三角函数基本概念和表示
三角函数的几何表示
在微积分中，三角函数用于解决与极坐标相关的 问题。
线性代数
在矩阵运算中，三角函数用于计算特征值和特征 向量。
三角函数在金融领域的应用
复利计算
01
在金融领域，复利计算涉及到指数函数和三角函数的结合使用。
期权定价
02
在期权定价模型中，三角函数用于计算期权的价值。
风险管理
03
在风险管理领域，三角函数用于计算风险值（VaR）和压力测试。
三角恒等式是三角函数之间的基本关系式，如sin^2 x + cos^2 x = 1、sin(x+y) 和cos(x+y)分别等于sin x cos y + cos x sin y等。
三角恒等式是三角函数运算的基础，对于简化复杂的三角函数表达式、证明性质 以及解决实际问题非常有用。
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简谐运动
物体在平衡点附近的往复 运动可以用三角函数来描 述。
工程中的三角函数应用
结构设计
在工程中，三角函数常用 于结构设计，如梁的弯曲、 拱桥的设计等。
信号处理
在通信和信号处理中，三 角函数用于频谱分析和滤 波器设计。
测量
在测量领域，三角函数用 于角度和距离的测量。
数学中的三角函数应用
解析几何
在解析几何中，三角函数用于解决与角度和长度 相关的问题。
正割函数的图像
正割函数图像是正弦函数的倒数，其周期为$pi$弧度。
在直角坐标系中，正割函数图像呈现为一个双曲线，随着角度的增加，函数值逐渐减小并趋 近于0。
正割函数图像关于原点对称。
余割函数的图像
余割函数图像是余弦函数的倒数，其周期同样为$pi$ 弧度。
三角函数的基本概念
三角函数的基本概念三角函数是数学中重要的概念之一，它们是描述角度与三角形之间关系的函数。
在数学和物理学中，三角函数广泛应用于各种领域，包括几何、导数、微积分、辐射传输等。
一、正弦函数正弦函数是最基本的三角函数之一，通常用sin表示。
对于任意角度θ，正弦函数的值定义为对边与斜边的比值：sin(θ) = 对边/斜边。
正弦函数的定义域为整个实数集，值域为[-1,1]。
二、余弦函数余弦函数是另一种常见的三角函数，通常用cos表示。
对于任意角度θ，余弦函数的值定义为邻边与斜边的比值：cos(θ) = 邻边/斜边。
余弦函数的定义域为整个实数集，值域也为[-1,1]。
三、正切函数正切函数是正弦函数与余弦函数的比值，通常用tan表示。
对于任意角度θ，正切函数的值定义为对边与邻边的比值：tan(θ) = 对边/邻边。
正切函数的定义域为除了90度和270度的整数倍角之外的所有实数，值域为整个实数集。
四、余切函数余切函数是余弦函数与正弦函数的比值，通常用cot表示。
对于任意角度θ，余切函数的值定义为邻边与对边的比值：cot(θ) = 邻边/对边。
余切函数的定义域为除了0度和180度的整数倍角之外的所有实数，值域为整个实数集。
五、正割函数正割函数是正弦函数的倒数，通常用sec表示。
对于任意角度θ，正割函数的值定义为斜边与邻边的比值：sec(θ) = 斜边/邻边。
正割函数的定义域为除了90度和270度的整数倍角之外的所有实数，值域为(-∞,-1]和[1,+∞)。
六、余割函数余割函数是余弦函数的倒数，通常用csc表示。
对于任意角度θ，余割函数的值定义为斜边与对边的比值：csc(θ) = 斜边/对边。
余割函数的定义域为除了0度和180度的整数倍角之外的所有实数，值域为(-∞,-1]和[1,+∞)。
三角函数除了以上六种基本函数外，还有诸如反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等反三角函数，它们的定义域和值域不同于基本三角函数。
三角函数在数学上有丰富的性质和运算规律，如正弦函数和余弦函数的和差公式、倍角公式等，这些规律在解决实际问题时起着重要的作用。
三角函数的定义与性质
三角函数的定义与性质三角函数是数学中的重要概念之一，它在几何学、物理学、工程学等领域具有广泛的应用。
本文将探讨三角函数的定义与性质，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、三角函数的定义三角函数是用于描述角度与弧长之间关系的函数。
常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。
1. 正弦函数（sin）：在一个直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边之比。
用数学符号表示为：sinθ = 对边 / 斜边。
2. 余弦函数（cos）：在一个直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边之比。
用数学符号表示为：cosθ = 邻边 / 斜边。
3. 正切函数（tan）：在一个直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边之比。
用数学符号表示为：tanθ = 对边 / 邻边。
4. 余切函数（cot）：在一个直角三角形中，余切函数定义为邻边与对边之比。
用数学符号表示为：cotθ = 邻边 / 对边。
5. 正割函数（sec）：在一个直角三角形中，正割函数定义为斜边与邻边之比。
用数学符号表示为：secθ = 斜边 / 邻边。
6. 余割函数（csc）：在一个直角三角形中，余割函数定义为斜边与对边之比。
用数学符号表示为：cscθ = 斜边 / 对边。
二、三角函数的性质三角函数具有一系列的性质，这些性质在解决三角函数相关问题时起着重要的作用。
1. 周期性：所有的三角函数都是周期函数，即函数值在一定区间内重复出现。
其中，正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数和余切函数的周期为π。
