穿根法解高次不等式
穿根法解不等式的原理
穿根法解不等式的原理穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例摘要：本文通过阐述穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。
在原理层面，提出该方法中不等式的标准形式为f(x)=(x-x1)(x-x2)……(x-x n)∨0，规范了序轴的概念，先后由一元一次、二次到高次不等式，动态考察了f(x)的符号变化规律，并介绍如何使用穿根法表达此规律；在步骤层面，对解高次不等式、分式不等式和含等号不等式的操作步骤进行了分类详述；然后通过6个应用范例，进一步展现了穿根法解不等式的具体操作细节和若干注意事项。
论文最后概括说明了穿根法的特征和实用意义。
关键词：穿根法；解不等式；原理；步骤；应用穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。
然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。
现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。
一、原理穿根法解不等式时，一般先将其化为形如：f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0 （或<0）的标准形式，主要考察f(x)的符号规律。
在穿根法中我们引入序轴的概念。
序轴是一条有向直线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。
（一）一次不等式标准形式：f(x)=x-x1>0 （或<0）我们将x-x1=0的根x1标在序轴上，可以发现：x1右边的点都是大于x1的点，即是x-x1>0的解；而x1左边的点都是小于x1的点，即是x-x1<0的解。
所以可以如图标注，图中+、- 用以表示f(x)=x-x1的符号。
我们还可以以动态的思想来考察该问题。
当一点x=a 从x1右侧向x1左侧移动时，f(x)=x-x1经历了由正到0又到负的符号变换。
精品穿针引线法
穿针引线法解高次不等式设123()()()()()n F x k x a x a x a x a =----(0)k >解不等式()0F x >（或()0F x <）时，将方程()0F x =的根123,,,,n a a a a 从小到大依次标到数轴上，作为针眼.用一根线，从数轴的右上方开始穿针引线，每见到一个针眼，便穿过数轴一次，直到穿过全部针眼.数轴上方的部分为正，即为；数轴下方的部分为负，即为不等式()0F x <的解.注意：⑴要求x 的最高次项系数为正；（即：每一个x 的系数为正，且0k >，若0k <，则不等式两边同时乘以1-，并改变不等号的方向）⑵二重根时，按两个针眼对待，即穿过数轴两次；（奇过偶不过） ⑶()0()()0()f x f x g x g x >⇔>，()0()()0()f x f xg x g x <⇔<； ()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨≠⎩，()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≤⎧≤⇔⎨≠⎩； （或()0()0()()0()0()f x f x f x g x g x g x =⎧≤⇔<⎨≠⎩或）； ⑷2()h x ax bx c =++，当240b ac ∆=-<时，()h x 的符号是确定的；⑸永远从数轴右上方开始；⑹最后结果数轴上方的部分为不等式()0F x >的解，数轴下方的部分为不等式()0F x <的解；⑺不等式右边须为0，否则先移项，使右边为0；⑻穿针引线法可以用于解高次不等式，也可以用于解一次、二次不等式，或可以转化为高次不等式的分式不等式等.Eg1.解关于x 的不等式：⑴(1)(2)(3)(4)0x x x x ----< ⑵(1)(2)(3)(4)0x x x x ----≤分析：设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----Ex1. 解关于x 的不等式：⑴250x +> ⑵(1)(2)0x x +-> ⑶(1)(2)(3)0x x x +++≤ ⑷230x x ++> ⑸2220x x ++≤Ex2. 解关于x 的不等式：⑴236x x ->- ⑵(1)(2)03x x x --≤- ⑶2(1)03x x x +≤- ⑷2223044x x x x --<-+ ⑸2440x x ++≤Ex3. 解关于x 的不等式： ⑴222232x x x x x +-<+- ⑵614x >+作业：1．解关于x 的不等式：⑴22520x x ++> ⑵210x x ++> ⑶210x x ++≤ ⑷(1)(2)03x x x --≥+ ⑸2209x x <- ⑹2209x x ≥- ⑺10(2)(3)xx x -<++ ⑻23x x ≥ ⑼253x >-。
穿根法
典例讲解
例1解下列不等式
（1）
( x 1) 0
3
（2）
( x 1) 0
2
1是实根
1是虚根
1是3重根属于奇穿 解集为： [1,)
1是2重根属于偶切 解集为：(,1) (1,)
典例讲解
( x 1)(x 2) 2 0 例2解不等式 3 ( x 3) (5 x) ( x 1)(x 2) 2 0 解：原不等式可化为： 3 ( x 3) ( x 5)
分式不等式与高次不等式解法
---------------穿根法
沂源二中
吴东平
穿根法解不等式的步骤：
