圆周角(1)公开课
§24.1.4 圆周角（ 1）
设计教师：贾风华
一、教学目标：
1.使学生理解圆周角的概念，理解并掌握圆周角定理及其推论，会初步应用圆周角定理及
其推论进行计算。
2.培养学生观察、分析问题的能力，使学生能用类比的方法探索新知识，学会以特殊情况为
依托，通过转化来解决一般性问题的方法。
了解分类证明数学命题的思想和方法。
3.在对圆周角概念和定理的探索过程中，使学生了解事物间互相联系、相互转化的辨证关
系，通过类比、猜想、验证推理，培养学生探索问题的能力、发散思维能力以及勇于独立思考的精神。
二、教学的重点和难点：
重点：圆周角的概念、圆周角定理以及由其内容反映出来的思想方法。
难点：发现并论证圆周角定理。
三、教学流程安排：
教学活动流程图
活动 1 创设情景，提出问题。
活动 2 探索同弧所对的圆周角之间的关系，同弧所对的圆心角与圆周角的关系。
活动 3 发现并证明圆周角定理。
教学活动内容和目的
从实例提出问题，给出圆周角的定义。
通过实例观察、发现圆周角的特点，利用度量
工具，探索同弧所对的圆周角之间的关系，同
弧所对的圆心角与圆周角的关系。
探索圆心与圆周角的位置关系，利用分类讨论的数学思想证明圆周角定理。
活动 4 圆周角定理的应用。
反馈练习，加深对圆周角定理的理解和应用。
活动５小结，当堂检测。
回顾梳理，从知识和能力方面总结本节课所学
到的知识，当堂检测。
四、教学过程：
问题与情境师生活动设计意图
[活动 1]
创设问题情景：
如图（见课本P91）一个海港在弧XY 范围内是浅滩，为了使深水船只不进入
浅滩，需要测量船所在的位置与两个灯
塔的视角∠ XPY ，把它与已知的危险角（弧 XY 上任意一点Z 与两个灯塔所成的角∠ XZY ）相比较，航行中保持∠ XPY ＜∠ XZY 。
你知道这样做的道理吗？
教师引导学生观察图中的XZY 后，指从生活中的
出XZY 又是一个与圆有关的角，这就实际问题入
是我们今天要学习的角——圆周角（板手，使学生认书）。
识到数学与
什么叫圆周角？讨论结果：圆周角：（1）现实问题紧
顶点在圆周上；（ 2）两边都与圆相交的密联系，引导角。
学生对图形1.展示课堂学习单上的以下下图形，哪的观察、发些是圆周A角？B C现，激发学生
的好奇心和
A
A求知欲，并在B C B C
运用数学知
识解答问题
的活动中获
［活动 2］B
A A
C B C
取成功的体
验。
1，2 两
问题的设计
加深学生对
圆周角定义
的理解，明确
圆周角的两
个必备条件。
让学生亲自
问题：
1.学生动手画出⊙ O中 AB所对的
圆心角和圆周角。
2.同弧（弧 AB ）所对的圆周角∠
ACB 与圆周角∠ ADB 的大小关
系是怎样的？
3.同弧（弧 AB）所对的圆心角
∠AOB 与圆周角∠ ACB 的大小
关系是怎样的？AB所对的圆心角只有一个， AB所对的
圆周角有无数个，要求学生画出其中几个，
引导学生观察并猜想这几个角有什么关系，
并测量说明，学生通过测量后猜想结论：
（1）同弧所对的圆周角的度数没有
变化。
（2）同弧所对的圆周角的的度数恰好
等于这条弧所对的圆心角的度数的一
半。
动手，利用度
量工具（如量
角器、几何画
板）进行实
验、探究，得
出结论，激发
学生的求知
欲望，调动学
生学习的积
极性。
［活动３］
问题：
1.观察［活动 2］中学生所画的
几种圆周角，观察圆心与圆周角
的位置关系有几种情况？
2.对于另外二种情况，如何证明
学生得出［活动 2］的结论：
一条弧所对的圆周角等于它所
对的圆心角的一半。
学生观察后得出：圆心与圆周角有三种问题１的设
位置关系。
计是让学生
C
先让学生尝试证通过观察，学
明，当尝试失败后，会运用分类
O
引导学生从特殊情讨论的数学
况入手（即圆心在思想研究问
A
圆周角的一边上题，培养学生
B时），根据三角形思维的深刻
