2015年高考理科数学山东卷-答案

3.【答案】B
【解析】 ，需将函数 的图象向右平移 个单位，答案选B．
【提示】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．
【考点】三角函数的图象及其变换．
4.【答案】D
【解析】由菱形ABCD的边长为 ， 可知 ，
，答案选D．
【提示】根据 代入可求．
【考点】向量的运算．
5.【答案】A
【解析】 时， 成立
当 时， 解得 ；
第6题图
【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
【考点】线性规划的问题．
7.【答案】C
【解析】 ，答案选C．
【提示】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．
【考点】空间几何体体积的计算．
8.【答案】B
【解析】 ，答案选B．
【提示】由题意 ， ，
当 ， 不成立，综上 ，答案选A．
【提示】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当 ，②当 ，③当 ，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．
【考点】绝对值符号和分类讨论的思想．
6.【答案】B
【解析】由 得 ，借助图形可知：当 ，即 时在 时有最大值0，不符合题意；当 ，即 时有最大值 ， ，不满足 ；当 ，即 时在 时有最大值 ， ，不满足 ；当 时，即 时在 ， 时有最大值 ， ，满足 ，答案选B．
（Ⅱ）由 ，可得 ， ，由余弦定理可得： ，且当 时等号成立，从而可求 ，从而得解．
【考点】三角函数单调区间，三角形的面积公式．
17.【答案】（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）证明：如图1，连接 ， ，设 与 交于点 ．
在三棱台 中， ，则 ，
而 是 的中点， ，则 ，
所以四边形 是平行四边形，
是 的中点， ．又在 中， 是 的中点，
（ⅱ）将直线 代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线 代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又 的面积为3S，即可得到所求的最大值．
【考点】椭圆的标准方程，圆交点连线所形成三角形的有关问题
21.【答案】（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）
【解析】（1） ，定义域为
设
当 时， ， 函数 在 为增函数，无极值点．
【提示】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．
【考点】三角函数的运算和命题真假．
13.【答案】
【解析】 ．
【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，T的值，当 时不满足条件 ，退出循环，输出T的值为 ．
【考点】程序框图．
14.【答案】
【解析】当 时， ，无解；当 时 ，解得 ， ，则
【提示】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组
所以函数 只有一个极值点．
综上所述：当 时 无极值点；当 时 只有一个极值点；当 时 有两个极值点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 时， 在 单调递增，而 ，则当 时， ，符合题意；
当 时， ， ， 在 单调递增，而 ，则当 时， 符合题意；
当 时， ， 所以函数 在 单调递减，而 ，则当 时， ，不符合题意；
当 时， ，
若 时， ， ， 函数 在 为增函数，无极值点．
若 时， ，设 的两个不相等的实数根 ，且 且 ，
而 ，则 ，
所以当 ， ， 单调递增；
当 ， ， ， 单调递减；
当 ， ， ， 单调递增；
因此此时函数 有两个极值点；
若 时， ，但 ， ，
所以当 ， ， ， 单调递增；
当 ， ， ， 单调递减；
【解析】（Ⅰ）由
由 ， ，得 ， ，则 的增区间为 ， ；
由 ， ，得 ， ，则 的减区间为 ， ．
（Ⅱ）在锐角 中， ， ， 而 ，
由余弦定理可得 ，当且仅当 时等号成立．
即 ， ，
故 面积的最大值是
【提示】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得 ，由 ， 可解得 的单调递增区间，由 ， 可解得单调递减区间．
可得 ，即可得出结论．
【考点】正态分布．
9.【答案】D
【解析】 关于 轴的对称点的坐标 ，设反射光线所在的直线为 ，即 ，则 ， ，解得 或 ，答案选D．
【提示】点 关于y轴的对称点为 ，可设反射光线所在直线的方程为： ，利用直线与圆相切的性质即可得出．
【考点】直线与圆的位置关系．
10.【答案】C
【解析】由 可知 ，则 或 ，解得 ，答案选C．
则 ，又 ， ，
故 ．
第17题图1
（Ⅱ）由 可得 而 ， ，则
于是 ， ， 两两垂直，以点为 坐标原点， ， 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
如图2， ， ， ， ， ， ， ，
则平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为
则 即
取 ，则 ， ，
，故平面 与平面 所成的角（锐角）的大小为 ．
第17题图2
【考点】等比数列的通项公式，数列前 项和的问题．
19.【答案】（Ⅰ）125，135，145，235，245，345
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）125，135，145，235，245，345.
