例说求函数的最大值和最小值的方法
函数的最大值和最小值的求解方法[1]
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根 A.有且只有一个
B.有2个
（） C
C.至多有一个
D.以上均不对
解析 ∵f（x）在R上是增函数，
∴对任意x1,x2∈R,若x1<x2,则f(x1)<f(x2), 反之亦成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个. 若对任意x∈R都无f(x)=0,则f(x)=0无根.
3.已知f(x)为R上的减函数，则满足 的实数x的取值范围是 A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.（-∞,-1)∪(1,+∞)
要注意函数思想在求函数值域中的运 用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函 数探的究最提值高解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分 离参数法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立, 只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函数 的性质得-(x+1)2+1≤-3,所以只要a>-3即可.
（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1>x2,则 由于当x>1时，f(x)<0,
x1 1, x2
所因所以此以f函(x数1)ff<((fx(xx)x12在2)),区即间0f((,0x1,)+-∞f()x上2)<是0,单调递减函数.
（3）由
知能迁移2 函数y=
log
1
(2x的2 递3减x区间1)为
（）
2
A
A.(1,+∞)
B.
C.
D.
解析( 1作,出t=)2x2-3x+1的示意
(, 3]
[
3
4 ,)
图如图2所示，
4
例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧
例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧利用均值不等式求函数最值是数学中常用的一种方法，通过这种方法，可以简单地确定函数的最大值和最小值。
本文将介绍几种利用均值不等式求函数最值的常用技巧。
1.权值平均：使用均值不等式时，通过给定变量的权重，我们可以找到一个平均值，该平均值应该落在函数的最大值和最小值之间。
例如，如果我们要找出一个函数f(x)在一些闭区间[a,b]上的最大值，我们可以找到一个适当的c，使得a<c<b，并应用以下均值不等式：f(a)≤f(c)≤f(b)然后，我们可以将函数的值乘以相应的权重（比如(a-c)和(b-c)），并利用均值不等式得出结论。
2.凸函数和凹函数：对于凸函数而言，任意两个点之间的连线位于这两个点所对应的函数值之上。
如果我们要找到函数f(x)在一些闭区间上的最大值，我们可以在该区间上找到两个点，判断这两个点的连线是否位于这个函数值之上。
如果是，那么函数值将成为该区间的最大值。
对于凹函数来说，与凸函数类似，只是方向相反。
3.形象化问题：通过将问题形象化，我们可以更好地理解利用均值不等式求函数最值的思路。
例如，我们有一个数轴上的几个点，我们想找到距离它们最近和最远的点。
我们可以将这些点放在数轴上，并根据它们的位置找到距离最近和最远的点。
同样地，在函数的最大值和最小值问题中，我们可以通过绘制图形并观察函数曲线来找到函数的最大值和最小值。
4.极值问题：利用均值不等式求函数最值时，我们可以寻找函数的极值点。
当函数的导数为0时，函数可能取得最大值或最小值。
我们可以计算导数，找到可能的极值点，并对这些极值点应用均值不等式，从而确定函数的最大值和最小值。
5.多元函数：均值不等式也可以应用于多元函数的情况。
在多元函数的情况下，我们可以将问题转化为一元函数的情况，并使用上述方法解决。
综上所述，利用均值不等式求函数最值是一个实用的方法。
通过使用权值平均、凸函数和凹函数特性、形象化问题、极值问题和多元函数等技巧，我们可以更好地利用均值不等式来确定函数的最大值和最小值，从而解决数学中的一些问题。
例说数形结合解决求函数最值问题
例说数形结合解决求函数最值问题数形结合就是将抽象的数的方式与直观图形结合起来，既分析其代数含义又分析其几何含义。
在数与形的结合上往往采用“以形助数”或“以数辅形”的手段寻找解题的思路。
求函数的最值是中学数学的重要内容之一，题型多变，解法灵活，也是历年高考的必考内容，下面仅就这一方面利用数形结合的技巧举例说明。
例1：求函数的值域。
分析：我们可以先进行换元，去掉根号，然后在寻找解决问题的突破口。
解：令则原函数表达式等价转化为，即为过点和点的直线的斜率。
作出示意图像，经观察，计算可知的变化范围为。
评注：此题若采取代数方法，比较繁琐，但是给代数问题赋以一个合适的几何意义，问题就变得鲜活，简单。
例2：已知，求的最小值。
【分析】将看成是直线上的点A（x，y）与定点B（1，1）间的距离，则的最小值也就是点B（1，1）到直线的距离。
解：是由直线上动点与定点间的距离，显然的最小值是点到直线的距离，即例3.求函数的最值。
分析：等式右边根号内同为的一次式，如简单的换元无法转化为二次函数求最值，故用常规方法比较难。
如能联想到直线的截距，数形结合换元后，以形助数，则可轻松解决。
令则则所函数化为以为参数的直线族，它与椭圆在第一象限的部分有公共点又例4：对于任意函数f（x）、g（x），在公共定义域内，规定f（x）*g（x）=min{ f（x）、g（x）}，若f（x）=，g（x）=，求f（x）*g（x）的最大值。
分析：本题可首先确定函数的定义域，然后作出函数的图像，由图像可求出解析式，最后求最大值。
解：由题意得：的解为x=2故其图象如图，显然在点P时f（x）*g（x）取最大值，最大值为1。