的外角和与等腰三性。
角形的性质很容易证明
ACB
1
AOB
2
学生采取小组合作的学习方式探索当问题２的提圆心 O 在圆周角ACB 内部和外部出是让学生时，证明ACB
1AOB学会一种分
2析问题、解决
问题的方法：
从特殊到一
般。
教师通过
引导学生尝
［活动４］
问题：
完成课堂限时训练。
解决 [活动 1 ]的问题。
［活动 5］
1.小结：通过本节课的学习你有哪些收获？
2.当堂检测
C试圆周角定
理的证明，明
O
C确用分类来
O D证明数学命
A
题的思想和
A B B方法，学会运
D用化归思想
教师观察指导小组活动，启发并引导学将问题转化。
生，通过添加辅助线，将问题进行转化，
教师讲评学生的证明，板书圆周角定
理：一条弧所对的圆周角等于它所对的
圆心角的一半。
学生独立思考回答问题，教师讲评。
活动４的设
计是圆周角
定理的应用。
通过 7个问
题层层深入，
考察学生对
定理的理解
和应用，使不
同的学生都
有所收获。
师
生之间有效
的互动，有助
于发展学生
评价、判断和
交往能力，有
助于他们建
构知识。
最后
问题 6的解
决再次让学
生体会到数
学来源于实
际又服务于
实际的理念。
学生总结，教师概括本课的全过程：通过小结使
圆心角→圆周角→圆周角定理→圆周学生归纳、梳角定理的应用。
理总结本节
的知识、技能在问题解决的过程中，采取的思想方法和思想方法，是：观察现象→类比、猜想、揭示属性有利于培养
和规律，得出两个结论：圆周角定理，学生数学思
圆周角定理的推论。
想、方法、数
学能力和对
数学的积极情感。
课后作业注意分层，使不同的学生得到不同的发展。
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角(第1课时)优秀教学案例
1.采用启发式教学，引导学生通过观察、实践、合作交流等过程，自主发现圆周角的性质和判定定理。
2.设计丰富的教学活动，如小组讨论、问题解决、实例分析等，培养学生主动探究、合作学习的习惯。
3.创设生活情境，让学生在实际问题中运用圆周角知识，提高学生分析问题和解决问题的能力。
4.注重培养学生的几何直观和空间想象能力，通过作图、观察、推理等环节，发展学生的几何思维。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握圆周角的概念，理解圆周角与圆心角的区别与联系，能准确判断并命名圆周角。
2.引导学生通过观察、推理，掌握圆周角定理，并能运用定理解决相关问题。
3.培养学生运用圆周角定理进行计算和证明的能力，提高学生的几何逻辑思维。
4.让学生学会运用圆周角知识解决生活中的实际问题，增强学生的知识应用能力。
4.小组之间进行成果展示和交流，共享学习经验，培养学生的团队协作能力和表达能力。
（四）反思与评价
1.鼓励学生在课后进行自我反思，总结自己在学习圆周角过程中的收获和不足，为下一阶段的学习制定合理的学习计划。
2.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注学生的知识掌握、技能运用、情感态度等方面的表现，给予积极的反馈和建议。
2.学生通过观察和思考，初步感知圆周角的概念。
（二）讲授新知
1.教师引导学生通过画圆、量角等活动，探究圆周角的定义和性质。
“请大家拿出圆规和直尺，画一个圆，并在圆上任选三个点，组成两个圆周角。观察这两个圆周角的大小，大家发现了什么规律？”
2.教师根据学生的发现，总结圆周角的定义和性质。
“圆周角是指圆上任意两点与圆心所组成的角。圆周角的度数是360度，且圆周角等于其所对的圆心角的两倍。”
24.1.4圆周角(1)(讲课用)(公开课)
想一想；
一个圆的圆心与圆周角在位置上可能有几种 关系？请大家在练习本上画一画.
A O B
A
A
.
C
O
.
C
O
D B
.
