最新北师大版九年级数学上册第四章图形的相似4.7相似三角形的性质第一课时
图 18.3.9
图 18.3.9
2014.10
ABC ∽ ABC
1 相似比为 2 对应中线的比
（2） A
AD 1 AD __________ 2 _
2014.10
问题解决 3.如图，在△ABC中，AB＝５，D、E分别是边AC和AB上 BC的值。 的点，且∠ADE＝∠B，DE＝２，求AD· A
E
D
B
C
2014.10
问题解决 ４.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点E，且 ∠CAB=∠CBD,已知AB=4，AC=6，BC=5，BD=5.5，求DE的长。 D
F
2014.10
探究活动： 探究相似三角形对应高的比. • 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑 类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1： 2的比例建造了模型房梁△A’B’C’，CD和C’D’ 分别是它们的立柱。
2014.10
探究相似三角形对应高的比. △ACD与△A’C’D’相似吗？为什么？如果相 似，指出它们的相似比。
B
解：∵
△ABC∽△A´B´C´ AB BD ∴ A´B´＝ B´D´ 10 ＝ 6 B´ D ´ 2 B´D´＝ 1.2 答：B´D´的长为1.2。
A
C D B´
A´ D´ C´
2014.10
课堂训练
已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和 △DEF的角平分线，BC＝6cm,EF＝4cm,BG＝4.8cm.求 EH的长。
练习：（随堂练习2）
两个相似三角形中一组对应角平分线 的长分别是2cm和5cm，求这两个三角形的 相似比。在这两个三角形的一组对应中线 中，如果较短的中线是3cm，那么较长的 中线多长？
2014.10
课堂训练
已知△ABC∽ △A´B ´C ´，BD和B ´D ´分别是 △ABC和△A´B´C´中线，且AB＝10，A´B´＝2，BD ＝6。求B´D´的长。
1 1 （1）若 ∠ BAD = ∠ BAC，∠ B'A'D' = ∠ B'A'C'，则 AD:A'D' 等 3 3
于多少？
1 1 （2）若 BE = BC，B'E' = B'C'，则 AE:A'E' 等于多少？. 3 3
（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流.
2014.10
例 1:如图 3-32， AD 是 △ABC 的高， AD = h， 点 R 在 AC 边 上，点 S 在 AB 边上，SR ⊥ AD，垂足为 E.
1 1 当 SR = BC 时，求 DE 的长．如果 SR = BC 呢？ 2 3
解：∵ SR ⊥ AD，BC ⊥ AD，∴ SR∥BC． ∴ ∠ ASR = ∠ B，∠ ARS = ∠ C．
AE SR ∴ △ASR ∽△ABC∴ AD BC 1 AE 1 1 1 1 当 SR = BC 时， ∴AE = h, ∴DE=h- h= h． 2 h 2 2 2 2 1 AE 1 1 1 2 当 SR = BC 时，得 ∴AE = h∴DE=h- h= h． 3 h 3 3 3 3
B
D
C
A′
B′
D
C′
2014.10
ABC ∽ ABC
1 相似比为 2 对应角平分线的比
（3） A
1 AD AD __________ 2 _
B
D
C
A′
B′
D
C′
2014.10
自主思考---类似结论
其 中AD、 AD分 别 为 BC、 BC边 上 的 中 线 , AD k . 则 ____ AD
k
E B C B′
E′ C′
结论：相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比.
2014.10
相似三角形的性质 相 似 三 角 形
对应高的比
对应中线的比
都等于相似比.
对应角平分线的比
定理 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对 应中线的比都等于相似比.
2014.10
议一议
如图 3-31，已知△ABC ∽△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C' 的相似比为 k.
2014.10
如图，AD是BC的高，点I,H在BC边上，点G在AC上，点F在AB 上， BC=60cm,AD=40cm,四边形FGHI是正方形， 则(1) △AFG与△ABC相似吗？为什么？ （2）求正方形FGHI的边长。
（1）∵四边形FGHI是正方形 ∴ FG∥BC ∴ ∠AFG=∠B，∠AGF=∠C ∴ △AFG∽△ABC.
