高中数学人教B版选修12练习312 复数几何意义
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高二数学(选修2-2人教B版)-复数的概念及几何意义
例3 分别求实数x的值，使得复数z (x 2) (x 3)i （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数. 解：（1）当x 3 0，即 x 3 时，复数z是实数； （2）当 x 3 0，即 x 3 时，复数z 是虚数； （3）当x 2 0且 x 3 0，即 x 2 时，复数z是纯虚数.
例如，2 i，2 i 2i ，0 i 0，(1) i i ，1 i.
定义：形如a b（i a，b R ）的数称为复数.
定义：形如a b（i a，b R ）的数称为复数. 复数一般用小写字母z表示，即 z a b（i a，b R ）. 其中a称为z的实部，b 称为z的虚部.
（3）i ；
（4） 2i ； （5）π ；
（6）0 .
例2 说出下列复数中的虚数和纯虚数：
（1）2 i ； （2）3 i；
（3）i ；
（4） 2i ； （5）π ；
（6）0 .
解：虚数有2 i ，3 i ，i ， 2i ； 其中纯虚数有i ， 2i .
例3 分别求实数x的值，使得复数z (x 2) (x 3)i （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数.
平面直角坐标系中的点 Z (a,b)能唯一确定一个以原 点为始点，Z 为终点的向量OZ .
复数 z a bi 与坐标平面内的向量OZ 建立一一对应 关系，即
复数 z a bi 向量 OZ (a,b) .
复数 z a bi 点 Z (a,b) 向量OZ (a,b) .
说明：向量OZ (a,b)的长度称为复数 z a bi 的模， 复数z的模用 | z |表示，因此| z | a2 b2 .
有理数 实数
测量、分配 度量的 中的等分 需要
N ZQ R
自然数
人教版高中数学选修1-2《3.1.2 复数的几何意义》
复数还有哪些特征能和
平面向量类比?
达标检测
1.设 i 为虚数单位， 若 z cos i sin 对应的点位于复平面的第 四象限，则 为（ ） A．第一象限角 C．第三象限角 B．第二象限角 D．第四象限角
2．下列命题中：①任意两个确定的复数都不能比较大小；②
2 若|z|≤2，则－2≤ z≤2；③若 z1 ＋z2 2＝0，则 z1＝z2＝0.其中正
z a bi (a R, b R)
实部
虚部
其中
i 称为虚数单位。
一个复数 由什么唯 一确定？
复数的几何意义（一）
有序实数对(a,b) 复数z=a+bi （数）
z=a+bi Z(a,b)
a
一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b) （形）
建立了平面直角 坐标系来表示复数的 b 平面 ------复数平面 (简称复平面) x x轴------实轴 o y轴------虚轴
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想
数学运用一
变式训练：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。
解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2）， ∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， ∴m=1或m=-2。
确命题的个数为( A．0 个
)
B．1 个 C．2 个 D．3 个
高中数学新人教B版选修1-2 复数的几何意义
应用创新演练见课时跟踪训练(八)
其共轭复数为－15－8i. 法二：原式可化为 z＝2－|z|＋8i， ∵|z|∈R，∴2－|z|是 z 的实部， 于是|z|＝ 2－|z|2＋82， 即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17. 代入 z＝2－|z|＋8i 得 z＝－15＋8i. 其共轭复数为 z＝－15－8i. [一点通] 计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用 模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比 较大小．
1．设 z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在虚轴右侧，则( )
A．a＞0，b＞0
B．a＞0，b＜0
C．b＞0，a∈R
D．a＞0，b∈R
解析：复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，
虚部可为任意实数．
答案：D
2．写出如图所示复平面内各点所表示的复数(每个正方格的边 长为 1)．
解：如题图所示，点 A 的坐标为(4,3)， 则点 A 对应的复数为 4＋3i. 同理可知点 B，C，F，G，H，O 对应的复数分别为： 3－3i，－3＋2i，－2,5i，－5i,0.
1．复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复 平面内， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是 1 ，y 轴的单位是 i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应 复数 0 . 2．复数的几何意义 复数 z＝a＋bi一一对应有序实数对(a，b) 一一对应点 Z(a，b)．
7．复数 z＝x＋3＋i(y－2)(x，y∈R)，且|z|＝2，则点(x，y)的轨
迹是
．
解析：∵|z|＝2，∴(x＋3)2＋(y－2)2＝4.
