高次不等式的解法

立.
例 1:解不等式
(1)
(x+4)(x+5)2(2-x)3<0
(2)
x2-4x+1 3x2-7x+2
≤1
解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图
-5 -4 不等式解集为{x∣x>2 或 x<-4 且 x≠5}.
2
(2)Biblioteka 变形为(2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2)
高次不等式的解法---穿根法
一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法: ①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号
不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫
奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成
当高次不等式ｆ（ｘ）＞０（或＜０）的左边整式、分式不等式 φ（ｘ）／ｈ（ｘ） ＞０（或＜０）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（ｘ－ａ１）（ｘ－ａ２）… （ｘ－ａｎ）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间ｆ（ｘ）、 φ（ｘ）／ｈ（ｘ）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的 方法称为序轴标根法。
∵ ｘ２＋ｘ＋１＞０对一切ｘ恒成立，
∴ ｘ（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ－２）＞０，由图４可得原不等式的解集为｛ｘ｜ｘ ＜－１或０＜ｘ＜１或ｘ＞２｝
二．
数轴标根法”又称“数轴穿根法” 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为 0。（注意：一定要保
证 x 前的系数为 正数）
例如：将 x^3-2x^2-x+2>0 化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0 的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后 又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。 第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果 不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x 的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶 不过。 例如： 若求(x-2)(x-1)(x+1)>0 的根。 在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1<x<1 或 x>2。 运用序轴标根法解题时常见错误分析
≥0
根据穿根法如图
1 3
11 2
2
不等式解集为
{xx<
1 3
或
1 2
≤x≤1
或
x>2}.
【例 2】 解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．
【分析】 如果多项式 f(x)可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式 f(x)＞0(或 f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．
事实上，只有将因式（ａ－ｘ）变为（ｘ－ａ）的形式后才能用序轴标根法，正确的解 法是：
解 原不等式变形为ｘ（ｘ－３）（ｘ＋１）（ｘ－２）＜０，将各根－１、０、２、 ３依次标在数轴上，由图１，原不等式的解集为｛ｘ｜－１＜ｘ＜０或２＜ｘ＜３｝。
２． 出现重根时，机械地“穿针引线” 例２ 解不等式（ｘ＋１）（ｘ－１）２（ｘ－４）３＜０ 解 将三个根－１、１、４标在数轴上，由图２得， 原不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜－１或１＜ｘ＜４｝。 这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时， 所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点）不能过数轴，仍在数轴的同侧折 回，只有遇到“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴，正确的解法如下： 解 将三个根－１、１、４标在数轴上，如图３画出浪线图来穿过各根对应点，遇到ｘ ＝１的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到ｘ＝４的点才穿过数轴，于是，可 得到不等式的解集 ｛ｘ｜－１＜ｘ＜４且ｘ≠１｝ ３． 出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线” 例３ 解不等式ｘ（ｘ＋１）（ｘ－２）（ｘ ３－１）＞０ 解 原不等式变形为ｘ（ｘ＋１）（ｘ－２）（ｘ－１）（ｘ ２＋ｘ＋１）＞０，有些 同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的 积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。 解 原不等式等价于 ｘ（ｘ＋１）（ｘ－２）（ｘ－１）（ｘ２＋ｘ＋１）＞０，
为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的 点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图１。
运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误： １． 出现形如（ａ－ｘ）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。 例１ 解不等式ｘ（３－ｘ）（ｘ＋１）（ｘ－２）＞０。 解 ｘ（３－ｘ）（ｘ＋１）（ｘ－２）＞０，将各根－１、０、２、３依次标在数轴 上，由图１可得原不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜－１或０＜ｘ＜２或ｘ＞３｝。
解：(1)原不等式可化为 x(2x+5)(x-3)＞0
顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影 部分．
(2)原不等式等价于 (x+4)(x+5)2(x-2)3＞0
∴原不等式解集为｛x|x＜-5 或-5＜x＜-4 或 x＞2｝．
【说明】 用．“．穿．根．法．”．解．不．等．式．时．应．注．意．：．①．各．一．次．项．中．x．的． 系．数．必．为．正．；．②．对．于．偶．次．或．奇．次．重．根．可．参．照．(．2．)．的．解．法．转．化．为．不．含．重． 根．的．不．等．式．，．也．可．直．接．用．“．穿．根．法．”．，．但．注．意．“．奇．穿．偶．不．穿．”．．．其．法． 如．图．(．5．－．2．)．．．