态叠加原理(关洪)
量子力学态叠加原理是无法剥离状态的结果
量子力学态叠加原理是无法剥离状态的结果量子力学的叠加原理，薛定谔的猫和量子纠缠，是量子力学留给人们最迷惑的问题，而至今无人可解释这种现象，对此我想尝试的去解释下态叠加原理。
以我的宇宙观来看，任何物质在某点上的状态确定且唯一，出现像量子叠加原理这种现象的，那只有一种情况发生，物质状态改变太快，我们测量精度引起的观察错误，为了解释这个现象我们先来看一个实验。
一种物质M有两种状态A状态和B状态，这种物质每隔0.04秒就改变状态，AB状态交叉出现。
对此两个人想观察M状态的变化，他们分别是小李和小张，小李由于条件限制，只能观察到0.04秒包括0.04秒以上物质发生的状态变化，小张由于条件限制只能观察0.08秒包括0.08秒以上物质变化的状态。
小李通过观察物质M，得出结论:M物质存在两种状态他们分别是A和B状态，这两种状态每隔0.04秒切换一次，从一种状态改变成另外一种状态，物质M的状态在某个时间点上是确定且唯一的。
小张观察物质M，他发现每次观察他只能得到物质M的一种状态，要么是A状态，要么是B 状态，且这两种状态是随机出现的，小张感觉很是迷惑，最后小张认为只有一种情况才能说明这种现象，那就是物质M存在两种状态A和B，这两种物质状态在某个时间点上同时出现，不去观察的话，有可能是A状态，也可能是B状态，一旦进入观察，状态就会被确定。
观察精度的差异，导致观察结果不同。
以此实验我想说的是，态叠加原理之所以产生了，是因为两点存在，一个是微观粒子的状态改变太快，二是我们测量手段的限制，我们无法在较小时间差里将物质状态进行剥离，所以导致我们误认为在某个时间点上物质出现两个状态，实际情况是我们观察的状态是在一定时间段里产生的，而不是真正意义上的时间点，所谓的时间点其实也是相对的，相对于我们测量精度的能力，时间点是相对的，而时间段是绝对的，就如我们去剥离一个小时，会发现一个小时里有六十分钟，我们剥离一分钟，会发现一分钟里有六十秒，那么一秒里又会有一千个毫秒，一千毫秒里呢，所以时间点是相对的，时间段是绝对的，当我们测量精度不够的时候，会发现某个我们认为的时间点上出现多态，其实这些多态是在时间段里依次出现的。
D(二章2讲)态叠加原理(一)
Quantum mechanics and statistical physics
光电信息学院 李小飞
第二章：波函数与Schrödinger方程
第二讲：态叠加原理
一：态叠加原理基本内容
1.区分经典体系和量子体系的判据
德布罗意波体现了物质的波粒二象性
E h h p
经典体系的运动状态具有确定性，遵守因果率。
即：经典粒子在确定时刻有确定位置，其运 动有确定的轨道，通过牛顿第二定律可以确切地 知道粒子的运动状态。并可以测量到代表这个运 动状态的各种物理量（位置，速度，加速度，动 量，能量等）。 量子体系中波粒二象性起重要作用，其运动不遵守因果率， 遵守统计率
即：量子体系的运动具有不确定性，用概率波函数 描述其状态。在同一时刻，粒子的力学量如坐标、动量 等可以有许多可能值。只有对其进行多次测量，测量的 统计平均值才具有确定性。微观粒子的这种量子化的运 动状态称为量子态（quantum state）。因此，描述其运 动状态的波函数也称为态函数，服从态叠加原理
1 2
即：量子条件下波函数遵守叠加原则，称为态叠加原理
电子双缝衍射实验说明：
当两个缝都开着时，电子既不处在 1态，也不处在 2态，而是处在1 和 2 的线性叠加态 1 2 。 可见， 若 1和 2 是电子的可能状态，则其线性叠加 态也是其可能状态。 反言之，电子若处于 1 2 态，则电子以某种 2 态，而不是其他的态。 概率分布处于 1， 叠加态的概率计算:
