数学试题理

数学试题理Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】数 学 试 题 ( 理 科 2 )一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）．1. 若集合{}21,A a =-，{}4,2=B ，则“2a =-”是“{}4=B A ”的 （ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 1,2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 ( C )A ．030B ．060C ．0120D ．0150 3. 一个与球心距离为1的平面截球所得圆的面积为π，则球的表面积为（ B ）A ．B ．8πC ．D ．4π4. 设变量x ，y 满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为（ B ）A ．2B ．3C ．4D ．95. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 （ A ）A ．41-B ．41C ．32-D ．326. 已知直线6x π=是函数sin cos y a x b x =-图象的一条对称轴，则函数sin cos y b x a x =- 图象的一条对称轴方程是 （ B ）A ．6x π=B ．3x π=C ．2x π=D ．x π=7．若128,,,k k k 的方差为3，则1282(3),2(3),,2(3)k k k ---的标准差为( B )A ．12B ．．16 D ．48. 将2n 个正整数21,2,3,,n 填入n n ⨯方格中，使其每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记)(n f 为n 阶幻方对角线上数的和，如右图就是一个3阶幻方，可知(3)15f =.已知将等差数列：3,4,5,前16项填入44⨯方格中,可得到一个4阶幻方,则其对角线上数的和等于 （ C ）A ．36B ．40C ．42D ．44二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）必做题: 以下四题为必做题.9．程序框图（如图）的运算结果为 。

10．6(x 展开式中的常数项是 。

11. 定义在R 上的偶函数()[0,),y f x =+∞在上递减141()0,(log )02f f x =<且则满足的x 的范围为。

12. 以下四个关于圆锥曲线的命题中①过圆内一点（非圆心）作圆的动弦AB ，则AB 中点的轨迹为椭圆； ②设A 、B 为两个定点，若||||2PA PB -=，则动点P 的轨迹为双曲线的一支；③方程2410x x -+=的两个根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④无论方程22152x y k k +=+-表示的是椭圆还是双曲线，它们都有相同的焦点。

其中真命题的序号为 . （写出所有真命题的序号）.选做题: 从以下三题中选做两题，如三题都做，按前两题的得分记分. 13.自极点O 向直线l 作垂线，垂足是H(3,2(π)，则直线l 的极坐标方程为 。

14. 若不等式|x-2|+|x+3|<a 的解集为?,则a 的取值范围为_____________。

15. 如图，⊙O 和⊙'O 都经过A 、B 两点，AC 是⊙'O的切线，交⊙O 于点C ，AD 是⊙O 的切线，交⊙'O 于 点D ，若BC= 2，BD=6，则AB 的长为 。

三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16．（本小题满分12分） 已知)()().0)(1),(sin(),sin ,cos 2(R x b a x f x b x a ∈⋅=<<--+==定义ϕπϕϕ，且)4()(x f x f -=π对任意实数x 恒成立.（Ⅰ）求ϕ的值； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间.17．（本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第第一排明文字符 A B C D密码字符 11 12 13 14 第二排明文字符 E F G H密码字符 21 22 23 24 第三排明文字符 M N P Q密码字符 1 2 3 4（Ⅰ）求P （ξ=2）（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和它的数学期望.PAFBEDC18．（本题满分14分）如图：PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，1PA AB ==，PD 与平面ABCD 所成的角是30︒，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动. （1）当点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由；（2）证明：不论点E 在边BC 上何处，都有PE AF ⊥； （3）BE 等于何值时，二面角P DE A --的大小为45︒.19．（本小题满分14分）设函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c 在x ＝1处取得极值－2，试用c 表示a 和b ，并求f(x)的单调区间。

20．（本小题满分14分）如图，已知直线l 与半径为1的⊙D 相切于点C ，动点P 到直线l 的距离为d ，若.||2PD d =（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若轨迹上的点P 与同一平面上的点G 、M 分别满足0,3,2=⋅+⋅==PM GM PG GM PD MP DC GD ，求以P 、G 、D 为项点的三角形的面积.21．（本小题满分14分）设无穷数列{a n }具有以下性质：①a 1=1；②当.,1+*≤∈n n a a N n 时 （Ⅰ）请给出一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式2312423322221<+++++n n a a a a a a a a 对于任意的*∈N n 都成立，并对你给出的结果进行验证（或证明）；（Ⅱ）若111)1(++-=n n n n a a a b ，其中*∈N n ，且记数列{b n }的前n 项和B n ，证明：.20<≤n B数 学 试 题 ( 理 科 2 )参考答案一．选择题 A C B B A B B C二．填空题 24； 15； ()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； ③④； 2)3(cos =-πθρ；5a ≤； 32。

