课题复数范围内解方程

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复变函数联系题库参考答案

复变函数综合测试题库（解答）一、选择题（单选题）1、复数z i =的幅角主值为（ C ）（A ）3π （B ）3π- （C ）6π- （D ）6π2、复数1cos sin ,0z i θθθπ=-+≤≤的模为（ A ）（A ）2sin 2θ （B ）2sin2θ- （C ）22cos θ- （D ）2cos 2θ-3、设z =，则z 的指数表示为（ B ）（A ）cossin44z i ππ=+ （B ）4i z eπ⋅= （C ）cossin44z i ππ=- （D ）4i z eπ-⋅=4、若ω是方程310z -=的一个非零复数根，则21ωω++=（ A ）（A ）0 （B ）i （C ）2ω （D ）ω-5、函数()f z z =在z 平面上（ C ）（A ）不连续（B ）连续且可导（C ）连续但处处不可导（D ）以上答案都不对 6、满足11z z -=+的点z 所组成的点集为（B ）（A ）Im 0z = （B ）Re 0z = （C ）Im 0z > （D ）Re 0z > 7、函数()f z u iv =+在区域D 内解析的充要条件是（ D ）（A ）,,,u u v vx y x y∂∂∂∂∂∂∂∂都在D 内连续（B ）在D 内,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （C ）,,,u u v v x y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂都在D 内存在，且,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （D ）,,,u u v v x y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂都在D 内连续，且,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 8、1(0)()nz a dz z a ρρ-=>-⎰的值为（ A ）（A ）当1n =时为2i π；当1n ≠时为0 （B ）0 （C ）2i π （D ）2n i π 9、1zz e dz z==⎰（ C ）（A ）0 （B ）2π（C ）2i π （D ）(2)(0,1,2,)k i k π+= 10、()f z 在复平面上解析且有界，则()f z 在平面上为（B ）（A ）0 （B ）常数（C ）z （D ）()nz n N ∈ 11、复级数1n n z ∞=∑收敛的必要条件是（ D ）（A ）对一切n ，0n z = （B ）存在一列自然数{}k n ，使得0kn z =（C ）lim 0n n z →∞≠ （D ）lim 0n n z →∞=12、幂级数11nn n z n∞=+∑的收敛半径为（A ）（A ）+∞ （B ）0 （C ）1 （D ）2 13、0z =为()sin f z z z =-的（ D ）（A ）极点（B ）非孤立奇点（C ）本性奇点（D ）3阶零点 14、设1()1zf z e =-，则0z =是()f z 的（ A ）（A ）1阶极点（B ）2阶极点（C ）可去奇点（D ）本性奇点 15、0z ≠∞是函数()f z 的可去奇点，则0Re (,)s f z =（ B ）（A ）0()f z （B ）0 （C ）2π （D ）2i π 16、若复数22z i =-，则z 的幅角主值为（ C ）（A ）2π （B ）2π- （C ）4π（D ）4π-17、复数1cos sin (0)z i θθθπ=++≤≤的模为（ A ）（A ）2cos 2θ （B ）2cos2θ- （C ）22cos θ+ （D ）2sin 2θ+18、设z =，则z 的指数表示为（ B ）（A ）cossin44z i ππ=+ （B ）4i z eπ⋅= （C ）cossin44z i ππ=- （D ）4i z eπ-⋅=19、若122ω=-+，则23ωωω++=（ A ）（A ）0 （B ）ω （C ）2ω （D ）ω- 20、函数()Re f z z =在z 平面上（ C ）（A ）不连续（B ）连续且可导（C ）连续但处处不可导（D ）以上答案都不对 21、下列哪些点集是区域（B ）（A ）Im 0z = （B ）1Re 2z >（C ）12z i ++≤ （D ）Re 0z ≥ 22、若()f z u iv =+，且在区域D 内满足,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂，则（ D ）（A ）()f z 在D 内解析（B ）()f z 在D 内不解析（C ）()f z 在D 内可微（D ）()f z 在D 内不一定可微23、113z dz z =-⎰的值为（ B ）（A ）2i π （B ）0 （C ）1 （D ）1- 24、1sin z zdz z==⎰（ A ）（A ）0 （B ）i π （C ）2i π （D ）2i π-25、若区域D 内解析函数()f z u iv =+满足00uxu y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，则()f z 在区域D 内为（B ）（A ）0 （B ）常数（C ）不一定为常数（D ）0v = 26、若复级数1n n z ∞=∑收敛，则（ D ）（A ）对一切n ，0n z ≠ （B ）存在一列自然数{}k n ，使得0kn z ≠（C ）lim 0n n z →∞≠ （D ）lim 0n n z →∞=27、幂级数11!nn z n ∞=+∑的收敛半径为（B ）（A ）+∞ （B ）0 （C ）1 （D ）2 28、0z =为()1cos f z z =-的（ D ）（A ）极点（B ）非孤立奇点（C ）本性奇点（D ）2阶零点29、设函数()f z 在00z z <-<+∞内解析，且0lim ()z z f z →=∞，则0z 是()f z 的（ B ）（A ）非孤立奇点（B ）极点（C ）本性奇点（D ）解析点 30、变换az bw cz d+=+（a ，b ，c ，d 为复常数）为分式线性变换的条件是（ A ）（A ）0ad bc -≠ （B ）0ad bc -= （C ）a bc d= （D ）a b c d ===31、复数1z =的幅角主值为（ C ）（A ）6π （B ）6π- （C ）3π（D ）3π-32、若ω是方程310z -=的一个非零复数根，则345ωωω++=（ A ）（A ）0 （B ）i （C ）2ω （D ）ω-33、下列等式正确的是（ B ）（A ）z z z ⋅= （B ）2z z z ⋅= （C ）2Im z z i z += （D ）2Re z z z -= 34、下列哪些函数在复平面上解析（ A ）（A ）sin z （B ）z （C ）2z （D ）Re z 35、满足11z z ->+的点z 所组成的点集为（B ）（A ）Im 0z < （B ）Re 0z < （C ）Im 0z > （D ）Re 0z > 36、使函数()f z u iv =+在区域D 内解析的柯西—黎曼条件是（B ）（A ）在D 内,u v u v x y y x ∂∂∂∂==∂∂∂∂ （B ）在D 内,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （C ）在D 内,u v u v x y y x ∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ （D ）在D 内,u v u v x y y x∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂ 37、设()f z 在区域D 内解析，且0{}U z z z D δ=-<⊂，在U 上()0f z =，则在D 内的（ D ）（A ）()f z 不恒为零（B ）()f z 为不为零的常数（C ）()f z 只有惟一的零点（D ）()0f z ≡38、1()nCdz z a -⎰（其中C 为包围点a 任意围线）的值为（ A ）（A ）当1n =时为2i π；当1n ≠时为0 （B ）0 （C ）2i π （D ）2n i π 39、21zz e dz z ==⎰（ C ）（A ）0 （B ）2π（C ）2i π （D ）i π 40、()f z 在复平面上解析且Re ()f z 有界，则()f z 在平面上为（B ）（A ）0 （B ）常数（C ）ze （D ）ln z41、在1z <内解析，在区间(1,1)-上具有展式0n n x ∞=∑的函数只能是（ D ）（A ）1(1)1z z <+ （B ）ln(1)(1)z z -< （C ）1(1)1z z <- （D ）1(1)1z z<-42、幂级数21121n n z n -∞=-∑的收敛半径为（B ）（A ）+∞ （B ）1 （C ）0 （D ）2 43、若1()cosf z z i=+，则z i =-是()f z 的（ D ）（A ）可去奇点（B ）非孤立奇点（C ）极点（D ）本性奇点 44、若()()g z f z z a=-，且()g z 在点a 解析，()0g a ≠，则Re (,)s f a =（ A ）（A ）()g a （B ）2()ig a π （C ）0 （D ）()g a '45、变换(01)1z aw a a z-=<<-⋅把单位圆1z <保形映射成（ B ）（A ）上半平面Im 0z > （B ）单位圆1w < （C ）下半平面Im 0z < （D ）1w > 46、arg(34)i -+=（ C ）（A ）3arctan4π-（B ）3arctan 4π+ （C ）4arctan 3π- （D ）4arctan 3π+ 47、若ω是方程31z =的一个非零复数根，则下列哪些也是此方程的根（ A ）（A ）ω （B ）ω- （C ）2ω- （D ）i48、下列等式不正确的是（ B ）（A ）2z z z ⋅= （B ）1212arg arg arg z z z z ⋅=+（10z ≠，20z ≠）（C ）1212rg rg rg A z z A z A z ⋅=+（10z ≠，20z ≠）（D ）arg arg (0)z z z =-≠ 49、下列哪些函数在复平面上不解析（ A ）（A ）sin z （B ）cos z （C ）chz （D ）ze -50、设{Im 2,Re 3}E z z z =<<，则E 一定是（B ）（A ）无界区域（B ）有界单连通区域（C ）多连通区域（D ）闭区域 51、使函数()f z u iv =+在区域D 内解析的充要条件是（B ）（A ）u ，v 在D 内具有一阶连续的偏导数（B ）u ，v 在D 内可微，且在D 内满足柯西—黎曼条件（C ）u ，v 在D 内具有一阶偏导数，且在D 内满足柯西—黎曼条件（D ）u ，v 在D 内在D 内满足柯西—黎曼条件52、设()f z 在复平面上解析，且C 为不通过原点的围线，则()Cf z dz z=⎰（ D ）（A ）2(0)i f π⋅ （B ）(0)f （C ）0 （D ）0或2(0)i f π⋅53、11cos z dz z==⎰（ A ）（A ）0 （B ）1 （C ）2i π （D ）i π54、若()f z 在区域D 内满足 ()0f z '=，则()f z 在区域D 内必为（ C ）（A ）0 （B ）z （C ）常数（D ）ze55、()f z 在复平面上解析且Im ()f z 有界，则()f z 在平面上为（B ）（A ）0 （B ）常数（C ）ze （D ）ln z 56、在复平面上解析，在区间[0,1]上等于sin x 的函数只能是（ D ）（A ）sin()2z π+ （B ）sin()z π+（C ）sin iz （D ）sin z57、若幂级数1nn n a z ∞=∑的收敛半径0R >，则在闭圆()z r R ≤<上1nn n a z ∞=∑（B ）（A ）不绝对收敛（B ）一致收敛且绝对收敛（C ）绝对收敛但不一致收敛（D ）一致收敛但不绝对收敛 58、0z =为21cos ()zf z z-=的（ D ）（A ）本性奇点（B ）非孤立奇点（C ）二阶极点（D ）可去奇点59、函数1()z e f z z-=在0z =处的留数为（ A ）（A ）0 （B ）2i π （C ）1 （D ）i π 60、变换z iw z i-=+把上半平面Im 0z >保形映射成（ B ）（A ）上半平面Im 0z > （B ）单位圆1w < （C ）下半平面Im 0z < （D ）1w > 61、若复数1z i =-，则z 的幅角主值为（ A ）（A ）4π-（B ）4π（C ）34π- （D ）34π 62、若21z =-，则z 等于（ B ）（A ）i - （B ）i ± （C ）i （D ）1±63、下列点集是区域的是（ C ）（A ）1{Im }2z z = （B ）{1}z z = （C ）1{Im }2z z > （D ）2{1}z z = 64、设()f z x yi =-（,x y R ∈），则（ D ）（A ）()f z 在z 平面上解析（B ）()f z 在0z =可导（C ）()f z 在z 平面上处处可导（D ）()f z 在z 平面上连续 65、设()f z u iv =+，且在区域D 内满足柯西—黎曼条件，则（ A ）（A ）()f z 在D 内不一定解析（B ）()f z 在D 内解析（C ）()f z 在D 内可导（D ）()f z 在D 内一定不可导 66、下列哪些函数在z 平面上解析（B ）（A ）z （B ）cos z （C ）z （D ）ze 67、11cos z dz z==⎰（ C ）（A ）1 （B ）2i π （C ）0 （D ）1- 68、1zz e dz z==⎰（ D ）（A ）0 （B ）1 （C ）12iπ （D ）2i π 69、若()f z 在区域D 内解析，且Re ()f z =实常数，则()f z 在区域D 内为（ A ）（A ）复常数（B ）Re z （C ）z （D ）sin z 70、若()sin f z z =，则下列结论不成立的是（B ）（A ）()f z 为解析函数（B ）()f z 有界（C ）()f z 为周期函数（D ）()f z 有零点71、复级数0n n i ∞=∑（ C ）（A ）一定收敛（B ）等于11i- （C ）一定发散（D ）以上结论都不对 72、设幂级数为00()n n n a z z ∞=-∑，则（ D ）（A ）00()nn n a z z ∞=-∑仅在点0z 收敛（B ）00()n n n a z z ∞=-∑在全平面上收敛（C ）00()nn n a z z ∞=-∑在点0z 不收敛（D ）00()n n n a z z ∞=-∑在点0z 收敛73、幂级数11n n n n z ∞=+⋅∑的收敛半径为（A ）（A ）0 （B ）+∞ （C ）1 （D ）2 74、幂级数1n n z ∞=∑在1z <内的和函数为（ B ）（A ）11z - （B ）1z z - （C ）11z + （D ）1z z+ 75、()1cos f z z =-以0z =为（ C ）（A ）一阶零点（B ）一阶极点（C ）二阶零点（D ）二阶极点 76、设()f z 在00z z R <-<内解析，且0lim ()z z f z →=∞，则0z 是()f z 的（ D ）（A ）零点（B ）可去奇点（C ）非孤立奇点（D ）极点 77、若21cos ()zf z z-=，则0z =必为()f z 的（ A ）（A ）可去奇点（B ）零点（C ）本性奇点（D ）二阶极点 78、若∞是函数()f z 的可去奇点，则Re (,)s f ∞=（ B ）（A ）0 （B ）不一定为0 （C ）不存在（D ）以上结论都不对 79、若1()zf z e =，则Re (,0)s f = （ C ）（A ）∞ （B ）0 （C ）1 （D ）以上答案都不对 80、映射322w z z =+在点z i =处的伸缩率为（ D ）（A （B ）（C ）25 （D ）581、若复数1z i =-+，则z 的幅角主值为（ A ）（A ）23π （B ）23π- （C ）6π- （D ）6π 82、若31z =且Im 0z >，则z 等于（ B ）（A ）1 （B ）122i -+ （C ）122+ （D ）122--83、下列点集不是区域的是（ C ）（A ）{Im 0}z z > （B ）{Re 0}z z < （C ）{1}z z i ≤+ （D ）{1}z z > 84、设()f z i z =⋅，则（ D ）（A ）()f z 在z 平面上处处不连续（B ）()f z 在z 平面上解析（C ）()f z 为整函数（D ）()f z 在z 平面上处处不解析 85、设()f z u iv =+，则使得()f z 在区域D 内解析的柯西—黎曼条件是（ A ）（A ）,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （B ）,u v u v x y y x ∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ （C ）,u v u v x y y x ∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂ （D ）,u v u v x y y x∂∂∂∂==∂∂∂∂ 86、在z 平面上处处不解析的函数是（B ）（A ）z （B ）Im z （C ）cos z （D ）sin ze87、13z zdz z ==-⎰（ C ）（A ）2i π- （B ）2i π （C ）0 （D ）1 88、21sin z z dz z==⎰（ D ）（A ）2i π （B ）1 （C ）i π- （D ）089、若()f z 在区域D 内解析，且()f z =实常数，则()f z 在区域D 内为（ A ）（A ）复常数（B ）0 （C ）z （D ）ze 90、若()zf z e =，则下列结论不成立的是（B ）（A ）()f z 为整函数（B ）()f z 非周期函数（C ）()f z 无零点（D ）()f z 无界 91、幂级数0!nn n z ∞=⋅∑的收敛半径为（ C ）（A ）+∞ （B ）1（C ）0 （D ）以上结论都不对92、设幂级数为0nn n a z ∞=∑的收敛半径0R >，则此幂级数的和函数（ D ）（A ）在z R <内不连续（B ）在z R <内不解析（C ）在z R <内不能逐项求导（D ）在z R <内可逐项积分93、在1z <内解析，且在区间(1,1)-上具有展式0(1)n n n x ∞=-⋅∑的函数只能为（A ）（A ）11z + （B ）11z - （C ）211z + （D ）211z- 94、若1()cos f z z i=+，则z i =-为()f z 的（ B ）（A ）极点（B ）本性奇点（C ）可去奇点（D ）非孤立奇点 95、2()(1)z zf z e =-以0z =为（ C ）（A ）可去奇点（B ）本性奇点（C ）一阶极点（D ）二阶极点 96、若()()z f z z aϕ=-，且()z ϕ在点a 解析，则Re (,)s f a =的（ D ）（A ）0 （B ）()a ϕ' （C ）2()i a πϕ'⋅ （D ）()a ϕ97、22()1ize f z z =+在z i =的留数为（ A ）（A ）2i i e --（B ）0 （C ）12i e -- （D ）112e -- 98、ln(1)z +在0z =处的幂级数展开式为（ B ）（A ）1n n z n ∞=∑ （B ）11(1)n n n z n ∞-=-∑ （C ）1(1)n n n z n ∞=-∑ （D ）0!n n z n ∞=∑99、变换1i z iw ei zθ-=+⋅（θ为实常数）把单位圆1z <保形映射成（ C ）（A ）上半平面Im 0z > （B ）下半平面Im 0z < （C ）1w < （D ）1w > 100、变换i z iw ez iθ-=+（θ为实常数）把上半平面Im 0z >保形映射成（ D ）（A ）左半平面Re 0z < （B ）右半平面Re 0z > （C ）上半平面Im 0z >（D ）1z <二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、若12ω=-是方程31z =的根，则下列哪些值不为21ωω++的值（B 、C 、D ）（A ）0 （B ）i （C ）i - （D ）2ω 2、复数1cos sin z i θθ=-+（0θπ<<）的模为（ A 、B ）（A ）2sin2θ （B（C ）2(1cos )θ- （D ）2sin2θ-3、下列点集哪些是区域（A 、C ）（A ）Im Re(1)z i >+ （B ）0arg 4z π<≤（C ）1Im 2z << （D ）Im 3z =4、若()Re f z z =，则下列结论正确的是（ A 、B ）（A ）()f z 在z 平面上连续（B ）()f z 在z 平面上处处不解析（C ）()f z 在z 平面上解析（D ）()f z 仅在0z =处解析 5、若1()1f z z=+，则下列结论正确的是（ A 、C 、D ）（A ）Re (,0)1s f = （B ）2Re (,0)1s f = （C ）2Re (,0)2s f = （D ）Re (,0)0s z f ⋅=6、若ω不是方程31z =的虚数根，则下列哪些值也一定不是此方程的根（A 、B 、C 、）（A ）ω （B ）3ω （C ）1- （D ）ω-7、复数z =的指数表示形式为（ A 、C ）（A ）4i z e π-⋅= （B ）4i z eπ⋅= （C ）(2)4i k z eππ-⋅+= （k Z ∈）（D ）(2)4i k z eππ⋅+= （k Z ∈）8、设{1Im 1,1Re 1}E z z z =-<<-<<，则E 一定不能是（B 、C ）（A ）有界单连通区域（B ）有界闭区域（C ）无界区域（D ）区域9、下列哪些函数在全平面上不解析（B 、C 、D ）（A ）sin z （B ）z （C ）Re z （D ）2z 10、若1()sinf z z=，则0z =为()f z 的（ A 、B ）（A ）本性奇点（B ）孤立奇点（C ）可去奇点（D ）极点三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、复数(3)(2)(3)(2)i i z i i +-=-+的模z =1。