2. 实验设计（测量设备）很重要
当我们在“挖出”Ａ和Ｂ两条狭缝时，我们已经 “设计”了一个想要观察“电子的波动性”的设备，也 就是电子已经预先被我们设定为“波”了，因此我们观 测到典型的明暗相间波的干涉条纹。 当我们在Ａ和Ｂ装上侦测器时，整个实验又被我们 “设计”成要观察电子的“粒子性”，因为想要知道电 子到底是由Ａ还是Ｂ穿过墙 时，就必须先具备确定的 “位臵”的概念，因此在荧光幕上看到的是典型的粒子 行为——两团亮点，干涉条纹被消失。
343量子力学中的态叠加原理
态叠加原理是量子态的不同表象的理论基础 叠加原理直接反应了波函数能够发生互相干涉的性质 反映了微观粒子的波粒二象性，说明微观粒子的波函数可以叠加，可 以发生干涉现象。这是微观世界中最重要的兴致，是量子力学的核心 内容。 认识到微观粒子的状态可以叠加，人们才进一步提出了用矢量 空间（希尔伯特空间）中的矢量来描写微观状态的完整的量子力学理 论。
和
在x处记录电子,不管时在D1还是D2处记录光子的概率(互斥),都有:
第二项就是干涉相. 这是在光强较弱而无法检测 的,电子可能过缝1也可能过缝2的情况下得到的.即在 光子不能检测电子走向的情况下出现干涉.当完全不可 区分时
参考文献
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曾谨言.量子力学(上)[M],第三版,北京:科学出版 社.2000 喀兴林.高等量子力学[M].北京:高等教育出版社.2000 刘汉平,刘汉法.关于量子力学态叠加原理的讨论[J].山 东理工大学学报(自然科学版).2005.19 喀兴林.谈谈量子力学中的状态叠加原理[J].大学物 理.2006.6 李景艳,胡响明.浅谈量子力学课程学习方法[J].高等函 授学报(自然科学版)2007.20
2 1
2
x s 1 x s x s
1
2
2
*
x s
2
x s
*
x s
2
x s
* 1
I1 ( x) I 2 ( x) 交叉干涉相
从电子波的双缝干涉看态叠加原理
为什么观测的时候会 干涉消失呢? 先来看看电子通过双 缝时的观测示意图(右图)
量子力学5-态叠加原理
t )drdr'
(r
r')
(r ,
t
)(r ,
t
)dr
1
其中使用了
p
(r
)
p
(r'
)dp
(r
r'
)
关系式
由此我们也可以看出把 平面波归一化为 函数的目的。
(r
,
t
)
与
(r
,
t
)
具有类似的物理含义
dW
(r ,t)
若波函数已经归一化，则位置的平均值为
x
ψ
(
r
)
2
xd
3r
势能的平均值为
V
ψ
(
r)
2V
(
r
)d
3r
因空间中某一点的动量没有意义，则动量的平均值
p
ψ
(r )
2
p(r )d
3r
如何求动量的平均值？
波特性：态叠加原理
• （一） （二）
态叠加原理 动量空间（表象）的波函数
（一） 态叠加原理
exp[i
pr]
则 Ψ可按Фp 展开
(r,t)
(
p,
t
)
p
(r )dp
1
(2 )3/2
(
p,
t)
i exp[
p r ]dpxdpydpz
展开系数
(
p,
t)
p
(r )(r ,
t
)dr
（21）3/ 2
(r , t )exp[
i
p r ]dxdydz
显 然 ， 二 式 互 为 F ourier变 换 式 ， 故 而 总 是 成 立 的 。
对量子力学中态叠加原理的探讨
对量子力学中态叠加原理的探讨引言量子力学是描述微观领域中物质和能量行为的理论，提出了一些令人难以理解的概念和原理。
其中，态叠加原理是量子力学的基石之一，也是与经典物理学最明显的区别之一。
本文将探讨态叠加原理的背景、基本概念以及相关实验证据，并对其可能的物理解释进行讨论。