答案：以(－3,2)为圆心，2 为半径的圆 8．设 z∈C，满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形？
人教B版选修22高中数学3.1.3复数的几何意义word教案
复数的几何意义【教学目标】明白得复数与从原点动身的向量的对应关系，把握复数的向量表示 ，复数模的概念及求法，复数模的几何意义；体会数形结合的思想在数学中的重要意义；体会事物间的普遍联系.【教学重点】复数的几何意义 【教学难点】复数的模一、课前预习：（阅读教材86--87页，完成知识点填空）1.试探：实数与数轴上的点是一一对应的，实数能够用数轴上的点来表示，那么复数可否也能用点来表示呢？2.复平面、实轴、虚轴．．．．．．．．．：复数),(R b a bi a z ∈+=与有序实数对),(b a 是 对应关系这是因为关于任何一个复数),(R b a bi a z ∈+=，由复数相等的概念可知，能够由一个有序实数对),(b a 惟一确信，如i z 23+=能够由有序实数对 （ ） 确信，又如i z +=2能够由有序实数对( )来确信；又因为有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，成立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间能够成立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数),(R b a bi a z ∈+=可用点),(b a Z 表示，那个成立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，也叫高斯平面，x 轴叫做 ，y 轴叫做 .实轴上的点都表示 ，关于虚轴上的点要除 外，因为原点对应的有序实数对为 ，它确信的复数是 ，表示是实数.故除原点外，虚轴上的点都表示 .在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数 ，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数 ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是 ，i z 35--=对应的点( )在第 象限.3.复数的模．．．．：设复数),(R b a bi a z ∈+=对应的点为Z ，那么复数z 对应的向量为 ， 向量的 叫做复数),(R b a bi a z ∈+=的模（或 ），记作 .则=+||bi a .当0=b 时=||z ，为实数意义上的绝对值，4.共轭复数．．．．： . ),(R b a bi a z ∈+=的共轭复数记作复平面中，两个互为共轭复数对应的点关于 对称.二、课上学习：（参照教材87页例题，探讨完成）例1.已知复数z 1=3+4i,z 2=-1+5i,求它们的模和共轭复数.例2.设C Z ∈，知足以下条件的点Z 的集合是什么图形？（1）|z|=1 ； (2)2||≥z ； （3） 2<|z |<3三、课后练习：页练习A,89页练习B2.以下命题中的假命题是（ ）(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。
312复数的几何意义ppt课件
设 $z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di neq 0$，则 $frac{z_1}{z_2} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$。
02
复数在平面坐标系中表示
复平面与极坐标系简介
学科竞赛与活动
鼓励学生参加数学竞赛和 数学建模等活动，提高应 用复数解决问题的能力。
未来发展趋势预测
复数在物理学中的应用
预测复数在量子力学、电磁学等物理 学领域的应用前景和发展趋势。
复数在工程领域的应用
探讨复数在信号处理、控制系统等工 程领域的应用潜力和发展方向。
复数在计算机科学中的应用
分析复数在计算机图形学、人工智能 等领域的应用前景和挑战。
复平面
复平面是一个二维平面，其中横轴表 示复数的实部，纵轴表示复数的虚部 。这样，每个复数都可以在复平面上 找到一个对应的点。
极坐标系
极坐标系是一种二维坐标系，其中每 个点由到原点的距离（半径）和从正x 轴逆时针旋转到该点的角度（极角） 来确定。
复数在复平面上表示方法
点表示法
在复平面上，一个复数a+bi可以 表示为点(a,b)。
几何变换：旋转、伸缩和反射
旋转
在复平面上，旋转可以通过乘以 复数 $e^{itheta}$ 实现，其中 $theta$ 是旋转角度。例如，将
点 $z$ 绕原点逆时针旋转 $theta$ 角度后得到点 $ze^{itheta}$。
伸缩
伸缩可以通过乘以一个实数实现 。例如，将点 $z$ 沿着从原点到 该点的直线方向拉伸或压缩 $k$ 倍（$k > 0$）后得到点 $kz$。
人教版高中数学选修1-2《 复数的几何意义》
A组第4题、第5题； B组第1题、第2题
