几个重要不等式及其应用

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数学分析中几个重要不等式的应用-2019年精选教育文档

数学分析中几个重要不等式的应用不等关系是数学中的基本关系，不等式在数学应用和数学研究中起着非常重要的作用，不等式在数学中是一门独立的分支，而一些不等式在数学分析中起着非常重要的作用，在证明和解决数学问题中都有重要地位，在数学研究中有许多形式优美而且具有重要应用价值的不等式，一般称其为重要不等式.利用重要不等式可以评价命题的科学性，防止产生一些科学性的错误，对研究分析问题都有一定的指导作用。

一、几种重要不等式的混合应用有些不等式的证明题目如果只使用某一种重要不等式可能不一定达到证明的目的，因此需要交叉使用多个重要不等式，以下给出一个与三角函数有关的不等式命题，该题的证明需要用到Jensen不等式和均值不等式。

例1设P为内任一点，求证：在、、中至少有一个小于或等于证明设、、；、、由正弦定理知所以在、、中必有一个角的正弦值不大于，不妨设所以有，否则，此时有或.二、重要不等式与数学思想方法相结合的应用重要不等式的许多应用，前面已经论述过，在数学分析中数学思想方法可谓是一个强有力的数学工具，许多重要不等式的证明本身或许就是这些数学思想方法成功运用的典范，当然在不等式的证明问题中如能成功运用这些思想方法将会在解题的灵活性和技巧性上收到事半功倍之效.例2（Cauchy不等式）若，（），则分析Cauchy不等式的形式具有一元二次方程根的判别式形式，于是我们想到了构造法.证明利用非负二次三项式的判别式非正的原理.构造函数分析欲证不等式较为复杂，而且不能直接运用均值不等式，所以应采用换元法加以化简变形，构建使用均值不等式的结构。

证明由已知条件原不等式即证：而上式当且仅当即时成立.本文中不等式的证法多是常用的证法，有许多证明方法都是数学思想方法成功运用的典范，现对本文中所涉及到的数学思想方法作出总结，这样可以加深我们对数学思想方法的认识和理解。

重要不等式使用条件

重要不等式使用条件一、引言在数学中，不等式是一种比较两个数或者变量关系的数学表达式。

不等式的研究对于解决各种实际问题具有重要意义。

在数学中，有许多重要的不等式被广泛应用于各个领域，如数论、代数、几何和概率论等。

本文将介绍一些常见的重要不等式及其使用条件。

二、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是解析几何中的一个基本定理，它描述了内积的性质。

该不等式可以用来证明其他重要定理，如三角形不等式和均值不等式。

不等式表述对于实数集合上的内积空间V中的向量a和b，柯西-施瓦茨不等式可以表示为：|⟨a,b⟩|≤∥a∥∥b∥其中⟨a,b⟩表示向量a和b的内积，∥a∥表示向量a的模。

使用条件柯西-施瓦茨不等式成立的条件是向量空间V上定义了内积，并且满足以下性质：1.正定性：对于任意非零向量a，有⟨a,a⟩>0。

2.齐次性：对于任意标量k和向量a，有⟨k⋅a,b⟩=k⋅⟨a,b⟩。

3.加法性：对于任意向量a、b和c，有⟨a+b,c⟩=⟨a,c⟩+⟨b,c⟩。

满足以上条件的内积空间可以是实数集合上的内积空间或复数集合上的内积空间。

三、三角形不等式三角形不等式是几何学中一个基本的定理，它描述了三角形中边长之间的关系。

该不等式在计算几何学、概率论和信息论等领域得到广泛应用。

不等式表述对于任意三角形的边长a、b和c，三角形不等式可以表示为：|a−b|<c<a+b使用条件三角形不等式成立的条件是边长a、b和c满足以下条件：1.非负性：边长必须大于等于零，即a,b,c≥0。