什么是态叠加原理态叠加原理是指在量子力学中，一个量子体系可以处于多个互不相同的态的叠加状态下。
简言之，当一个物体处于超微观的状态时，并不一定处于一个确定的状态，而是处于多个可能的状态中，直到它被测量或与其它体系相互作用时。
根据态叠加原理，物体的波函数可以表示为不同状态的叠加。
双缝实验与态叠加双缝实验的原理双缝实验是量子力学中重要的实验之一，可以用来验证态叠加原理。
实验中，光或电子通过一个带有双个狭缝的屏幕，并在后面的屏幕上形成干涉条纹。
经典物理学的解释是，光或电子可以通过其中的一个缝洞或另一个缝洞。
然而，量子力学的解释是，光或电子同时通过两个缝洞，并在后面的屏幕上形成干涉图样。
双缝实验与态叠加的关系根据双缝实验的结果，我们可以得出一个重要结论：在未进行观测或测量时，粒子可以处于多个可能的状态，以一种叠加的形式存在。
这与态叠加原理是一致的，因为双缝实验显示了光或电子既可以通过一个缝洞，也可以通过两个缝洞，这意味着它们可以处于多种可能的状态。
干涉与态叠加的现象干涉的定义干涉是指波之间相互作用的结果。
在双缝实验中，光或电子通过两个缝洞后，形成了干涉图样。
这是因为通过双个缝洞的波相干叠加形成了干涉效应。
干涉与态叠加的联系根据双缝实验的干涉图样，我们可以得出结论：在没有测量或观测的情况下，粒子可以处于多个状态的叠加，这些状态相互作用形成了干涉。
这进一步支持了量子力学中的态叠加原理。
薛定谔的猫与态叠加的概念薛定谔的猫是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔提出的一个思想实验。
它是对态叠加原理的一种生动描述，旨在说明在微观尺度下，物体可以处于多种可能的状态中。
量子态叠加原理的应用
量子态叠加原理的应用简介量子态叠加原理是量子力学中的基本原理之一，它描述了量子物体可以处于多个状态的叠加状态的现象。
在最近的几十年里，人们对量子态叠加的研究越来越深入，并且已经开始应用于多个领域，包括通信、计算和传感。
本文将介绍量子态叠加原理的基本概念，并讨论其在这些领域的具体应用。
量子态叠加原理的基本概念量子态叠加原理是指一个量子系统可以同时处于多个状态的叠加态。
一个系统的态表示为一个复数的线性组合，其中每个状态的系数表示该状态的概率振幅。
当测量该系统时，根据概率振幅的平方可以得到该系统处于每个状态的概率。
量子态叠加原理的关键在于，当一个系统处于多个状态的叠加态时，测量它将会观察到其中一个状态，而不是所有的状态。
量子态叠加原理在通信领域的应用量子态叠加原理在通信领域的一个重要应用是量子密钥分发（Quantum Key Distribution, QKD）。
量子密钥分发利用量子态叠加的原理，通过传输量子比特来生成和分发密钥。
在传统的公钥加密算法中，为了确保密钥的安全性，需要借助复杂的数学运算。
而量子密钥分发利用了量子态叠加原理，通过检测潜在的窃听行为来保证密钥的安全。
另一个通信领域中的应用是量子隐形传态（Quantum Teleportation）。
量子隐形传态是基于量子态叠加原理的一种通信方式，通过量子纠缠和测量，可以实现量子信息的传输。
这种传输方式可以将量子信息从一个位置传输到另一个位置，而无需经过两个位置之间的物理传输。
量子态叠加原理在计算领域的应用量子计算是使用量子态叠加和量子纠缠原理进行计算的一种计算模型。
与传统的计算方式相比，量子计算具有更强大的计算能力。
量子状态的叠加可以使计算机在同一时间执行多个计算过程，从而加快计算速度。
同时，量子纠缠可以实现信息的高效传输和处理。
量子态叠加原理在传感领域的应用量子态叠加原理在传感领域也有广泛的应用。
一种典型的应用是量子传感器。
