北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案

北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案知识网络：目标认知考试大纲要求：1.等差数列、等比数列公式、性质的综合及实际应用；2.掌握常见的求数列通项的一般方法；3.能综合应用等差、等比数列的公式和性质，并能解决简单的实际问题.4.用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.重点：1.掌握常见的求数列通项的一般方法；3.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题难点：用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.知识要点梳理知识点一：通项与前n项和的关系任意数列的前n项和；注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：（1）求，（2）求出当n≥2时的，（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法1.迭加累加法：，则，，…，2.迭乘累乘法：，则，，…，知识点三：数列应用问题1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2.建立数学模型的一般方法步骤.①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：⑴明确问题属于哪类应用问题；⑵弄清题目中的主要已知事项；⑶明确所求的结论是什么.②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.规律方法指导1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想；2.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.3.加强数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要注意：（1）通过知识间的相互转化，更好地掌握数学中的转化思想；（2）通过解数列与其他知识的综合问题，培养分析问题和解决问题的综合能力.经典例题精析类型一：迭加法求数列通项公式1．在数列中，，，求.解析：∵，当时，，，，将上面个式子相加得到：∴（），当时，符合上式故.总结升华：1. 在数列中，，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列.2.当数列的递推公式是形如的解析式，而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得.举一反三：【变式1】已知数列，，，求.【答案】【变式2】数列中，，求通项公式.【答案】.类型二：迭乘法求数列通项公式2．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.解析：由题意∴∵，∴，∴，∴，又，∴当时，，当时，符合上式∴.总结升华：1. 在数列中，，若为常数且，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列.2．若数列有形如的解析关系，而的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得.举一反三：【变式1】在数列中，，，求.【答案】【变式2】已知数列中，，，求通项公式.【答案】由得，∴，∴，∴当时，当时，符合上式∴类型三：倒数法求通项公式3．数列中，,，求.思路点拨：对两边同除以得即可.解析：∵，∴两边同除以得，∴成等差数列，公差为d=5，首项，∴，∴.总结升华：1．两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项.2．若数列有形如的关系，则可在等式两边同乘以，先求出，再求得.举一反三：【变式1】数列中，，，求.【答案】【变式2】数列中，,，求.【答案】.类型四：待定系数法求通项公式4．已知数列中，，，求.法一：设，解得即原式化为设，则数列为等比数列，且∴法二：∵①②由①－②得：设，则数列为等比数列∴∴∴法三：，，，……，，∴总结升华：1．一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,则可设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.2．若数列有形如（k、b为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得.举一反三：【变式1】已知数列中，，求【答案】令，则，∴，即∴，∴为等比数列，且首项为，公比，∴，故.【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.【答案】∵，∴设，则，即，∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，∴，∴.∴.类型五：和的递推关系的应用5．已知数列中，是它的前n项和，并且, .(1)设,求证：数列是等比数列；(2)设，求证：数列是等差数列；(3)求数列的通项公式及前n项和.解析：（1）因为，所以以上两式等号两边分别相减，得即，变形得因为，所以由此可知，数列是公比为2的等比数列.由,,所以, 所以,所以.（2），所以将代入得由此可知，数列是公差为的等差数列，它的首项，故.（3），所以当n≥2时，∴由于也适合此公式，故所求的前n项和公式是.总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等差、等比数列，求得问题的解决利用等差（比）数列的概念，将已知关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略.举一反三：【变式1】设数列首项为1，前n项和满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比为，作数列，使，，求的通项公式.【答案】（1），∴∴，又①－②∴，∴是一个首项为1公比为的等比数列；（2）∴∴是一个首项为1公比为的等差比数列∴【变式2】若, ()，求.【答案】当n≥2时，将代入,∴,整理得两边同除以得（常数）∴是以为首项，公差d=2的等差数列，∴，∴.【变式3】等差数列中，前n项和，若.求数列的前n项和.【答案】∵为等差数列，公差设为,∴,∴,∴,若，则,∴.∵，∴,∴,∴,∴①②①-②得∴类型六：数列的应用题6.在一直线上共插13面小旗，相邻两面间距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？思路点拨：本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求和.解析：设将旗集中到第x面小旗处，则从第一面旗到第面旗处，共走路程为了，回到第二面处再到第面处是，回到第三面处再到第面处是，，从第面处到第面处取旗再回到第面处的路程为，从第面处到第面处取旗再回到第面处，路程为20×2，总的路程为：∵，∴时,有最小值答：将旗集中到第7面小旗处，所走路程最短.总结升华：本题属等差数列应用问题，应用等差数列前项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程.举一反三：【变式1】某企业2007年12月份的产值是这年1月份产值的倍，则该企业2007年年度产值的月平均增长率为（）A．B．C．D．【答案】D；解析：从2月份到12月份共有11个月份比基数（1月份）有产值增长，设为，则【变式2】某人2006年1月31日存入若干万元人民币，年利率为，到2007年1月31日取款时被银行扣除利息税（税率为）共计元，则该人存款的本金为（）A．1.5万元B．2万元C．3万元D．2.5万元【答案】B；解析：本金利息／利率，利息利息税／税率利息（元），本金（元）【变式3】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量（万件）近似地满足.按比例预测，在本年度内，需求量超过万件的月份是()A．5月、6月B．6月、7月C．7月、8月D．9月、10月【答案】C；解析：第个月份的需求量超过万件，则解不等式，得，即.