麦克斯韦方程组的复数形式
麦克斯韦方程组的复数形式
移电流密度Jd 的物理意义如何？是否符合物理事实？
下面将进一步讨论。
时变场的安培环路定律也具有积分形式，即:
H dl C
J dS
S
S Jd dS I Id
（5-12）
式中，I 和Id分别为穿过回路 C所围区域的真实电流
（传导电流和运流电流）和位移电流。
对安培环路定律和位移电流的诠释：
如图5.1所示。
n B
s
C
图5-1 感应电动势的正方向和磁通的方向
回路附近的磁感应强度为，穿过回路的磁通 S BdS
于是（5-2）可以写成
in
d dt
B dS
S
（5-3）
二、法拉第电磁感应定律的积分与微分形式
从一般意义上讲，电流是电荷的定向运动形成的，
而电荷的定向运动往往是电场力对其作用的结果。 所以，当磁通量发生变化时导体回路中产生感应电 流，这一定预示着空间中存在电场。这个电场不是 电荷激发的，而是由于回路的磁通量发生变化而引 起的，它不同于静电场。当一个单位正电荷在电场 力的作用下绕回路c一周时，电场力所做的功为
第五章 时变电磁场
主要内容：
本章在介绍法拉第电磁感应定律及位移电流假 说之后，导出麦克斯韦方程组和它在电磁边界上的 形式，再由麦克斯韦方程组的限定形式，导出坡印 廷定理及波动方程；在引入动态位的概念之后，导 出动态位所满足的达朗贝尔方程，并通过其解的物 理意义，引入滞后位；在介绍时谐场的复数表示之 后,介绍麦克斯韦方程组、坡印廷定理、波动方程 及达朗贝尔方程的复数形式。最后，介绍电与磁的 对偶性 。
♠ 感应电场是有旋场，其旋涡源为 B ，即磁场随
时间变化的地方一定会激发起电场，并t 形成旋涡状
电磁场与电磁波概念复习资料
一、判断1. 安培环路定理中，其电流I 是闭合曲线所包围的电流；2. 恒定磁场是无源、有旋场； P1113. 体电荷密度的单位是C/m3； P344. 面电荷密度的单位是C/m2； P355. 线电荷密度的单位是C/m ； P356. 体电流密度的单位是A/m2 ；P367. 面电流密度的单位是A/m ； P378. 矢量场A 的散度是一个标量；9. 如果0F ∇∙=，则F A =∇⨯； P2710. 如果0F ∇⨯=，则F u =-∇ ；P2611. 判断回路中是否会出现感应电动势，则看回路所围面积的磁通是否变化； P6312. 静电场的电容C 比拟恒定电场的电导G ；13. 静电场的电位移矢量D 比拟恒定电场的电流密度J ；P10814. 静电场的介电常数ε比拟恒定电场的电导率σ；P10815. 时变电磁场的能量以电磁波的形式进行传播； P17216. 在无源空间中，电流密度和电荷密度处处为0； P17217. 坡印延定理描述的是电磁能量守恒关系； P17618. 电导率为有限值的导电煤质存在损耗； P20519. 在理想导体内不存在电场强度和磁场强度；20. 弱导电煤质的损耗很小； P20821. 在两种煤质的分界面上，存在面电流分布时，磁场强度H 的切向分量不连续； P7922. 在两种煤质的分界面上，不存在面电流分布时，磁场强度H 的切向分量连续； P7923. 在两种煤质的分界面上，电场强度E 切向分量连续； P7924. 在两种煤质的分界面上，磁感应强度B 的法向分量连续； P7925. 在两种煤质的分界面上，存在面电荷时，电位移矢量D 的法向分量不连续； P7926. 在两种煤质的分界面上，不存在面电荷时，电位移矢量D 的法向分量连续； P7927. 无旋场，其场量可以表示为另一个标量场的梯度； P2628.无散场，其场量可以表示为另一个矢量场的旋度；P2729.梯度的定义与坐标系无关，但具体表达式与坐标系有关；P1230.均匀平面波在理想介质中，其本征阻抗是实数；P19731.时谐电磁场中，电场强度的复数表达式中不含时间因子；P18232.载有恒定电流的两个回路之间存在相互作用力；P4533.电偶极子是相距很小距离的两个等值异号的点电荷组成的电荷系统；P4034.麦克斯韦方程表明：时变电场产生磁场，时变磁场产生电场；P7035.静态电磁场是电磁场的一种特殊形式；P8936.静电场最基本的性质是对静止电荷有作用力，表明静电场有能量；P10037.回路中的感应电动势等于穿过回路所围面积磁通量的时间变化率；P6338.静电场和恒定磁场都属于静态电磁场；P8939.