例5.甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a 元（1）把全程运输成本y（元）表示为v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：本题可根据实际问题抽象出函数模型，然后根据不等式性质、最值等知识，结合函数的图像，即可求解。
求函数最值的12种方法
求函数值域的12种方法一、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
1.函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R；2.二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++=当0>a 时值域是[ab ac 442-，+)∞，当0<a 时值域是(,-∞ab ac 442-]；3.反比例函数)0,0(≠≠=x k xky的值域为}0|{≠y y ；4.指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为+R ；5.对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R；6.函数)( cos ,sin R x x y x y ∈==的值域为[-1，1]；函数 ),2k (x tan Z k x y ∈+≠=ππ,cot xy =),(Z k k x ∈≠π的值域为R；7.对勾函数)0,0(≠>+=x a xa x y 的值域为),2[]2,(+∞⋃--∞a a ；8.形如)0,0(≠>-=x a xa x y 的值域为}0|{≠y y ；渐近线为y=x二、求值域的方法1.直接法(观察法)通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1求函数3422+-=x x y （x ∈[30,]）的最值解：∵1)1(22+-=x y ，∴当3x =时，max y 1x 9==,时，min y =1.例2求函数323y x =+-的值域。
解：由算术平方根的性质，知23x -≥0，故323y x =+-≥3.∴函数的值域为)∞+,3[.2.反函数法求值域对于形如)0(≠++=a bax dcx y 的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。
例3求函数12x y x +=+的值域。
解：显然函数12x y x +=+的反函数为:121y x y -=-,其定义域为y≠1的实数,故函数y 的值域为｛y ∣y≠1,y∈R｝。
求最大值怎么算最小值
求最大值怎么算最小值在数学中，求函数的最大值和最小值是一种常见的问题。
通常情况下，我们可以通过找到函数的导数为零的点，或者通过观察函数的图像来确定函数的最大值和最小值。
接下来，我们将介绍求最大值和最小值的常见方法。
一、求最大值和最小值的基本概念在数学中，给定一个函数f(x)，我们希望找到该函数在某个区间内的最大值和最小值。
最大值指的是函数在该区间内取得的最大值，而最小值则是函数在该区间内取得的最小值。
通常情况下，我们将求函数最大值和最小值的问题转化为求函数的驻点（导数为零的点）或者分析函数的定义域和函数的图像。
二、求导数为零的点求导数为零的点是求解最大值和最小值的常见方法之一。
假设我们有一个函数f(x)，要找到其最大值和最小值，我们可以先求出函数f(x)的导数，即f′(x)。
然后，我们将f′(x)置为零，得到方程f′(x)=0，解这个方程可以得到函数f(x)的驻点。
我们需要进一步通过二阶导数或者函数图像的形状来判断这些驻点是最大值点还是最小值点。
三、分析函数的定义域和图像除了求导数为零的点之外，我们还可以通过分析函数的定义域和图像来求解最大值和最小值。
通过观察函数的定义域、函数的增减性质和凹凸性质，我们可以初步判断函数的最大值和最小值可能出现的位置。
进一步结合函数的导数和二阶导数，我们可以更准确地确定函数的最大值和最小值。
四、举例说明下面通过一个简单的例子来说明如何求解最大值和最小值。
假设我们需要求函数f(x)=x2−4x+3在区间[−1,5]内的最大值和最小值。
首先我们计算函数的导数f′(x)=2x−4，令导数为零，得到x=2。
然后，我们可以通过计算二阶导数或者观察函数图像的形状，发现x=2是一个最小值点。
进一步计算f(2)，即可得到该函数在区间[−1,5]内的最小值。
五、总结求最大值和最小值是数学中的重要问题，对于函数的最大值和最小值求解有多种方法。
通过求解导数为零的点或者分析函数的定义域和图像，我们可以找到函数的最大值和最小值。
求函数最值的10种方法
【例 1】设函数 f(x)的定义域为 R，有下列三个命 题： ① 若存在常数 M ，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤M ，
则 M 是函数 f(x)的最大值；
② 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，且 x≠x0，有 f(x)<f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的最大值；
③ 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤f(x0)，
x 没有最大值，也没有最小值．
二、配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F (x)＝ af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配 方法．
【例 2】 已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R， a≠0)，求函数 y 的最小值．
分析 将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量 ex＋e－x的二次函数．
＝3,
xz 4xz
y2 当且仅当x＝3z时取“＝”．故 的最小值为3.故填3.
