91知识讲解_复数(基础)

高考总复习：复数编稿：孙永钊 审稿：张林娟【考纲要求】1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；2.了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。

3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义.【知识网络】【考点梳理】考点一、复数的有关概念1.虚数单位i :（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；（4）i 的周期性：41n i =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-（*n N ∈）.2. 概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部。

说明：这里,a b R ∈容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。

3.复数集全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示；复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：对于复数z a bi =+（,a b R ∈），当且仅当0b =时，复数z a bi a =+=是实数；当且仅当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当且仅当0a =且0b ≠时，复数z a bi bi =+=叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，复数0z a bi =+=就是实数0.所以复数的分类如下: z a bi =+（,a b R ∈）⇒(0)(0)00b b a b =⎧⎨≠⇒=≠⎩实数；虚数当且时为纯虚数 5.复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。

即： 如果,,,a b c d R ∈，那么a bi c di a c b d +=+⇔==且.特别地: 00a bi a b +=⇔==.应当理解:（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。

如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。

6.共轭复数：两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。

即：复数z a bi =+和z a bi a bi =+=-（,a b R ∈）互为共轭复数。

考点二：复数的代数表示法及其四则运算1.复数的代数形式:复数通常用字母z 表示，即a bi +（,a b R ∈），把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式。

2.四则运算()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±；()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++； 复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：2222()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c di c di c di c d c d ++-+-===+++-++。

考点三：复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z a bi =+（,a b R ∈）可用点(,)Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

实轴上的点都表示实数。

对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是000z i =+=表示是实数。

故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

2.复数的几何表示（1）坐标表示:在复平面内以点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈）；（2）向量表示:以原点O 为起点，点(,)Z a b 为终点的向量OZ 表示复数z a bi =+.向量OZ 的长度叫做复数z a bi =+的模，记作||a bi +.即22||||0z OZ a b ==+≥.要点诠释:（1）向量OZ 与点(,)Z a b 以及复数z a bi =+有一一对应；（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。

3.复数加法的几何意义： 如果复数1z 、2z 分别对应于向量1OP 、2OP ，那么以1OP 、2OP 为两边作平行四边形12OPSP ，对角线OS 表示的向量OS 就是12z z +的和所对应的向量。

4.复数减法的几何意义：两个复数的差12z z -与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。

要点诠释:1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；2.求解计算时，要充分利用i 的性质计算问题；3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。

【典型例题】类型一：复数的有关概念【例1】设复数22lg(22)(32)z m m m m i =--+++，试求实数m 取何值时，复数z 分别满足：(1)z 是纯虚数； (2)z 对应的点位于复平面的第二象限。

【思路点拨】利用复数的有关概念易求得。

【答案】(1)当22lg(22)0320m m m m ⎧--=⎪⎨++≠⎪⎩即3m =时，复数z 是纯虚数；(2)当22lg(22)0320m m m m ⎧--<⎪⎨++>⎪⎩即11m -<<-13m <<时，复数z 对应的点位于复平面的第二象限.【总结升华】复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。

比如：z a bi R =+∈⇔0b =⇔z z =⇔20z ≥(,a b R ∈)；z a bi =+是纯虚数⇔00a b =≠且⇔0z z +=（0z ≠）⇔20z <； 举一反三：【变式1高清视频例题1】复数12ai i+-为纯虚数，则实数a 为( )． A ．2 B ．－2 C ．－12 D. 12 【答案】A 【解析】1(1)(2)2212(2)(2)55ai ai i a a i i i i +++-+==+--+， 由纯虚数的概念知：25a -＝0，∴a ＝2.【变式2】求当实数m 取何值时，复数22(2)(32)z m m m m i =--+-+分别是：（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数。