C
B
D
在这三个图中，哪个图形最特殊？其余两个可以 转化成这个图形吗？
猜想：圆周角∠BAC和圆心角∠BOC是
什么关系?
（1）当圆心O在圆周角∠BAC的一边AB上时
证明：∵OA=OC ∴∠BAC=∠C
C O
B
练一练
5、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到 点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A 重合。 （1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？ （2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三 角形，并说明理由。 A
解：（1）AB=AC。 证明：连接AD ∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
1、圆周角的定义： 顶点在圆上，两边都与圆相交的角。 2、圆周角定理：
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条 弧所对的圆心角的一半。
3、圆周角定理的推论：
推论1.同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角；900的 圆周角所对的弦是直径。
能力提高
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论1：
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角 所对的弦是直径。
口答：抢答！
1、一条弧所对的圆心角的度数为96°， 求这条弧的度数 96°，它所对的圆周 A 角的度数是 48° 。 O 2、一个圆周角对着半圆,则此圆 周角的度数是 90° ? C B
《圆周角》公开课教学PPT课件
A O
C B
A
O
C B
A O
B
C
教学目标
1.理解圆周角的概念，掌握圆周角定理以及 推论，并应用它们进行证明和计算 2.通过圆周角定理的证明使学生理解分类讨 论以及转化的数学思想
教学重难点
教学重点：圆周角的概念及圆周角定理和
推论
教学难点：分类讨论证明圆周角定理
B
小 强
D
情境引入
圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，
这个圆叫做这个多边形的外接圆
A
D
思考:
.O
圆内接四边形的四
个角有什么关系？ B
C
探究四 圆内接四边形的对角互补
证明：连接OB,OD
1
∵A= 2 1
C=
1 2
2
A
且1+2=360 °
∴A+C=180 ° 同理：B+D=180 °
1
C
应用新知
如图，四边形ABCD内接于⊙O,E为CD延长线 上一点，若B=110 °，求ADE的度数
A
B
.O
ED
C
反思小结 1.知识点 C
(1)圆周角的概念： (2)圆周角的性质：
A
O
B
C
AD
O
A
B
O
B
C
反思小结 2、数学思想方法
(1)分类思想
A
O·
B
C
A
O·
B
C D
A
O·
D BC
∠BAC_=__∠BDC
一样有利
探究三
思考：半圆（或直径）所对的圆周角有
什么特殊性？
圆周角定理(公开课)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB旳
度数．
C
60°
A
E
O
B
50°
D
四、巩固新知
3.已知：BC是⊙O旳直径，A是⊙O上一点， AD⊥BC，垂足为D，AE＝AB，BE交AD于点F．
（1）∠ACB与∠BAD相等吗？为何？ （2）判断△FAB旳形状，并阐明理由．
( (
四、巩固新知
4．如图，AB是⊙O旳直径，D是⊙O上旳任
二、探究知识 证明猜测
我们来分析上页旳前两种情况，第三种情况请同学 们完毕证明．
（2）如图，怎样证明一条弧所正确圆周角等于它 所正确圆心角旳二分之一？
A
∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠C．
O
又∵ ∠BOC=∠A+∠C，
∴ BAC 1 BOC． 2
B
C
二、探究知识 证明猜测
（3）如图，怎样证明一条弧所正确圆周角等于它
人教版数学九年级上 讲课内容：课本85-88页
§24.1.4 圆周角(1)
一、问题情境
图中∠ACB 旳顶点和边有哪些特点？
顶点在圆上，而且两边都和圆相交旳角 C
O
A
B
二、探究知识
请说说我们是怎样给圆心角下定义旳，试回答？
顶点在圆心旳角叫圆心角。
顶点在圆上，而且两边都和
圆相交旳角叫做圆周角．
练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为何？
二、探究知识
图中∠ACB 和∠AOB 有怎样旳关系？ 并证明你旳结论？
ACB 1 AOB 2
C
O
A
B
二、探究知识
（1）在圆上任取 BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角 ∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？