1 、整理：不等式的右端化为零，左端分解因式且 x 的系数都 化为正。 2、标根：令各因式等于零，把根依次标在数轴上， 要注意 实根和虚根的标法。 3、穿根：顺序是从右至左、自上而下依次穿每一根，要注 意：奇重根要穿偶重根要 切。 4、根据图示写出解集。
解集为：
[1,3) (5,)
反馈训练
练习：解下列不等式 （限时4分钟）
( x 2) 2 ( x 3) (1) 0 x 1 ( x 2) 2 ( x 5) (3) 0 x4 ( x 2) 2 ( x 3) (2) 0 x 1 ( x 2) 2 ( x 3) 3 (4) 0 x 1
答案： (1)
(3)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1,2) (2,3)
(2)
(4)
(1,3]
(1,2) (2,3)
{x | x 2或4 x 5}
穿根法解高次不等式
穿根法解高次不等式一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0(2) x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或(2) 变形为 (2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2) ≥0根据穿根法如图不等式解集为{x x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}.【例2】 解不等式：(1)2x 3-x 2-15x ＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝．【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x ．的系．．数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2)．．．的解法转化为不含重根．．．．．．．．．．的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．．其法如．．．．图．(5．．－．2)．．．．二．数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
数轴标根法又称数轴穿根法或穿针引线法
“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”是高次不等式的简单解法当高次不等式f（x）>0（或<0）的左边整式、分式不等式φ（x）/h（x）>0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x －an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f （x）、φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。
为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图1（图片自上而下依次为图一，二，三，四）。
步骤第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2。
（如图四）奇过偶不过就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过（X-1)^2. 0点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。
管理类联考数学核心考点精讲丨穿根法解分式不等式
/ 管理类联考数学核心考点精讲丨穿根法解分式不等式
在管理类联考的理论考试中，一元二次不等式是历年考试的重点，利用穿根法求解不等式是在此基础上的延伸。
文都考研dudu汇总了穿根法解分式不等式相关知识，分式不等式以及高次不等式的求解基本上都是利用穿根法进行求解的，虽然出题频率不高，但是穿根法学起来好用却并不难，希望同学们掌握这部分的内容，在考试之前多掌握些题型和做题方法。
一、不等式基本性质的理论基础
1.高次不等式求解
第一步：分解因式——因式定理、十字相乘法、分组分解法。
第二步：化最高次项系数为正或者为1。
第三步：穿线法——奇穿偶不穿，正负看区间。
2.分式不等式求解
第一步，先移项把不等式的右边化为0，左边是分式。
第二步，再通分，对左边的分式进行通分。
第三步，对分子分母同时进行因式分解。
第四步，化最高次项系数为正或者为1。
第五步，通过穿线法求得不等式的解集，找解验分母。
注：不能忘掉分母不能为0的限制。
考研选文都不当陪考族
/。
用穿根法解不等式(经典归纳)
一元高次不等式的解法这里主要介绍“数轴标根法”解高次不等式，简单快捷.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”、“穿针引线法”或“序轴标根法”.一、解题步骤求不等式32638x x x -+<-+的解集1. 化简：移项使右侧为0，将x 最高次项系数化为正数，再将左侧分解为几个一次因式积的形式.将32638x x x -+<-+化为323680(2)(1)(4)0x x x x x x --+>⇒+-->2. 求根：将不等式换成等式解出所有根.(2)(1)(4)0x x x +--=的根为12x =-，21x =，34x =3. 标根：在数轴上从左到右依次标出各根.-2 1 44. 穿根：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根.5. 写解：大于号取上方，小于号取下方，取穿根线以内的范围，将各解集求并.