复数与参数方程( )
《复变函数》第1章
(3) 除法: z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) z ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 ) z 2 x2 iy2 x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 z1 z1 i) z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , ; z2 z2 ii) z z ; 2 2 iii) z z Re( z ) Im( z ) ; iv) z z 2 Re( z ) , z z 2 i Im( z ) .
3 1 5 . zz 2 2 2
2
2
2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第6页
§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法 (1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 ) (2) z = x + iy ↔ 向量OP ( 向量表示法 )
2
辐角: Arg z
( z 0 ) 无穷多个, 相差2kπ . y tan( Arg z ) x 辐角主值: 0 arg z 0 k = 0, ±1, ±2, …… Arg z arg z 2k 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第8页
, y x | z |
y Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan x 的主值 y arc tan x 来确定: y arctan x x 0， — 在第一、四象限 2 x 0， 0 y arg z y 0 — — 二象限 y arctan x x 0， 0 — — 二象限 x 0， 0 y arctan y 其中 (图示) x 2 2 3 arg z . 例: z = －3 + 3i 2 4 4 (或 arg z arctan( 1) arctan 1 4
第一章 复数与复变函数
例4 指出满足下列条件的点 z 的全体所构成的图形.
第 一 (1) 节
z − z1 z−2 < 3, =k. z+2 z − z2
5 −1 − 2
•
y
解：设 z = x + iy,
复 数 则 z −2 <3 z +2 及 即为 ( x − 2) + iy < 3 ( x + 2) + iy 其 代 2 2 2 x − 2) + y < 9( x + 2) + 9 y2 ( 数 2 2 运 5 3 2 算 整理得： x + + y >
∴ z = z1 + t ( z2 − z1 ) , − ∞ < t < +∞
称为复数的参数方程
z1 + z2 显然 z1与 z2的中点 z = 2
0
z2
•
z
•
z1
x
而 z = z1 + t ( z2 − z1 ) , 0 ≤ t ≤ 1表示 z1 到z2 的直线段
z3 − z1 由此可知： 三点 z1 , z2 , z3 , 共线 ⇔ = t ( 实数 ) z2 − z1
w = re
n
i
θ + 2kπ
n
θ + 2kπ θ + 2kπ = r cos + i sin n n ( k = 0,1,L,n −1)
n
第 一 节 复 数 及 其 代 数 运 算
四、曲线的复数方程
已 知 曲 线： F
( x , y )=
0
z+z z−z 若令 z = x + iy , 则 x = , y= 2 2i z+z z−z 代入得： F , =0 2i 2 为曲线复数形式的方程.
复变函数与场论简明教程：复数与复变函数
n
n
则1的n次方根分别为1, ω， ω2， …， ωn－1。
［例3］ 求 解 因为
6
3+i 1 i
复数与复变函数
3
i
2
cos
π 6
i
sin
π 6
2e
πi 6
1i
2cosຫໍສະໝຸດ π 4isin
π 4
πi
2e 4
复数与复变函数
所以
3i 1i
πi
2e 6 i
2e 4
5πi
2e 12
z=reiθ
(1.1.7)
这种表示形式称为复数的指数表示式。 由于辐角的多值
性， 复数z的三角表示式和指数表示式并不是唯一的。 复数 的各种表示法可以互相转换， 以适应在讨论不同问题时的
需要。
复数与复变函数 ［例2］ 将复数z=1+sin1+icos1化为三角表示式与指数
解 先求出z的模r和辐角主值arg z:
1
cos
1
π 2
1
arctg
2
sin
π 4
1 2
cos
2
cos2
π 4
π 4 1 2
1 2
π 4
1 2
于是z的三角表示式为
复数与复变函数
z
2
cos
π 4
1 2
cos
π 4
1 2
i
sin
π 4
1 2
z的指数表示式为
z
2
cos
π 4
1 2
ei
π 4
1 2
复数与复变函数
3π 2(m n)π π 2kπ
1.2复数的运算及其几何意义
x1 ) y1 )
参数 t (, ),
上式可以借助复数合并为一个式子，即：
z x(t ) iy(t ) x1 t( x2 x1 ) + i [y1 t( y2 y1 )]. 过z1 , z2的直线方程是： z z(t ) z1 ), 0 t 1.
则将向量OZ1按逆时针方向
•z
y
旋转一个角 2 ,
r • z1
再伸长(缩短)到原来的 r2 倍，
所得向量OZ就表示乘积z1 z2.
