48、复数中方程问题.doc

三、复数中的方程问题【教学目标】1．掌握判别式小于零的实系数一元二次方程的复数根的求法． 2．掌握一元二次方程根与系数的关系并能用于解决一些方程根的问题． 3．在解决问题的过程中体会转化与分类讨论的数学思想的应用．【教学重点】一元二次方程的根的讨论．【教学难点】含字母系数的方程根的情况的讨论，x 31 的根的应用．【教学过程】 一．知识整理1．实系数一元二次方程的根的情况设方程 ax 2 bxc 0 （ a ， b ， c R 且 a 0 ），判别式△ b 2 4ac ．（1）当△0 时，方程有两个不相等的实数根：x 1bb 2 4ac bb 2 4ac2a， x 22a ．（2）当△0 时，方程有两个相等的实数根：x 1 x 2 b．（3）当△0 2a时，方程有两个共轭虚根：x 1b4ac b 2 i b4ac b 2 i2a， x 22a ．2．代数式 a 2 b 2 （ a ， b R ）的因式分解利用 | z |2z z ，有 a 2 b 2(a bi )( a bi )3．复系数一元二次方程根与系数的关系 设方程 ax 2bx c 0 （ a ， b ， c C 且 a 0 ）的两个根为 x 1 ， x 2 ，则x 1 x 2bx 1 x 2a ．ca4．方程 x 31的根方程x 31 有三个根，11 ， x 21 3i ， x 31 3i ．若记1 3i ，x 222222则 有性质：31（3 n1， n Z ），2， 1 20．二．例题解析【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算【题目】在复数范围内分解因式． （1） a 4 b 4 ；（2）1 x2 x3 ．2【解答】解：（ 1）a 4b 4( a 2 b 2 )( a 2 b 2) ( )( )( a bi )( a bi )．a b a b （2）1 x2 x3 1 ( x 2 2x 6) 1[( x 1) 2 ( 5) 2 ]2 2 21 ( x 1 5 )( x 1 5 ) ．2 i i【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】（1）若 3 2i 是实系数方程 2x 2 bx c 0 的根，求实数 b 与 c ； （2）若 32i 是方程 2x 2 bx c4i0 的根，求实数 b 与 c ．【解答】(3 2i )b(3 2i )解；（ 1）由题意， 32i 是方程的另一根，则2 ，(3 2i )(3c2i )2所以 b 12 ， c 26 ．（2）将 32i 代入方程得 2(32i )2b(3 2i ) c 4i 0 ，整理得，10 3b c 0 b 10 (10 3b c) (20 2b)i 0，所以2b，解得．20 c20【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算 【题目】（1）已知 x 2x1 0 ，求 x30x 40 x 50 的值．（2）若 a 2a 1 0 ，求 a171a 17 的值．【解答】解：（ 1）由 x2x 1 0，得 x13i ，所以 x 31，2 2所以 x 30x 40 x 501 x x 20 ．（2）由 a2a 1 0 ，得 a1 3i ，22当 a13i 时，则 a（1 3i ）， a 3 1，a 17 ( )17172 ，2 2221 1，所以 a 171 (2)1 ．a 172a 17同理可得，当 a1 3i 时，也有 a 171 1．22a 17【属性】高三，复数，复数中的方程问题，证明题，中，逻辑思维【题目】证明：在复数范围内，方程| z |2 (1 i ) z (1 i )z5 5i （ i 为虚数单位）无解．2 i【解答】证明：原方程化简为 | z |2(1 i )z (1 i )z 1 3i ，设 z x yi （ x ， y R ），代入上述方程，得 x 2y 2 2xi2yi1 3i ，所以 x 2y 2 1，消去 y ，整理得2x2y 38x 212x 5 0 ，此方程的判断式△( 12) 2 4 8 516 0 ，故 x 无实数解．所以，原方程在复数范围内无解．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知关于 x 的二次方程x 2( 2a 1) x a 20 有虚根，且此根的三次方是实数，求实数a的值．【解答】解法一：设方程的虚根为m ni（m，n R 且 n 0 ），由 ( m ni ) 3为实数，得 n 3m ，m(1 3i ) ，由根与系数的关系，得2m (2a 1)所以方程的虚根为4m2 a 2，消去 m ，得4a2 4a 1 a 2 ， 4a 2 3a 1 0 ，解得a 1或 a 1 ．4解法二：设方程的虚根为z1，则另一虚根为 z2 z1，因为 z13 R ，所以z13 z133z23，z13 z23 z2 )( z12 z1 z2 z22 )z1 0 ， (z1 0 ，因为 z1 z2，所以 z12 z1 z2 z22 0 ，即 ( z1 z2 ) 2 z1 z2，由根与系数的关系，( 2a 1) 2 a 2 ， 4a 2 3a 1 0 ，解得a 1或 a 1 ．4三．