2.两边之和大于第三边：任意两边之和必须大于第三条边，即a+b>c,a+c>b,b+c>a。

满足以上条件的三个边长可以构成一个有效的三角形。

四、均值不等式均值不等式是数论中的一个重要定理，它描述了一组数的平均值与其他函数之间的关系。

该不等式在概率论、统计学和经济学中得到广泛应用。

不等式表述对于一组实数x1,x2,…,x n，其中n≥2，均值不等式可以表示为：x1+x2+⋯+x nn ≥√x1⋅x2⋅…⋅x n n使用条件均值不等式成立的条件是实数x1,x2,…,x n满足以下条件：1.非负性：所有实数必须大于等于零，即x i≥0。

概率论中几个不等式的推广及应用

概率论中几个不等式的推广及应用
1. 闵可夫斯基不等式：它是概率论中最重要的不等式，它的推广及应用包括：
（1）贝叶斯不等式：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明贝叶斯定理，以及证明条件概率的关系。

（2）拉普拉斯不等式：它是闵可夫斯基不等式的另一种推广，它可以用来证明拉普拉斯定理，以及证明条件概率的关系。

（3）抽样不等式：它是闵可夫斯基不等式的另一种推广，它可以用来证明抽样定理，以及证明条件概率的关系。

（4）泰勒不等式：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明泰勒定理，以及证明条件概率的关系。

（5）大数定律：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明大数定律，以及证明条件概率的关系。

2. 黎曼不等式：它是概率论中另一个重要的不等式，它的推广及应用包括：
（1）熵不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明熵定理，以及证明条件概率的关系。

（2）马尔可夫不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明马尔可夫定理，以及证明条件概率的关系。

（3）惩罚不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明惩罚定理，以及证明条件概率的关系。

（4）贝尔不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明贝尔定理，以及证明条件概率的关系。

（5）贝尔-黎曼不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明贝尔-黎曼定理，以及证明条件概率的关系。

53几个重要的不等式

5．3几个重要的不等式具备了不等式的基本知识和技能之后，就可以进一步欣赏一些优美而又魅力无限的重要结果。

正如音乐家能够将很少几组音符变化发展为动听美妙的旋律一样，数学家则往往能够通过不多几步逻辑推理揭示出简明优美的结果。

这里要介绍的一些有关不等式的结果就是数学家依靠并不复杂的逻辑推理得到的，然而在其来龙去脉被领悟以前，却常常象变戏法似的神秘莫测。

除了前面已经介绍的贝努利不等式之外，本节将讨论的一些重要不等式包括：柯西不等式，排序不等式，平均不等式等。

这些重要的不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是今后进一步学习高等数学的重要工具。

1．柯西（Cauchy ）不等式在上一节，我们已经粗略地了解了形如22222)())((bd ac d c b a +≥++的不等式，因其是由大数学家柯西（Canchy ）发现的，故而一般称之为柯西不等式。

柯西不等式有着丰富的几何背景。

可以通过几何解释加深对其本质特征的认识与理解。

请同学们回忆一下我们曾经学过的余弦定理的内容？我们将利用它来解释柯西不等式。

如图，在三角形OPQ 中，θ=∠QOP d c Q b a P ),,(),,(，则 ,,2222d c OQ b a OP +=+=.)()(22d b c a PQ -+-=将以上三式代入余弦定理2222⋅-+=OP OQ OP PQ2222cos dc b a bdac +⋅++=θ或.))(()(cos 222222d c b a bd ac +++=θ 因为1cos 02≤≤θ，所以，1))(()(22222≤+++d c b a bd ac ，于是22222)())((bd ac d c b a +≥++.讨论：借助图形分析，柯西不等式中等号成立的条件是什么?柯西不等式应用相当广泛，我们先通过一些简单的例子加以体会。

例1．已知.1,12222=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax （1）证明：由柯西不等式，.1))(()(22222=++≤+y x b a by ax 所以（1）成立。