三．解答题16．解：（Ⅰ）])sin[()sin(cos 2sin )sin(cos 2)(x x x x x x x f -+-+=-+=ϕϕϕϕ ).2sin(sin )(cos cos )sin(ϕϕϕ+=+++=x x x x x x ……………2分由题意知)2cos(])4(2sin[)2sin(ϕϕπϕ-=+-=+x x x 对任意实数x 恒成立，得0,0)4sin(2cos sin <<-=-=-ϕππϕϕϕ而，.43,4πϕππϕ-=-=-∴即………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin()(π-=x x f 由)(2243222Z k k x k ∈+≤-≤+-πππππ，解得).(858Z k k x k ∈+≤≤+ππππ 所以，)(x f y =的单调增区间为).(]85,8[Z k k k ∈++ππππ……………………12分17．解：（Ⅰ）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码..8142)2(33===∴ξP …………………………………………………………………4分（Ⅱ）由题意可知，ξ的取值为2，3，4三种情形.若ξ= 3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4..32194)122(2)3(323132=++==∴C A P ξ若3294)4(,4322232213=+===∴A A A A P ξξ则 （或用)3()2(1=-=-ξξP P 求得）. ………………………………………………8分 ξ∴的分布列为：.32101329432193812=⨯+⨯+⨯=∴ξE ………………………………………………12分18．证明：（1）当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行.∵在PBC ∆中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点∴EF ∥PC 又EF ⊄平面PAC ，而PC ⊂平面PAC∴EF ∥平面PAC . ……………………4分（2）证明（略证）：易证EB ⊥平面PAB ，又PB 是PE 在平面PAB 内的射影，AF PB ⊥，∴AF PE ⊥. ……………………8分 (3)∵PD 与平面ABCD 所成的角是30︒，∴30PDA ∠=︒，AD =2PD =.过A 作AG DE ⊥于G ，连PG ，则045PGA ∠=. …………………10分易知：1AG =，DG =BE x =，则GEx =，CE =在Rt DCE ∆中，))2221xx=+，得BE x ==. ………14分解法二:（向量法）（1）同解法一（2）建立图示空间直角坐标系，则()0,0,1P ，()0,1,0B ，110,,22F ⎛⎫⎪⎝⎭，)D .设BE x =，则(),1,0E x ，11(,1,1)(0,,)022PE AF x =-=∴AF PE ⊥ （本小题4分）（3）设平面PDE 的法向量为(),,1m p q =，由0m PD m PE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得：m ⎫=⎪⎭，依题意02cos 452m AP m AP ==⋅， =BE x ==（本小题6分）19．解：依题意有'(1)2,(1)0,f f =-=而'2(1)32,f x ax b =++故12320a b c a b +++=-⎧⎨++=⎩ 得23a cbc =⎧⎨=--⎩ 从而'2()32(23)(323)(1)f x x cx c x c x =+-+=++-。

令'()0f x =，得1x =或233c x +=-。

由于()f x 在1x =处取得极值，故2313c +-≠，即3c ≠-。

（1） 若2313c +-<，即3c >-，则当23,3c x +⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，'()0f x >；当23,13c x +⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >； 从而()f x 的单调增区间为)23,,1,3c ⎛+⎤-∞-+∞⎡ ⎣⎥⎦⎝；单调减区间为23,13c +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （2） 若2313c +->，即3c <-，同上可得， ()f x 的单调增区间为]23,1,,3c ⎛⎡+⎫-∞-+∞ ⎪⎢⎭⎣⎝；单调减区间为231,3c +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 20．解：（Ⅰ）).1,0(22|||,|2∈=∴=d PD PD d ∴点P 的轨迹是D 为焦点，l 为相应准线的椭圆.由.1.1,2,1,222====-==b c a c ca a c e 于是解得又 以CD 所在直线为x 轴，以CD 与⊙D 的另一个交点O 为坐标原点建立直角坐标系.∴所求点P 的轨迹方程为.1222=+y x ………………………………………………6分 （说明：其它建系方式相应给分）（Ⅱ）∴==,2||,2 G 为椭圆的左焦点. 又.0)(,0=+⋅∴=⋅+⋅由题意，0,0≠+≠PM PG GM （否则P 、G 、M 、D 四点共线与已经矛盾） .||3||||.0,0)()(22==∴=-=+⋅-∴又∵点P 在椭圆上， .223||,22||,222||||====+∴a 又 90,,2||=∠∆∴=PDG Rt PDG 为 .2222221=⨯⨯=∴∆PDG S ……………………………………………………14分21．解：（Ⅰ）令112242332222131,,31,31,1-+====n n n a a a a a a a a ，则无穷数列{a n }可由a 1 = 1，)1(3211≥=-+n a a nn n 给出. 显然，该数列满足)(,1*11N n a a a n n ∈≤=+，且23)311(2331311112322221<-=+++=+++-+n n n n a a a a a a ……………………6分（Ⅱ）.0,,1)1(111≥∴≤-=+++n n n n n n n b a a a a a b.021≥+++=∴n n b b b B ………………………………………………8分又)11(1)1(1111++++-=-=n n n n n n n n a a a a a a a b )11)(11(111++++-=n nn nn n a a a a a a).11(2))(11(1111++++-≤+-=n n n n n n n na a a a a a a a .22)11(2111=<-≤∴+a a a B n n.20<≤∴n B (14)分。