传统的传感器通常通过测量物理量来获取所需的数据，而量子传感器利用量子叠加原理对物理量进行测量，可以提供更高的精度和灵敏度。
量子力学中的叠加态与相互干涉现象
量子力学中的叠加态与相互干涉现象在量子力学中，叠加态和相互干涉现象是两个非常关键的概念。
它们揭示了微观世界中粒子性和波动性的奇异行为，挑战了我们对自然界的直观认知。
本文将分别介绍叠加态和相互干涉现象，并解释它们的重要性和应用。
首先，我们来讨论叠加态。
在经典物理学中，物体只能存在于一个确定的状态，例如一个小球可以在静止、向左或向右这三个状态之一。
然而，在量子力学中，叠加态使得微观粒子可以同时处于多个状态之中。
这种奇特的现象被用波函数来描述，波函数是一个复数函数，它包含了系统处于不同状态的概率幅。
举个例子来说明叠加态的概念。
想象一个宏观的实验，一个硬币同时以“正面”和“反面”的形式存在。
在古典物理学中，硬币只能出现一种状态，因此它要么是正面，要么是反面。
然而，在量子力学中，硬币可以处于具有一定概率的“正面”和“反面”的叠加态。
这意味着，在我们观测之前，硬币既不是正面，也不是反面，而是同时是正面和反面的叠加态。
叠加态的一个重要应用是量子计算。
由于叠加态的性质，量子计算机可以同时处理多种可能性，并在计算过程中实现并行计算。
这种并行计算能力使得量子计算机在某些问题上具有远超经典计算机的速度和效率。
然而，要实现这种并行计算，需要对叠加态进行精确控制和测量，这是量子计算中的一大技术挑战。
接下来，我们来讨论相互干涉现象。
在经典物理学中，当两个波相遇时，它们会按照简单的叠加原理相加或相减，从而产生干涉图样。
然而，在量子力学中，这种干涉现象具有更加奇特的性质。
量子干涉是一种只能在微观尺度下观测到的现象。
当两个粒子或两个波包相遇时，它们会表现出一种干涉图样，这取决于它们叠加态的相对相位。
如果它们的相位相同，就会增强干涉信号，而如果它们的相位相反，就会减弱或完全抵消干涉信号。
量子干涉现象在实验室中得到了大量的验证，并且被广泛应用于各种领域。
例如，Young双缝干涉实验可以用来研究光的波动性和粒子性，而双缝干涉实验的量子版本被用来验证叠加态的存在和性质。
再谈态叠加原理
再谈态叠加原理
关洪
【期刊名称】《大学物理》
【年(卷),期】2000(019)008
【摘要】讨论了量子力学里态叠加原理的物理含义,并评论了国内外流行的几种教材中的一些不同讲法.
【总页数】4页(P21-24)
【作者】关洪
【作者单位】中山大学,物理系,广东,广州,510275
【正文语种】中文
【中图分类】O413.1
【相关文献】
1.结构化学小班讨论介绍——态叠加原理 [J], 朱月香;厉建龙
2.量子态叠加原理及其测量的分析与讨论 [J], 黄春晖
3.态叠加原理的翻转课堂探讨研究 [J], 王丽娜;李玮;周丹;栾忠奇;于游;高兆辉;朱娜;唐德龙
4.对量子力学中态叠加原理的探讨 [J], 丁汉芹;刘伟霞;张军
5.统计诠释和微观单个事件守恒律及态叠加原理的讨论 [J], 曾天海;
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关于量子力学中态叠加原理的讨论关洪（中山大学物理系，广州 510275）摘要：讨论了量子力学中态叠加原理的意义。
评论了它的不同表述和解说，倾向于以简单明白的语言来叙述这一原理。
关键词：量子力学；态叠加原理1 引言读到喀兴林新近发表的文章《谈谈量子力学中的状态叠加原理》[1]，深受启发。
特别是我十分佩服他胜似后生的勇气，敢于在文章里表示“不赞成”狄拉克用光的偏振态叠加来对量子力学里态叠加原理的说明。
他的理由是：“量子力学中根本没有偏振这个概念。
用光的行为引入量子力学的基本原理，在物理上和逻辑上都是讲不通的。