复数与方程

复数与方程重点难点:一元二次方程一、二项方程:形如(a0, a n∈C,a n≠0, n∈N)的方程基本解法:化为的形成，利用复数开方求出它的根。

例1．在复数集中解下列方程解1)法1、求方程的解，即求复数的4次方根，∵∴其4次方根为(k=0,1,2,3)∴原方程的解为下面4个复数:法2、求方程的解，即求复数的4次方根。

∵由知1-i为的一个4次方根，∴由复数的次方根的几何意义有的其余三个4次方根分别为:∴方程的解分别为1+i, -1+i, -1-i, 1-i。

解2) 令,∴,∴解之有,∴原方程的根为2-i或-2+i。

注:解二项方程实质就是求一复数的次方根，所以要注意一复数Z的次方根的几种基本求法:<一>，则可用公式(k=0,1,2,……,n-1)求其n个n次方根。

如例(1)解法1，此n个复数的几何意义是复平面上n个点，这n个点均匀分布在以原点为圆心，以为半径的圆上，组成一个正n边形。

<二> 若能由已知中找出个Z的n次方根Z0，则可由n次方根的几何意义求其余n-1个n个次根如下:, 。

如例(1)解法2。

<三>若Z的辐角非特殊值，不好转化为三角形式或也不好看出Z的n次方根时，则可以考虑用n次方根的定义利用代数形式及复数相等直接求。

如例(2)。

二、一元二次方程1. a,b,c∈R时基本解法时，两不等实根可由求根公式求出，时，两相等实根。

可由上面公式求出，时，两互为其轭虚根，可由求根公式求出。

另:韦达定理仍成立。

2. a,b,c∈C时基本解法判别式定理不成立，所以不能由此判别根的情况。

但可由求根公式, δ是b2-4ac的一个平方根另:韦达定理仍成立。

例2．在复数集中解方程。

解:∵，∴=，∴原方程的根为。

注:∵(x-1)(x2+x+1)=x3-1∴x2+x+1=0的根也是x3=1的根，即1的两个立方虚根。

记,则，其有如下特征:①；②；③；④；⑤要注意此特征，并能灵活运用其解决有关问题。

【方法指导】复数常用的几种处理方法(苏教版选修1-2)