xz
点评 本题是三元分式函数的最值问题，一般地，可将 这类函数问题转化为二元函数问题加以解决．在利用 均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三 相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方， 容易产生失误．
五、函数单调性法 先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调 性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方 法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必 考的，且多在解答题中的某一问中出现．
一、定义法 函数最值的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义 域为I，如果存在实数M ，满足：①对任意x∈I，都 有f(x)≤M ，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ，则称M 为
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值． 我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值 的相关问题．
函数的最大值与最小值
函数的最大值与最小值我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．1．一次函数的最大值与最小值一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．大值a．例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件x＋y＋z=30，3x+y-z=50．求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．分析题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．解从已知条件可解得y=40-2x，z=x-10．所以u=5x＋4y+2z＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10)=-x+140．又y，z均为非负实数，所以解得10≤x≤20．由于函数u=-x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．2．二次函数的最大值与最小值例3 已知x1，x2是方程x2-(k-2)x＋(k2+3k+5)=0解由于二次方程有实根，所以△=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0，3k2＋16k＋16≤0，例4 已知函数有最大值-3，求实数a的值．解因为的范围内分三种情况讨论．-a2＋4a-1＝-3例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．解设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积S=xy，2≤X≤4．易知CN=4-x，EM=4-y，且有二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值例6 设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x2+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．解由题设知f(p)=5，g(p)=25，f(p)＋g(p)=p2＋16p＋13，所以p2＋16p+13=30，p=1(p=-17舍去)．由于f(x)在x=1时有最大值5，故设f(x)=a(x-1)2+5，a＜0，所以g(x)=x2+16x+13-f(x)=(1-a)x2+2(a＋8)x＋8-a．由于g(x)的最小值是-2，于是解得a=-2，从而g(x)=3x2＋12x＋10．3．分式函数的最大值与最小值法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．解去分母、整理得(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．△≥0，即△=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y＋3)≥0，解得-4≤y≤1．时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．说明本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．解将原函数去分母，并整理得yx2-ax＋(y-b)＝0．因x是实数，故△=(-a)2-4・y・(y-b)≥0，由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以(y+1)(y-4)≤0，即y2-3y-4≤0．②由①，②得所以a=±4，b=3．4．其他函数的最大值与最小值处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．解先估计y的下界．又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．说明在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．例10 设x，y是实数，求u=x2＋xy+y2-x-2y的最小值．