在静态场情况下，电场强度可用一个标量电位来描述P90；磁感应强度可用一个矢量磁位来描述；P11140.要在导电煤质中维持恒定电流，必须存在一个恒定电场；P10641.由麦克斯韦方程可以推导建立电磁场的波动方程；P17242.位移电流= 时变电场；P7043.电磁能量是通过电磁场传输的；44.应用最多的是时谐电磁场；P18045.均匀平面波在理想介质中，电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（TEM波）；电场和磁场的振幅不变；波阻抗为实数；电场与磁场同相位；电磁波的相速与频率无关；电场能量密度等于磁场能量密度；P19646.均匀平面波在导电煤质中，电场、磁场与传播方向之间相互垂直，仍然是横电磁波（TEM波）；电场与磁场的振幅呈指数衰减；波阻抗为复数，电场与磁场不同相位；电磁波的相速与频率有关；平均磁场能量密度大于平均电场能量密度；P20747.电磁波在良导体中，衰减常数随频率、煤质的磁导率和电导率的增加而增大；P20948.趋肤效应是良导体中的电磁波局限于导体表面附近区域；P20949.散度定理是体积分到面积分的变化；P2050.斯托克斯定理是面积分到线积分的变化；P2451.在无损耗煤质中，电磁波的相速与波的频率无关；52.标量场的梯度是一个矢量；P1353.高斯定理中，电场强度由闭合曲面内的电荷确定；54.均匀平面波在理想导体表面发生透射；55.反射系数和透射系数的差为1；P24456.在两种煤质中间插入四分之一波长的匹配层是为了消除煤质1的表面上的反射；P24057.静态场中的边值问题分为三类。
电磁波 损耗媒质中的电磁波
损耗媒质中的电磁波
亥姆霍兹方程 无限大导电媒质中的均匀平面波
引言 平面电磁波
实际空间充满了各种不同电磁特性的介质。电 磁波在不同介质中传播表现出不同的特性。人们 正是通过这些不同的特性获取介质或目标性质性 的理论依据。因此电波传播是无线通信、遥感、 目标定位和环境监测的基础。
时谐场：场量随时间按正弦规律变化的电磁场。 时谐场也称为正弦电磁场。 正弦电磁波在工程上应用广泛，有如下特点：
1 场相位超前磁场相位 arctan 。 2
小结：无限大导电媒质中电磁波的特性：
1、为横电磁波（TEM波）， E 、 、k 三者满足右手螺旋关系 H
2、电磁场的幅度随传播距离的增加而呈指数规律减小； 3、电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位； 4、是色散波。波的相速与频率相关。
2
,
在弱导电媒质中，仍存在能量损耗，波的相位常数近 似等于理想媒质中波的相位常数，
【例】计算频率100Hz,1MHz,10GHz的电磁波在金属 铜中的趋肤深度。 解：金属铜的电导率σ =5.8×107/欧· 米
1
1
1
1
f
1
1 6.6mm 7 7 π 100 4π 10 5.8 10
我们用趋肤深度(穿透深度)来表征良导体中趋肤效应的强弱。
1/ e 趋肤深度 ：电磁波穿入良导体中， 当波的幅度下降为表面处振幅的 时，波在良导体中传播的距离，称为 jkz 趋肤深度。 e
1
e
z j z
e
f
2、弱导体中的电磁波
1
1
e
在良导体中， 1，则前面讨论得到的 ， 近似为
麦氏方程的复数形式
坡印廷定理的推导和意义
(E H ) H ( E) E ( H )
H ( B ) E (J D)
t
t
H B E J E D
t
t
(E H ) H B E J E D
t
t
将上式两端进行体积分,
V
(E
H
)dv
V
H
B t
E
D t
E
J
dv
利用散度定理： (E H )dv (E H ) ds
说明：瞬时值若为正弦形式，先将正弦形式变成余弦，再取复数 的实部；也可以直接正弦等于复振幅的虚部，如书上的过程， 但计算过程取实部或是虚部要保证统一。
例 在自由空间某点存在频率为5 GHz的时谐电磁场, 其磁场 强度复矢量为
H ey 0.01e j(100 /3)z ( A / m)
(1)求磁场强度瞬时值H(t); (2)求电场强度瞬时值E(t)。
0
D
H dl l
(H1t H2t )l I
t
ds I 0 I Jsl
电场强度切向连续
an E1 E2 0
E1t E2t
对于理想介质边界 E1t E2t 对于理想导体边界 E1t 0
磁场强度切向条件
an H1 H2 JS
H1t H2t JS