几个重要不等式的证明及应用

［ａ，ｂ］上连续，ｘ）ｄｘ＝１，ｋ为任意实数，求证：（Ｊ＇￣ｆ（ｘ）ｃｏｓｋｘｄｘ）＋
（ｆ：ｆ（ｘ）ｓｉｎｋｘｄｘ）‘≤１（２）
证明：（２）式左端第一项应用Ｓｃｈｗａｒｚ不等式，得到：
）ｃｏｓｋｘｄｘ）＝［Ｊ＇ｂ、／－ｘ）（ｃｏｓｋｘ）ｄｘ］ ≤Ｊ＇ｂｆ（ｘ）ｄｘｆ￣ｆ（ｘ）
关键词：Ｃａｕｃｈｙ－Ｔ等式Ｓｃｈｗａｒｚ￣等式平均值不等式
（．）２＝（
、／ａ＋ａ
２
） ≤
Ｉ＿＿，（ａｉ＋ａｉ＋１）：
１ａ＋ａＩ＋Ｉｌ
’ ｌ
不等式是初等数学及高等数学中一种应用广泛的解题工
具，在中学各种竞赛、高考、专升本、研究生入学考试等各类考
中，不等式的教学更是一个难点，学生在学习不等式， ∑应用不
等式解题时困难重重．本文以３个重要的不等式为例ａ，，对其ａ证
明方法及推广、应用技巧进行总结与归纳．
＋
１．Ｃａｕｃｈｙ￣等式
（２）式成立．评注６：本定理的证明是灵活运用一致连续定义的典范．
它在理论研究上具有一定的意义．２．２一致连续函数的运算性质一致连续函数有一系列的运算性质，归结如下几个命题．命题１：设中（ｘ）与（ｘ）在区间Ｉ上一致连续，则ｘ）＋ｐ

几个常用不等式证明不等式方法辛

不等式是高等数学中的一个重要工具。

运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。

这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。

几个重要的不等式 1．平均值不等式设12,,,n a a a 非负，令111()(0)nrr r kk M a a r n =⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭∑（当r<0且至少有一0ka =时，令()0r M a =），111()()nkk A a M a a n ===∑，112()()111nn H a M a a a a -==++，11()nnk k G a a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∏，称r M 是r 次幂平均值，A 是算数平均值，H 是调和平均值，G 是几何平均值，则有()()()H a G a A a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===；一般的，如果s>0，t<0，则有()()()t s M a G a M a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===。

2．赫尔德（Holder ）不等式设()0,0,1,2,,,1,2,,j i j a a i n j m>>==，且11mjj a==∑，则1111111()()()()m mnnna a a a m m iiii i i i a a a a ===≤∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11,1,2,,m i i nnm kki i a a i n aa=====∑∑。

3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式设,,1,2,,i i a b i n =为实数，则112222111||n nni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑。

4．麦克夫斯基(Minkowsk)不等式设()0,1,2,,,1,2,,,1j i a i n j m r >==>，则111(1)()(1)()111[()][()][()]nnnm r r m r r r r iiiii i i a aa a===++≤++∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11()(),1,2,,()()rm ri i nnr m r kki i a a i n aa=====∑∑。

几个重要的不等式

几个重要的不等式不等式是数学中非常重要的概念，它们在数学、物理、经济学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍几个重要的不等式，包括柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、柯西反向不等式和霍尔德不等式。

一、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是数学中最基本的不等式之一。

它可以用于证明其他许多重要的定理和不等式。

该不等式表述为：对于任意两个实数序列a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1b1 + a2b2 + … + anbn)² ≤ (a1² + a2² + … + an²)(b1² + b2² + … + bn²)其中“=”号成立当且仅当ai/bi为常数或bi=0。

该不等式可以推广到内积空间中，即对于任意两个向量x和y，有|x·y| ≤ ||x|| ||y||其中“=”号成立当且仅当x与y线性相关。

二、均值不等式均值不等式是一类基本的算术平均值与几何平均值之间的关系。

它包括算术平均不等式、几何平均不等式和调和平均不等式。

1. 算术平均不等式对于任意n个非负实数a1, a2, …, an，有(a1 + a2 + … + an)/n ≥√(a1a2…an)其中“=”号成立当且仅当a1 = a2 = … = an。