分析先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1．例11 求函数的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．练习：1．填空：(1)函数y=x2＋2x-3(0≤x≤3)的最小值是_____，最大值是_______．(3)已知函数y=x2+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4，则a=_____．是_______．(5)设函数y=-x2-2kx-3k2-4k-5的最大值是M，为使M最大，k=_____．2．设f(x)=kx＋1是x的函数，以m(k)表示函数f(x)=kx＋1在-1≤x≤3条件下的最大值，求函数m(k)的解析式和其最小值．3．x，y，z是非负实数，且满足x＋3y＋2z=3，3x＋3y＋z=4．求u=3x-2y+4z的最大值与最小值．4．已知x2＋2y2=1，求2x＋5y2的最大值和最小值．交点间的距离的平方最小，求m的值．6．已知二次函数y=x2＋2(a＋3)x＋2a＋4的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为α，β，当实数a变动时，求(α-1)2＋(β-1)2的最小值．。
高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法
高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法在高中数学学习中，函数极值及最值问题是一个重要的考点，也是一个有难度的知识点。
在高考数学中，这个知识点被广泛地应用于各种数学题型中，涉及到的知识点和方法需要大家掌握好。
本文将就函数极值及最值问题及解题方法做一些简单的介绍和详解。
第一部分：什么是函数的最值和极值函数的最大值和最小值是这个函数在定义域内的函数值中的最大值和最小值，也就是说，最大值和最小值都是函数的取值，而不是函数本身。
函数的最大值就是这个函数在定义域内取到的最大值，而函数的最小值就是这个函数在定义域内取到的最小值。
函数的极值也是类似的，极大值指的是某个函数在一个特定的区间内取到的最大值，而极小值就是函数在这个特定的区间内取到的最小值。
第二部分：函数的最值和极值问题的解法1. 求函数的最值对于求函数的最值，一般有两种方法：一种方法是借助函数图像，根据函数图像的形态来看出函数的最值所在的位置。
另一种方法是通过求导数，然后借助导数定理来求解函数的最值。
求函数的最值需要用到极限、导数、函数的性质等多个数学知识点，需要考生们细心地掌握。
2. 求函数的极值对于求函数的极值，可以通过以下几种方法来实现：一种方法是通过求导数，然后求得导函数的零点，从而求出函数的极值点。
另一种方法是对函数求导数，然后再对导数进行求导数，直到得到导函数的函数表达式，从而得到函数的极值点。
还有一种方法是使用极限和数列的性质来求解函数的极值。
总的来说，求函数的极值需要使用到导数、函数的性质、函数图像的图形等多个数学知识点，需要考生们认真学习和练习。
第三部分：函数极值及最值问题的解题实例在高考数学中，函数极值及最值问题的解题实例非常丰富，接下来就给大家介绍一些常见的解题思路。
1. 求函数的最值比如，一道求函数最大值的题目：求函数f(x)=x2+2x+3的最小值。
解题思路：首先可以画出函数的图像，在图像上寻找最小值所在的位置。
另一方面，我们也可以通过求导数来求解函数的最值。
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例说求函数的最大值和最小值的方法例1.设x 是正实数，求函数xx xy 32++=的最小值。
解：先估计y 的下界。
55)1(3)1(5)21(3)12(222≥+-+-=+-+++-=x x x x x x x y又当x =1时，y =5，所以y 的最小值为5。
说明 本题是利用“配方法”先求出y 的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。
“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。
例如，本题我们也可以这样估计：77)1(3)1(7)21(3)12(222-≥-++-=-++++-=x x x x x x x y但y 是取不到7的。
即7不能作为y 的最小值。
例 2. 求函数1223222++--=x x x x y 的最大值和最小值。
解 去分母、整理得：(2y 1)x 2+2(y +1)x +(y +3)=0.当21≠y 时，这是一个关于x 的二次方程，因为x 、y 均为实数，所以=[2(y +1)]24(2y 1)(y +3)0, y 2+3y -40,所以 4y 1又当31-=x 时，y =4;x =2时，y =1.所以y min =4，y max =1.说明 本题求是最值的方法叫做判别式法。