1
o
r1
2
•
r2
z2
x
z1z2 r1r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
10
可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:
设 zk rk (cosk i sink ) rkeik , (k 1,2,, n)
28
cos
π 4
2kπ 4
i sin
π 4
2kπ 4
w3
(k 0,1,2,3).
即 0
1
28
cos
π 16
i
sin
π 16
,
1
1
28
cos
9π 16
i
sin
9π 16
,
2
1
28
cos
17π 16
i
sin
17π 16
,
3
1
28
cos
25π 16
i sin
25π 16
.
15
;
(2) z z;
(3) z z z 2 ;
(4) z z 2 Re(z), z z 2i Im(z).
复数和、差、共轭的几何意义
高考复数知识点精华总结
高考复数知识点精华总结1．复数的概念： （1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。
4．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ；（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ； （4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
（6）特殊复数的运算：① ni (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模, 且2||z z z ⋅==a2+b2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
《复变函数》第一章 复数与复变函数
的定义域, w 值的全体组成的集合称为函数 w = f ( z ) 的值域. 及 w = z +1
z 1
( z ≠ 1)
均为单值函数,w = n z
均为多值函数.
今后如无特别说明,所提到的函数均为单值函数.
设 w = f ( z ) 是定义在点集 则
容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域,必须特别提出的是,在复数域 中,复数是不能比较大小的.
2.复平面
从上述复数的定义中可以看出,一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有 序实数 ( x, y ) 唯一确定.因此,如果我们把平面上的点 ( x, y )与复数 z = x + iy 对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系. 由于 x 轴上的点和 y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数,因而 通常称
对应相等,即 x1 = x2 且 y1 = y2 虚部为零的复数可看作实数,即x + ii0 = x ,
0 特别地, + ii0 = 0 ,因此,全体实数是全体复数的一部分.
实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数,复数 x + iy 为互为共轭复数,记为
( x + iy ) = x iy
和 x iy
2.区域与约当(Jordan)曲线
定义1.5 若非空点集 D 满足下列两个条件: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点均可用全在 D 中的折线连接起来,则称 D 为区域 (图) 定义1.6 若 z0 为区域 D 的聚点且 z0 不是 D 的内点,则称 z0 为 D 的界点, D 的所有界点组成的点集称为 D 的边界,记为 D , 若 r > 0 ,使得 N r ( z0 ) ∩ D = ,则称 z 0 为 D 的外点 定义1.7 区域 D 加上它的边界 C 称为闭区域,记为 D = D + C
复变函数论
arg
z
arctg
3 1
3
2 3
，
Argz arg z 2k 2 2k ,
3
(k 0,1,2,3)
z
2(cos(
2
)
sin(
2
))
i(
2e
2 3
)
3
3
二、复数的运算：
1．相等： x1 iy1 x2 iy2 x1 x2, y1 y2 2.四则运算：运算规律
复数形式的方程表示时更简明。
2
2i
实数形式复数形式
z xiy
例 6: 连接 z1及 z2两点的线段的参数方程为：
z z1 t(z2 z1) (o t 1)
过 z1及z2两点直线的参数方程为：
z z1 t(z2 z1) ( t )
例 7: 求下列方程所表示的曲线
2
2
当 x 0, y 0 时，
x 0, y 0, arg z 0
x
0,
y
0, arg
z
当 x 0 时，
一象限 二象限
arg z( (0, )) arctan y ( (0, ))
2
x
2
arg
z (
(
,
))
arctan
y
(
(
,0))
(x 2)2 y2 9 .
2）几何上，该方程表示到复平面上点 2 和点 4
距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接
复变函数 全套课件
证 (一) 令zxiy, 则f(z) x , x2y2
u(x,y) x , v(x,y)0, x2y2
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lim u(x,y)lim x lim x
x0 ykx
x0 ykx
x2y2
x0 x2 (kx)2
29
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
2
s i n 2 z c o s 2 z 1 ,但 s i n z ,c o s z 不 是 有 界 函 数 .
n
n
(k 0 ,1 ,2 , ,n 1 ) 在几何 ,n z的 上 n个值就是以原 ,n r点 为为 半中 径 的圆的内 n边 接形 正 n个 的顶. 点
单连通域与多连通域
从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域.