该不等式表明，n个非负实数的算术平均值大于等于它们的几何平均值。

2. 几何平均不等式对于任意n个正实数a1, a2, …, an，有(a1a2…an)^(1/n) ≤ (a1 + a2 + … + an)/n其中“=”号成立当且仅当a1 = a2 = … = an。

该不等式表明，n个正实数的几何平均值小于等于它们的算术平均值。

3. 调和平均不等式对于任意n个正实数a1, a2, …, an，有n/(1/a1 + 1/a2 + … + 1/an) ≤ (a1 + a2 + … + an)/n ≤ (n/(1/a1 + 1/a2 + … + 1/an))其中“=”号成立当且仅当a1 = a2 = … = an。

几个重要的不等式

几个重要的不等式以不等式为标题，写一篇文章。

一、柯西不等式柯西不等式是数学中的一条重要不等式，它可以用来描述向量内积的性质。

假设有两个n维向量a和b，柯西不等式可以表示为：|a·b| ≤ ||a|| ||b||其中，a·b表示向量a和向量b的内积，||a||和||b||表示向量a和向量b的模长。

不等式右边的乘积表示了两个向量的模长乘积，而不等式左边的内积则表示了两个向量之间的相似程度。

柯西不等式告诉我们，两个向量的内积的绝对值不会超过它们的模长的乘积。

柯西不等式在数学和物理中有广泛的应用。

例如，在信号处理中，柯西不等式可以用来判断两个信号的相关性；在几何学中，柯西不等式可以用来证明三角形的性质；在概率论中，柯西不等式可以用来推导概率的上界。

二、三角不等式三角不等式是数学中的另一条重要不等式，它可以用来描述三角函数之间的关系。

换句话说，正弦函数的和不会超过两个正弦函数的和。

三角不等式在几何学和物理学中有广泛的应用。

例如，在几何学中，三角不等式可以用来证明三角形的性质；在物理学中，三角不等式可以用来推导物理量的上界。

三、均值不等式均值不等式是数学中的一类重要不等式，它可以用来描述数列的性质。

常见的均值不等式有算术平均值不小于几何平均值和几何平均值不小于调和平均值两种形式。

算术平均值不小于几何平均值的不等式可以表示为：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ (a1a2...an)^(1/n)其中，a1、a2、...、an为正实数。

这个不等式告诉我们，对于任意一组正实数，它们的算术平均值不会小于它们的几何平均值。

几何平均值不小于调和平均值的不等式可以表示为：(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n ≥ n/(a1 + a2 + ... + an)这个不等式告诉我们，对于任意一组正实数，它们的几何平均值不会小于它们的调和平均值。

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几个重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。

1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式设12,,,n a a a L是非负实数，则12n a a a n+++≥L2、柯西（Cauchy ）不等式设,(1,2,)i i a b R i n ∈=L ，则222111.n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==L变形（Ⅰ）：设+∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛≥ni in i i ni ii b a b a 12112；等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==L变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i ii n i i ni ii b a a b a 1211。

等号成立当且仅当n b b b ===Λ21 3．排序不等式设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121⋯≤⋯≤≤≤⋯≤≤是n ,,2,1⋯的一个排列，则n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ΛΛΛ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21。

（用调整法证明）.4．琴生（Jensen ）不等式若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈Λ*()n N ∈有()()()12121().n n x x x f f x f x f x n n +++≤+++⎡⎤⎣⎦L L 等号当且仅当n x x x ===Λ21时取得。

（用归纳法证明）二、进一步的结论运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到的效果。

1. 幂均值不等式设0>>βα，),,2,1(n i R a i Λ=∈+，则βββββαααααM n a a a n a a a M nn=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=121121ΛΛ。

证：作变量代换，令i i x a =β，则β1i i x a =，则ΛΛΛβαβαβαβαβα⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⇔≥n x x x x x x n M M n n 21211① 0>>βαΘ，1>∴βα，又函数)1()(>=p x x f p 是()+∞,0上的凸函数，由Jensen 不等式知①式成立。

2.（切比雪夫不等式）设两个实数组n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ΛΛ2121,，则等号成立当且仅当n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21。

