线性规划在运输问题中的应用
线性规划算法在运输问题中的应用
线性规划算法在运输问题中的应用随着现代物流的发展，运输问题已成为企业经营中一个重要的问题。
如何在物流中实现优化运输，减少运输费用，增加效率，对企业利润的提升具有重要意义。
线性规划算法是运输问题优化中的一种重要算法，通过优化分配问题中的资源，实现最小化或最大化目标。
本文将探讨线性规划算法在运输问题中的应用。
一、运输问题在运输问题中，物流企业需要将各个厂商生产的货物运输到各个销售点。
假设存在m 个货源，n 个销售点，运输单位费用已知，并且每个销售点需要的货物数量也已知。
运输问题需要找到一种方案，使得总运输成本最小。
运输问题可以表示为如下形式的线性规划问题：$$\begin{aligned}\text{minimize}\quad & \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} c_{ij}x_{ij}\\\text{subject to}\quad & \sum_{j=1}^{n} x_{ij} =a_i\quad(i=1,\dots,m) \\& \sum_{i=1}^{m} x_{ij} = b_j\quad(j=1,\dots,n) \\& x_{ij} \geqslant 0\quad(i=1,\dots,m; j=1,\dots,n)\end{aligned}$$其中 $c_{ij}$ 表示从货源 $i$ 运输到销售点 $j$ 的单位费用，$x_{ij}$ 表示从货源 $i$ 运输到销售点 $j$ 的货物数量，$a_i$ 表示货源$i$ 需要的货物数量，$b_j$ 表示销售点$j$ 需要的货物数量。
二、线性规划算法线性规划算法是一种用于优化线性目标函数的算法。
其能够有效地解决一些商业或工程中的问题。
线性规划算法的步骤如下：1.建立目标函数：根据优化的目的，建立线性表达式，该表达式称为目标函数。
2.限制条件：列出所有限制条件，在限制条件中，变量的取值范围必须是非负数。
线性规划应用案例分析
线性规划应用案例分析线性规划是一种在数学和运营管理中常见的优化技术。
它涉及到在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这种技术可以应用于许多不同的领域，包括供应链管理、资源分配、投资组合优化等。
本文将探讨几个线性规划应用案例，以展示其在实际问题中的应用和价值。
某制造公司需要计划生产三种产品，每种产品都需要不同的原材料和生产时间。
公司的目标是最大化利润，但同时也受到原材料限制、生产能力限制以及每种产品市场需求限制的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的生产计划，即在满足所有约束条件下，最大化利润。
某物流公司需要计划将货物从多个产地运输到多个目的地。
公司的目标是最小化运输成本，但同时也受到运输能力、货物量和目的地需求的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的运输方案，即在满足所有约束条件下，最小化运输成本。
某投资公司需要将其资金分配给多个不同的投资项目。
每个项目都有不同的预期回报率和风险水平。
公司的目标是最大化回报率，同时也要保证投资风险在可接受的范围内。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的投资组合，即在满足所有约束条件下，最大化回报率。
这些案例展示了线性规划在实践中的应用。
然而，线性规划的应用远不止这些，它还可以用于诸如资源分配、时间表制定、路线规划等问题。
线性规划是一种强大的工具，可以帮助决策者解决复杂的问题并找到最优解决方案。
线性规划是一种广泛应用的数学优化技术，适用于在多种资源限制下寻求最优解。
这种技术涉及到各种领域，包括工业、商业、运输、农业、金融等，目的是在给定条件下最大化或最小化线性目标函数。
下面我们将详细讨论线性规划的应用。
线性规划是一种求解最优化问题的数学方法。
它的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性方程组的求解，求得目标函数的最优解。
这里的约束条件通常表现为一组线性不等式或等式，而目标函数则通常表示为变量的线性函数。
工业生产：在工业生产中，线性规划可以用于生产计划、物料调配、人力资源分配等方面。
线性规划在高等数学中的具体应用
线性规划在高等数学中的具体应用线性规划是高等数学中较为实用的一种特殊算法，该算法主要用于求解最优解问题。
线性规划包括线性规划模型的建立、线性规划问题的转化、线性规划问题的求解等环节。
这一算法能够有效地应用于生产、管理、交通、环境等各个领域。