5
复变函数的概念
复变w与 函 自数 变 z之 量 间的 wf(关 z) 系 相当于两 : 个关系式
《复变函数》
第一讲 复数及其代数运算
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
2
辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0 称 A z 为 的 r,g 记 主 0 作 a 值 z .rg
设 zxiy,
x y 2 ii x y 2 i,化简后得 yx.
(2)Im(iz)4
设 zxiy,
i z x ( 1 y )i,Ii m z ) 1 ( y 4 ,
复数、极坐标参数方程
1.复数2(12)i -的共轭复数是 _____ ．2.设复数z 满足(2)12z i i +=-（为虚数单位），则z =___________3.已知i 为虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝2，则z ＝ .4. 已知复数z 满足13=++i z ，则z 的最大值是___________5.已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = ___________.6.已知曲线C 的参数方程为x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.7.在平面直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 21 (t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2tan 22y x (θ为参数),试求直线l 与曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.8．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos α，y ＝sin α (α为参数)．(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．9．在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭. (I)求1C 与2C 交点的极坐标;(II)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为()3312x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b 的值.。
高考复数知识点精华总结
复 数1．复数的概念： （1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。
4．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ； （3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
（6）特殊复数的运算：① ni (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模且2||z z z ⋅==a 2+b 2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 i ， z 2 1 3i ，则复数
B.第二象限
z1 z2
2
在复平面内对应点在（ D.第四象限
）
C.第三象限 ） C. 13i
17、复数 A. 13
3 2i 4 6i 的值是（ 1 i 2
B. 13
D. 13i
高考链接
1、 （2010 年安徽文）已知 i A.
上课时间
能够解决复数的常见考题及参数方程的常见题型 能够适当与其他知识相结合的应用
复数知识点总结
（一） 复数的概念和意义 1、复数：形如 a bi
ab R 的数叫做
2
复数（其中 i 叫做虚部单位，且满足 i
1 ） 。
2、复数的表示方法：复数常用字母 z 表示， 即z
a bia, b R。
3） z1 z 2
a bi c di ac bci adi bdi2 ac bd ad bci ；
第 1 页/共 8 页
教学设计方案
XueDa PPTS Learning Center
4）
z1 a bi a bi c di ac bd bc ad ic di 0 ； z 2 c di c di c di c 2 d 2 c 2 d 2
A． y x 2 B． y x 2 C． y x 2(2 x 3) ） D． y x 2(0 y 1)
例 2．化极坐标方程 cos 0 为直角坐标方程为（
2
） D． y 1
A． x y 0或y 1
2 2
B． x 1
3、实部和虚部：对于复数 z 1） 2） 3）
a bia, b R ，其中 a 与 b 分别叫做复数的实部和虚部。 若 b 0 ，则复数 a bi 为实数； 若 b 0 ，则复数 a bi 为复数； 若 b 0 且 a 0 ，则复数 a bi 为纯虚数。
4、复数相等的充要条件：
例 5．与参数方程为
x t y 2 1 t
(t为参数) 等价的普通方程为（
y2 1(0 x 1) 4
）
A． x
2
y2 1 4
B． x
2
y2 1(0 y 2) C． x 4
2
y2 1(0 x 1, 0 y 2) D． x 4
）
3
12、复数
1 2i 1 i （
i
） C. 3 i ） D.第四象限 ） D. D. 3 i
A. 3 i
B. 3 i
13、若复数 z 满足 A.第一象限 14、若复数 z 满足 A.
z 2i ，则 z 对应的点位于（ 1 i
B.第二象限 C.第三象限
则 AB _______________。
第 5 页/共 8 页
教学设计方案
XueDa PPTS Learning Center
1 x 2 2 t (t为参数) 被圆 x2 y 2 4 截得的弦长为______________。 例 4．直线 y 1 1 t 2
例 6．在极坐标系中与圆 4sin 相切的一条直线的方程为（ A． cos 2 C． 4 sin( B． sin 2
）
3
)
D． 4 sin(
3
)
参数方程 例 1．若直线的参数方程为
A．
x 1 2t (t为参数) ，则直线的斜率为（ y 2 3t
6、复数的几何意义： 复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，其中 x 叫实轴， 复数和复平面内的点是一一对应的：复数 z
a bia, b R 的复平面内的点 Z a, b 一一对应
y 叫虚轴。
7、复数的模：若 z
a bia, b R，则 z a 2 b 2
教学设计方案
XueDa PPTS Learning Center
姓名 学科 阶段 课题 名称 教学 目标 教学 重点 教学 难点 数学
学生姓名 年级 维护期：□ 课时计划
第（ 共（
填写时间 教材版本
）课时 ）课时
人教版
第（ ）周 观察期：□
复数的运算与参数方程
1、 认识复数的概念及其运算性质 2、 了解极坐标方程与参数方程
教学设计方案
XueDa PPTS Learning Center
5、 （2010 年辽宁文）设 a , b 为实数，若复数 A. a
3 1 ,b 2 2
1 2i 1 i ，则（ a bi 1 3 B. a 3, b 1 C. a , b 2 2
1 2i （ i 为虚数单位） z z z ，则
）
1 mii 2 是纯虚数，则 m （
B. 1 C. 2
D.