对于理想介质边界 H1t H2t
对于理想导体边界 H1t J S
上述边界条件的含义可归纳如下: ①任何分界面上E的切向分量是连续的; ②在分界面上若存在面电流， H的切向分量不连续, 其差等于 面电流的线密度; 否则, H的切向分量是连续的; ③在分界面上有面电荷, D的法向分量不连续, 其差等于电荷面 密度; 否则, D的法向分量是连续的; ④任何分界面上B的法向分量是连续的。
麦克斯韦方程组是电磁学的基本方程
的坐标为x,y,z，矩形微分表面平行于x)面，边长分别为dx,海，如图二均所示，沿矩形微分表面绕路径一周，如图中箭头所示.尸点的磁感应强度为B，则离尸点dx处的磁感应强度为
_口B，
Ii +丁dx，离P点d下处的磁
v夕
感应强度为
}B .d一B.(一jdy)+B.(、i、)+}B、aB dx1.(、;、)+
:。于E } ds一。应用于一长方平、、六面体的
微分体积元，它包含点P,在该点及其附近)存在一电场，点P的坐标为x,y,z，平行六面体的边长分别为dx,
dy,dz，如图一},b图)所示.把平行六面体背面的表面积矢量写成:
dy
(a)
图一
ds = -i海dz，负号表示规定ds指向朝外的法线方向.对于平行六面体的前面，有ds =+i海dz，若背面的电
V .B=0 }8)
V xB=刀。￡。
}xE__aB
日t
二._。，、1aB
、x wx引=-curl (-)二
日t
日__._、，__aE
一}urlti)囚刀c urlti刁}nEn—
日t’-一日t!!
‘12
成护︸成护︸
则}x}}x日=
a2E
一}oEoa万
，根据8)式和divE=0, }ZE=
按上面同样方法可以证明B满足同样的方程}ZB = }o自
设角频率为、，电磁场对时间的依赖关系是。oswt，用复数形式表示为:E(二，t)一E}x)。一、‘，B}x,t)一B}x)e-iwx
将其代入方程} 7}至}0}式，消去公共因子。-L1Ot后得到:
军X}=i wB，军XB=-iwN.,aE}军·E =0，军·8=0
复矢量形式麦克斯韦方程
J (r ) j (r )
亥姆霍兹方程的复数表示──无源波动方程
瞬时矢量
2 E E 0 2 t 2 H 2 H 2 0 t
2
复矢量
理想介质
2 E k E 0 2 2 H k H 0
B 表示为 t
B( x, y, z) 0
这就是时谐场的麦克斯韦方程。
时谐矢量引入复矢量表示后，两时谐矢量叉积的时间平均值计算也 可简化为取实部运算。
Er, t Hr, t 1 Re Er H * r 2
时谐场量的数学表示
时谐场量的实数表示（瞬时表示）
对时谐场，平均坡印廷矢量可由场矢量的复数形式计算：
式中： E、 H 为场量的复数表达式； 为对场量 H H 取复数共轭运算。
1 Sav Re[ E H ] 2
坡印廷矢量
Poynting定理表示闭合空间区域V内电磁场 能量守恒和转化的关系式，其中
S EH
c j
复磁导率的虚部也是与磁损耗相对应的。 对于导磁媒质，其损耗角正切定义为
tan m
损耗越小的介质，其损耗角正切值越小。良好媒质的损耗角 正切在10-3以下。且研究表明金属导体的电导率在直到红外线 的整个射频范围内，均可看成实数且与频率无关。
例 海水电导率 4 S / m ，相对介电常数 r 81 。求海水 在 f 1kHz 和 f 1GHz 时的等效复介电常数。
当频率较低时，媒质的极化损耗常常可以忽略。
当介质的电导率为不为零的有限值，此时介质存在欧姆损耗。
对于线性、均匀、各向同性的媒质，在没有场源的空间，麦 克斯韦第一方程的复数形式为
电磁场与电磁波公式总结
电磁场与电磁波公式总结电磁场与电磁波复习第一部分知识点归纳第一章矢量分析1、三种常用的坐标系（1）直角坐标系微分线元：dz a dy a dx a R d z y x →→→→++= 面积元：===dxdy dS dxdz dS dydzdS zyx，dxdydz d =τ（2）柱坐标系长度元：===dz dl rd dl drdl z r ??，面积元======rdrdz dl dl dS drdz dl dl dS dz rd dl dl dS z zz r z r ，体积元：dz rdrd d ?τ=（3）球坐标系长度元：===?θθ?θd r dl rd dl dr dl r sin ，面积元：======θθ?