军备竞赛建模

核军备竞赛是否会无限扩张？
是否存在暂时的平衡状态？
这一平衡状态下双方拥有的核武器数量是多少？
这些核武器数量受哪些因素影响？
平衡状态可能发生的变化方向？
模型假设
双方采取同样的核威慑战略：
1、对方可能第一次核打击，倾其全部核导弹攻击另一方核导弹基地；
2、另一方在经受对方第一次核打击之后，应有足够的核导弹能给予对方毁灭性的打击。

建模构造
设x=g(y)和y=f(x)分别为甲、乙两方当对方拥有一定导弹数量时相应所需的最小核导弹数量。

当x=0时，y=y0为乙方的威慑值，即：当乙方受到甲方倾其核导弹的第一次核打击之后拥有的足够的能给予甲方毁灭性打击的核导弹数目；
乙方的威慑值y0确定了乙方导弹书y=f(x)可能取值的扇形区域：y=y0到y=y0+x之间；
而乙方导弹数曲线y=f(x)确定了乙方的安全线和安全区；
对甲方也有类似的结果，由其导弹数曲线y=f(x)确定了其安全线和安全区。

两个安全区的交集为双方安全区，也是核军备竞赛的稳定区域；
两条安全线y=f(x)、x=g(y)的焦点为平衡点，其确定稳定状态下双方分别拥有的最小核导弹数。

目标：考虑平衡点的影响因素和变化趋势，探讨安全线函数y=f(x)、x=g(y)的形式。

建模求解
甲乙双方对称，先考虑乙方安全线y=f(x)的形式。

相关概念与确定步骤：
1、残存率：当甲方以全部x枚导弹攻击乙方的y个核基地时，乙方基地未被摧毁的概率s；
2、威慑值：在甲方发起第一次核打击之后，乙方所保留的核导弹数y0.
当x<y时，y0为未被摧毁核基地sx和未被攻击的核导弹数y-x之和，即：y0=sx+y-x；当x=y 时，y0=sx=sy；当y<x<2y时，y0=(x-y)s^2+(2y-x)s；当x=2y时，y0=ys^2
3、交换比：甲乙双方导弹数量之比a=x/y。

假设双方导弹数量x、y可取连续值，则可得乙方安全线函数y=f(x)的形式：
Y=y0/s^a=y0/s^(x/y)
模型分析、检验、应用
安全线y=f(x)=y0/s^(x/y)的性质：
1、曲线上凸
2、如果残存率s变大，曲线变平，y值减少
3、如果威慑值y0变大，曲线上移变陡，y值增加
4、如果交换比a变大，曲线上移变陡，对称得出
考虑平衡点的移动，观测核军备竞赛的现象
1、改换固定核导弹为可移动发射架
2、一方增强对己的保护
因此两条安全线必相交，核军备竞赛存在平衡点和稳定区域。

假如甲方加固核基地以防御袭击，将使每枚核武器保存下来的概率p(r)增大，而xo不变，即甲安全线x=f (y)向左移动，记作x=f1(y)(图9-2中的虚线)，平衡点由M变为M1。

如果甲方发展反弹道导弹保卫自己的安全，那么乙方给甲方以毁灭性打击的最小核武器yo 将上移为yo’，于是乙安全线上移为y=g1(x),平衡点又由M1变为M2，这表明核军备竞赛将升级。