1 2
）
9、 a “
2 ”是“复数 z a 2 4 a 1i a, b R 为纯虚数”的（
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条
A.充分不必要条件 C.充要条件
10、如果复数 A.
C． x y 0或x 1
2 2
例 3．点 M 的直角坐标是 (1, 3) ，则点 M 的极坐标为（ A． (2,
）
3
)
B． (2,
3
)
C． (2,
2 ) 3
D． (2, 2k
3
), (k Z )
第 4 页/共 8 页
教学设计方案
XueDa PPTS Learning Center
B. 8 2i
D. 4 i
1 i 3、 （2010 年福建文） i 为虚数单位， 1 i
A. i B. i
等于（ C. 1
） D. 1
4、 （2010 年湖南文）1.复数 A． 1 i B.
2 1 i 1 i
等于（
） C.
1 i
D.
1 i
第 3 页/共 8 页
C．
）
2 3
B．
2 3
3 2
D．
3 2
例 2．直线
x 3 4t (t为参数) 的斜率为______________________。 y 4 5t
例 3．已知直线 l1 :
x 1 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x 4 y 5 相交于点 B ，又点 A(1, 2) ， y 2 4t
）
）
6、复数
i 在复平面内的对应点到原点的距离为（ 1 i 1 2 A. B. C. 1 2 2
D.
2
7、设 z
1 i （ i 为虚数单位） z 是 z 的共轭复数，则 z z ，
B. 1 i C. 3 i ）
A. 1 i 8、设复数 A. 1
2 的值为（ z D. 3 i
例 4．极坐标方程 cos 2sin 2 表示的曲线为（ A．一条射线和一个圆 B．两条直线
） D．一个圆
C．一条直线和一个圆
例 5．圆 5cos 5 3sin 的圆心坐标是（ A． ( 5,
）
4 ) 3
B． (5,
3
)
C． (5,
3
)
D． ( 5,
5 ) 3
C.1
z
等于（
）
A.
1 4
B.
1 2
D.2
9、 （2010 年浙江文）设 i 为虚数单位，则 A. 2 3i B. 2 3i
5i 1 i
C. 2 3i
D. 2 3i
极坐标方程与参数方程 极坐标方程
x 2 sin 2 ( 为参数) 化为普通方程为（ 例 1．将参数方程 2 y sin
） D. a
1, b 3
。
6、 （2010 年上海）若复数 z
7、 （2010 年天津文） i 为虚数单位，复数 A. 1
2i
B. 2 4i
3i 等于（ 1 i C. 1 2i
，则
） D. 2 i
8、 （2010 年海、宁文）已知复数 z
3 i (1 3i)2
教学 过程
若 a, b, c, d
R ，则 a bi c di 的充要条件是 a c 且 b d
。
5、复数共轭的充要条件： 若 a, b, c, d
R ，则 a bi 与 c di 共轭的充要条件是 a c 且 b d 。
通常复数 z 的共轭复数记作 z 。
复数的练习题
1、若复数 z A. 1 i ，则 ） 1 i i （ i 为虚数单位） z 的共轭复数 z （ B. 1 i C. 1 i D. 1 i
2 i 2 （ i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ 2、复数 z
1 i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
，则 3 3i z 6i （ i 为虚数单位） z （ B.
3 3 i 2 2
3 3 i 2 2
C.
3 3 i 2 2
）
3 3 i 2 2
15、如果复数 A.
m
2
i 1 mi 是实数，则实数 m （
B.
2
2
C. 1
D. 1
16、设复数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz1 A.第一象限