本文将从实际案例出发，介绍线性规划在高等数学中的具体应用。
一、供应链系统中的运输问题在供应链系统中，物流运输是一项重要的环节。
如何最大限度地降低物流运输成本，提高供应链系统运作效率，一直是供应链管理者们关注的问题。
在线性规划中，物流运输问题也是解决最优化的一个经典问题之一。
通常，这样的问题可以被描述为如下数学模型：$$\begin{aligned}\min \quad& Z = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} c_{ij}x_{ij} \\s.t. \quad& \sum_{j=1}^{n} x_{ij}=a_{i}(i=1,2,\dots,m) \\& \sum_{i=1}^{m} x_{ij}=b_{j}(j=1,2,\dots,n) \\& x_{ij}\ge0(i=1,2,\dots,m;j=1,2,\dots,n)\end{aligned}$$其中，$x_{ij}$表示从$i$到$j$的运输量，$c_{ij}$表示从$i$到$j$的单位运输费用，$a_{i}$表示$i$的产量，$b_{j}$表示$j$的需求量。
这个模型的目标是最小化总运输成本$Z$，并满足产量和需求量的平衡。
这个模型可以通过线性规划算法求解，得到最优解以确定最优运输方案。
二、生产排产问题在生产过程中，高效的生产调度和计划是提高生产效率和降低生产成本的关键。
对于生产排产问题，线性规划也提供了一种有效的数学解法。
我们可以用下面的数学模型描述生产排产问题：$$\begin{aligned}\min \quad& Z = \sum_{i=1}^{m} c_{i}x_{i} \\s.t. \quad& \sum_{i=1}^{m} a_{ij}x_i\ge b_{j}(j=1,2,\dots,n)\\ & x_i\ge0(i=1,2,\dots,m)\end{aligned}$$其中，$x_i$表示第$i$种生产课程的生产数量，$c_i$表示第$i$种生产课程的生产成本，$a_{ij}$表示第$i$种课程在第$j$个生产周期内的产能，$b_j$表示第$j$个生产周期的生产需求。
线性规划应用案例
线性规划应用案例线性规划是一种在约束条件下寻找最优解的数学优化方法。
它在实际应用中广泛使用，涉及许多领域和行业。
本文将介绍两个典型的线性规划应用案例：运输问题和产能规划问题。
一、运输问题运输问题是线性规划最早发展起来的一个领域，它是指如何在各个供应地和需求地之间运输商品，以使得总运输成本最小。
一个典型的运输问题可以描述为：有m个供应地和n个需求地，每个供应地和需求地之间有一个固定的运输成本和一个固定的供应和需求量。
问题是如何确定每对供需地之间的运输量，以使得总运输成本最小。
举例来说，假设有三个供应地A、B、C，三个需求地X、Y、Z。
运输成本如下表所示：\begin{array}{ c c c c c c }&X&Y&Z&供应量\\A&10&12&8&100\\B&6&8&7&200\\C&9&10&11&300\\需求量&150&175&125&\\\end{array}求解此问题的线性规划模型如下：目标函数：minimize \quad Z = 10x_{11} + 12x_{12} + 8x_{13} + 6x_{21} + 8x_{22} + 7x_{23} + 9x_{31} + 10x_{32} + 11x_{33}约束条件：x_{11} + x_{12} + x_{13} \leq 100x_{21} + x_{22} + x_{23} \leq 200x_{31} + x_{32} + x_{33} \leq 300x_{11} + x_{21} + x_{31} \geq 150x_{12} + x_{22} + x_{32} \geq 175x_{13} + x_{23} + x_{33} \geq 125x_{ij} \geq 0, i = 1,2,3 \quad j = 1,2,3其中x_{ij}表示从供应地i到需求地j的运输量。
线性规划在物流运输中数学模型及应用