课堂反馈【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】若 3 2i 是方程2x2bx c 0 （b，c R ）的一个根，则c_________．【解答】答案： 26【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】已知 2 ai ， b i 是实系数一元二次方程x2px q 0 的两根，则p_________ ，q____________．【解答】答案： 4 ， 5【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】若是方程 x31的一个虚根，则(1 2 )(1 2 )___________．【解答】答案： 4【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，中，运算【题目】在复数范围内解方程：| z |2 ( z z)i 3 i（ i 为虚数单位）．2 i【解答】解：原方程化简为| z |2 ( z z)i 1 i ，设z x yi （x，y R ），代入上述方程，得x 2 y 2 x 12 2i ，所以1，解得2，x y 2xi 12x 1 3y i2所以，原方程的解为z 1 3i 或 z 13i ．2 2 2 2四．课堂小结1．实系数一元二次方程，在判别式小于零时，有一对共轭虚根（虚根成对）．利用这一点，在已知一根的情况下，就可以知道另一根，再结合根与系数的关系，就使问题得到简化．2．由于实系数一元二次方程在复数范围必有两根，因此在复数范围内二次多项式的因式分解一定可以分到一次式的乘积．3．如果方程的系数含有虚数，则不能用△来判断方程有无实根，共轭虚根定理也不成立，但根与虚数的关系仍成立．这类题如果给出方程有实根的条件，可用复数相等的充要条件转化为实数方程组求解．所以说，复数问题实数化总是解决复数问题的基本策略．五．课后作业【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，填空题，易，运算【题目】在复数范围内分解因式：（1）x2 2x 16 ____________________．（2）x2 2x cos 1 _________________________．【解答】答案：（ 1）( x115i )( x 115i )（ 2）( x cos i sin )( x cos i sin )【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】设一元二次方程 2x 2ax b 1 0 （ a ，b R ）的一个虚根是 1i ，则实数a__________，b _________．【解答】答案： 4 ， 3【属性】高三，复数，复数开平方问题，填空题，易，运算【题目】复数 3 4i 的平方根为______________．【解答】答案： 2 i ， 2 i【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】已知方程 x 2(4 i ) x 4 ai 0 （a R）有实根 b ，且 z a bi ，求z．【解答】解： z 2 2i ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，选择题，中，运算【题目】方程 z | z | 1 3i 中 z 的解是（）A．13 i2 2B．1 3i C． 4 3i D．4 3i2 2【解答】答案： C【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】已知实数 p 满足不等式2x1 0 ，试判断方程z2 2z 5 p 20有无实数根，并给出x 2证明．【解答】解；由已知 2 p 1 ，所以 1 p 2 4 ，所以方程z2 2z 5 p 2 0 的判别式2 4△ 4 4(5 p2 ) 4( p 2 4) 0 ，所以原方程无褛根．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】在复数范围内解方程x3 6 3x22x ．【解答】解：把原方程化为x3 1 3x2 2 x 5 ( x 1)( x2 x 1) (x 1)(3x 5) ，( x 1)( x 2 4x 6) 0，解得 x1 1， x2 2 2i ， x3 2 2i ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知关于 x 的方程 x2 x m 0 （m R ）的两根为、．（1）若| | 3，求 m 的值；（2）若| | | | 3 ，求 m 的值．【解答】解：（ 1）因为|| 3 ，所以 ||29 ，所以 | ()24| 9 ， |1 4m |9 ，解得 m 52 ．或 m21（2）①当、为实数，即 1 4m 0 ， m 时，4(| | | |) 2 9 2 2 2 | | 9 ( )2 2 2 | | 91 2m2 | m | 9 ，当0 m 1时无解；当m 0 时， m 2 ．41②当、为一对共轭虚数时，即时，，由 | | | | 3 ，可知m3 9 4| | ，则 m | |2 ．29 4综上， m 2 或 m ．