A
解：∵ △ABC∽△DEF
G
∴ BC∶EF＝BG∶EH
6∶4＝4.8∶EH EH＝3.2(cm) 答：EH的长为3.2cm。
B D H E F
C
2014.10
随堂练习
1.已知△ABC ∽△A B C ，BD 和 B D 是它们的对应
' ' ' ' '
AC 3 ' ' 中线， ， B D = 4 cm， ' ' AC 2
A A, ADC A' D'C '
ACD
∽
A' D ' C '
CD AC 1 C ' D' A' C ' 2
结论：相似三角形对应高的比等于相似比.
2014.10
探索新知
相似三角形的性质
问 题1 : 如 图, ABC ∽ ABC, 相 似 比 为 k, 其 中 AD、 AD分 别 为 BC、 BC边 上 的 高 , ABD与 ABD相 似 吗 ？
A
E
B
C
2014.10
求 BD 的长.
2014.10
知识技能 1．△ABC ∽△A′B′C′，AD 和 A′D′是它们的对应角平分 线．已知 AD = 8 cm，A′D′= 3 cm，求 △ABC 与 △A′B′C′对应高的比.
2014.10
问题解决 2．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为 15 cm．他准备了一支长为 20 cm 的蜡烛，想要得到高度为 5 cm 的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？
A A'
如 图, ABC ∽ ABC, 相 似 比 为 k, 问题2 :
B
D
C
B'
D'
C'
结论：相似三角形对应中线的比等于相似比.
2014.10
自主思考---类似结论
问题3 如图, ABCຫໍສະໝຸດ ∽ABC , 相似比为k ,其中BE、 BE 分别为ABC、 ABC 的角平分线 , BE 则 ______ . BE A A′
2014.10
如图，AD是BC的高，点I,H在BC边上，点G在AC上，点F在AB 上， BC=60cm,AD=40cm,四边形FGHI是正方形， 则(1) △AFG与△ABG相似吗？为什么？ （2）求正方形FGHI的边长。 （2）∵ △AFG∽△ABC. ∴
AE FG AD BC
设正方形FGHI的边长为xcm, 则AE=(40-x)cm, 40 x x . 40 60 解得,x=24. 所以正方形FGHI的边长为24cm. 2014.10
北师大版九年级数学上册
相似三角形的性质（一）
2014.10
课前复习:
（1）相似三角形有何性质？ A
B
A/
C
B/
C/
①相似三角形的对应角_____________ ②相似三角形的对应边______________
想一想: 它们还有哪些性质呢?
这一节重点研究相似三角形的性质。
2014.10
情境引入 高、中线、角平分线 一个三角形有三条重要线段：____ __________ 如果两个三角形相似， 那么这些对应线段有什么关系呢？
4-7相似三角形的性质第1课时(课件)北师大版九年级数学上册
∵△ABC∽△A′B′C′ ∴∠A=∠A’ 又∵∠CDA=∠C’D’A’ ∴△ACD∽A’C’D’ ∴CD:C’D’=1:2
02 相似三角形的对应线段之比——想一想
已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k.
它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的
它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的
比呢？请证明你的结论。
假设CD,C’D’分别是边上中线 由△ABC∽△A′B′C′得AB:A’B’=k ∴AD:A’D’=k ∴AD:A’D’=AC:A’C’=k 又∵∠A=∠A’ ∴△ACD∽△A’C’D’ ∴CD:C’D’=AC:A’C’=k.
∴
CD AB 2
C' D' A' B' 3
又∵CD＝4cm，
∴ C' D' 3CD 6cm
2
即A′B′边上的中线C′D′的长是6cm.
04 课堂小结
04 课堂小结
相似三角形中的对应线段之比： 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线
的比都等于相似比.。
THANK YOU！
谢cm.
故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
03 随堂练习
3、已知△ABC∽△A′B′C′，AA'BB' 32，AB边上的中线CD＝4cm，求A′B′边上的 中线C′D′.
解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，
如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房的房 梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱.