圆周角公开课教案
两者缺一不可，这也是判断一个角是否是圆周角的根据。
根据学习过的圆心角的知识运用“类比”的方法归纳总结圆周角的定义：1、一个角的顶点在圆上，并且角的两边在圆内部的线段是圆的弦，像这样的角叫做圆周角。
2、圆周角也可以看作两条有公共端点的弦所夹的角。
三、
巩固
与练习
1、识记圆周角的定义
学生复习回顾
七、
布置作业
1、P121练习题1、2、
2、思考题：
圆周角定理的逆定理并证明之
教学重点
圆周角定义与圆周角定理的理解与应用
教学难点
应用圆周角定理解决问题的能力
学法与
教学用具
学法：学生通过对具体问题的感受，主动思考，互相交流，分小组讨论，总结概括，从而更好地完成本节课的教学目标。
教学用具：小黑板、三角板、圆规等
教学过程
步骤
教师活动
学生
活动
一、
创设情景
引入课题
通过复习前面所学习过的知识，引导学生观察分析练习题中角的特点。
2、学会如何判断一个角是不是圆周角
3、巩固练习（见学案）
学生巩固所学知识并完成课堂练习
四、
思考探究推广延伸
圆周角定理的证明与应用。
（证明过程略）
思考
理解
应用
步骤
教师活动
学生活动
五、
简单应用巩固深化
练习题见学案
先练习，
然后回答
六、
总结概括
加深理解
1．圆周角的定义
2．圆周角定理
3．圆周角及其定理的简单应用
数学公开课教案
课题
圆周角
课型
新授课
授课人ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
《圆周角》课件精品 (公开课)2022年数学PPT全
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
圆周角示范课市公开课金奖市赛课一等奖课件
又∠BOC=∠A+∠C
∴∠BOC=2∠A 即 A 1 BOC B
C
（2）在圆周角内部．
2
圆心O在∠BAC内部，作直径AD，利用
A
（１）结果，有
BAD 1 BOD DAC 1 DOC
2
2
BAD DAC 1 (BOD DOC)
2
O·
B
C
D
BAC 1 BOC 2
第8页
（3）在圆周角外部．
第1页
一、复习引入:
1.圆心角定义?
答:顶点在圆心角叫圆心角
O.
2.上节课我们学习了一个反应圆心角、弧、
弦、弦心距四个量之间关系一个结论，这个
结论是什么？
B
C
在同圆（或等圆）中，假如圆心角、弧、弦、弦心距 有一组量相等，那么它们所相应其余三个量都分别相 等。
3.圆心角度数和它所正确弧度数相等。
第2页
A
C A
B C
第11页
思考：在同圆或等圆中，假如两个圆周角相 等，它们所对弧一定相等吗？为何？
推论1 在同圆或等圆中，假如两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等．
由于，在同圆或等圆中， 如果圆周角相等，那么它所 对圆心角也相等，因此它 所对弧也相等．
F C
G
A
·O
E B
第12页
1.如图,AB是直径,则∠ACB=＿9＿0度
∴ ∠ ABC＝180°－∠A－
∠ACB ＝180°－80°－
90° ＝10°． ∴ ∠ABC度数是10°．
图 23.1.12
第24页
例 如图⊙O1与⊙O2都通过A、B两点，
通过点A直线CD与⊙O1 交于点C，与
⊙O2 交于点D。通过点B直线EF与⊙O1
九年级数学上册(人教版)24.1.4圆周角(第一课时)优秀教学案例
1. 引导探究：引导学生观察、分析圆周角与圆心角的关系，引导学生归纳总结圆周角定理；
2. 解决问题：让学生运用圆周角定理解决实际问题，提高解决问题的能力；
3. 拓展思考：设计拓展性问题，如“圆周角定理在其他几何图形中的应用”，引导学生深入思考，提高逻辑思维能力。
问题导向环节是本节课的核心部分。在这一环节，我会引导学生观察、分析圆周角与圆心角的关系，让学生通过自主探究，归纳总结出圆周角定理。在解决问题环节，我会设计不同难度的题目，让学生运用所学知识解决实际问题，提高解决问题的能力。此外，我还会设计拓展性问题，激发学生的思考兴趣，提高学生的逻辑思维能力。
2. 问题情境：设计具有启发性的问题，如“圆周角与圆心角有什么关系？”，引导学生主动探究，引发思考；
3. 实践情境：让学生亲自动手作图，体验圆周角定理的应用，提高实践能力。
在情景创设环节，我会注重引导学生观察生活中的圆形物体，让学生感受到数学与生活的紧密联系。通过设计具有启发性的问题，激发学生的求知欲，引导学生主动探究。同时，我会组织学生进行实践操作，让学生在动手实践中体验圆周角定理的应用，提高实践能力。
（三）学生小组讨论
1. 讨论问题：让学生分组讨论如何运用圆周角定理解决实际问题；
2. 分享讨论成果：鼓励学生分享讨论过程中的收获和感悟，互相学习；
3. 教师指导：针对学生的讨论情况进行点评，引导学生进一步思考。
在学生小组讨论环节，我会提出讨论问题，让学生分组讨论如何运用圆周角定理解决实际问题。在讨论过程中，我会巡回指导，关注学生的讨论情况。讨论结束后，鼓励学生分享讨论成果，互相学习。最后，我会针对学生的讨论情况进行点评，引导学生进一步思考。
2. 问题导向的教学方式：通过设计具有启发性的问题，如“圆周角与圆心角有什么关系？”引导学生主动探究，引发思考。这种问题导向的教学方式，能够有效地激发学生的求知欲，培养学生的逻辑思维能力，并且能够让学生在学习过程中始终保持积极的状态。