不等式32638x x x -+<-+的解集为：{}|21,4x x x -<<>或二、易错提示求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n1. 分解因式：将不等式化为0123()()()()0n a x x x x x x x x ---->L 形式.2. 正化系数：将各因式中的x 系数化为正数.3. 奇穿偶不穿：从右上方往左下方穿线，依次经过数轴上表示各根的点，看各一次因式的次数，偶次根穿而不过，奇次根一穿而过，简称“奇穿偶不穿”.4. 解分式不等式：可化为一元高次不等式进行求解，如遇“≤或≥”，在标根时，分子实心，分母空心.三、分式不等式解法1.()()()()00f x f x g x g x >⇔⋅> 2.()()()()00f x f x g x g x <⇔⋅< 3.()()()()()000f xg x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩ 4.()()()()()000f xg x f x g x g x ⋅≤⎧⎪≤⇔⎨≠⎪⎩ 四、应用举例1.解不等式：22320712x x x x -+≤-+-（系数非正） 2.解不等式：22911721x x x x -+≥-+（右侧非0） 点评：（1）不能随便去分母（2）移项通分，必须保证右侧为“0”（3）注意重根问题3.解不等式：2256032x x x x +-≥-+（分子，分母有公因式） 点评：（1）不能随便约去因式（2）重根空实心，以分母为准4.解不等式：2121332x x x x ++>--（不等式左右有公因式） 点评：不等式左右不能随便乘除因式。
高次不等式的解法完整版
高次不等式的解法标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]高次不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0(2)x2-4x+13x2-7x+2≤1解:(1)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x∣x>2或x<-4(2)变形为 (2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0根据穿根法如图不等式解集为{xx< 13或12≤x≤1或x>2}.【例2】解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．【说明】用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x．的系数必为正；②对于．．．．．．．．．．偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．(2)．．．的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．注意．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．．其法如图．．．．．(5．．－．2)．．．．数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
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穿根法解高次不等式
一.方法:先因式分解,再使用穿根法.
注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数得系数为正。
使用方法:
①在数轴上标出化简后各因式得根,使等号成立得根,标为实点,等号不成立得根要标虚点。
②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).
③数轴上方曲线对应区域使“〉”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.
例1:解不等式
(1) (x+4)(x+5)2(2－ｘ)3<0
(2) 错误!≤1
解:
(1) 原不等式等价于(x ＋４)(x+5)2(x —２)3＞0
(2)
根据穿根法如图 不等式解集为 {x x< １ 3 或＼f( 1 , 2 )【例２】 解不等式:(１)2x 3－x 2—1５x 〉０;(2)(x+4)(x+5)2(2—x)3<0。
【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式得积,则一元高次不等式ｆ(x)＞0(或f(ｘ)＜0)可用“穿根法"求解,但要注意处理好有重根得情况、 解:(1)原不等式可化为
x(２ｘ＋５)(x-3)〉0
顺轴.然后从右上开始画曲线顺次经过三个根,其解集如图(５－1)得阴影部分.
(2)原不等式等价于
(x+4)(ｘ+5)2(ｘ-2)3＞0
∴原不等式解集为｛x|ｘ＜-5或－５＜ｘ〈—4或x ＞2｝、
【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意．．．．．．．．．．．．．．:．①各一次项中．．．．．．x ．得．系数必为正．．．．．;．②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．(．２．)．得解法转化为不含重．．．．．．．．．根得不等式．．．．．,．也可直接用“穿根法．．．．．．．．．",．．但注意．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．.．其法如图．．．．
(5．．－．２．)．
.． 二.
