例说求函数的最大值和最小值的方法

例说求函数的最大值和最小值的方法

例1.设x 是正实数，求函数x

x x

y 32

+

+=的最

小值。

解：先估计y 的下界。

5

5

)1(3)1(5)21

(3)12(222≥+-+-=+-+++-=x x x x x x x y

又当x =1时，y =5，所以y 的最小值为5。 说明 本题是利用“配方法”先求出y 的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。例如，本题我们也可以这样估计：

7

7

)1(3)1(7)21

(3)12(222-≥-++-=-++++-=x x x x x x x y

但y 是取不到7的。即7不能作为y 的最小值。

例 2. 求函数

1

22322

2++--=x x x x y 的最大值和最小

值。

解 去分母、整理得：(2y 1)x 2+2(y +1)x +(y +3)=0.

当2

1≠y 时，这是一个关于x 的二次方程，因为x 、y 均为实数，所以

=[2(y +1)]24(2y 1)(y +3)0, y 2

+3y -40,

所以 4y 1

又当3

1-=x 时，y =4;x =2时，y =1.所以y min =4，y max =1.

说明 本题求是最值的方法叫做判别式法。

例3.求函数1

52++-=x x y ，x [0,1]的最大值

解：设

]

2,1[1∈=+t t x ，则x =t 21

y = 2(t 21)+5t = 2t 2+5t +1

原函数当t =169,45=x 即时取最大值8

33

例4求函数2

2

3

,5212

≤≤+--=x x x

x y 的最小值和最

大值

解：令x 1=t (121≤≤t ) 则t

t t

t

y 414

2

+=+=

y min =5

1,172

max

=

y

例 5.已知实数x ,y 满足1x 2+y 24,求f (x )=x 2+xy +y 2的最小值和最大值

解：∵)

(2122

y x

xy +≤

∴6

)(2

3),(2222

≤+≤

++=y x xy y x

y x f

又当2==y x 时f (x ,y )=6，故f (x ,y )max =6 又因为)

(2122

y x

xy +-≥

∴2

1)(21),(2222

≥+≥

++=y x xy y x

y x f

又当2

2,22-==

y x 时f (x ,y )=21，故f (x ,y )min =2

1

例6.求函数

2

224)1(5+++=

x x x y 的最大值和最小值

解：原函数即11

1

)1(5222

++-+=x x

y

令112

+=x t (0

19，当x =0时，函数取最大值5

例7.求函数|]211[1|)(+-=x x x f 的最大值 解：设α=+=+}211{,]211[x n x ，则 f (x )=|2

1|1|-=-αn x 由于 0<1,故f (x )21，又当x =1

22-k (k 为整数)时f (x )= 2

1, 故f (x )max =2

1

例8.求函数1

13632424+-++--=

x x x x x y 的最大

值

解：原函数即2

22222)1()0()2()3()(-+---+-=

x x x x x f

在直角坐标系中，设点P(x ,x 2),A(3,2),B(0,1)，则

f (x )=|PA||PB||AB|=10

又当6

137+-

=x 时，f (x )=

10

故f max (x ) = 10

例9.设a 是实数,求二次函数y =x 24ax +5a 23a 的最小值m ，当0a 24a 210中变动时，求m 的最大值

解：y =x 24ax +5a 23a =(x 2a )2+a 23a 由0a 24a 210解得：622-≤≤-a 或62+a 6 故当a =6时，m 取最大值18

例10.已知函数f (x )=log 2(x +1)，并且当点

(x ,y )在y =f (x )的图象上运动时，点)2

,3(y

x 在y =g (x )

的图象上运动，求函数p (x )=g (x )f (x )的最大值。

解 因为点(x ,y )在y =f (x )的图象上，所

以y =log 2(x +1)。点)2,3(y

x 在y =g (x )的图象上，所以)3

(2x g y =故 )

13(log 2

1

)(),1log(2

1

)3(2+=+=x x g x x g

2

222)1(13log 21)1(log )13(log 21)()()(++=+-+=

-=x x x x x f x g x p

令

2

)1(13++=

x x u ，

则

89

89)4311(21

3)1(2)1(2)1(3222≤

+-+-=+++-=+-+=

x x x x x u

当4311=+x ，即31=x 时，8

9

=u ，所以8

9

max

=

u

从而

8

9log 21)(2max =

=x p 。

例11.已知函数

2

622+++=

x bx ax y 的最小值是2，最

大值是6，求实数a 、b 的值。