九年级数学上册 第四章 图形的相似 4.7 相似三角形的性质教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版
.1 相似三角形的性质（1）教学目标（一）教学知识点相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.（二）能力训练要求1.熟练应用相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。
2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.（三）情感与价值观要求1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识.2.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.教学重点1.相似三角形中对应线段比值的推导.2.运用相似三角形的性质解决实际问题.教学难点相似三角形的性质的运用.教学方法引导启发式教具准备投影片两X第一X：（记作§.1 A）第二X：（记作§.1 B）教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.Ⅱ.新课讲解1.做一做投影片（§.1 A ）钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图，图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′，CD 和C ′D ′分别是它们的高. （1）B A AB '',C B BC '',C A AC''各等于多少？ （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比. （3）请你在图①中再找出一对相似三角形. （4）D C CD''等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.图①［生］解：（1）B A ''=C B ''=C A ''=4（2）△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC'' ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3∶4.（3）△BCD ∽△B ′C ′D ′.（△ADC ∽△A ′D ′C ′） ∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得 ∠B =∠B ′∵∠BCD =∠B ′C ′D ′∴△BCD ∽△B ′C ′D ′（同理△ADC ∽△A ′D ′C ′） （4）D C CD ''=43∵△BDC ∽△B ′D ′C ′ ∴D C CD ''= C B BC ''=432.议一议已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k. （1）如果CD 和C ′D ′是它们的对应高，那么DC CD''等于多少？ （2）如果CD 和C ′D ′是它们的对应角平分线,那么D C CD''等于多少？如果CD 和C ′D ′是它们的对应中线呢？［师］请大家互相交流后写出过程.［生甲］从刚才的做一做中可知，若△ABC ∽△A ′B ′C ′、CD 、C ′D ′是它们的对应高，那么D C CD ''=C B BC''=k . ［生乙］如图②，△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′分别是它们的对应角平分线，那么D C CD ''=C A AC''=k .图②∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴∠A =∠A ′,∠ACB =∠A ′C ′B ′∵CD 、C ′D ′分别是∠ACB 、∠A ′C ′B ′的角平分线. ∴∠ACD =∠A ′C ′D ′ ∴△ACD ∽△A ′C ′D ′ ∴D C CD ''=C A AC ''=k . ［生丙］如图③中，CD 、C ′D ′分别是它们的对应中线，则D C CD ''=C A AC''=k .图③∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠A =∠A ′，C A AC ''=B A AB''=k . ∵CD 、C ′D ′分别是中线∴D A AD ''=B A AB''2121=B A AB ''=k . ∴△ACD ∽△A ′C ′D ′ ∴D C CD ''=C A AC''=k . 由此可知相似三角形还有以下性质.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. 3.例题讲解 投影片（§.1 B ）图④如图④所示，AD 是△ABC 的高，AD=h ,点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD,垂足为E .当SR=21BC 时，求DE 的长，如果SR =31BC 呢？解：∵SR ⊥AD,BC ⊥AD, ∴SR ∥BC .∵∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C,∴△ASR ∽△ABC （两角分别相等的两个三角形相似）. ∴BCSRAD AE =（相似三角形对应高的比等于相似比）， 即BCSRAD DE AD =-.当SR=21BC 时，得，解得DE=21h 当SR=31BC 时，得31=-h DE h ，解得DE=32h Ⅲ.课堂练习如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？ （都是4∶5）. Ⅳ.课时小结本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. Ⅴ.课后作业 完成习题 Ⅵ.活动与探索图⑤如图⑤，AD ，A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的角平分线，且B A AB ''=D B BD ''=D A AD '' 你认为△ABC ∽△A ′B ′C ′吗？ 解：△ABC ∽△A ′B ′C ′成立.∵B A AB ''=D B BD ''=DA AD'' ∴△ABD ∽△A ′B ′D ′∴∠B =∠B ′,∠BAD =∠B ′A ′D ′ ∵∠BAC =2∠BAD ,∠B ′A ′C ′=2∠B ′A ′D ′ ∴∠BAC =∠B ′A ′C ′ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′ 板书设计§.1 相似三角形的性质（一）一、1.做一做 2.议一议 3.例题讲解 二、课堂练习 三、课时小节 四、课后作业 备课资料如图⑥，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高.图⑥（1）则图中有几对相似三角形. （2）若AD =9 cm,CD =6 cm,求BD . （3）若AB =25 cm,BC =15 cm,求BD . 解：（1）∵CD ⊥AB ∴∠ADC =∠BDC =∠ACB =90° 在△ADC 和△ACB 中 ∠ADC =∠ACB =90°∠A =∠A ∴△ADC ∽△ACB 同理可知，△CDB ∽△ACB ∴△ADC ∽△CDB所以图中有三对相似三角形. （2）∵△ACD ∽△CBD ∴BD CDCD AD =即BD669=∴BD =4 （cm ） （3）∵△CBD ∽△ABC ∴BCBDBA BC =. ∴152515BD=∴BD ==9 （cm ）..2 相似三角形的性质（2）教学目标 （一）教学知识点1.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系.2.相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用. （二）能力训练要求1.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.2.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力. （三）情感与价值观要求1.学生通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识. 教学重点1.相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导.2.