”我觉得这段话说得很好，并且我没有看到过国内外其他作者发表过类似的意见。
我曾经特意查阅过狄拉克的《量子力学的基本原理》一书的前后各个版本。
在1930年第一版里[2]，第一章“态叠加原理”的第二节的标题就是“光子的偏振”，在这一节里已经有了那种讲法。
1935年狄拉克在这本书的第二版[3]里重写了第一章，其中第二节的标题仍然是“光子的偏振”，基本内容则改成了在后继的两个版本里我们看到的样子[4]。
后来，国内不少量子力学教材沿用了狄拉克的这种被当做“经典”的讲法。
25年前，我第一次讲量子力学课时，也跟着这样讲。
但是，我一边嘴上讲一边心里就觉得别扭，讲完之后想清楚了，这种论证与量子力学没有什么实质上的联系。
于是，在我后来讲的量子力学课和写的量子力学教材里[5]，都不用这种讲法了。
但是，我不曾把这一认识写到我的著作里。
这是因为，我曾经在不止一次会议上的发言引起个别听者的强烈排斥，他们的理由是狄拉克（或者爱因斯坦，或者泡利……）是不会错的，他说了的话是不容讨论的。
那么，我只好少说几句算了。
其实狄拉克这本书，尤其是第一章，确实存在一些毛病。
况且，他自己也承认有毛病。
我指的是在文献 [3] 或者 [4] 的第13页有一个脚注，承认正文里的一处陈述的成立是“有限制”的，亦即不是普遍成立的。
关于这个问题，我已经做过专门的论述[6-8]，不再在这里重复。
我十分欣赏狄拉克这种敢于公开承认自己的失误的态度。
文献 [1] 对几本国外的量子力学著名教材里对态叠加原理的表述文字进行了认真细致的分析。
而我在这里试图从另一个角度来谈这个问题。
我以为，不必使用诘屈拗口而不容易理解的语言来表达量子力学里的态叠加原理，如果使用简单明白的语言来表述，就会令教师和学生都省去不少麻烦。
下面还将对文献 [1] 提到的一些问题做些补充和讨论。
2 态叠加原理的实质我以为，量子力学里态叠加原理的实质是说：在量子力学里使用作为概率幅的态函数（波函数）ψ描写一个物理系统的状态。
（命题1）初看起来，命题1好像是一句“大实话”，其实它是有深刻含意的。
回顾在经典力学里，描写一个质点的状态，用的是它的坐标x和动量p。
而且，物理学里的运动方程就是描写物理系统状态随时间的变化的。
因此，经典力学里的基本运动方程（牛顿第二定律或者相对论里的相应方程）必定是坐标x或者动量p满足的方程。
那么，我们亦很自然地就会从命题1得出这样的推论：量子力学里的基本运动方程（薛定谔方程，或者狄拉克方程等等），是作为概率幅的态函数ψ 所满足的方程。
（命题2）所以，态叠加原理一开始就揭示了，量子力学的理论框架与经典力学根本不同。
即是说，量子力学里满足基本运动方程的不是像在经典物理学里那样的各种物理量，而是本身并非物理量的概率幅。
而且，经典物理学与量子力学的基本运动方程在形式上也稍有差别。
例如，在经典物理学里，有源的电磁场方程是非齐次的，只有自由传播的电磁场才满足齐次的微分方程。
然而，在常规的量子力学里，作为概率幅的态函数ψ 所满足的基本运动方程总是齐次的线性微分方程。
（命题3）我很高兴看到文献 [1] 这样肯定了类似的陈述：“状态叠加原理的物理叠加型表述，在某种意义上可以说是‘薛定谔方程……是线性微分方程’这句话的物理诠释和直接推论。
”大家知道，齐次线性微分方程的解具有可叠加性。
亦即是说，这种方程的两个（或更多个）解的叠加，仍然满足原来的方程。
具体说来，如果ψ1是和ψ 2都是方程的解，那么它们的叠加ψ1 +ψ 2 或者c1ψ1 +c2ψ 2 ，必定也是同一方程的解。
于是，以上由浅入深，或者说由抽象到具体的三个命题，都可以看做是态叠加原理的表述。
一句话，态叠加原理实际上说的是：在量子力学里，满足叠加规则的是作为概率幅的态函数ψ 。