【解析】（1）当2320m m -+=即1m =或2m =时，复数z 为实数；（2）当2320m m -+≠即1m ≠且2m ≠时，复数z 为虚数；（3）当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--0230222m m m m 即1m =-时，复数z 为纯虚数. 【变式2】已知复数z 满足||1z =且21z ≠-,则复数12+z z （ ） A.必为纯虚数 B.是虚数但不一定是纯虚数C.必为实数D.可能是实数也可能是虚数【答案】[法1] 设z a bi =+（,a b R ∈），有221a b +=,0a ≠.则22221121222z a bi a bi R z a abi b a abi a++===∈++-++，故应选C 。

[法2] ∵2||1z z z ⋅==,∴2211()z z z R z z z z z z z z z ===∈++⋅++. [法3] ∵2||1z z z ⋅==，∴ 2211(1)z z z R z z z z z⋅==∈++⋅+. 类型二：复数相等【例2】已知集合M=｛（a+3）+（b 2-1）i,8｝,集合N=｛3，（a 2-1）+(b+2)｝同时满足M ∩N≠⊂M ，M ∩N ≠Φ，求整数a,b 【思路点拨】先判断两集合元素的关系，再列方程组，进而解方程组，最后检验结果是否符合条件。

【解答】2(3)(1)3a b i i ++-=依题意得…………………………①或28(1)(2)a b i =-+…………………………………………②或223(1)1(2)a b i a b i ++-=-++…………………………③由①得a=-3,b=±2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。

∴a=-3，b=2由②得a=±3, b=-2.又a=-3,b =-2不合题意，∴a=3,b=-2;由③得222231401230a a a ab b b b ⎧⎧+=---=⎪⎪⎨⎨-=+--=⎪⎪⎩⎩即,此方程组无整数解。

综合①②③得a=-3，b=2或a=3,b=-2。

【总结升华】1、a+bi=c+di ⇔(,,,)a c a b c d R b d =⎧∈⎨=⎩. 2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。

解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。

注：对于复数z ，如果没有给出代数形式，可设z= a+bi(a,b ∈R)。

举一反三：【变式】已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.【解析】设z 2=a+2i(a ∈R)，由已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i,得z 1=2-i ，又已知z 1·z 2=(2-i)·(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i 是实数，则虚部4-a=0，即a=4，则复数z 2=4+2i.类型三：复数的代数形式的四则运算【例3】计算：(12)(34)i i +÷-【思路点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。

【解析】 2212(12)(34)386451012(12)(34)34(34)(34)342555i i i i i i i i i i i i +++-++-++÷-=====-+--++ 【总结升华】复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用21i =-进行运算。

举一反三：【变式1】8)3122(i i-+【答案】：原式=8)23211(i i +-+i i i i i i i i i i 3884341388)2321)(2321()2321(162321)2()2321(])2321[(])1[(422342+-=++-=+---+-⋅=--=+-⋅+-+= 【变式2】复数512i i=-( ) .2i - B.12i - C.2i -+ D.12i -+【解析】选C 解法一： 55(12)1052.12(12)(1+2)5i i i i i i i i +-+===-+-- 解法二：验证法 验证每个选项与1-2i 的积，正好等于5i 的便是答案.【例4】已知z 1，z 2为复数，(3＋i)z 1为实数，12z z 2i+＝,且|z 2|＝52z 2. 【思路点拨】可不设代数形式利用整体代换的思想求解.z 1＝z 2(2＋i)，(3＋i)z 1＝z 2(2＋i)(3＋i)＝z 2(5＋5i)∈R ，∵|z 2|＝52∴|z 2(5＋5i)|＝50，∴z 2(5＋5i)＝±50，()25010z 55i .55i 1i∴±±±-++＝＝＝ 【总结升华】1、(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式.(2)记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2=±2i ；1i 1i a bi i i b ai 1i 1i i+-+==-=--+②;③;④; ⑤i 4n =1，i 4n+1=i ，i 4n+2=-1，i 4n+3=-i(n ∈N).2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i 的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟透i 的特点及熟练应用运算技巧。