运用相似三角形的比例关系解决实际问题.教学难点相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.教学方法引导启发式通过温故知新，知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知识达到理解并掌握的目的.教具准备投影片两X第一X：（记作§.2 A）第二X：（记作§.2 B）教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］（拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据.（让学生把数据写在黑板上）［师］同学们通过观察和计算来回答下列问题.1.两三角形是否相似.2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流. ［生］因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形. 周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等.［师］能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？［生］面积比与相似比的平方相等.［师］老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问题.Ⅱ.新课讲解1.做一做在上图中，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为43. （1）请你写出图中所有成比例的线段.（2）△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？你是怎么做的？（3）△ABC 的面积如何表示？△A ′B ′C ′的面积呢？△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比是多少？与同伴交流.∴B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=D C CD ''=D B BD ''=D A AD ''=43. （2）43='''∆∆的周长的周长C B A ABC .∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43. ∴C A C B B A ACBC AB l l C B A ABC ''+''+''++='''∆∆ =C A C B B A C A C B B A ''+''+''''+''+''434343 =43)(43=''+''+''''+''+''C A C B B A C A C B B A . （3）S △ABC =21AB ·C D. S △A ′B ′C ′=21A ′B ′·C ′D ′. ∴2)43(2121=''⋅''=''⋅''⋅='''∆∆D C CD B A AB D C B A CDAB S S C B A ABC .2.想一想如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比和面积比分别是多少？ ［生］由上可知若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为k ，面积比为k 2. 3.议一议投影片（§4.7.2 B ）.如图，四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2，相似比为k .（1）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的周长比是多少？（2）连接相应的对角线A 1C 1，A 2C 2，所得的△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2相似吗？ △A 1C 1D 1与△A 2C 2D 2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？（3）设△A 1B 1C 1，△A 1C 1D 1，△A 2B 2C 2，△A 2C 2D 2的面积分别是,111C B A S ∆222222111,,D C A C B A D C A S S S ∆∆∆ 那么222111222111D C A D C A C B A C B A S S S S ∆∆∆∆=各是多少？（4）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的面积比是多少？ 如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？［生］解：（1）∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2.相似比为k .（2）△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2、△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比都为k . ∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2 ∴2211221122112211D A DA D C D C CBC B B A B A ===∠D 1A 1B 1=∠D 2A 2B 2,∠B 1=∠B 2.∠B 1C 1D 1=∠B 2C 2D 2,∠D 1=∠D 2.在△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2中∵22112211C B C B B A B A =∠B 1=∠B 2. ∴△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.∴2211B A B A =k . 同理可知，△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比为k .（3）∵△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2.22222222222222)(k S S S S k D C A C B A D C A C B A =++∆∆∆∆照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论.由此可知：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅲ.随堂练习完成P110教材随堂练习Ⅳ.课时小结本节课我们重点研究了相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅴ.课后作业板书设计。
九年级数学上册 第4章 图形的相似 4.7 相似三角形的性质课件上册数学课件
6.如图4-7-2,在平行四边形ABCD中,点E在CD上,若DE∶CE=1∶2,则 △CEF与△ABF的周长比为 ( )
A.1∶2
B.1∶3
图4-7-2 C.2∶3 D.4∶9
答案 C ∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,CD=AB.∴△CEF ∽△ABF,∵DE∶EC=1∶2,∴EC∶DC=CE∶AB=2∶3,∴C△CEF∶C△ABF= 2∶3.故选C.
4
与△DEF对应中线的比为 3 ,故选A.
4
,∴△ABC
12/11/2021
2.已知△ABC∽△DEF,且相似比为4∶3,若△ABC中BC边上的中线AM=
8,则△DEF中EF边上的中线DN=
.
答案 6
解析 由相似三角形对应线段的比等于相似比,得 A M = 4 ,∵AM=8,
DN 3
∴DN=6.
12/11/2021
(2)∵DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD,∠DEG=∠CBG,
∴△GED∽△GBC,∴ GE=D的=周长. D E 1
GBC的周长 B C 2
∵△ADE∽△ABC,∴ S =A D E
S ABC
=D
B
E C
2
=
1 2
.
2
1 4
12/11/2021
知识点三 相似多边形的性质
相似多边形 性质
边、角
S甲
4
S甲 4
29
答案 60;24
点拨 根据相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系列出比例式,
用比例的性质列方程解题.