证：由排序不等式有：n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤+++≤+++-ΛΛΛ221122111121， n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤+++≤+++-ΛΛΛ2211132211121，……………………………………………………………………………以上n 个等式相加即得。

3. 一个基础关系式y x y x )1(1αααα-+≤-，其中]1,0[,0,∈>αy x证：若x,y 中有一个为0，则显然成立。

设x,y 均不为零，则原不等式ααα-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔1y x y x ，令t y x =，则上式)1(ααα-+≤⇔t t ，记αααt t t f --+=)1()(，则1)(--='αααt t f ，因此，当1>t 时，0)(>'t f ，当10≤<t 时，0)(<'t f ，且0)1(='f ，所以)(t f 得极小值为0)1(=f ,故0)1(≥--+αααt t ，即y x y x )1(1αααα-+≤-.4. Holder 不等式设1,),,2,1(0,≥=≥q p n k b a k k Λ且111=+qp ，则等号成立当且仅当存在R t ∈使得),,2,1(n k tb a qk p k Λ==。

证: 在上面基础关系式中，取,,,1q k p k B y A x p ===α有q k p k k k B qA pB A 11+≤……①① 式两边对k 求和，得：∑∑∑===+≤n k qk n k p k nk k k B q A p B A 11111,令qn k q k k k pn k p k k k b b B a a A 1111,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==,代入上式即证。

5. 一个有用的结论设+∈R b a i i ,，则∏∏∏===+≥+ni n ini n ini ni ib a b a111111)(，推广得设),,2,1,,,2,1(,n j n i R a ij ΛΛ==∈+，则∑∏∏∑====≥n j nni ij n i nnj ija a111111)()(.证：原不等式1)(11121≤+++⇔∑∏==nnj ni ini i ija a aa Λ,而)(1)(1211121∑∏==+++≤++ni ini i ij nni in i i ija a a a n a a a a ΛΛ∑∑∑∏====+++≤+++∴n j ni in i i ij nnj ni ini i ija a a a n a a a a 112111121)(1)(ΛΛ1111)(111121=⋅==+++=∑∑∑===n n n a a a a n n i n i n j in i i ij Λ,它可把含根式的积性不等式化为和式。

三、如何运用几个重要不等式例1 设+∈R c b a ,,且1=abc ，求证：333222c b a c b a ++≤++。

证：由柯西不等式有2222333)())((c b a c b a c b a ++≥++++…①而≥++++=++))(111()(3222222222c b a c b a ≥++2)(c b a 33)(abc c b a ⋅++)(3c b a ++≥，即c b a c b a ++≥++222…②由①②有：≥++++))((333c b a c b a ))((222c b a c b a ++++,∴333222c b a c b a ++≤++方法二：由幂均值不等式有：22221322222233)(c b a c b a c b a ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≥。

方法三：由切比雪夫不等式和AM-GM 不等式有：不妨设c b a ≤≤，则例2 设1),,,2,1(,01==>∑=ni ii xn i x Λ，求证：1111-≥-∑∑==n x x x ni ini ii证：左边=∑∑∑∑====---≥---ni i ni ini ni i i x x n x x 112111111111)11(1)1()1(1222-≥-++⋅=-=---=∑∑=n x n x n n n n n n n ni ii Λ。

评注：通过此例注意体会如何运用柯西不等式分离或合成变量。

例3 设1,,,,=∈+abcd R d c b a ，求证：∑≥+2)1(1b a证：设),,,(,,,,+∈====R w z y x xwd w z c z y b y x a ，则原不等式 ∑∑∑≥+⇔≥+⇔≥+⇔21112)(2)1(1zy xz y x yz z y y x ，由Cauchy 不等式有：212121212121)11(1)1(11122=+≥+=+≥+∑∑∑∑∑∑∑∑∑xyxyxy xyxyxzy x x z y x，故原不等式成立。