4【题目资源】【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算【题目】1．在复数范围内分解因式（1）x4 16 ；（2）x2 2x 5 ；（3）x3 8 ．【解答】解：（ 1）x4 16 ( x2 4)( x 2 4) (x 2)( x 2)( x 2i)( x 2i) ．（2）x 2 2x5 (x1) 2 22 (x1 2i)(x1 2 )．i（3）x 3 8x323 (x2)(x2 2x4) (x2)(x1 3i)(x1 3 )．i2．若实系数一元二次方程x2ax b 0 有一个虚根为2i ，则a_______，b______．【解答】答案： 0 ， 4【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】关于复数 z 的方程 | z |22zi 1 2i 的解集是________________．【解答】答案： { 1 , 1 2i }【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】方程 x2kx 2 0 有一个根是1i ，则它的另一个根是_________．【解答】答案： 1 i【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】a 为实数，方程2x28x a 1 0 的一个虚根的模是 5 ，则 a__________ ．【解答】答案： 9【属性】高三，复数，复数中的方程问题，选择题，易，运算【题目】方程z2 | z | 0 的复数解有（）A．1 个 B ． 2 个 C ． 3个D．无数个【解答】答案： C【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】已知方程 3 0 （ a ，b R ）有一个根为．x ax b 1 （1）求a，b满足的关系式；（2）若此方程的另两个根为虚数，求实数a 的取值范围．【解答】解：（ 1）由题意，1 a b 0 ，即 a b 1．（2）由（ 1），b a 1，故方程变为x3 ax a 1 0 ，即 (x 3 1) a( x 1) 0 ，( x 1)( x2 x 1) a(x 1) 0 ， ( x 1)( x 2 x 1 a) 0 ，所以方程的另两根就是方程x 2 x 1 a 0的两根，故△0 ，即 1 4(1 a) 0 ， a 3 ．所以，实数 a 的取值范围是 3 , ．4 4【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】已知方程 x 24x k 0 有一个虚数根为12i ，求 k 的值．【解答】解：由 x 24x k 0 ，得 k x24x ，将x 1 2i 代入，得 k 74i ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，中，运算【题目】设、是方程x27 x m 0 的两个虚根，且| | | | 8 ，则实数 m________．【解答】答案： 16由题意，、是共轭虚数，所以 2 | | 8 ， | | 4，于是 | |216 ，即m16 ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】已知关于 x 的方程 ax2(1 2i) x 2a(1 i ) 0 有实根，求实数 a 的值．【解答】解：设方程实根为x0，则 ax02(1 2i )x02a(1 i )0 ，即 (ax02 x0 2a) (2x0 2 a)i 0 ，所以ax02 x0 2a 0 ，所以 x0 a ，所以x0 a 0a 3 3a 0 ，解得a 0 或a 3 或 a 3 ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】若虚数 z 满足 z38 ，求 z22z 3 的值．【解答】解：由已知， z3 8 z3 23 ( z 2)( z2 2z 4) 0 ，因 z 为虚数，故 z2 2z 4 0 ，所以 z2 2z 3 1．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】在复数范围内解关于 x 的方程 x 2 5 | x | 6 0 ．【解答】解：若 x 为实数，则原方程可化为(| x | 2)(| x | 3) 0 ，解得x 2 ， x 3 ．若 x 为虚数，设x a bi （a, b R 且 b 0 ），原方程化为(a bi) 2 5 a 2 b 2 6 0 ,所以 a 2 b2 5 a 2 b2 6 0，因为 b 0 ．故 a 0 ，b2 5 | b | 6 0 ，2ab 0(| b | 6)(| b | 1) 0 ，b 1 ．所以，原方程的解为 2 ， 2 ， 3 ， 3 ， i ，i ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】10解关于 z 的方程| z | z ．1 2i【解答】解：原方程可化为| z | z 2 4i ，设z a bi （a, b R ），则原方程可化为a 2 b2 (a bi ) 2 4i a2 b2 a 2，解得 a 3 ， b 4 ．