《圆周角和圆心角的关系1》教案 (公开课)2022年北师大版数学
3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角和圆心角的关系1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；(重点) 2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．(难点)一、情境导入在以下图中，当球员在B, D, E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC ，∠AEC .这三个角的大小有什么关系？二、合作探究探究点：圆周角定理及其推论【类型一】 利用圆周角定理求角的度数如图，CD 是⊙O 的直径，过点D的弦DE 平行于半径OA ，假设∠D 的度数是50°，那么∠C 的度数是( )A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°解析：∵OA ∥DE ，∠D ＝50°，∴∠AOD ＝50°.∵∠C ＝12∠AOD ，∴∠C ＝12×50°＝25°.应选A.方法总结：解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第2题【类型二】 利用圆周角定理的推论求角的度数如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A＝30°，那么∠B ＝( )A ．150°B ．75°C ．60°D ．15°解析：因为AB ︵＝AC ︵，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等〞得到∠B ＝∠C ，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°.应选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第8题【类型三】 圆周角定理与垂径定理的综合如以下图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点D ，E 在⊙O 上．(1)∠AOD ＝52°，求∠DEB 的度数； (2)假设AC ＝7，CD ＝1，求⊙O 的半径．解析：(1)由OD ⊥AB ，根据垂径定理的推论可求得AD ︵＝BD ︵，再由圆周角定理及其推论求∠DEB 的度数；(2)首先设⊙O 的半径为x ，然后由勾股定理得到方程解答．解：(1)∵AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，∴AD ︵＝BD ︵，∴∠DEB ＝12∠AOD ＝12×52°＝26°；(2)设⊙O 的半径为x ，那么OC ＝OD －CD ＝x －1.∵OC 2＋AC 2＝OA 2，∴(x －1)2＋(7)2＝x 2，解得x ＝4，∴⊙O 的半径为4.方法总结：此题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第3题【类型四】 圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，点D 在弧AB 上，连接CD 交AB 于点E ，点B 是CD ︵的中点，求证：∠B ＝∠BEC .解析：由点B 是CD ︵的中点，得∠BCE ＝∠BAC ，即可得∠BEC ＝∠ACB ，然后由等腰三角形的性质，证得结论．证明：∵B 是CD ︵的中点，∴BC ︵＝BD ︵，∴∠BCE ＝∠BAC .∵∠BEC ＝180°－∠B －∠BCE ，∠ACB ＝180°－∠BAC －∠B ，∴∠BEC ＝∠ACB .∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠BEC .方法总结：此题考查了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质．解答时一定要结合图形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提升〞第7题【类型五】 圆周角定理的推论与三角形知识的综合如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上四点，且∠APC ＝∠CPB ＝60°.连接AB 、BC 、AC .(1)试判断△ABC 的形状，并给予证明；(2)求证：CP ＝BP ＋AP .解析：(1)利用圆周角定理可得∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC ，而∠APC ＝∠CPB ＝60°，所以∠BAC ＝∠ABC ＝60°，从而可判断△ABC 的形状；(2)在PC 上截取PD ＝AP ，那么△APD 是等边三角形，然后证明△APB ≌△ADC ，证明BP ＝CD ，即可证得．(1)解：△ABC 是等边三角形．