θθθ??θθ?rdrd dl dl dS drd r dl dl dS d d r dl dl dS r r r sin sin 2，体积元：?θθτd drd r d sin 2=2、三种坐标系的坐标变量之间的关系（1）直角坐标系与柱坐标系的关系==+====z z x y yx r z z r y r x arctan,sin cos 22 （2）直角坐标系与球坐标系的关系=++=++====z yz y x z z y x r r z r y r x arctan arccos ,cos sin sin cos sin 222 222?θθ?θ?θ （3）柱坐标系与球坐标系的关系=+=+====??θθ??θ22'22''arccos ,cos sin z r z zr r r z r r 3、梯度（1）直角坐标系中：za y a x a grad z y x ??+??+??=?=→→→μμμμμ（2）柱坐标系中：za r a r a grad z r ??+??+??=?=→→→μμμμμ?1（3）球坐标系中：μθθμμμμ?θ??+??+??=?=→→→sin 11r a r a r a grad r 4.散度（1）直角坐标系中：z A y A x A A div zy X ??++??=→（2）柱坐标系中：zA A r rA r r A div zr ??++??=→1)(1 （3）球坐标系中：θθθθ?θ??++??=→A r A r A r rr A div r sin 1)(sin sin 1)(122 5、高斯散度定理：→→→→=??=?ττττd A div d A S d A S，意义为：任意矢量场→A 的散度在场中任意体积内的体积分等于矢量场→A 在限定该体积的闭合面上的通量。
复矢量形式麦克斯韦方程
2 A k 2 A J
2
k
2
(k )
复介电常数和复磁导率
复介电常数
在正弦电磁场中，复介电常数是一个复数，可以表示为
c j
其虚部总是大于零的正数，反映媒质的极化损耗。媒质单位 体积的极化损耗平均功率为
复矢量形式的麦克斯韦方程
引入
E、B
的复矢量后，麦克斯韦方程
E(x,
y,
z,t)
t
B(x,
y,
z,t)
可写为
Re E(x, y, z)e jt Re jB(x, y, z)e jt
因为算符只对空间求导数，所以运算与取实部运算 Re 可调换次序，即
描述电磁场能量流动的物理量。代表单位时间内流出封闭面S的能
量, 即流出S面的功率。坡印廷矢量的大小表示单位时间内通过垂
直于能量传输方向的单位面积的电磁能量。坡印廷矢量的方向即为 电磁能量传播方向。
复坡印廷矢量
S
1
E
H
*
2
它的实部表示功率流密度
S(r,
t )的时间平均值，虚部为无功功率流密度。
场量的复数形式：E E0e j
场量的瞬时形式：E E0 cos(t )
场量的复数形式转换为实数形式的方法：
E E0e j e j t E0e j(t )取实部 E0 cos(t )
麦克斯韦方程的复数表示──复矢量Maxwell方程
麦克斯韦方程组微分形式
D(r) (r)
B(r) 0
J (r) j (r)
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C
E dl ( Ein Ec ) dl
C
B dS S t
（5-7） （5-8）
E ( Ein Ec ) Ein
B t
♠ 当导体回路 C以速度运动 v 时，利用关系式
和 B 0，可以得到
d B B d S dS S S dt t
显然这个结果应该是正确的）。 假定非静态情况下方程 H J仍然成立，对此方程 边取散度，有 ( H ) J 。利用恒等式 ( A) 0, 得J 0 （一个结果是在假定静态场的安培环路定律 在非静态时仍然成立的条件得出的）。 解决矛盾的方法:必须对静态情况下所得到的安培 环路定律作相应的修正。 修正的思路： 1. 在方程的右边加入一个附加项 J d ,即有 H J J d , 且J d 满足 (J J ) 0 ; 2. 加入的 J d 应该具有合理的物理意义。
Ein
这就是，是时变场的一个基本方程，同时也是麦克 斯韦方程组中的一个方程。对法拉第电磁感应定律 的解释：
B t
(5-6)