（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为 ，随机变量X的取值为：0， ，1，当 时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即 ；
【提示】（Ⅰ）根据 便可得到 ，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到 ，便有 ，再证明 ，从而得到 ，从而 ；
（Ⅱ）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG，可说明 为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为 ，根据 即可求出法向量 ，设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ，根据 即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小．
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】C
【解析】 ， ，答案选C．
【提示】求出集合A，然后求出两个集合的交集．
【考点】解一元二次不等式，集合间的运算．
2.【答案】A
【解析】 ， ，答案选A．
【提示】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．
【考点】复数代数形式的四则运算．
圆 ，圆 ，有两圆相交可得 ，
即 ，交点 ，在椭圆 上，
则 ，整理得 ，解得 ， （舍去）．
故 ， ，椭圆 的方程 ．
（Ⅱ）（ⅰ）椭圆 的方程为 ，设点 满足 ，射线 ： 代入 可得点 于是 ．
（ⅱ）点 到直线 距离等于圆点O到直线 距离的3倍
得 整理得
当且仅当 ， 等号成立．
而直线 与椭圆 ： 有交点 ，则
【考点】线面的位置关系，两平面所夹的角
18.【答案】（Ⅰ） ，
（Ⅱ） ，
【解析】（Ⅰ）由 得
，而 ，
则 ．
（Ⅱ）由 及 可得
①
②
由①－②得，
， ．
【提示】（Ⅰ）利用 ，可求得 ；当 时， ，两式相减 ，可求得 ，从而可得 的通项公式；
（Ⅱ）依题意， ，可得 ，当 时， ，于是可求得 ；当 时， ，利用错位相减法可求得 的前n项和 ．
有解，即 ， 有解，
其判别式 ，即 ，
则上述 不成立，等号不成立，设 ，
则 在 为增函数，
于是当 时 ，
故 面积的最大值为 ．
【提示】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C的方程；
（Ⅱ）求得椭圆E的方程，（ⅰ）设P ， ，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；
（3）当 时， .即可得出函数的单调性与极值的情况．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：（1）当 时，可得函数 在 上单调性，即可判断出．
（2）当 1时，由 ，可得 ，函数 在 上单调性，即可判断出．
（3）当 时，由 ，可得 ，利用 时函数 单调性，即可判断出；
（4）当 时，设 ， ，研究其单调性，即可判断出
【考点】函数的极值，函数恒成立求未知数的取值范围
则 ，
，
，
．
【提示】（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（Ⅱ）随机变量X的取值为：0， ，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．
【考点】排列与组合的有关问题．
20.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）（ⅰ）
（ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由椭圆 ： 的离心率为 ，可知 ，而 ，
则 ， ，左，右焦点分别是 ， ，
当 时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，5，7中选择两个数字和5进行组合，即 ；
当 时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即 ；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即 ．
当 时，设 ，当 时， ， 在 单调递增，因此当 时， ， 于是 ，当 时， 此时 不符合题意．综上所述： 的取值范围是源自【提示】（Ⅰ）函数 ，其中 ，
． ．令 .对a与△分类讨论可得：（1）当 时，此时 ，即可得出函数的单调性与极值的情况．
（2）当 时， ．①当 时， ，②当 时， ，即可得出函数的单调性与极值的情况．
【考点】指数函数的定义域和值域的应用．
15.【答案】
【解析】 ： 的渐近线为 则点 ， ， 的焦点 ，则 ，即 ， ， ．
【提示】求出A的坐标，可得 ，利用 的垂心为C2的焦点，可得 ，由此可求C1的离心率．
【考点】双曲线的离心率．
三、解答题
16.【答案】（Ⅰ） 的增区间为 ，
的减区间为 ， ．