【变式4】某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少）【答案】设汽车使用年限为年，为使用该汽车平均费用.当且仅当，即（年）时等到号成立.因此该汽车使用10年报废最合算.【变式5】某市2006年底有住房面积1200万平方米，计划从2007年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.（1）分别求2007年底和2008年底的住房面积；（2）求2026年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）【答案】（1）2007年底的住房面积为1200(1+5%)－20 =1240（万平方米），2008年底的住房面积为1200(1+5%)2－2 0(1+5%)－20=1282（万平方米），∴2007年底的住房面积为1240万平方米；2008年底的住房面积为1282万平方米.（2）2007年底的住房面积为[1200(1+5%)－2 0]万平方米，2008年底的住房面积为[1200(1+5%)2－20(1+5%)－20]万平方米，2009年底的住房面积为[1200(1+5%)3－20(1+5%)2－20(1+5%)－20]万平方米，…………2026年底的住房面积为[1200(1+5%)20―20(1+5%)19―……―20(1+5%)―20] 万平方米即1200(1+5%)20―20(1+5%)19―20(1+ 5%)18―……―20(1+5%)―20≈2522.64（万平方米），∴2026年底的住房面积约为2522.64万平方米.高考题萃1．（2008四川）设数列的前项和为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：是等比数列；（Ⅲ）求的通项公式.解析：（Ⅰ）因为，∴由知，得①所以，，∴（Ⅱ）由题设和①式知所以是首项为2，公比为2的等比数列.（Ⅲ）2．（2008全国II）设数列的前项和为．已知，，．（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，求的取值范围．解析：（Ⅰ）依题意，，即，由此得．因此，所求通项公式为，．①（Ⅱ）由①知，，于是，当时，，，当时，．又．综上，所求的的取值范围是．3．（2008天津）已知数列中，，，且．（Ⅰ）设，证明是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．解析：（Ⅰ）由题设，得，即．又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ），，，……，．将以上各式相加，得．所以当时，上式对显然成立．（Ⅲ）由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．由可得，由得①整理得，解得或（舍去），于是．另一方面，，．由①可得．所以对任意的，是与的等差中项．4．（2008陕西）已知数列的首项，，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的，，；（Ⅲ）证明：．解析：（Ⅰ），，，又，是以为首项，为公比的等比数列．，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，原不等式成立．另解：设，则，当时，；当时，，当时，取得最大值．原不等式成立．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有．令，则，．原不等式成立．学习成果测评基础达标：1．若数列中，且(n是正整数)，则数列的通项=____.2．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是____________.3. 设是等比数列，是等差数列，且，数列的前三项依次是，且，则数列的前10项和为____________.4. 如果函数满足：对于任意的实数，都有，且，则____________5．已知数列中，,()，求通项公式.6．已知数列中，，，，求的通项公式.7．已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，，求的通项公式.8．设数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）设，求数列的前项和．能力提升：9．数列的前项和为，，．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列的前项和．10．数列的前n项和为, 已知是各项为正数的等比数列，试比较与的大小关系.11．某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为，以后每年交纳的数目均比上一年增加，因此，历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为，那么，在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为，……．以表示到第年末所累计的储备金总额．（Ⅰ）写出与的递推关系式；（Ⅱ）求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列．12．2007年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2008年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.（1）设该县的总面积为1，2007年底绿化面积为，经过n年后绿化的面积为，试用表示；（2）求数列的第n+1项；（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）综合探究：13．已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，其中为正实数.（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）若，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅲ）若，，是数列的前n项和，证明.参考答案：基础达标：1.答案：解析：由题设的递推公式可得∴即,2．答案：2n+1-2解析：，曲线在x=2处的切线的斜率为，切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得,令.数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-23. 答案：9784. 答案：5．解析：将递推关系整理为两边同除以得当时，，，……，将上面个式子相加得到：，即，∴（）.当时，符合上式故.6.解析：由题设∴．所以数列是首项为，公比为的等比数列，∴，即的通项公式为，．7.解析：由，解得或，由假设，因此，又由，得，即或，因，故不成立，舍去．因此，从而是公差为，首项为的等差数列，故的通项为．8.解析：（Ⅰ），①∴当时，②①-②得，．在①中，令，得符合上式∴．（Ⅱ），∴．，③．④④-③得．即，．能力提升：9．解析：（Ⅰ），，又，数列是首项为，公比为的等比数列，∴．当时，，（Ⅱ），当时，；当时，，…………①，…………②得：．．又也满足上式，．10.解析：∵为各项为正数的等比数列，设其首项为，公比为,则有,，(),∴，即（1）当时，，,而,∴∴时，.（2）当时，，,∴①当时，，∴②当时，，∴③当时，，∴综上，（1）在时恒有（2）在时，①若则；②若则；③若则.11.解析：（Ⅰ）．（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得，①在①式两端同乘，得②②①，得．即．如果记，，则．其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列.12.解析：（1）设2007年底非绿化面积为b1，经过n年后非绿化面积为.于是a 1+b1=1，依题意，是由两部分组成：一部分是原有的绿化面积减去被非绿化部分后剩余面积，另一部分是新绿化的面积，∴.（2），.数列是公比为，首项的等比数列.∴.（3）由，得，，，∴至少需要7年的努力，才能使绿化率超过60%.综合探究：13.解析：（Ⅰ）由题可得．所以曲线在点处的切线方程是：．即．令，得，即．显然，∴．（Ⅱ）由，知，同理．故．从而，即．所以，数列成等比数列．故，即．从而，所以（Ⅲ）由（Ⅱ）知，∴∴当时，显然．当时，∴．综上，．。