♠ 式中的电场强度 Ein 是因磁场随时间变化而 激发的，称为感应电场。 ♠ 感应电场是有旋场，其旋涡源为 B ，即磁场随 t
时间变化的地方一定会激发起电场，并形成旋涡状
第五章 时变电磁场
主要内容： 本章在介绍法拉第电磁感应定律及位移电流假 说之后，导出麦克斯韦方程组和它在电磁边界上的 形式，再由麦克斯韦方程组的限定形式，导出坡印 廷定理及波动方程；在引入动态位的概念之后，导 出动态位所满足的达朗贝尔方程，并通过其解的物 理意义，引入滞后位；在介绍时谐场的复数表示之 后,介绍麦克斯韦方程组、坡印廷定理、波动方程 及达朗贝尔方程的复数形式。最后，介绍电与磁的 对偶性 。
当回路静止时，磁通量的变化是因磁场随时间 d 变化而引起的，时间导数 dt 可以换成时间偏导数 t， 并且可以移到积分内，故有
C
Ein dl
B dS S t
(5-5)
2. 法拉第电磁感应定律的微分形式 利用斯托克斯公式， C A dl S A dS 并考虑到回路 c(或面积s)的任意性，得
的改变，即
in
(5-2) 式中负号即表示回路中感应电动势的作用总是要阻 止回路中磁通量的变化。这里已规定：感应电动势 的正方向和磁力线的正方向之间存在右手螺旋系。 设任意导体回路围成的曲面为，其单位法向矢量为， n 如图5.1所示。
B
d dt
s
C
图5-1 感应电动势的正方向和磁通的方向
5.1 法拉第电磁感应定律 一、 法拉第电磁感应定律 感应电动势：法拉第发现当穿过导体回路的磁 通量发生变化时，回路中就会出现感应电流，表明 此时回路中存在电动势，这就是感应电动势 。
著名的法拉第电磁感应定律：法拉第发现进一步 的研究发现，感应电动势的大小和方向与磁通量的 变化有密切关系。
当通过导体回路所围面积的磁通量 发生变化时 回路中就会产生感应电动势 in ，其大小等于磁通量 的时间变化率的负值，方向是要阻止回路中磁通量
回路附近的磁感应强度为，穿过回路的磁通 S B dS d 于是（5-2）可以写成 in dt S B dS （5-3） 二、法拉第电磁感应定律的积分与微分形式 从一般意义上讲，电流是电荷的定向运动形成的， 而电荷的定向运动往往是电场力对其作用的结果。 所以，当磁通量发生变化时导体回路中产生感应电 流，这一定预示着空间中存在电场。这个电场不是 电荷激发的，而是由于回路的磁通量发生变化而引 起的，它不同于静电场。当一个单位正电荷在电场 力的作用下绕回路c一周时，电场力所做的功为 C Ein dl 它等效于电源对电荷所做的功，即电源电动
势。此时电源电动势就是感应电动势 in , 有
in
C
Ein dl
（5-4）
时间的变化率，而磁通量变化的原因可以归结为两 个：回路静止（既无移动又无形变），磁场本身变 化；磁场不变，回路运动（包括位移和形变）。 1.法拉第电磁感应定律的积分形式
d 式（5-3） dt SB dS 右边的表示穿过面积s的磁通量随
时，其内部的电荷随之运动，导体中电荷受到的洛 伦兹力为 F qv B。显然，导体中的感应电场实际上 是导体中单位电荷所受的洛仑兹力，同时也可以说 明，感应电场是由于电荷在磁场中运动而形成的。
5.2 位移电流
矛盾分析:
★静态下: E 0 ， B E ★★非静态下: (法拉第电磁感应定律所揭 t 示的一个极为重要的电磁现象—变化的磁场可以激 发电场)。 ★静态下，安培环路定律 H J ， ★★非静态下，安培环路定律是否也有所变化呢？如 果发生变化，又会产生什么物理现象呢？ 0 J 0 ★★非静态情况下, t 再由电荷守恒定律 t 0 得 J （这一个结果是由电荷守恒定律得到的，而 电荷守恒定律是大量试验总结出的普遍规律，显然这
d v dt tFra bibliotekC
(B v ) dl
（5-9）
等式右边的两个积分分别对应着磁场变化和导体运 动的贡献。当磁场不随时间变化时，有
C
E dl
d B dS dt S
C
(v B ) dl
（5-10）
比较等式两边，E
F v B。得当导体在磁场中运动 q
的电场分布。故又称 Ein为涡旋电场。
♠ 式（5-6）虽然是对导体回路得到的，但是它对任意
回路（不一定有导体存在）同样成立。 ♠ 当磁场随时间的变化率为零时，有 Ein 0,这与静 电场所得的形式完全相同，因此静电场实际上是时 变电场的特殊情况。 如果空间中还存在静止电荷产生的库仑电场 Ec , 则总电场为 E Ein Ec ，这时