12/11/2021
题型一 利用相似三角形的性质计算线段的长
例1 如图4-7-4所示,在△ABC中,E、F都是BC上的点, D、G分别是AB、AC上的点,四边形DEFG是矩形,AH是 BC边上的高,AH与DG相交于点K.若BC=12,矩形DEF的 面积与△ADG的面积相等,求DG的长.
北师大版九年级上册数学课件：4.7相似三角形的性质1(共32张PPT)
E 已知两个三角形相似，请完成下列表格
四 课堂小结
相似三角形的性质:
中线 （1）相似三角形对应的 高比线等于相似比.
角平分线 （2）相似 三角周形长的比等于相似比.
（3）相似 三角面形积的比等于相似比的平方.
课堂测验：
（1）已知ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似比为2：3， 则周长比为 2：3 ，对应边上中线之比 2：3 ， 面积之比为 4：9 。
（1）已知ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似比为2：3，
三角形全等与相似的性质
已知两个三角形相似，请完成下列表格
为60cm和72cm，且AB=15cm，BˊCˊ =24cm，
相似三角形周长的比等于相似比。
(3)若S△DOE=1cm2,求S△OBC ,S△OEC 和S△ABC.
F （1）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍。
cm ,求S ？ 2 ①已相知似 两三个角三形角面形积相的似比，等请于完△相成似下C比列D的表F平格方.
相似三角形周长的比等于相似比。
已知： ΔABC∽ΔAˊBˊCˊ
两边对应成比例且夹角相等 三角形的面积放大为原来的100倍.
D
C
求面积比要平方; 而已知面积比，求相似比或
对应的三条重要线段的比等于？
A
有几种切割方法？
D E
B
C
6、如图，△ABC,DE//BC，且△ADE的面
积
例1、如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是24，面积是48，求ΔDEF的周长和面积。
1 : 2 等于梯形BCED的面积，则△ADE与△ABC 三角形全等与相似的性质
新北师大版数学九年级上册课件：探索三角形相似的条件(第1课时)
7．[2018· 株洲]如图349所示，Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形 ABCD的边AB和AD，其中AM＝AN.
图349
(1)求证：Rt△ABM≌Rt△ADN； 1 (2)线段MN与线段AD相交于点T，若AT＝ AD，求tan ∠ABM的值． 4 (1)证明：∵AM＝AN，AB＝AD，
3．如图345，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于 点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：
△CDF∽△ABP等
△ABP∽△AED或△BEF∽△CDF或△BEF∽△AED或△CDF∽△
．
图345
【解析】 ∵BP∥DE，∴∠ABP＝∠AED，又∠A＝∠A，∴△ABP∽△ AED；同理△BEF∽△CDF；△BEF∽△AED.利用相似三角形的传递性，还可 以得到△CDF∽△AED，△CDF∽△ABP等．
6．如图348，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C， AB＝6，AD＝4，求线段CD的长．
图348
解：在△ABD和△ACB中， ∠ABD＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB， AB AD ∴AC＝AB. ∵AB＝6，AD＝4， AB2 36 ∴AC＝ AD ＝ ＝9， 4 则CD＝AC－AD＝9－4＝5.