2. 奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数和余切函数是偶函数。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。
3. 值域：正弦函数和余弦函数的值域是[-1, 1]，而正切函数和余切函数的值域是实数全集。
4. 互余关系：正弦函数和余弦函数满足互余关系，即sinθ = cos(π/2 - θ)，cosθ = sin(π/2 - θ)。
初中数学-三角函数详解
初中数学-三角函数详解我选择介绍初中数学中的三角函数的概念、公式及应用。
一、三角函数的概念三角函数是指在直角三角形中，以某个角为自变量，另外两个角的函数关系。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数sinA表示直角三角形中A角的对边与斜边的比值。
余弦函数cosA表示直角三角形中A角的邻边与斜边的比值。
正切函数tanA表示直角三角形中A角的对边与邻边的比值。
二、三角函数的公式三角函数的公式有很多，其中比较重要的有：1）三角函数的基本关系式sin^2A + cos^2A = 12）正切函数与正弦、余弦函数的关系式tanA = sinA / cosA3）三角函数的和差公式sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB)/(1 ∓ tanAtanB)三、三角函数的应用三角函数广泛应用于几何问题和物理问题中。
下面是两个应用例题：例题1：已知一座房屋的高度为10米，从房屋前面的道路上斜向房屋上方仰视，仰角为30度，求房屋前面道路上的水平距离。
解：设房屋前面道路上的水平距离为x米，则可以列出以下等式：tan30° = 10 / x通过换元和化简，可以求得x的值：x = 10 / tan30° ≈ 17.32因此，房屋前面道路上的水平距离为17.32米。
例题2：已知一辆车从A点出发，向北行驶200公里到达B点，然后向东行驶150公里到达C点，求从C点观察A 点与B点的夹角α。
解：通过勾股定理可以求出直线AB和直线AC的长度：AB = √(200^2 + 150^2) ≈ 250AC = 200根据余弦定理可以求出∓BAC的角度：cosα = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 × AB × AC)= (250^2 + 200^2 - 150^2) / (2 × 250 × 200)≈ 0.628通过反余弦函数可以计算出夹角α的度数：α = arccos(0.628) ≈ 51.5°因此，从C点观察A点与B点的夹角α约为51.5度。
三角函数入门
三角函数入门三角函数是高中数学中的重要内容，也是数学和物理等自然科学中常用的数学工具之一。
它们是用来描述直角三角形中角度和边长之间的关系的函数。
本文将介绍三角函数的基本概念、公式和应用。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，常用符号为sin。
在直角三角形中，对于角度θ，正弦函数的定义为：sinθ = 对边/斜边。
通过对边和斜边的比值，我们可以计算出角度θ的正弦值。
正弦函数的定义域是所有实数，并且它是一个周期函数，其周期为2π。
正弦函数的图像是一条连续的波动曲线，从图像上可以看出正弦函数在0到2π范围内取得最大值1和最小值-1。
正弦函数的周期性使得它在波动、振动和周期性现象的研究中具有广泛的应用。
二、余弦函数余弦函数是三角函数中另一个重要的函数，常用符号为cos。
在直角三角形中，对于角度θ，余弦函数的定义为：cosθ = 邻边/斜边。
余弦函数也是一个周期函数，其周期同样为2π。
余弦函数的图像是一条波动曲线，与正弦函数的图像相似，但相位差为π/2。
余弦函数在天文学、振动学等领域有广泛的应用。
三、正切函数正切函数是三角函数中的另一常用函数，常用符号为tan。
在直角三角形中，对于角度θ，正切函数的定义为：tanθ = 对边/邻边。
与正弦函数和余弦函数不同，正切函数的定义域是除去所有余弦函数为零的点之外的所有实数。
正切函数的图像是一条以周期π为单位的波动曲线。
在实际应用中，正切函数广泛用于建筑学、物理学等领域的倾斜角度计算。
四、三角函数的基本关系三角函数之间存在一些基本的关系。
其中最常见的是正弦函数和余弦函数的关系：sin^2θ + cos^2θ = 1。
这个关系被称为三角恒等式，它表示在直角三角形中，对于任意角度θ，正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1。
利用这个恒等式，我们可以互相推导和计算三角函数的值。
五、三角函数的应用三角函数在物理学、工程学和计算机图形学等领域有广泛的应用。
在物理学中，三角函数常用于描述振动和波动的规律。
九年级数学三角函数定义及三角函数公式大全
三角函数是数学中的重要概念之一，它在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的定义、性质及常用公式，希望能够帮助九年级的同学们更好地理解和掌握三角函数。
一、三角函数的定义在直角三角形中，我们定义了三个基本三角函数：正弦、余弦和正切。
它们分别表示一个角的正弦值、余弦值和正切值。
角的正弦值等于对边与斜边的比值，余弦值等于邻边与斜边的比值，而正切值等于对边与邻边的比值。
二、三角函数的性质1.正弦函数的定义域是实数集，值域在[-1,1]之间；余弦函数的定义域是实数集，值域在[-1,1]之间；正切函数的定义域是所有不等于90度的实数集，值域是所有的实数。