这句话亦道出了量子力学与经典力学的本质差别。
关于量子力学里态叠加原理的一种清楚明白的表述，是费曼首先提出来的。
费曼早就强调：“在量子力学里概率的概念没有改变”，“变化了而且剧烈地变化了的是计算概率的方法。
”[9]他指的是在量子力学里一般使用概率幅叠加的规则，而不是在经典物理学里的概率叠加规则。
而且，在文献 [9] 和他的《物理学讲义》第三卷 [10] 里阐述量子力学的基本原理时，都是从电子的双缝衍射引出概率幅叠加规则开始的。
3 关于态叠加原理的“第二种表述”在有些量子力学教材里，表达了与上一节里的某个命题相同的内容，不再明白地提到态叠加原理这个话题，这种讲法也是可以行得通的。
例如，文献 [1] 指出，席夫的《量子力学》就是这样。
可是，有更多的量子力学教材里，却试图使用一些意义含混的文字来表述态叠加原理，这样做不但没有什么好处，而且很容易落到“画蛇添足”的尴尬境地。
在这一节我们剖析一下这方面的一个种讲法。
文献 [1] 的第二节“第二种表述”里，先引述了狄拉克和朗道关于态叠加原理的类似的两种有关表述。
为了便于讨论，我们在这里扼要复述文献 [1] 所引用的一段朗道的《量子力学》里的话：“设在波函数为ψ1的态中进行某种测量，可以获得可靠的肯定结果1，而在ψ2的态中进行这种测量可以获得可靠的肯定结果2。
那么可以假定，在ψ1和ψ2的任一线性组合所给出的态中，即在任一具有c1ψ1＋c2ψ2函数形式的态中，进行该种测量所得结果或者是1，或者是2……以上这些假定，构成了量子力学的一个首要原理，称为态叠加原理。
”首先应该指出，这段话是不对的，或者说这种陈述是不是普遍成立的。
要说明这一点，举一个反例就够了。
我们先仿照上面的说明，设在波函数为ψ1的态中进行某种测量，可以获得可靠的肯定结果a≠0。
然后，再选ψ2= -ψ1，在ψ2的态中进行测量，当然也获得同样的肯定结果a。
现在我们做一个组合ψ1＋ψ2 = ψ1 - ψ1 = 0。
（相当于在组合式里取ψ2= ψ1，c1＝1，c2＝－1）那么，在这个叠加态里，测量到的肯定不是在ψ1态和ψ2态的相同结果a，而是0！所以，这种“第二种表述”说轻一点是不得要领，说重一点就是文不对题了。
出问题的原因在于这种表述没有反映出量子力学里概率幅干涉的特征，遇到上面举出的发生严重相消干涉的情况就完全失灵了。
因此，我们说这种“第二种表述”不得要领或者文不对题，是指它没有反映出量子力学的特征，实际上讲的是经典物理学里也存在着的规则。
举一个例子就明白了。
设有一束电磁波A，携带着一台电视广播a的信号；又有另一束电磁波 B，携带着另一台电视广播b的信号。
那么，当这两束电磁波传到同一地点而叠加时，可以收到的电视广播就必定或者是a，或者是b。
这明明是经典物理学，不是量子力学！所以，这种不得要领的话，高谈阔论不如少说为妙。
我以为，脱离了概率幅的概念是讲不清楚态叠加原理的。
狄拉克的书的第一章在引入概率幅之前讲态叠加原理，肯定是不合适的。
结果，就真的出了上面提到过的，他要在脚注里更正的毛病。
这个毛病也由于狄拉克的有关说法没有反映出概率幅的干涉性质。
[参看文献5-7]4 关于“数学叠加型的态叠加原理”文献 [1] 提出，在量子力学里有两种不同的态叠加原理，一种是“物理叠加型”的，另一种是“数学叠加型”的。
这两种类型的叠加的区别在于前者叠加的各个态函数，都是同一道薛定谔方程的解，或者说是对应于用同一个哈密顿算符描写的物理系统；而后者则不受此限，纯粹是一种数学上的叠加或者分解。
并且，文献 [1] 认为，“数学叠加型”的态叠加原理，“是在真实的物理状态中各个物理量取值的规律，这是一个新的规律，是量子力学的又一个基本原理。