目录线性规划在物流运输中数学模型及应用 (1)摘要 (1)关键词 (1)引言 (1)1、线性规划问题 (1)1.1、线性规划问题的提出 (1)1.2、线性规划数学模型 (6)1.3、线性规划问题的标准形式 (7)1.4、线性规划问题解的概念 (8)1.4.1、可行解 (9)1.4.2、基 (9)1.4.3、基可行解 (10)1.4.4、可行基 (10)2、物流运输问题 (10)2.1、物流运输 (10)2.2、物流运输的规划设计 (11)2.2.1、运输成本 (11)2.2.2、运输速度 (11)2.2.3、运输的一致性 (11)2.2.4、与物流节点的匹配程度 (11)2.3、运输规划设计内容 (12)2.3.1、确定运输战略 (12)2.3.2、确定运输线路 (12)2.3.3、选择运输方式 (12)2.3.4、运输过程控制 (12)2.4、物流运输问题的提出 (12)2.5、物流运输问题的数学模型 (14)3、物流运输问题线性规划数学模型实例 (14)3.1、车辆调度问题 (15)3.2、产销运输问题 (17)3.3、物资调运问题： (18)4、结束语 (25)致谢 (25)参考文献 (25)英文摘要 (26)Linear Programming in logistics and (26)transportand application of mathematical models (26)Abstract (26)Keywords (26)线性规划在物流运输中数学模型及应用线性规划在物流运输中数学模型及应用摘要：本论文重要是对线性规划问题的提出、标准型、以及求解进行分析，然后建立一些数学模型来解决一些实际问题。
针对物流运输这个方面的实际应用建立一些特殊的数学模型用线性规划进行分析，让物流运输变的简单、快捷、节约成本。
本文的关键是对物流运输中的问题建立的数学模型就行分析，利用线性规划来运算和求解，建立线性规划数学模型。
运筹学运输问题笔记(一)
运筹学运输问题笔记(一)运筹学运输问题笔记一、运输问题的概述运输问题的定义运输问题是运筹学中的一种经典问题，也是线性规划中最简单的一种。
其定义是：在将若干种供给物品分别运往若干种需求地的过程中，在满足各个供求量限制和运输能力限制的基础上，使得总的运输成本最小。
运输问题的特点• 只涉及一种商品的运输；• 供给地和需求地的数量相等；• 供给地和需求地之间的运费相同。
运输问题的模型运输问题的模型可以用线性规划的形式表示：min Z =∑∑c ij nj=1m i=1x ijs.t. {∑x ij ni=1=b j (j =1,2,...,n )∑x ij m j=1=a i (i =1,2,...,m )x ij ≥0 (i =1,2,...,m;j =1,2,...,n )其中，c ij 代表从供给点i 到需求点j 的单位运费，a i 代表供给点的总供给量，b j 代表需求点的总需求量，x ij 代表从供给点i 到需求点j 的运输量。
二、运输问题的求解方法1. 列出初始可行解运输问题的求解可以先列出初始可行解，常用的方法有两种： • 西北角法（Northwest Corner Method ）• 最小元素法（Least Cost Method ）以上两种方法均可得到初始可行解，但最终得到的最优解可能不同。
2. 用改进的对角线法求解在得到初始可行解后，可以用改进的对角线法求解运输问题。
该方法的基本思想是：通过计算每个空运输路线上的机会成本，确定可能改进的单元格，然后通过交错路径法得到改进可行解，并最终求出最优解。
3. 用运输单纯形法求解对于规模较大或复杂的运输问题，可以用运输单纯形法求解。
该方法是将单纯形法应用到运输问题上，可以快速、准确地求解最优解。
三、运输问题的应用运输问题在物流领域的应用在物流领域中，运输问题是非常重要的，可以通过求解运输问题来优化物流配送方案、降低物流成本、提高物流效率。
运输问题在生产计划中的应用运输问题还可以应用于生产计划中，可以通过求解运输问题来优化原材料到达厂区和半成品成品出厂的方案，提高生产效率，降低成本。
管理运筹运输课程设计例题
管理运筹运输课程设计例题一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握管理运筹学中有关运输问题的基本概念和理论，如线性规划、运输表、最小成本流等；2. 使学生能够运用运输模型解决实际问题，并能够分析不同运输策略的优劣；3. 帮助学生理解运输问题在各种行业中的应用，如物流、生产、销售等。
技能目标：1. 培养学生运用数学模型解决实际问题的能力，特别是运用线性规划求解运输问题；2. 提高学生运用计算机软件（如Excel、Lingo等）辅助解决运输问题的技能；3. 培养学生进行团队协作、沟通和表达的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对管理运筹学科的兴趣，激发他们继续深入学习的热情；2. 培养学生具备良好的逻辑思维和分析问题的能力，形成科学、严谨的学习态度；3. 增强学生的社会责任感，使他们认识到运输问题在国民经济中的重要性，从而关注国家和社会发展。
本课程针对高中年级学生，结合课程性质、学生特点和教学要求，将目标分解为具体的学习成果。
在教学过程中，注重理论与实践相结合，以实际案例为载体，引导学生运用所学知识解决实际问题。