2.正弦函数和余弦函数是周期函数，周期为360度或2π弧度；正切函数也是周期函数，周期为180度或π弧度。
3.正弦函数和余弦函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)；而正切函数是奇函数。
4.正弦函数是周期为2π的函数，图像是一条连续的正弦曲线；余弦函数也是周期为2π的函数，图像是一条连续的余弦曲线；正切函数的图像有水平渐进线，当角趋近于90度时，正切的值趋近于正无穷或负无穷。
1.三角函数的诱导公式正弦函数和余弦函数之间有一个重要的关系：sin(α ± β) =sinαcosβ ± cosαsinβ。
通过这一关系，我们可以推导出其他的三角函数公式，例如：- cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ- cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)等等。
2.三角函数的和差化积公式正弦函数和余弦函数的和差化积公式是：- sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ- sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ- cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ- cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ这些公式可以用于将一个角的三角函数表示为两个角的三角函数的乘积或差。
三角函数：三角形的基本性质
三角函数：三角形的基本性质三角函数是数学中重要的概念之一，它们与三角形的基本性质密切相关。
在本文中，将介绍三角函数的定义和常见性质，以及它们与三角形的关系。
一、三角函数的定义和常见性质1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数是最基本的三角函数之一，它表示一个角的对边与斜边的比值。
设三角形ABC中，角A的对边长度为a，斜边长度为c，则角A的正弦函数定义如下：sin(A) = a / c正弦函数的值域为[-1, 1]，且满足三角恒等式：sin(A) = 1 / csc(A)2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数是三角函数中的另一个重要概念，它表示一个角的邻边与斜边的比值。
设三角形ABC中，角A的邻边长度为b，斜边长度为c，则角A的余弦函数定义如下：cos(A) = b / c余弦函数的值域也为[-1, 1]，且满足三角恒等式：cos(A) = 1 / sec(A)3. 正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中的另一个常见概念，它表示一个角的对边与邻边的比值。
设三角形ABC中，角A的对边长度为a，邻边长度为b，则角A的正切函数定义如下：tan(A) = a / b正切函数的定义域为所有不等于90度的角，值域为实数集。
4. 三角函数的周期性三角函数都具有周期性，即在一定区间内重复出现相同的值。
正弦函数和余弦函数的周期为2π（或360度），而正切函数的周期为π（或180度）。
二、三角函数与三角形的关系1. 正弦定理（Sine Rule）在三角形ABC中，角A、对边a的正弦函数值等于角B、对边b的正弦函数值，也等于角C、对边c的正弦函数值的比例。
即：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c这个定理可用于求解三角形的边长或角度，提供了便利的计算方法。
2. 余弦定理（Cosine Rule）余弦定理描述了三角形的边长与角度之间的关系。
三角函数基础知识
三角函数基础知识三角函数是数学中非常重要的一个分支，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
本文将介绍三角函数的基础知识，包括正弦、余弦和正切等常用三角函数的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一。
对于任意实数x，其正弦值可以表示为sin(x)，即sin(x) = A/C，其中A是x点在单位圆上垂直于x轴的投影长度，C是单位圆的半径。
正弦函数有以下一些重要特点：1. 周期性：sin(x)具有周期2π，即对于任意实数x，有sin(x + 2π) = sin(x)。
2. 奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，即正弦函数关于原点对称，即图像关于原点对称。
3. 取值范围：正弦函数的值域为[-1, 1]，即sin(x) ≤ 1，sin(x)≥ -1。
二、余弦函数余弦函数是三角函数中与正弦函数相似的一个函数。
对于任意实数x，其余弦值可以表示为cos(x)，即cos(x) = B/C，其中B是x点在单位圆上与x轴的夹角的邻边长度。
余弦函数与正弦函数有相似的性质：1. 周期性：cos(x)具有周期2π，即对于任意实数x，有cos(x + 2π) = cos(x)。
2. 偶函数性：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数关于y轴对称，即图像关于y轴对称。
3. 取值范围：余弦函数的值域为[-1, 1]，即cos(x) ≤ 1，cos(x)≥ -1。
三、正切函数正切函数是三角函数中另一个重要的函数，对于任意实数x，其正切值可以表示为tan(x)，即tan(x) = sin(x) / cos(x)。
正切函数有以下一些特点：1. 周期性：tan(x)具有周期π，即对于任意实数x，有tan(x + π) = tan(x)。