复数常用的几种处理方法数的扩充，带来了复数的引入，从而解决了我们所遇到的一些新问题．下面举例来谈谈复数问题的处理策略．一、数形结合例1、若121==z z 且221=+z z ，求21z z -．分析：由已知条件不难联想到本题所隐含的“形”是12z z +和21z z -是以1OZ u u u u r 和2OZ u u u u r为两邻边的平行四边形的两条对角线的长．解：如图1所示，由121==z z ，221=+z z 知四边形为正方形．故另一条对角线长221=-z z ．点拨：这样巧妙地以形译数，数形结合不需要计算就解决了问题，充分显示了数形结合的思想方法在解题中的作用．例2、若复数53=-i z ，求2+z 的最大值和最小值．分析：利用复数的几何意义求最值．解：如图2，满足53=-i z 的复数z 所对应的点是以()3,0C 为圆心，5为半径的圆．2+z 表示复数z 所对应的点Z 和点()0,2-A 的距离，由题设z 所对应的点在圆周上，而此圆周上的点到点A 距离的最大值与最小值是过A 的圆的直径被A 点所分成的两部分． ∴()()13300222=-+--=AC ，∴1352,1352min max -=++=+z z ．点拨：利用复数的几何意义解题，形象直观，提高数形结合的解题能力．二、待定系数法例3、已知,x y 为共轭复数，且2()346x y xyi i +-=-，求,x y . 分析：解决此类问题的基本方法是设复数的代数形式，化虚为实.图1 图2解：设(x a bi a =+、)b R ∈，则y a bi =-，代入原式，得222(2)3()46a a b i i -+=-，根据复数相等得22244,3()6,a ab ⎧=⎪⎨-+=-⎪⎩解得1,1;a b =⎧⎨=⎩ 或1,1;a b =⎧⎨=-⎩ 或1,1;a b =-⎧⎨=⎩或1,1;a b =-⎧⎨=-⎩∴所求复数为1,1;x i y i =+⎧⎨=-⎩或1,1;x i y i =-⎧⎨=+⎩或1,1;x i y i =-+⎧⎨=--⎩ 或1,1.x i y i =--⎧⎨=-+⎩点拨：利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想. 例4、已知|2|2z -=，且4z R z+∈，求z . 解：设(z a bi a =+、)b R ∈，则|(2)|2a bi -+=.①依题意，得22222244()44()()()()a bi a ba bi a bi ab i a bi a b a b a b-++=++=++-++++. 4z R z +∈Q ,∴224(1)0b a b-=+.②由①、②，得0,2;b =⎧=或224, 2.a b ⎧+=⎪= 解得0,0a b =⎧⎨=⎩（舍）；4,0;a b =⎧⎨=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1234,11z z z ∴===.三、取模法例5、已知||2z z i +=+，求||z .解：由题设知2||z z i =-+,两边同时取模，得||z =平方，得22||44||||1z z z =-++.||||z z =Q ,4||5z ∴=,5||4z =,5||4z ∴=. 点拨：显然，上述两边取模的方法从整体的角度来处理，比利用复数相等的充要条件来处理要简捷得多.例6、已知z 、ω为复数，(13)i z +为纯虚数，2ziω=+，且||ω=ω. 分析：设(z a bi a =+、)b R ∈，利用复数为纯虚数的充要条件求得z ，再代入求ω. 解法1：设(z a bi a =+、)b R ∈，则(13)3(3)i z a b a b i +=-++.由题意，得30a b =≠.||2ziω==+Q||z ∴==将3a b =代入，解得15a =±,5b =±.故15(7)2ii iω+=±=±-+. 解法2：由题意，设(13),0i z ki k +=≠，且k R ∈，则(2)(13)kii i ω=++.||ω=Q 50k ∴=±.故(7)i ω=±-.四、方程思想例7、在复数范围内解方程23||()2iz z z i i-++=+（i 为虚数单位）. 解：原方程化简为2||()1z z z i i ++=-.设(z x yi x =+、)y R ∈，代入上述方程得 2221x y xi i ++=-,221,2 1.x y x ⎧+=∴⎨=-⎩解得1,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩ ∴原方程的解是122z =-±. 点拨：本题主要考查复数方程等知识，一般是设出代数形式，利用复数相等的充要条件转化为代数方程.例8、已知2{(3)(1),8}M a b i =++-，集合2{3,(1)(2)}N i a b i =-++同时满足M N M ⋂Ø，M N ⋂≠∅，求整数,a b .解：依题意得：2(3)(1)3a b i i ++-=，① 或28(1)(2)a b i =-++，②由①得，3,2a b =-=±，经检验，3,2a b =-=-不合题意，舍去. 3,2a b ∴=-=.由②得，3,2a b =±=-，又3,2a b =-=-. 3,2a b ∴==-.综合①、②得3,2a b =-=或3,2a b ==-..点拨：此题中复数之间的等量关系并未直接给出，而是通过集合之间的关系间接给出，因此复习时应注意知识之间的相互联系，解题时应注意思维的广阔性和严谨性的训练.五、转化思想例9、当实数m 为何值时，226(56)3m m z m m i m --=++++. （1）为实数；（2）为虚数；（3）为纯虚数；（4）复数z 对应的点在复平面的第二象限内.分析：根据复数的有关概念的定义，把此复数的实部与虚部分离开，转化为实部与虚部分别满足定义的条件这一实数问题去求解.解：（1）若z 为实数，则2560,30,m m m ⎧++=⎨+≠⎩得2m =-.（2）若z 为虚数，则2560m m ++≠，且30m +≠，得2m ≠-，且3m ≠-且m R ∈.（3）若z 为纯虚数，则2260,3560m m m m m ⎧--=⎪+⎨⎪++≠⎩得3m =.（4）若复数z对应的点在第二象限，则2260,3560m m m m m ⎧--<⎪+⎨⎪++>⎩3,23,3, 2.m m m m <--<<⎧⇒⎨<->-⎩或或 3,23m m ∴<--<<或.点拨：本题考查复数集中各数集的分类及复数的几何意义，本题中给出的复数采用的是标准的代数形式，若不然，则应先化为代数形式再依据概念求解.例10、计算：（1；（2）81()22i +-. 分析：（1）将45i +化为(54)i i -，使分子、分母可以约分，简化了运算.（2）找到括号内两个复数之间的内在联系：1()22i i +=-是简化运算的关键. 解：（1）原式=34222)(54)))])(54)(1)(1)(1)2i i i i i i ii i i i i i +-++====----+；（2）设ω=，则31ω=i ω=.∴原式=888()(1)i i ωωω+=+=6242(2)16i ωωω⋅==2116()822i --=-+. 点拨：（1）复数a bi +与b ai -及b ai -+有如下关系：b ai -=()()a bi i +⋅-，b ai -+=()a bi i +⋅本例的两个小题都运用了上述关系，达到了简化运算的目的.（2）分子分母同乘以1i +，使分母实数化，也是常用的化简技巧. 六、分类讨论例11、已知286z i =+，求310016z z z--. 分析：如果由题设求86i +的平方根z ，再代入计算，则会很复杂，所以可以先对所求式子进行变换，需要什么，再由已知条件求什么.解：原式=42222216100(8)164(6)164200200200||z z z i z zz z z z z zz-----===-=-=-， 22|||||86|10z z i ==+=Q ，又由2286[(3)]z i i =+=±+，得(3)z i =±+，3z i ∴=-或3z i =-+当3z i =-时，原式=200(3)602010i i ⨯--=-+.当3z i =-+时，原式==200(3)602010i i ⨯-+-=-.综上，原式=6020i -+或6020i -.点拨：（1）求一个数的平方根有两个基本方法：①设出代数形式，然后根据复数相等的充要条件求解；②配方，如上例中的解法.（2）对于条件求值问题，何时使用条件，应根据问题而定，一般情况下，应先化简再求值.例12、已知复数z 满足|4||4|z z i -=-且141zz R z -+∈-，求z 的值. 分析：确定一个复数需且仅需两个实数a 、b ，而题目恰给出了两个独立条件，采用待定系数法可求出a 、b 确定z .判断一个复数是否为实数除用定义外，还可用z R z z ∈⇔=，可使运算简化. 解：设(z x yi x =+、y R ∈），141zz R z -+∈-Q ，141411z z z z z z --∴+=+--，即13()[1]0(1)(1)z z z z --=--，解得z z =或2|1|13z -=将z x yi =+代入|4||4|z z i -=-，可得x y =，z x xi ∴=+当z z =时，即z R ∈，则有0x =；当2|1|13z -=时，即有260x x --=，则有3x =或2x =-.综上所述，0z =或33z i =+或22z i =--.点拨：注意熟练运用共轭复数的性质，其性质有： ||||z z =，2z z a +=，2z z bi -=，22||||z z z z ⋅==，12z z ±12z z =±，12z z ⋅12z z =⋅， 11222(0)z zz z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭.。