2.思考：满足 | z 2 3i | 1的复数 平面上构成怎样的图形？
z 对应的点在复
3.选做：查阅资料，复数在实际生活中有哪些应用？
新知探究 思考1：在几何上，我们用什么来表示实数？
A
a
实数
(数)
一一对应
数轴上的点
(形)
思考2：类比实数的几何表示，可以用什么来表示复 数？
z a bi
(a, b R)
实部 虚部
( a, b)
1.复数的几何意义(1)
有序实数对(a,b) 复数z=a+bi y b
一一对应
直角坐标系中的点 复平面内 Z(a,b)
思考:(1)满足 | z | 5 ( z R) 的
z 值有几个？ (2)满足 | z | 5 ( z C ) 的 z 值有几个？这些复数
对应的点在复平面上构成怎样的图形？ y 5
-5
O
-5
5
x
(3)满足 3 | z | 5 的复数 z 对应的点在复平面上构 成怎样的图形？
(3)满足 3 | z | 5 的复数 z 对应的点在复平面上构 构成怎样的图形？ y 5 3 –5 –3
a
3.复数的模
平面向量 OZ (a, b) 的模 叫做复数 z a bi的模
2 2 | OZ | a b | z |
y b
Z(a,b)
注:(1) | z | 0
(2)两个复数的模可以比较大小
OZ
o
a
x
1 例2：求复数 z1 3 4i 及 z2 2i 的模，并 2
建立了直角坐标系 来表示复数的平面 ------复平面 x轴 ------实轴
人教版高中数学选修1-2《复数的几何意义》
探究4：已知 z 4, 求 z 6 8i 的最大值和最小值。 最大值14，最小值6
结论： z1 z2 表示点Z1, Z2两点间的距离
自我总结
这节课我们学习了: 体验落实
A．0 C．－5i
课堂反馈
) B．－5 D．5
→ → 1．在复平面内，若OZ＝(0，－5)，则OZ对应的复数为(
→ 【解析】 OZ对应的复数z＝0－5i＝－5i.
(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( × ) (3)复数的模一定是正实数． (× )
2．已知复数 z＝i，复平面内对应点 Z 的坐标为 A．(0,1) B．(1,0) C．(0,0) D．(1,1)
( A )
3．向量 a＝(1，－2)所对应的复数是 A．z＝1＋2i C．z＝－1＋2i B．z＝1－2i D．z＝－2＋i
【自主解答】 复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i的实部为a2－1，虚部为2a－1， 在复平面内对应的点为(a2－1,2a－1)． (1)若z对应的点在实轴上，则有 1 2a－1＝0，解得a＝ . 2 (2)若z对应的点在第三象限，则有
2 a －1<0， 2a－1<0，
1 解得－1<a< . 2
( B )
5 4．已知复数 z 的实部为－1，虚部为 2，则|z|＝________.
例题讲解
复数与点的对应关系
典例 :已知复数z (a 2 1) (2a 1)i, 其中a R.当复数z在复平面内 对应的点满足下列条件 时，求a的值（或取值范围）。 （ 1）在实轴上；（ 2）在第三象限；（ 3）在抛物线y 2 4 x上。
建立了平面直角坐标系来表示 复数的平面叫复平面
高中数学人教版选修1-2第3章3-1-2复数的几何意义课件
2.复数几何意义的两个注意点 (1)复数与复平面上的点:复数z=a+bi(a,b∈R)的对应 点的坐标为(a,b),而不是(a,bi). (2)复数与向量的对应:复数z=a+bi(a,b∈R)的对应向 量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应,因为复 平面上与 相等的向量有无数个.
OZ
探究点2 复数的模 1.复数的模可以等于该复数吗? 提示:可以,当复数为正实数和0时就可以. 2.任意两个复数的模能比较大小吗? 提示:复数的模为实数,故能比较大小.
(2)由题意得
m2 m2
m 2 0, 3m 2 0,
所以1 m 所2以, -1<m<1.
(3)由已m 知2得或mm<21-, m-2=m2-3m+2.所以m=2.
【解题探究】1.典例1中复数对应的点是什么？
提示：( -1，0). 3
2.典例2中复数对应的点有什么特点? 提示:复数对应的点坐标中横坐标与纵坐标相等. 3.典例3中复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应点的坐标 是什么? 提示:(m2-m-2,m2-3m+2).
【解析】1.选B.因为z= +i2= -1∈R，
【归纳总结】 对复数模的三点说明 (1)数学上所谓大小的定义是,在(实)数轴上右边的比 左边的大,而复数的表示要引入虚数轴,在平面上表示, 所以也就不符合关于大和小的定义,而且定义复数的大 小也没有什么意义,所以我们说两个复数不能比较大小.
(2)数的角度理解:复数a+bi(a,b∈R)的模|a+bi|=
+i2对 3
A.第一象限内
B.实轴上
C.虚轴上
D.第四象限内
2.在复平面内表示复数z=(m-3)+2 i的点在直线y=x m