第四章 图形的相似
总第34课时——4 探索三角形相似的条件 (第1课时)
知识管 理 归类探 究 随堂练 习 分层作 业
1．相似三角形的概念
知识管 理
相似三角形：三角分别 相等 ，三边 成比例 的两个三角形叫做相似三角形． 表示方法：△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF. 注 意：(1)全等三角形是特殊的相似三角形，它的特殊性体现在相似比为 1. (2)相似三角形的定义，既可以作为相似三角形的判定，又可以作为相似三角形 的性质，其性质为：两个三角形相似，对应角相等、对应边成比例．
4.7第1课时相似三角形中特殊线段的性质-2024-2025学年九年级上册数学(北师大版)
二、核心素养目标
本节课旨在培养学生的பைடு நூலகம்下核心素养：
1.培养学生的几何直观能力，通过分析相似三角形中特殊线段的性质，使其能够形象地理解几何关系，提高解决问题的直观感知。
2.强化学生的逻辑推理能力，引导学生运用严密的逻辑推理证明相似三角形中特殊线段的性质，培养其推理的条理性和严谨性。
-对于角平分线的性质，学生可能难以理解角平分线如何将角等分，并且与相似三角形的比例关系联系起来。教师需要通过详细的步骤讲解和图示，帮助学生理解角平分线在相似三角形中的重要作用。
-在涉及高、中线等特殊线段的问题时，学生可能对它们的定义和性质混淆，难以区分它们在不同情况下的应用。教师需要通过对比教学，明确每种线段的特点和使用场景，并通过大量练习巩固学生的理解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形中特殊线段的性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要通过部分来了解整体的情况？”比如，我们如何通过测量三角形一边的中位线来推算整个三角形的面积。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形中特殊线段的奥秘。
3.增强学生的数学建模能力，让学生在实际问题中运用相似三角形特殊线段的性质构建数学模型，提高解决实际问题的能力。
4.激发学生的数学抽象思维，通过对特殊线段性质的探究，使其学会从复杂问题中抽象出数学规律，形成数学概念。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握相似三角形中位线、角平分线、高、中线等特殊线段的性质。
北师大版 九年级数学上第四章图形的相似 相似三角形的性质与判定讲义 无答案)
LECTURE 1 相似三角形的性质与断定PART 1 成比例线段一、比例的性质〔以下比例关系均在其有意义的前提下成立〕1. 比例的根本性质：a=c⇔ad =bc b d2. 等比定理：a=c=⋯=m(b +d +⋯+n ≠ 0) ⇔a +c +⋯+m=a b d n二、成比例线段概念b +d +⋯+n b1．两条线段的比：选用同一长度单位量得的两条线段的长度的比，叫做这两条线段的比。
2．成比例线段：假如线段a 和b 的比等于线段c 和d 的比，那么线段a，b，c，a d 叫做成比例线段，记作b =c或a：b＝c：d．d3．比例中项：假设a=b，那么称b 是a，c 的比例中项.b c 4．黄金分割点：如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC〔AC＞BC〕。
假设AC=BC，那么AB AC称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，即AC = 5 -1AB2注意：线段的黄金分割点有两个.三、平行线分线段成比例定理1．定理三条平行线截两条直线，截得的对应线段的比相等如图，假设AB//CD//EF，那么AC=BD,CE=DF,AC=BD,CE=DF. CE DF AC BD AE BF AE BF2. 推论平行于三角形一边的直线截其他两边〔或两边的延长线〕，所得的对应线段称比例。
如图，当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“A〞字型，“8〞字型，那么有BC // EF ⇔ AE=AF,AE=AF,BE=CF.EB FC AB FC AB AC例题精讲例题 1-1〔1〕假如 4x =5y 〔 y ≠ 0 〕，那么以下比例式成立的是〔 〕A. x =yB. x =5C.x =4D. x =y〔2〕3 4 5x + y + za c e 例题 1-2 = =b d f 3 3a - 2c + e= .那么 = . 5 3b - 2d + f a + b - c a - b + c - a + b + c例题 1-3= = = k .那么 k = .c b a例 1-4〔1〕以下四组线段中，不是成比例线段的是〔 〕A.a =3，b =6，c =2，d =4B.a =1，b = 2 ，c = 6 ，d = 2 3C.a =4，b =6，c =5，d =10D.a =2，b = 5 ，c = 2 3 ，d = 15 〔2〕线段 a =4，b =8，那么线段 a ，b 的比例中项为〔 〕A. ± 32 B.32 C. ± 4 2 D. 4 2〔3〕假设线段 AB=2，且点 C 是 AB 的黄金分割点，那么 BC 等于〔 〕A. 5 - 1B. 3 - 55 - 1C. 2D. 5 - 1 或 3 - 5例题 1-5 〔1〕解方程 x 2 + 3x + 2x 2- 3x + 2 2 x 2+ 3x + 1 2 x 2 - 3x + 1〔2〕解方程 3x 2 + 4 x - 13x 2- 4 x - 1 x 2+ 4 x + 1 x 2- 4 x + 1知识模型1 相似三角形根底和经典模型知识梳理相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角相似三角形的性质：例如剖析〔1〕相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
北师大版九上数学(教案)第四章：第七节：相似三角形的性质第一课时