数轴标根法”又称“数轴穿根法”
第一步:通过不等式得诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0。
(注意:一定要保证x 前得系数为
正数)
例如:将x^3—2x^2—x+2>0化为(x-2)(x-１)(x+1)＞０
第二步:将不等号换成等号解出所有根。
例如:(x —２)(x-1)(x+1)=0得根为:x １＝2,x ２＝1,x ３=—1
第三步:在数轴上从左到右依次标出各根。
例如:—1 1 ２
第四步:画穿根线:以数轴为标准,从“最右根”得右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,一上一下依次穿过各根、
第五步:观察不等号,如果不等号为“〉",则取数轴上方,穿根线以内得范围;如果不等号为“<”则取数轴下方,穿根线以内得范围。
ｘ得次数若为偶数则不穿过,即奇过偶不过。
例如:
若求(x-２)(x-1)(ｘ+1)〉0得根、
在数轴上标根得:—1 1 ２
画穿根线:由右上方开始穿根。
因为不等号为“＞”则取数轴上方,穿跟线以内得范围。
即:-1〈ｘ〈1或ｘ〉２、运用序轴标根法解题时常见错误分析
当高次不等式ｆ(x)〉0(或＜０)得左边整式、分式不等式φ(ｘ)／h(ｘ)〉0(或＜０)得左边分子、分母能分解成若干个一次因式得积(ｘ—a1)(ｘ－a2)…(ｘ－ａn)得形式,可把各因式得根标在数轴上,形成若干个区间,最右端得区间ｆ(ｘ)、φ(x)/h(x)得值必为正值,从右往左通常为正值、负值依次相间,这种解不等式得方法称为序轴标根法。
为了形象地体现正负值得变化规律,可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应得点,穿过最后一个点后就不再变方向,这种画法俗称“穿针引线法",如图1。
运用序轴标根法解不等式时,常犯以下得错误:
1。
出现形如(a－x)得一次因式时,匆忙地“穿针引线”。
例1 解不等式x(３－x)(x+1)(ｘ－2)>0。
解ｘ(３-ｘ)(x+1)(x—2)＞０,将各根－1、0、２、３依次标在数轴上,由图1可得原不等式得解集为｛ｘ｜x＜—１或0＜x＜２或x＞３｝。
事实上,只有将因式(ａ－ｘ)变为(x—a)得形式后才能用序轴标根法,正确得解法就是: 解原不等式变形为ｘ(ｘ—３)(x＋１)(ｘ-2)＜０,将各根—１、０、2、３依次标在数轴上,由图1,原不等式得解集为｛ｘ|－１＜x＜0或２〈ｘ〈3｝、
２. 出现重根时,机械地“穿针引线"
例2 解不等式(ｘ＋1)(ｘ－１)2(x—４)3＜0
解将三个根—１、1、４标在数轴上,由图2得,
原不等式得解集为｛ｘ｜ｘ＜－1或1〈x〈4｝。
这种解法也就是错误得,错在不加分析地、机械地“穿针引线"。
出现几个相同得根时,所画得浪线遇到“偶次”点(即偶数个相同根所对应得点)不能过数轴,仍在数轴得同侧折回,只有遇到“奇次”点(即奇数个相同根所对应得点)才能穿过数轴,正确得解法如下:
解将三个根－1、1、4标在数轴上,如图3画出浪线图来穿过各根对应点,遇到x=1得点时浪线不穿过数轴,仍在数轴得同侧折回;遇到ｘ=４得点才穿过数轴,于就是,可得到不等式得解集
｛ｘ｜—１〈ｘ＜４且ｘ≠１}
3. 出现不能再分解得二次因式时,简单地放弃“穿针引线”
例3 解不等式ｘ(x＋１)(ｘ-2)(ｘ３-１)>0
解原不等式变形为ｘ(ｘ+１)(ｘ－2)(x—1)(ｘ２＋ｘ+1)>０,有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了,因为序轴标根法指明要分解成一次因式得积,事实上,根据这个二次因式得符号将其消去再运用序轴标根法即可、
解原不等式等价于
ｘ(x＋１)(x-２)(x—1)(x２＋ｘ＋１)〉0,
∵ ｘ2＋x+１＞0对一切ｘ恒成立,
∴ ｘ(ｘ－1)(ｘ+１)(ｘ－2)〉0,由图４可得原不等式得解集为{ｘ｜x〈－１或0<x〈1或x>２｝。