评注：本题通过换元，把原不等式齐次化，再用柯西不等式。

例4 设n 是正整数，且n k a k ,,2,1,0Λ=>，11=∑=nk ka，求证：n nk kn a n )22()12(1-≥+-∏= 证：原不等式22)12(11-≥+-⇔∏=n a n nk n k ，由“二，结论5” 有n n n n n n n a a a n a a a n n n n ΛΛΛ21212121)12()12(+-=+--++--≥，又n n ni i a a a n a ΛΘ211≥∑=， n ana a a ni in n=≥∴∑=1211Λ，故n n nk kn n n a n )22()2()12(1-≥+-≥+-∏=。

评注：本例第一步放缩也可用Holder 不等式的推广。

例5 设,...,21a a 是一个无穷项的实数列，对于所有正整数i 存在一个实数c ，使得c a i ≤≤0 且ji a a j i +≥-1对所有正整数)(,j i j i ≠成立，证明：.1≥c证：对于2≥n ，设(1),(2),...,()n ρρρ为n ,...2,1的一个排列且满足：(1)(2)()0...n a a a c ρρρ≤<<<≤. ∴()(1)()(1)()n n n c a a a a ρρρρ-≥-=-+(1)(2)()n n a a ρρ---+(2)(1)...()a a ρρ+-1()(1)n n ρρ≥++-1(1)(2)n n ρρ+-+-1...(2)(1)ρρ++…① 21(1)2()(1)()n i n i n ρρρ=-≥--∑（柯西不等式）∴2(1)(1)(1)()n c n n n ρρ-≥+--22(1)3n n n -≥+-34131+-=+-≥n n n .故.1≥c 评注：这里把i a 有序化后，①的变形是关键。

例6 设a , b , c 为正实数，求证 a 2b + b 2c + c 2a ≥ a +b +c + 4(a －b ) 2a + b + c ，并确定等号成立的条件．证：由于 a 2b + b 2c + c 2a －a －b －c = ( a 2b + b －2a ) + ( b 2c + c －2b ) + ( c 2a + a －2c )= 1b (a －b ) 2 + 1c (b －c ) 2 + 1a (c －a ) 2 … ① 而由Cauchy 不等式有[ 1b (a －b ) 2 + 1c (b －c ) 2 + 1a (c －a ) 2 ](b +c + a ) ≥ (|a －b | + |b －c | + |c －a | ) 2 … ②且由 |a －b | + |b －c | + |c －a | ≥ |a －b | + |(b －c ) + (c －a )| = 2|a －b | 知 (|a －b | + |b －c | + |c －a | ) 2 ≥ 4(a －b ) 2 … ③ 结合①②③可得a 2b + b 2c + c 2a －a －b －c ≥ 1a + b + c (|a －b | + |b －c | + |c －a | ) 2≥ 4(a －b ) 2a + b + c … ④由④便知题目中的不等式成立．若题中不等式取等号，即④取等号．故不等式②与③皆取等号．由②式取等号知，存在k ≥ 0，使得 1b (a －b ) 2 = bk , 1c (b －c ) 2 = ck , 1a (c －a ) 2 = ak ，即(a －b ) 2 = b 2 k , (b －c ) 2 = c 2 k , (c －a ) 2 = a 2 k … ⑤由③式取等号知 b －c 与c －a 同号，从而三个数b －c , c －a , b －a 同号，结合⑤知存在实数l ，使得b －a = bl , b －c = cl , c －a = al … ⑥由⑥知 l = 1－a b = b c －1 = ca－1 … ⑦由⑦可得 b c = c a ，记 b c = c a = x ，则c = ax , b = ax 2，再由⑦式中 1－a b = bc －1得1－1x 2 = x －1即 x 3－2x 2 + 1 = 0．故(x －1)(x 2－x －1) = 0．结合x > 0可解得 x = 1或x = 12 (1 + 5 )．故a : b : c = 1 : x 2 : x = 1 : 1 : 1 或1: 12 (3 + 5 ) : 12 (1 + 5 ) … ⑧又当a , b , c 满足条件⑧时，容易难题目中不等式确实取等号．故⑧即为题中不等式取等号的充要条件．评注：①式的变形非常漂亮，是解题的关键所在。