证明如下：在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是AC ︵所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC .又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形；(2)证明：在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD .又∵∠APC ＝60°，∴△APD 是等边三角形，∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，即∠ADC ＝120°.又∵∠APB ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°，∴∠ADC ＝∠APB .在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APB ＝∠ADC ，∠ABP ＝∠ACD ，AP ＝AD ，∴△APB≌△ADC (AAS)，∴BP ＝CD .又∵PD ＝AP ，∴CP ＝BP ＋AP .方法总结：此题考查了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 【类型六】 圆周角定理的推论与相似三角形的综合如图，点E 是BC ︵的中点，点A 在⊙O 上，AE 交BC 于D .求证：BE 2＝AE ·DE .解析：点E 是BC ︵的中点，根据圆周角定理的推论可得∠BAE ＝∠CBE ，可证得△BDE ∽△ABE ，然后由相似三角形的对应边成比例得结论．证明：∵点E 是BC ︵的中点，即BE ︵＝CE ︵，∴∠BAE ＝∠角)，∴△BDE ∽△DE ∶BE ，∴BE 2＝AE 方法总结：角形的问题常常考虑此定理．三、板书设计圆周角和圆心角的关系1．圆周角的概念2．圆周角定理3．圆周角定理的推论本节课的重点是圆周角与圆心角的关系，难点是应用所学知识灵活解题．在本节课的教学中，学生对圆周角的概念和“同弧所对的圆周角相等〞这一性质较容易掌握，理解起来问题也不大，而对圆周角与圆心角的关系理解起来那么相对困难，因此在教学过程中要着重引导学生对这一知识的探索与理解．还有些学生在应用知识解决问题的过程中往往会忽略同弧的问题，在教学过程中要对此予以足够的强调，借助多媒体加以突出.第2课 伟大的历史转折1 教学分析【教学目标】教学重点：中共十一届三中全会教学难点：中共十一届三中全会在政治上、思想上、组织上的转变以及历史意义2教学过程一、导入新课“文化大革命〞时期，我国教育遭到了很大破坏，高考中断了十年。
圆周角公开课
解 因为∠MAN＜∠MCN，而 ∠MCN=∠MBN， 所以∠MAN＜∠MBN． 因此，甲应将球回传给乙， 让乙射门.
小结: 小结:
１、圆周角定义 2、圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半
１、分情况讨论 ２、由特殊到一般
O A C B
问题2 问题
同弧（ 同弧（弧AB）所对的圆周角∠ADB 与圆 ）所对的圆周角∠ 周角∠ 的大小关系是怎样的? 周角∠ACB的大小关系是怎样的 的大小关系是怎样的
• 圆周角定理(2):在同圆 圆周角定理(2): (2) 或等圆中， 或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角都相等
测量
例题
如图， 在同一个圆上， 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的 对角线把4个内角分成8个角， 对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等 的角？ 的角？ ∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8 ∠2 = ∠7
A C
●
A C
●
A C
●
O
O B
O
B B
议一议
圆周角和圆心角的关系 圆周角和圆心角的关系
(1)当圆心(O)在圆周角 ∠ABC)的一边 当圆心 的一边(BC)上时 在圆周角(∠ 的一边 上时 求证: 求证 ∠ABC = 1 ∠AOC A 2 证明: 证明 C ∵OA=OB， ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∵ ∠AOC=∠B+∠A. ∴∠AOC=2∠B. 即
B C A
2 3 4 5 1 8 7
6
∠3 = ∠6
D
在足球比赛场上， 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合 向对方球门MN进攻，当甲带球冲到 点时，乙已 进攻， 点时， 向对方球门 进攻 当甲带球冲到A点时 跟随冲到B点 如图 如图2)．此时甲是自己直接射门好， 跟随冲到 点(如图 ．此时甲是自己直接射门好， 还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？ 还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？