b 4所以，原方程的解z 3 4i ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】方程 x2(tan i )x ( 2 i) 0 中，为锐角，若实数a是方程的一个解，求与a的值．【解答】解：由题意， a 2 (tan i )a (2 i ) 0 ， a2 a tan2 ( a 1)i 0，所以 a 2 a tan 2 0，解得a 1，．a 1 0 tan 1所以，4， a 1．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】已知复数 w 满足 w 4 (3 2w)i ，z 5| w 2 | ，求一个以z为根的实系数一元二次w方程．【解答】解：由 w 4 (3 2w)i ，所以 w(1 2i ) 4 3i ，w 2 i5| i | 3 i ，，所以 z2 i故另一根为 3 i ，设所作方程为x2 px q 0 ，则 p (3 i ) (3 i ) 6 ，q (3 i )(3 i) 10 ，所以所求方程为x2 6x 10 0 ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，逻辑思维【题目】关于 x 的实系数方程2x 23ax a2 a 0 至少有一个模为1的根，求实数 a 的值．【解答】解：①当根x 为实数时， 9a2 8(a 2 a) 0 ， a2 8a 0 ，a 8 或 a 0 ．由 | x | 1 x 1 ．当 x 1 时，a2 2a 2 0 ， a 无实数解；当x 1 时，a 2 4a 2 0 ，解得 a 2 2 ．②当根 x 为虚数时，8 a 0，| x | 1 x x 1 ，即 a 2 a 1， a 2 a 2 0，解2得 a 1或 a 2 （舍去）．综上，a 1 ，或 a 2 2 或 a 2 2 ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，逻辑思维【题目】若 z C ，关于x的一元二次方程x2zx 4 3i 0 有实根，求复数z 的模的最小值．【解答】解： zx x 2 4 3i ，当x 0时，此等式不成立，故 x 0 ．所以，3i ， | z |x 2 282 x225z x 4 4 3 x 2 25 8 3 2 x x x x x2 x 2所以，当 x 2 25 ， x 5 时， | z | 取最小值 3 2 ．x2【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知△ABC 顶点为直角坐标分别为A( a , 4) ， B(0 , b) ， C (c , 0) ．若虚数x 2 ai （ a 0 ）是实系数一元二次方程x2 cx 5 0 的根，且 A 是钝角，求 b 的取值范围．【解答】解：由已知，虚数x 2 ai 也是实系数一元二次方程x2 cx 5 0的根，所以(2 ai) ( 2 ai) c1 ， c 4 ，则 A 、 C 的坐标为A(1 , 4) ， C 4 , 0)(2 ai)(2 ai ) 5 ，解得a ，所以 AB ( 1 ,b 4) ， AC (3 , 4) ，因 A 是钝角，故AB AC 13 4b0 ，16．所以 b 的取值范围是13 , 16 16 ,．又当 AB ， AC 共线时， b3 4 3 3【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，逻辑思维【题目】已知关于 x 的方程 x22x a 0 （a R）有两个根、，求|| | |的最小值．【解答】解：①当△ 4 4a 0 即 a 1 时，、是实数， (| | | |) 2 2 2 2 || ( ) 2 2 2 | | 4 2(| a | a) ．当 0 a 1时，(| | | |) 2 恒为4 ；当a时， (| | | |) 2 4 ．即a 1 时， | | | |的最小值为 2 ．② 当△ 4 4a 0 ，即 a 1 时，、是一对共轭虚数，故 | | | | 2 | | 22 a 2 ．综上， | | | |的最小值为 2 ，取得最小值时 a 的取值范围是 [ 0 , 1] ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，数学探究【题目】已知复数 z1， z2满足条件 | z1 | 2， | z2 | 2 ，是否存在非零实数m ，使得z1 z2 1 和1 mz1 z2 同时成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．m【解答】z11z1 z21z2 m，故 z1， z2是方程 x2 1 x 1解：据题意，得m ，即0 的z1 z2 1 z1 z2 1 m mm m两个根．（1）当△0 即 m 1 且 m 0 时，z1 ， z2 R ，记f (x) x2 1 x 1 ，4 m mf ( 2) 0 f (2) 0则 | z1 | 2 ， | z2 | 2 21，解得m 32 ．2m 4m 1且 m 0 4（2）当△0 ，即 m 1 时， z1、 z2为一对共轭虚数，则| z1 |2 z1 z2 1 ，由 | z1 | 2 ，得114 m4 ，所以 m ．m341 1 1综上，当 m z2 z2或 m 时， z1 和 z1 同时成立．4 4 m m。