通过本课程的学习，学生将能够掌握管理运筹学中运输问题的基本知识和方法，具备解决实际问题的能力，并形成积极的学习态度和价值观。
后续教学设计和评估将以此为基础，确保课程目标的实现。
二、教学内容本章节教学内容依据课程目标，结合教材《管理运筹学》第五章“运输问题”展开，主要包括以下几部分：1. 运输问题基本概念：介绍运输问题的定义、特点及其在现实生活中的应用。
2. 运输模型的建立：学习如何根据实际问题构建运输表，明确供应点、需求点和运输成本。
3. 线性规划在运输问题中的应用：讲解如何利用线性规划求解运输问题，包括北西角法、最小成本法、位势法等。
4. 运输问题求解方法：介绍各种运输问题求解方法，如单纯形法、最小费用流算法等。
5. 计算机软件在运输问题中的应用：学习运用Excel、Lingo等软件辅助解决运输问题。
运用线性规划对运输问题进行研究运输问题在企业管理方面的应用
运用线性规划对运输问题进行研究运输问题在企业管理方面的应用一、本文概述随着全球化的推进和市场竞争的日益激烈，运输问题在企业管理中扮演着越来越重要的角色。
如何有效地进行物资运输、降低成本、提高效率，成为了企业运营中必须面对和解决的问题。
线性规划作为一种数学优化技术，为运输问题的研究和解决提供了有力的工具。
本文旨在探讨线性规划在运输问题中的应用，以及它在企业管理中的实际作用。
本文将首先介绍线性规划的基本概念、原理及其在运输问题中的应用原理。
接着，通过具体案例，分析线性规划在运输问题中的实际应用，包括如何建立运输问题的数学模型、如何运用线性规划求解最优运输方案等。
本文还将探讨线性规划在企业管理中的其他应用，如资源分配、生产计划等。
本文将总结线性规划在运输问题和企业管理中的应用效果，并展望未来的发展趋势。
通过本文的研究，我们期望能够帮助企业更好地理解和应用线性规划，优化运输方案，提高运营效率，从而在激烈的市场竞争中获得优势。
也希望本文能为相关领域的研究人员提供参考，推动线性规划在运输问题和企业管理领域的研究和发展。
二、线性规划理论基础线性规划是一种数学方法，用于解决具有线性约束和线性目标函数的优化问题。
它广泛应用于各种领域，包括运输问题。
在企业管理中，线性规划尤其适用于资源分配、生产调度和物流优化等问题。
线性规划问题的基本形式可以描述为：在给定的线性约束条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这些约束条件和目标函数都是由决策变量的线性组合构成的。
决策变量是在问题中需要优化的变量，例如运输量、生产量等。
在运输问题中，线性规划可以用于优化运输成本、运输时间和运输路线等。
例如，假设一个企业需要将其产品从多个工厂运输到多个销售点，每个工厂和销售点之间的运输成本可能不同。
通过线性规划，企业可以找出一种运输方案，使得总运输成本最低，同时满足各种约束条件，如每个工厂的生产能力、每个销售点的需求量等。
线性规划的理论基础包括线性代数、凸分析和优化理论等。
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线性规划在运输问题中的应用【摘要】用运筹学的思想探讨运筹学课程的教学方法。
运筹学中的指派问题、最短路问题，最小费用流问题可转化为运输问题或转运问题，从而可以统筹安排这些教学内容，为提高教学效果，减少教学时间找出更优的教学方法。
【关键词】运输问题；转运问题；运筹学；线性规划；教学方法引言：随着我国国民经济的不断发展，企业之间的交易活动更加频繁,同地区、不同地区、甚至跨国的交易活动也不断发生，运输则成为交易的活动重点了。
交通运输作为国民经济的一个重要部门，作为人类进步、社会发展的一个重要推动力，其发展模式正在对环境产生越来越重要的影响。
传统的运输方式已经不能满足环境保护、经济发展以及交通运输本身发展的需求，探寻与环境、资源条件相适应的运输是非常重要的一个问题。
人们在运输方面趋利避害建立更好的运输方法，让交通运输的方法达到一个更高的水平。
1．线性规划简介线性规划法是解决多变量最优决策的方法，是在各种相互关联的多变量约束条件下，解决或规划一个对象的线性目标函数最优的问题，即给与一定数量的人力、物力和资源，如何应用而能得到最大经济效益。
当资源限制或约束条件表现为线性等式或不等式，目标函数表示为线性函数时，可运用线性规划法进行决策。
线性规划法就是在线性等式或不等式的约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值的方法。
其中目标函数是决策者要求达到目标的数学表达式，用一个极大或极小值表示。
约束条件是指实现目标的能力资源和内部条件的限制因素，用一组等式或不等式来表示。
线性规划是决策系统的静态最优化数学规划方法之一。