例3.求函数152++-=x x y ，x [0,1]的最大值解：设]2,1[1∈=+t t x ，则x =t 21y = 2(t 21)+5t = 2t 2+5t +1原函数当t =169,45=x 即时取最大值833例4求函数223,5212≤≤+--=x x xx y 的最小值和最大值解：令x 1=t (121≤≤t ) 则tt tty 4142+=+=y min =51,172max=y例 5.已知实数x ,y 满足1x 2+y 24,求f (x )=x 2+xy +y 2的最小值和最大值解：∵)(2122y xxy +≤∴6)(23),(2222≤+≤++=y x xy y xy x f又当2==y x 时f (x ,y )=6，故f (x ,y )max =6 又因为)(2122y xxy +-≥∴21)(21),(2222≥+≥++=y x xy y xy x f又当22,22-==y x 时f (x ,y )=21，故f (x ,y )min =21例6.求函数2224)1(5+++=x x x y 的最大值和最小值解：原函数即111)1(5222++-+=x xy令112+=x t (0<t 1) 则y =5t 2t +1 ∴当x =3时，函数有最小值2019，当x =0时，函数取最大值5例7.求函数|]211[1|)(+-=x x x f 的最大值 解：设α=+=+}211{,]211[x n x ，则 f (x )=|21|1|-=-αn x 由于 0<1,故f (x )21，又当x =122-k (k 为整数)时f (x )= 21, 故f (x )max =21例8.求函数113632424+-++--=x x x x x y 的最大值解：原函数即222222)1()0()2()3()(-+---+-=x x x x x f在直角坐标系中，设点P(x ,x 2),A(3,2),B(0,1)，则f (x )=|PA||PB||AB|=10又当6137+-=x 时，f (x )=10故f max (x ) = 10例9.设a 是实数,求二次函数y =x 24ax +5a 23a 的最小值m ，当0a 24a 210中变动时，求m 的最大值解：y =x 24ax +5a 23a =(x 2a )2+a 23a 由0a 24a 210解得：622-≤≤-a 或62+a 6 故当a =6时，m 取最大值18例10.已知函数f (x )=log 2(x +1)，并且当点(x ,y )在y =f (x )的图象上运动时，点)2,3(yx 在y =g (x )的图象上运动，求函数p (x )=g (x )f (x )的最大值。
解 因为点(x ,y )在y =f (x )的图象上，所以y =log 2(x +1)。
点)2,3(yx 在y =g (x )的图象上，所以)3(2x g y =故 )13(log 21)(),1log(21)3(2+=+=x x g x x g2222)1(13log 21)1(log )13(log 21)()()(++=+-+=-=x x x x x f x g x p令2)1(13++=x x u ，则8989)4311(213)1(2)1(2)1(3222≤+-+-=+++-=+-+=x x x x x u当4311=+x ，即31=x 时，89=u ，所以89max=u从而89log 21)(2max ==x p 。
例11.已知函数2622+++=x bx ax y 的最小值是2，最大值是6，求实数a 、b 的值。
解：将原函数去分母，并整理得(ay )x 2+bx +(62y )=0.若y =a ，即y 是常数，就不可能有最小值2和最大值6了，所以y a 。
于是=b 24(ay )(62y )0,所以y 2(a +3)y +3a 82b 0.由题设，y 的最小值为2，最大值为6，所以(y 2)(y -6)0, 即 y 28y +120.由(1)、(2)得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1283832b a a 解得：62,5±==b a例12.求函数48148)(22----=x x x x x f 的最小值和最大值。
解 先求定义域。
由⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-048140822x x x x 最6x 8.]8,6[,686)6(8)(∈-+-=---=x x x x x x x x f当x [6,8]，且x 增加时，6-+x x 增大，而x -8减小，于是f (x )是随着x 的增加而减小，即f (x )在区间[6，8]上是减函数。
所以f max (x )=f (8)=0, f min (x )=f (6)=032例13.设x ,y ,z 是3个不全为零的实数，求2222zy z yzxy +++的最大值 分析：欲求2222zy z yzxy +++的最大值，只须找一个最小常数k ，使得xy +2yzk (x 2+y 2+z 2)∵ x 2+y 22αxy (1)y 2+z 22α-1yz∴ x 2+y 2+z 22αxy +2α-1yz令2α=α-1,则=51 解：∵yz z y xy y x 5454,52512222≥+≥+∴)2(52222yz xy z y x+≥++ 即252222≤+++zy x yzxy又当x =1,y =5，z =2时，上面不等号成立，从而2222zy z yzxy +++的最大值为25例14.设函数f :(0,1)R 定义为⎪⎩⎪⎨⎧<<==+=q p q p q px q p x xx f 0,1),(,1)(当是无理数时当求f (x )在区间)98,87(上的最大值解：(1)若x )98,87(且x 是无理数，则 f (x )=x <98 (2) 若x )98,87(且x 是有理数，设q p x =，其中(p ,q )=1,0<p <q ,由于91888781981789879887-⋅≤≤+⇒⎩⎨⎧≤+≥+⇒⎩⎨⎧<<<<q p q qp p q q p p q q p 所以63q +964q 8，∴q17 因此1716989898819181)()(≤+=+=+-≤+==q q q q q q p q p f x f1716)1715(=f∴f (x )在区间)98,87(上的最大值1716)1715(=f 作业：1.若3x 2+2y 2=2x ,求x 2+y 2的最大值2.设x ,y 是实数，且0622222=+--+-y x y xy x求u =x +y 的最小值3.已知x 1,x 2是方程x 2(k 2)x +k 2+3k +5=0 (k R)的两个实数根，求x 12+x 22的最大值和最小值4.求函数xx x x y 243222-++-=的最小值。