2. 奇函数性：tan(-x) = -tan(x)，即正切函数关于原点对称，即图像关于原点对称。
3. 取值范围：正切函数的取值范围为整个实数集。
四、三角函数的应用三角函数在许多实际问题中都有广泛的应用。
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第三章三角函数第一节三角函数及概念复习要求：1．任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；2．三角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。
知识点：1.任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
2.角的分类为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。
3.象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
（1）第一象限角的集合：|22,2k k k Zπαπαπ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭（2）第二象限的集合：|22,2k k k Zπαπαππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭。
（3）第三象限角的集合：3|22,2k k k Zπαππαπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭。
（4）第四象限角的集合：3|222,2k k k Zπαπαππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭4.轴线角角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。
它不属于任何象限,也称为非象限角。
5.终边相同的角所有与角α终边相同的角连同角α在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。
记为：{}|360,S k k Z ββα==+⋅∈或{}|2,S k k Z ββαπ==+∈。
它们彼此相差2()k k Z π∈，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。
6.区间角区间角是指介于两个角之间的所有角，如5|,6666ππππααα⎧⎫⎡⎤=≤≤=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦。
7，角度制与弧度制角度制：规定周角的1360为1度的角，记作01，它不会因圆的大小改变而改变，与r 无关弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写)。
角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地,正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。
8.角的度量（1）角的度量制有：角度制，弧度制（2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π=o。
3602π=o ，180rad π=o ，10.01745()180rad rad π=≈o ，1801()57.30rad π=≈oo（39.在半径为r 的圆中，弧长l 所对的圆心角的弧度数为||α=lr 。
10.扇形面积（α是圆心角的弧度数）11.在直角坐标系中，设α是一个任意角，在α的终边上任取一点(,)P x y ,它与原点的距离r ，则22||0r OP x y ==+>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y .把：比值y r 叫做正弦，即sin MP y OP r α==； 比值x r 叫做余弦，即cos OM x OP rα==；比值y x 叫做正切，即tan MP yOM xα==。
利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,则：（1）y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=；（2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=； （3）yx 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x xα=≠。
12．三角函数在各象限的符号：是根据三角函数的定义和各象限内坐标的符号推出的 口决：一全正，二正三切四余13．三角函数线以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1单位圆与角α的终边的交点(,)P x y ，过点P 作米）。
设PM x ⊥轴交x 轴于点M ，过单位圆与x 轴的非负半轴交点A 作单位圆的切线与角α的终边（或延长线）交于点T 。
根据三角函数的定义：sin MP y α==，cos OM x α==，tan AT α=。
我们把有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。
三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。