复数范围内实系数一元二次方程(19题)答案知识讲解

复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案）1、若实系数一元二次方程的一个根是13+，则这个方程可以是 228039x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++=2(x x3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ C ）(A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ∆=-≥ (C)1212,b c x x x x a a+=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由；(1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总有两个根．（ √ ）(2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另一个根是12i -．（ ⨯ ）(3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √）5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -⋅=+．解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+．由复数相等，有3133x y y x -=⎧⎨-=⎩，，解得543.4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z12i7、适合方程2560z z -+=的复数z ；若z R ∈，则25602,32,3z z z z z z -+=⇒==⇒=±=±若z 为虚数，设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则2()60a bi +-=222226026020a b a b abi ab ⎧⎪--=-+-=⇒⎨=⎪⎩2222606056010a b b b b b a ⎧⎪--=⇒⇒--=⇒+-=⇒=±⎨=⎪⎩所以，方程的解为2,2,3,3,,i i ---。

在复数范围内解方程

在复数范围内解方程在复数范围内解方程是一种常见的数学问题。

这种问题通常涉及到复数的运算和复数的性质。

下面将介绍如何在复数范围内解方程。

首先，我们需要了解什么是复数。

复数是由实数和虚数组成的数，通常用a+bi 的形式表示，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。

例如，3+4i就是一个复数。

当我们解复数方程时，我们需要将方程中的实数和虚数分别提取出来，然后进行运算。

例如，对于方程x²+2x+5=0，我们可以使用求根公式来求解：x = (-b ±√(b²-4ac)) / 2a其中，a、b、c分别是方程的系数。

将方程中的系数代入公式中，我们可以得到：x = (-2 ±√(-16)) / 2由于√(-16)是虚数，我们需要将其化简为虚数单位i的形式，即√(-16) = 4i。

因此，我们可以得到：x = (-2 ±4i) / 2化简得：x = -1 ±2i因此，方程的解为x=-1+2i或x=-1-2i。

在解复数方程时，我们还需要注意一些特殊情况。

例如，当方程中出现平方项时，我们可以将其化简为虚数单位i的形式，例如：x²+4x+13=0x = (-4 ±√(4²-4*1*13)) / 2化简得：x = (-4 ±2i) / 2x = -2 ±i另外，当方程中出现分式时，我们需要将分式中的分母有理化，例如：(2x+3)/(x-1) = 4+3i2x+3 = (4+3i)(x-1)化简得：x = (1+3i)/2 或x = (-5-i)/2总之，在解复数方程时，我们需要将实数和虚数分别提取出来，然后进行运算，最后将结果化简为虚数单位i的形式。

