用穿根法解不等式(经典归纳)
高中不等式经典例题
高中不等式经典例题例1解不等式：(1)2x ³-x ²-15x>0;(2)(x+4)(x+5)²(2-x)³<0.分析：如果多项式 f(x)可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正：②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式， 也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图.典型例题二例2解下列分式不等式： (1)3x−2≤1−2x+2; (2)x 2−4x+13x 2−7x+2<1分析：当分式不等式化为 f (x )g (x )<0(或≤0)时，要注意它的等价变形(1) 解：原不等式等价于3x−2≤x x+23x−2−x x+2≤03(x+2)−x (x−2)(x−2)(x+2)≤0−x 2+5x+6(x−2)(x+2)≤0可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况。
解:(1) 原不等式可化为x(2x+5)(x-3)>0x 1=0,x 2=−52,x 3=3顺次标上数轴， 然后从右上开始画线顺次经过三个根， 其解集如下图的阴影部分，∴原不等式解集为(2) 原不等式等价于(x+4)(x+5)³(x -2)³>0x>2 ∴原不等式解集为 或-5<x<-4或x>2}f (x )g (x )<0f (x )⋅g (x )<0;(x−6)(x+1)(x−2)(x+2)≥0{(x −6)(x +1)(x −2)(x +2)≥0(x +2)(x −2)≠0(2) 解法一：原不等式等价于2x 2−3x+13x 2−7x+2>0 (2x 2−3x +1)(3x 2−7x +2)>0{2x 2−3x +1>03x 2−7x +2>0或 {2x 2−3x +1<03x 2−7x +2<0x <13或 12<x <1或x>2，∴原不等式解集为 (−∞,13)∪(12,1)∪(2,+∞). 解法二：原不等式等价于典型例题三例3解不等式|x ²-4|<x+2 分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义 |a|={a (a ≥0)−a(a <0)二是根据绝对值的性质： |x|<a −a <x <a,|x|ax >a 或x<-a, 因此本题有如下两种解法。
穿根法解高次不等式
穿根法解高次不等式一.方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数得系数为正。
使用方法:①在数轴上标出化简后各因式得根,使等号成立得根,标为实点,等号不成立得根要标虚点。
②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“〉”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2－ｘ)3<0(2) 错误!≤1解:(1) 原不等式等价于(x ＋４)(x+5)2(x —２)3＞0(2)根据穿根法如图 不等式解集为 {x x< １ 3 或＼f( 1 , 2 )【例２】 解不等式:(１)2x 3－x 2—1５x 〉０;(2)(x+4)(x+5)2(2—x)3<0。
【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式得积,则一元高次不等式ｆ(x)＞0(或f(ｘ)＜0)可用“穿根法"求解,但要注意处理好有重根得情况、 解:(1)原不等式可化为x(２ｘ＋５)(x-3)〉0顺轴.然后从右上开始画曲线顺次经过三个根,其解集如图(５－1)得阴影部分.(2)原不等式等价于(x+4)(ｘ+5)2(ｘ-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|ｘ＜-5或－５＜ｘ〈—4或x ＞2｝、【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意．．．．．．．．．．．．．．:．①各一次项中．．．．．．x ．得．系数必为正．．．．．;．②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．(．２．)．得解法转化为不含重．．．．．．．．．根得不等式．．．．．,．也可直接用“穿根法．．．．．．．．．",．．但注意．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．.．其法如图．．．．(5．．－．２．)．.． 二.数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步:通过不等式得诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0。
(注意:一定要保证x 前得系数为正数)例如:将x^3—2x^2—x+2>0化为(x-2)(x-１)(x+1)＞０第二步:将不等号换成等号解出所有根。
穿根法
典例讲解
例1解下列不等式
（1）
( x 1) 0
3
（2）
( x 1) 0
2
1是实根
1是虚根
1是3重根属于奇穿 解集为： [1,)
1是2重根属于偶切 解集为：(,1) (1,)
典例讲解
( x 1)(x 2) 2 0 例2解不等式 3 ( x 3) (5 x) ( x 1)(x 2) 2 0 解：原不等式可化为： 3 ( x 3) ( x 5)
分式不等式与高次不等式解法
---------------穿根法
沂源二中
吴东平
穿根法解不等式的步骤：
1 、整理：不等式的右端化为零，左端分解因式且 x 的系数都 化为正。 2、标根：令各因式等于零，把根依次标在数轴上， 要注意 实根和虚根的标法。 3、穿根：顺序是从右至左、自上而下依次穿每一根，要注 意：奇重根要穿偶重根要 切。 4、根据图示写出解集。
解集为：
[1,3) (5,)
反馈训练
练习：解下列不等式 （限时4分钟）
( x 2) 2 ( x 3) (1) 0 x 1 ( x 2) 2 ( x 5) (3) 0 x4 ( x 2) 2 ( x 3) (2) 0 x 1 ( x 2) 2 ( x 3) 3 (4) 0 x 1
答案： (1)
(3)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1,2) (2,3)
(2)
(4)
(1,3]
(1,2) (2,3)
{x | x 2或4 x 5}
穿根法解高次不等式
穿根法解高次不等式一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0(2) x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或(2) 变形为 (2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2) ≥0根据穿根法如图不等式解集为{x x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}.【例2】 解不等式：(1)2x 3-x 2-15x ＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝．【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x ．的系．．数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2)．．．的解法转化为不含重根．．．．．．．．．．的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．．其法如．．．．图．(5．．－．2)．．．．二．数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