”那么，按照这种分法，在第二节里讲的命题，都是“物理叠加型”的态叠加原理。
下面我们对所谓“数学叠加型”的态叠加原理做一点分析，说明它正是普通的态叠加原理、即所谓“物理叠加型”的态叠加原理，加上量子力学的其他基本假设所得出的结果。
首先，按照量子力学的一条基本假设，用一个自伴算符（或者马虎一点说，厄米算符）描写一个动力学变量。
由这种算符的数学性质，我们知道它的本征函数组是正交且完备的，可以做任意态函数展开的基。
用公式表示，算符F的本征值方程是Fφn= λn φn式中的φn是归一化的本征函数，λn是相应的本征值。
由于φn构成一组完备基，任意态函数ψ就可以用这组基来展开以上纯粹是数学问题。
量子力学还有一条基本假设，即所谓“平均值公设”。
它可以将在状态ψ 中对F 进行多次测量所得到的平均值表示为如下内积那么，将前面两式代入到这道内积公式里，就可以推导出于是，ψ 展开式里的系数 c n的绝对值平方，就可解释为测量 F得到值 λn的概率。
或者说，c n也是一种概率幅。
事实上，在算符F取对角形式的表象里，这一组c n就构成了矩阵形式的态函数。
本来，以上的推导在教科书里都有，在这里写出来是为了看清楚一些。
前面的ψ 展开式完全是一道数学式子，到这一步没有任何物理意义。
但是，下面的“平均值公设”就引入了物理内容，实际上它是量子力学基本假设里面唯一一条将理论与经验联系起来的命题。
于是我们就得出了这样的结论：上述概率幅ψ 的展开式里的各项，或者各项的系数c n也是一种概率幅。
这实际上就是说概率幅的这种叠加是有物理意义的，而这种物理意义同原来（“物理叠加型”）的态叠加原理是分不开的。
或者可以换一种思路说，在量子力学里任何函数都可以用一套正交完备基展开，但只有概率幅的展开才具有上面所说的物理意义。
举一个经典物理学的例子。
任何连续性不太差的函数都可以做傅立叶展开，但不是任何函数的傅立叶展开都是有意义的。
例如，对光信号或者电磁波信号的振幅做傅立叶展开，能够得到很有意义的频谱分布。
可是，虽然这些信号的强度也可以做傅立叶展开，但那是没有任何意义的。
那正是因为，电磁波的振幅即电场或者磁场是满足叠加原理的缘故。
因此，我们认为，文献 [1] 说的“数学叠加型”的态叠加原理，其实是本来意义的态叠加原理同量子力学的其他基本假设相结合的推论，不是一条独立的基本原理。
作者感谢阮东教授在提供资料上的帮助。
参考文献：[1] 喀兴林，，大学物理，2006，25(8): 1-5,15[2] Dirac P A M, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press,1930[3] Dirac P A M, The Principles of Quantum Mechanics, second edition, OxfordUniversity Press, 1935[4] Dirac P A M, The Principles of Quantum Mechanics, fourth edition, OxfordUniversity Press, 1958[5] 关洪，《量子力学基础》，北京：高等教育出版社，1999[6] 关洪, 关于态叠加原理, 大学物理，1988，(10): 1-4[7] 关洪, 《量子力学的基本概念》, 北京：高等教育出版社, 1990，[8] 关洪，再谈态叠加原理，大学物理，2000，19(8): 21-24[9] Feynamn R P, Hibbs A R, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill, 1965, p.2；这里复述的原话是费曼1951年在一次会议上讲的。