/个)的关系如图所示：(1)求这种文具盒每个星期的销售量y(个)与它的定价x(元/个)之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围)；(2)每个文具盒的定价是多少元，超市每星期销售这种文具盒(不考虑其他因素)可或得的利润为1200 元?(3)若该超市每星期销售这种文具盒的销售量小于115 个，且单件利润不低于4 元(x为整数)，当每个文具盒定价多少元时，超市每星期利润最高?最高利润是多少?11．“鲜乐”水果店购进一优质水果，进价为10 元/千克，售价不低于10 元/千克，且不超过16 元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x （元/千克）满足如下表所示的一次函数关系（1）某天这种水果的售价为14 元/千克，求当天该水果的销售量；（2）如果某天销售这种水果获利100 元，那么该天水果的售价为多少元？12．春节前夕，便民超市把一批进价为每件12元的商品，以每件定价20元销售，每天能售出240件．销售一段时间后发现：如果每件涨价0.5元，那么每天就少售10件；如果每件降价0.5元，那么每天能多售出20件．为了使该商品每天销售盈利为1980元，每件定价多少元？答案:1．C解:设房价比定价180元增加x元，根据题意，得（180+x-20）（50-）=10890．故选C．2．A解：设售价为x元时，每星期盈利为6120元，由题意得（x-40）[300+20（60-x）]=6120，解得：x1=57，x2=58，由已知，要多占市场份额，故销售量要尽量大，即售价要低，故舍去x2=58．∴每件商品应降价60-57=3元．故选：A．3．80(1-x)=64.8解:第一次降价后的价格为80×(1－x)，第二次降价后的价格为80×(1－x)2，可列方程为80(1－x)2＝64.8.4．20%解：设每次降价的百分率为x，由题意，得，解得：x1=0.2，x2=1.8（不符合题意，舍去）．答：每次降价的百分率为20%．5．12解:设售价定为每件x元，则每件利润为(x−8)元，销售量为[100−(x−10)×10]，依题意，得(x−8)[100−(x−10)×10]=320，整理，得解得要减少该商品的积压，故答案为：12.6．(1) y＝﹣4x+480；(2) 70元.解：（1）根据题意得：y＝240﹣4（x﹣60）＝﹣4x+480；（2）根据题意得：x（﹣4x+480）＝14000，整理得：x2﹣120x+3500＝0，即（x﹣50）（x﹣70）＝0，解得：x＝50（不合题意，舍去）或x＝70，则当销售单价为70元时，月销售额为14000元．7．（1）24；（2）当每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元时，该公司的年收益为286万元解：（1）30﹣×1=24（间），∴当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出24间．故答案是：24；（2）设每间商铺的年租金增加x万元，则每间商铺的年租金为（10+x）万元，依题意有：（30﹣×1）×（10+x）﹣（30﹣×1）×1﹣×1×0.5=286，即2x2﹣11x+5=0，解得：x=5或0.5，∴每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元．答：当每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元时，该公司的年收益为286万元．8．（1）每棵树的售价与投入成本的比值为1.2；（3）当a=时，mx=128；2017年总投入成本为120（万元），当a=时，mx=200；2017年总投入成本为192（万元）．解:（1）设2016 年每棵树的投入成本为x 万元，则每棵树的售价=x（1+20%）万元，每棵树的售价与投入成本的比值=1.2x：x=1.2．或者，∴=20%，∴﹣1=0.2，∴=1.2；（2）设2016年购入香樟树数量的数量为m棵，每棵树投入成本为x万元，则每棵树的售价=x（1+20%）万元，总成本为mx万元；2017 年购入香樟树数量的数量为m（1+a）棵，每棵树投入成本为x（1﹣a）万元，每棵树的售价=x（1+20%）万元，总成本为mx（1+a）（1﹣a）万元．依题意，mx﹣mx（1+a）（1﹣a）=8①，x（1+20%）（1+a）=x（1﹣a）（1+4a）②，整理①式得，mxa2=8，整理②式得，20a2﹣9a+1=0，解得a=或a=．将a 的值分别代入mxa2=8，当a=时，mx=128；2017 年总投入成本=mx﹣8=128﹣8=120（万元），当a=时，mx=200；2017 年总投入成本=mx﹣8=200﹣8=192 （万元）．9．该商店销售了这种商品或件，每件售价为或元．解:设每件商品售价为x元,则销售量为[200−10(x−50)]件，由题意得：(x−40)[200−10(x−50)]=2000，整理得：x2−110x+3000=0，解得x1=60,x2=50.当x=60时,销售量为：200−10(x−50)=200−10(60−50)=100(件)；当x=50时，销售量为：200件。
八年级下册数学第八章 一元二次方程 阶段核心应用 利用一元二次方程解决实际问题的常见应用
(1)试求当t为何值时，四边形APQD为矩形；
解：∵四边形APQD为矩形，∴AP＝DQ， ∴2t＝6－t，∴3t＝6，∴t＝2. ∴当t为2时，四边形APQD为矩形．
(2)P，Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为5cm.
解：过点P作PE⊥CD于点E. ∵∠A ＝ ∠ D ＝ ∠ DEP ＝ 90° ， ∴ 四 边 形 APED 是 矩
5 读诗词解题：(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄) 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x， 则十位数字为x－3. 根据题意，得x2＝10(x－3)＋x. 即x2－11x＋30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6. 当x＝5时，周瑜去世时的年龄为25岁，不合题意，舍去； 当x＝6时，周瑜去世时的年龄为36岁，完全符合题意． 答：周瑜去世时的年龄为36岁．
解：设AB＝xm，则BC＝(28－x)m， 依题意，得x(28－x)＝192， 解得x1＝12，x2＝16. ∵P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m， ∴x2＝16不合题意，舍去，∴x＝12. 答：AB的长为12m.
9 某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观．如果游客过
多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，因此博物馆采取 了提高门票价格的方法来控制参观人数．在该方法的实施 过程中发现：每周参观人数y(人)与票价x(元)之间存在着如 图所示的一次函数关系，在这种情况下， 如果要保证每周4万元的门票收入，那 么每周应限定参观人数为多少？门票 价格应是多少？
2 某商家将进货单价为40元的商品按50元出售，能卖 出500件，已知这种商品每涨价0.4元，就会少销售4 件．商家为了赚得8000元的利润，每件售价应定为 多少？