它作为经营管理决策中的数学手段，在现代决策中的应用是非常广泛的，它可以用来解决科学研究、工程设计、生产安排、军事指挥、经济规划；经营管理等各方面提出的大量问题。
最近几年，我国物流产业快速发展，形成了物流热。
在物流作业的管理活动中，有着大量的规划问题，物资的合理调运就是其中一个比较重要的问题。
求物资调运的最优调运方案，就是要在满足各种资源限制的条件下，找到使运输总费用最小的调运方案。
2.线性规划在运输中的应用在现实的生产经营、商品销售、经济建设和物资管理过程中，常常会遇到各类物资的分配和调运问题，即将各种生产资料或生活资料消耗品从供给基地调运到需求基地，这里就需要如何根据现有条件科学、合理的安排调运方案，提高运输经济效益。
这就是属于线性规划中网络配送的以最小的成本完成货物的运输问题。
运输问题就是讨论有关物资调运的问题，即将数量和单位运价都给定的某种物资从供应站运送到消费站，要求在供给和需求平衡的同时，制定出流量与流向，使总运输成本最低。
运输问题是特殊的线性规划问题，根据问题的要求，建立数学模型，用表上作业法或线性规划软件求解，即可得出最佳的调运方案，取得了较好的经济效益。
在运输问题中，确定的需求限制占据着重要的地位，即必须确定需求以及相应地确定需求的约束条件。
3.运输问题的特征运输问题关心的是以最低的总配送成本把供应中心（出发地）的任何产品运送到每一个接收中心（目的地）。
每一个出发地都有一定供应量配送到目的地，每一个目的地都需要一定的需求量。
运输问题在供应量和需求量两方面都做出了如下的假设：需求假设。
每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量都必须配送到目的地。
与之类似，每一个目的地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须由出发地满足成本假设。
从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成本和所配送的数量成线性比例关系。
因此，这个成本就等于配送的单位成本乘以所配送的数量。
运输问题所需要的数据仅仅是供应量、需求量和单位成本，这些就是模型参数。
如果一个问题可以完全描述成如下表所示的参数表形式，明确出发地、供应量、需求量和单位成本，并且符合需求假设和成本假设，那么这个问题（不管其中是否涉及到运输）都适用于运输问题模型，最终目的都是要使配送的总成本最小。
4.运输问题的数学模型设某种物品有 m 个产地 1A ， 2A ，…， m A ，各产地的产量分别是 1a ，2a ，…，m a ；有 n 个销地 1B ，2B ，…，n B 各销地的销量分别为 1b ，2b ，…，n b ，假定从 产地 i A （i=1，2，…，m ） 向销地 j B （j=1，2，…，n ） 运输单位物品的运价为 ij C ，若用表示从到的运输量，则在产销平衡条件下，总费用最低的数学模型为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====≥====∑∑∑∑0,,2,1,,2,1..min 1111ij nj i ij mi j ij ijnj ij m i x nL i a x mL j b x t s x c z 运输问题通常用表上作业法求解，表上作业法是单纯形法求解运输问题时的一种简化方法，其实质是单纯形法。
表上作业法首先需要经过1-+n m 次加法运算求出初始基可行解。
在初始基可行解基础上用闭回路法或位势法计算所有空格（非基变量）的检验数N j i ij ∈,,λ ，如用位势法，需要经过解1-+n m 次一元一次方程计算位势和计算()()l n m n m -+-⨯个检验数，共需要计算 n m ⨯次。
当所有检验数0≥ij λ时，得最优解，否则需要在表上用闭回路法进行调整，确定换入变量和换出变量，找出新 的基可行解，直到得出最优解为止。
若需要调整 k 次，则 中间环节需要计算n m k ⨯⨯次。
故全部过程一共需要经过()()n m k l n m ⨯⨯+-+⨯2次运算，当 m ，n 很大时，表上作业的计算量庞大且繁杂。
本文提出的用线性规划法求解 运输问题将大大提高最优解的求解速度，大大提高了效率。
5.实例现在物流业面临的新问题是： 认定所给问题确实是一个线性规划问题； 把它建立起线性数学模型； 并能够完成具体实务的全部工作。
第一个问题实质上是具体实务究竟满足什么条件才能应用线性规划的方法。
一般地说，必须有：①一定要满足将目标表为最小化或最大化的要求；②一定要有达到目标的不同方法，且必须要有选择的可能性；③要求的目标是有限制条件的；④必须将约束条件用数学表示为线性等式或线性不等式，并将目标函数化为线性函数。
5.1物资调运最优问题：例 1：苹果的运价及产销量如表 1，求总运费最省的运输方案。