北师大版九年级上第四章《图形的相似》《相似三角形的性质》(第1课时)教案【教学目标】1.知识与技能相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.2.过程与方法（1）.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.（2）.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.3.情感态度和价值观（1）.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识.（2）.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.【教学重点】（1）.相似三角形中对应线段比值的推导.（2）.运用相似三角形的性质解决实际问题.【教学难点】相似三角形的性质的运用.【教学方法】合作、探究【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、复习回顾(1)什么叫相似三角形？对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
（2）如何判定两个三角形相似？①两个角对应相等；②两边对应成比例，且夹角相等；③三边对应成比例.二、探究新知相似三角形的性质已知△ABC ∽△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C'的相似比为k. （1）如果AD 和A'D'是它们的对应高，那么 AD:A'D'等于多少？ （2）如果AF 和A'F'是它们的对应角平分线,那么 AE:A'E'等于多少？如果AE 和A'E'是它们的对应中线呢？探究1：相似三角形对应边上的高有什么关系呢？右图△ABC ，AD 为BC 边上的高，则利用方格把三角形扩大2倍，得△A'B'C'，并作出B'C'边上的高A'D'。
△ABC 与△A'B'C'的相似比为多少?AD 与A'D'有什么关系？21'',21k ==D A AD (2)如右图两个相似三角形相似比为k ，则对应边上的高有什么关系呢？k ''=D A AD说说你判断的理由是什么？ ∵△ABC ∽△A'B'C' ∴∠C=∠C'∵∠ADC=∠A'D'C' ∴△ADC ∽△A'D'C'k ''''==∴C A AC C D DC 归纳：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。
九年级数学上册第四章图形的相似7相似三角形的性质教学案 新版北师大版
4。
7相似三角形的性质【教学目标】知识与技能相似三角形对应高的比,对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系、理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方．能用三角形的性质解决简单的问题．过程与方法经历探索相似三角形性质“相似三角形周长的比等于相似比” 、“面积比等于相似比的平方”的过程。
情感态度与价值观在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观,体验解决实际问题策略的多样性。
【教学重难点】教学重点：理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
教学难点：相似三角形性质的灵活运用,及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解,特别是对它的反向应用的理解,即对“由面积比求相似比”的理解．【导学过程】【创设情景,引入新课】在前面我们学习了相似多边形的性质,知道相似多边形的对应角相等,对应边成比例,相似三角形是相似多边形中的一种,因此三对对应角相等,三对对应边成比例。
那么,在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢 【自主探究】 钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件,如图4－38,图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′,CD 和C ′D ′分别是它们的高。
（1）B A AB '',C B BC '',C A AC ''各等于多少？ （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似,请说明理由,并指出它们的相似比。
（3）请你在图中再找出一对相似三角形。
（4）D C CD ''等于多少？你是怎么做的？与同伴交流。
（4）D C CD ''=43 （1）如果CD 和C ′D ′是它们的对应高,那么D C CD ''等于多少？ （2）如果CD 和C ′D ′是它们的对应角平分线,那么D C CD ''等于多少？如果CD 和C ′D ′是它们的对应中线呢？请大家互相交流后写出过程。
北师大版九年级数学上册 (相似三角形的性质)图形的相似教育教学课件(第1课时)
解：△ASR∽△ABC；理由如下： ∵四边形 PQRS 是正方形， ∴RS∥BC.
A
S
ER
∴∠ASR =∠B，∠ARS =∠C.
∴△ASR∽△ABC.
B
C
PD Q
例 如图，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上 ，点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
即四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的面积比为 k2.
换成五边形，结论一样.
C′ B′
例3 如图，将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DEF，△ABC 与△DEF
重叠部分 ( 图中阴影部分 ) 的面积是△ABC 的面积的一半. 已知 BC = 2，
求△ABC 平移的距离.
A
D
G
B
E
F C
如图，小王依据图纸上的△ABC，以 1:2 的比例建造了模型房的房梁 △A′B′C′，CD 和 C′D′ 分别是它们的立柱. (2) 如果 CD = 1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ 解：(2) 由 CD:C′D′ = 1:2，得 C′D′ = 2CD = 3 cm，即模型房的房梁立柱 高 3 cm.
(2) 求正方形 PQRS 的边长. 解：∵△ASR∽△ABC，
∴=,
设正方形 PQRS 的边长为 x cm，则 AE = ( 40 – x ) cm，
S
∴
. 解得 x = 24 .
A ER
答：正方形 PQRS 的边长为 24 cm.
B
C
PD Q
针对训练
1. 若△ABC ∽△A'B'C'，AD、A'D' 分别是△ABC、△A'B'C' 的高，