利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。
补充：特殊角的三角函数值：的终边o P(x,y)M α的终边αP （x,y ）xyyx o+-+-sin α例1写出终边在x 轴上的角的集合 解：终边在x 轴上的角的集合是例2已知α是第三象限角，则3α是第几象限角？ 答案：第一，第三，第四象限例3.（1）若sin cos 0θθ⋅>则θ在第象限。
（2）若α是第二象限角，则sin 2,cos2,sin ,cos ,tan222ααααα中能确定为正值的有个。
答案:(1)二、四象限（2）2α为第三第四象限，2α为第一，第三象限，所以为1个例4已知角α的终边上一点P （-4m,3m)，且m<0，求α的四个三角函数值答案：5r OP m===-Q例5已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径为R ，若60,10R cm α==o，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积 答案：603o πα==所以()101033l R cm παπ===g面积:()2221150102233s R cm παπ===g g基础练习题: 1,若角7,3απ=-则角α是第____象限角（）A1B2C3D42，30oα=是1sin 2α=的（)A 充分不必要B 必要不充分C 充分必要D 既不充分也不必要3，已知角α的终边经过点P(-1，2)，则cos sin αα+=()A B C D第二节三角函数的基本公式复习要求：1，理解同角三角函数的关系2，能正确运用同角三角函数的关系进行三角函数的化简求值 3，能正确运用三角函数的诱导公式化简三角函数式 4，理解二倍角的三角函数 知识点:一、任意角的三角函数在角α的终边上任取一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：x r=αsec 余割：y r=αcsc注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。
商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =。
平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。
三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名不变，符号看象限）⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式 五、二倍角公式ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）22cos 1cos 2αα+=，22sin 1sin 2αα+=，ααααα2cos 12sin 2sin 2cos 1tan +=-=。
六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=。
万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。
七、和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ …⑴2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=- …⑵2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+ …⑶2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=- …⑷了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式： 两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。
两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。
八、积化和差公式我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。
九、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a （）其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，22sin b a b +=ϕ，22cos b a a +=ϕ，a b =ϕtan 。
经典例题： 例1已知()3tan =4α，α是第三象限的角，求sin α，con α解：例2已知tan α=3，求下列各式的值（1)sin 22sin 3con con αααα+-(2)2sin 2sin 1con ααα++ 答案：53，52例3120tan 225o ocon +=解:()120tan 22518060tan(18045o oo o o o con con +=-++）例4，已知tan()2tan ,sin(2)3sin αβααββ+=+=求证 证明:基础练习： 1，已知5cos ,tan 13ααα=且为第四象限角，那么的值是（）A 512B 512-C 125D 125-2，如果θ是锐角，()()1sin ,cos 2πθπθ+=--=则（） A 12-B 12CD3，2sin 75cos75o o=（）A 12B 14C 12-D 14-4，()11sin cos +-,=14αβααββ==若、都是锐角，且则A 3πB 8πC 4πD 6π 5，已知。