表1解：找线性关系：设ij x 表示产地i A 供给销地j B 的物资数量，产地A1 产量只有9个单位，可供销地B1、B2、B3， 其和为9，B1、B2、B3 的量有多种选择。
而B1 只需6个单位，可选A 1、A2 的产量，其和小于6。
因为总销量大于总产量。
故约束为： ()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥≤+≤+≤+=++=++2,13,2,1065679231322122111232221131211j i x x x x x x x x x x x x x ij 又从A1 运1 个单位的苹果到B1 需运价7 个单位，若11x 个单位则117x 运价，因此满足约束的()2,1;3,2,10==≥j i x ij 得总运价的目标函数为：()23222113121131131047m in x x x x x x +++++此约束方程组不是标准型。
将约束条件方程组（2）标准化为：()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=++=++=++=++=++2,1;3,2,1065679323132221212111232221131211j i x x x x x x x x x x x x x ij λλλ 用单纯形法的程序在计算机上可得最优调运矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡205450，最省的运费为69min =S 。
特别地，当产量大于销量时，如常数9 改为12，约束条件前两个方程改为7,12232221131211≤++≤++x x x x x x ，后面三个用等式。
当产销平衡时，约束方程组是等式方程组，方程组的个数为()1-+n m 个。
5.2车辆调度问题物流部门承接的运输千万种，并往往是几十种物资同时调运。
为此，只有一种物资的数学模型求最优调运方案方法，在多种物质运输情况下就不能直接使用。
原因是：在调度汽车去完成运输任务时，免不了要出现空驶现象。
例如某车队有一天要完成如表2 所示的运输任务，各地间的距离如表3，问应怎样安排汽车去完成这些任务才能做到最省？分析：满车路线和方向显然是固定的，但空车的路程、方向却没有固定。
如把木材从火车站运到建筑工地卸下后，空车即可去火车站装煤，也可去文具公司装纸张。
空车的走法不同，空驶的t ·km 数当然也不同，这就产生了车辆调度问题。
车辆调度问题主要解决的是：怎样安排车辆去完成所有的运输任务并使空驶的t ·km 数最小。
物资调运问题是“怎样才能使物资运输的t ·km 数最小”；这就是说把空车看成是一批货物（卸几吨货物就看成是几吨空车），则把车辆调度问题转化为物资调运问题。
把空车看成是货物，其发、收（产、销）点及发、收（产、销）量按如下的方法决定：（1）若某点的缷货总量大于装货总量，则该点是空车的发点，其发量等于卸货总量与装货总量之差。
如学校的卸货总量为4，装货为0，故学校是发点，发量为4。
（2）若某点装货总量大于卸货总量，则该点是空车的收点，其收量也是二者之差。
（3）如果某点的卸货总量等于装货总量，如此点不存在空车则不予考虑。
为此，车辆调度问题可作为物资调运问题来处理。
即空车的流向应怎样才能使车辆调度合理？其主要步骤如下：①确定空车的收发点和收发量，并列表；②确定空车调运的数学模型，并求解；③根据所得解并结合具体情况合理调派车辆。
解：收点：火车站、文具公司、粮店；发点：建筑工地、钢厂、学校。
约束条件为：()()33323123222113121132221231211133323123222113121113481025739min 4,3,2,1;3,2,1026424x x x x x x x x x S j i x x x x x x x x x x x x x x x x ij ++++++++==≥⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++用单纯形法的程序在计算机上可得：钢厂、学校分别向火车站发2t 空车，建筑工地向文具公司和粮店发2t 空车。
空车吨公里数最小是：5648222723min =⨯+⨯+⨯+⨯=S6.结论通过上例分析，我们可以很清楚地了解线性规划企业运输决策的整个运作过程具有很大的实践意义。
利用线性规划进行运输决策，可以制定出最佳运输方案，往哪里运，运多少，而且可以同时对线性规划的进一步运用、剖析运输决策中各环节、各部门之间的内在联系，使人力、物力和财力能够得到充分利用，从而实现最优化的货物流通，使企业的利润进一步追加，最终得到最佳运输计划，提高企业经济效益。