高次不等式的穿针法（范文8篇）
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高次不等式的穿针法（1）穿根法解高次不等式一．方法:先因式分解, 再使用穿根法.注意:因式分解后, 整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根, 使等号成立的根, 标为实点, 等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线, 遇偶次重根不穿透, 遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3x 2-4x+1 (2) 1 3x -7x+2解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x∣x>2或x(2x-1)(x-1) (2) 变形为≥0根据穿根法如图不等式解集为1 1 {x ≤x ≤1或x>2}. 3 2【例2】解不等式：(1)2x3-x 2-15x ＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0) 可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1) 的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝．【说明】用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x ．．系数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．其法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．如图(5－2) ．．．．．．．．．二．数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
管理类联考数学核心考点精讲丨穿根法解分式不等式
/ 管理类联考数学核心考点精讲丨穿根法解分式不等式
在管理类联考的理论考试中，一元二次不等式是历年考试的重点，利用穿根法求解不等式是在此基础上的延伸。
文都考研dudu汇总了穿根法解分式不等式相关知识，分式不等式以及高次不等式的求解基本上都是利用穿根法进行求解的，虽然出题频率不高，但是穿根法学起来好用却并不难，希望同学们掌握这部分的内容，在考试之前多掌握些题型和做题方法。
一、不等式基本性质的理论基础
1.高次不等式求解
第一步：分解因式——因式定理、十字相乘法、分组分解法。
第二步：化最高次项系数为正或者为1。
第三步：穿线法——奇穿偶不穿，正负看区间。
2.分式不等式求解
第一步，先移项把不等式的右边化为0，左边是分式。
第二步，再通分，对左边的分式进行通分。
第三步，对分子分母同时进行因式分解。
第四步，化最高次项系数为正或者为1。
第五步，通过穿线法求得不等式的解集，找解验分母。
注：不能忘掉分母不能为0的限制。
考研选文都不当陪考族
/。
数学方法穿根法
穿根法“数轴穿根法”又称“数轴标根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0，并分解因式。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号威“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2。
穿根前应注意，每项X系数均为正，否则应先则提取负号，改变相应不等号方向，再穿根。
例如(2-x)(x-1)(x+1)<0，要先化为(x-2)(x-1)(x+1)>0，再穿根。
穿根法的奇过偶不过定律：就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。
还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。
但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。
也是奇过偶不过。
可以简单记为“奇穿过，偶弹回”或“自上而下，从右到左，奇次跟一穿而过，偶次跟一穿不过”（口诀秘籍嘿嘿）。
还有关于分号的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的，直接把分号下面的乘上来，变成乘法式子。
继续用穿根法，但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于0典型事例：第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0，并分解因式。
高次不等式的解法完整版
高次不等式的解法标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]高次不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0(2)x2-4x+13x2-7x+2≤1解:(1)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x∣x>2或x<-4(2)变形为 (2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0根据穿根法如图不等式解集为{xx< 13或12≤x≤1或x>2}.【例2】解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．【说明】用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x．的系数必为正；②对于．．．．．．．．．．偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．(2)．．．的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．注意．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．．其法如图．．．．．(5．．－．2)．．．．数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
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一元高次不等式的解法
这里主要介绍“数轴标根法”解高次不等式，简单快捷.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”、“穿针引线法”或“序轴标根法”.
一、解题步骤
求不等式32638x x x -+<-+的解集
1. 化简：移项使右侧为0，将x 最高次项系数化为正数，再将左侧分解为几个一次因式积的形式.
将32638x x x -+<-+化为323680(2)(1)(4)0x x x x x x --+>⇒+-->
2. 求根：将不等式换成等式解出所有根.
(2)(1)(4)0x x x +--=的根为12x =-，21x =，34x =
3. 标根：在数轴上从左到右依次标出各根.
-2 1 4
4. 穿根：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根.
5. 写解：大于号取上方，小于号取下方，取穿根线以内的范围，将各解集求并.
不等式32638x x x -+<-+的解集为：{}|21,4x x x -<<>或
二、易错提示
求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n
1. 分解因式：将不等式化为0123()()()()0n a x x x x x x x x ---->L 形式.
2. 正化系数：将各因式中的x 系数化为正数.
3. 奇穿偶不穿：从右上方往左下方穿线，依次经过数轴上表示各根的点，看各一次因式的次数，偶次根穿而不过，奇次根一穿而过，简称“奇穿偶不穿”.
4. 解分式不等式：可化为一元高次不等式进行求解，如遇“≤或≥”，在标根时，分子实心，分母空心.
三、分式不等式解法
1.()()
()()00f x f x g x g x >⇔⋅> 2.()()
()()00f x f x g x g x <⇔⋅< 3.()()()()()000
f x
g x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩ 4.()()()()()000
f x
g x f x g x g x ⋅≤⎧⎪≤⇔⎨≠⎪⎩ 四、应用举例
1.解不等式：22320712
x x x x -+≤-+-（系数非正） 2.解不等式：22911721
x x x x -+≥-+（右侧非0） 点评：
（1）不能随便去分母
（2）移项通分，必须保证右侧为“0”
（3）注意重根问题
3.解不等式：2256032
x x x x +-≥-+（分子，分母有公因式） 点评：
（1）不能随便约去因式
（2）重根空实心，以分母为准
4.解不等式：2121332
x x x x ++>--（不等式左右有公因式） 点评：不等式左右不能随便乘除因式。
5. 解不等式：22331
x x x ->++（不能十字相乘分解因式，无法分解因式）
五、经典练习
1.解不等式：
3
2
x
x
-
≥
-
（首项系数化为正，空实心）
2.解不等式：21
1
3
x
x
-
>
+
（移项通分，右侧化为0）
3.解不等式：
2
2
32
23
x x
x x
-+
≤
--
（因式分解）
4.解不等式：
221
2
x x
x
--
<
-
（求根公式法因式分解）
5.解不等式：()()
()
32
2
16
3
x x x
x
-++
≤
+
（恒正式，重根问题）
6.解不等式：
()
2
3
9
x x
x
-
≤
-
（不能随便约分）
7.解不等式：
1
01
x
x
<-<（取交集）
8.解不等式：解不等式：
()1
1
2
a x
x
-
>
-
（含参分类讨论）。