复数范围内解一元二次方程

复数范围内解一元二次方程解一元二次方程是高中数学中的基本知识，我们首先回顾一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0其中a、b、c为已知常数，x为未知数。

现在我们要求解的是一元二次方程在复数范围内的解。

在实数范围内，一元二次方程的解可以通过判别式来确定：Δ = b^2 - 4ac根据判别式的值，可以得到三种情况：1.如果Δ>0，则方程有两个不相等的实数解。

2.如果Δ=0，则方程有两个相等的实数解。

3.如果Δ<0，则方程没有实数解。

然而，在复数范围内，一元二次方程的解是可以存在的。

我们来详细讨论一下复数范围内一元二次方程的解的情况。

首先，我们假设方程有解x = p + qi (p和q为实数，i是虚数单位，i^2 = -1)。

将x代入方程，可以得到：a(p + qi)^2 + b(p + qi) + c = 0ap^2 + 2apiq - aq^2 + bp + bqi + c = 0令实部和虚部分别相等，我们可以得到两个方程：ap^2 - aq^2 + bp + c = 0 (1)2apiq + bqi = 0 (2)根据(2)式可得。

如果aq = 0，则可以得到两种情况：1. 如果a = 0，则方程退化为一元一次方程bx + c = 0，解为x = -c/b。

2. 如果q = 0，则代入(1)式可以得到ap^2 + bp + c = 0，这是一个一元二次方程，可以像在实数范围内解一样求解。

如果bp + c = 0，则(1)式可以化简为ap^2 - aq^2 = 0，即p^2 = q^2、这也是一个一元二次方程，可以类似地求解。

现在我们考虑aq≠0，进一步讨论两种可能的情况：1. 如果ap^2 - aq^2 + bp + c = 0，则可以将这个方程视为一个关于p的一元二次方程，可以求得p的值。

然后，将p代入到(2)式，可以解得q的值。

2. 如果a = 0，则方程退化为一元一次方程bp + c = 0，解为p = -c/b。

复数范围内解方程1

复数范围解方程（导学案）第9-10课时【教学目标】1.掌握实系数一元二次方程在复数范围的解的求法；2.提高学生通过探讨解决问题的能力；【教学重点难点】重点：系数一元二次方程在复数范围的解难点：△<0时方程有一对共轭复数的推导【教学用具】投影仪【自学评价】1. 探究：在复数集中解方程：2(,0)x c c R c =-∈> ① 方程①在复数集内有一对共轭复根12___;___.x x ==2. 探究：实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的求解问题(1). △>0时，方程有两不等的实根x=_____________；(2). △=0时，方程有两相等的实根x=_____________；(3). △<0时，方程有一对共轭复根x=_____________. 3. 探究：实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的求解问题，当△<0时，此时方程两根满足：(1).根与系数关系仍然成立：x 1+x 2=_____; x 1·x 2=______(2).两根互为共轭复数：如若一根为2+3i ,则另一根为_______【精典范例】例1 ：求下列方程的解(1).x 2+x+2=0 (2).x 3=1例2 ：若方程x 2+bx+c=0的一个解为2－i ，求实数b,c 的值例3：分解因式：x 2+2=____________ x 2+x+4=___________例4：若α，β是实系数方程x 2+mx+n=0的两个根，且α=212i 求实数m,n 的值【课内追踪】1实系数一元二次方程x 2+mx+n=0的一个根为－1+4i 则另一个根为_______,m=_________, n=___________2在复数范围内分解因式： x 2－2x+3=__________ 3已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5-+=w w z ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程.课外作业：1 求方程x 2－2ix ＋3=0的解 2求方程2z+z =6－5i 的解 3求方程z －1=(1＋3i)z ＋1的解。

48、复数中的方程问题

三、复数中的方程问题【教学目标】1．掌握判别式小于零的实系数一元二次方程的复数根的求法．2．掌握一元二次方程根与系数的关系并能用于解决一些方程根的问题． 3．在解决问题的过程中体会转化与分类讨论的数学思想的应用．【教学重点】一元二次方程的根的讨论．【教学难点】含字母系数的方程根的情况的讨论，13=x 的根的应用．【教学过程】一．知识整理1．实系数一元二次方程的根的情况设方程02=++c bx ax （a ，b ，R c ∈且0≠a ），判别式△ac b 42-=．（1）当△0>时，方程有两个不相等的实数根：aac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=．（2）当△0=时，方程有两个相等的实数根： ab x x 221-==．（3）当△0<时，方程有两个共轭虚根： ai b ac b x 2421-+-=，ai b ac b x 2422---=．2．代数式22b a +（a ，R b ∈）的因式分解利用z z z ⋅=2||，有))((22bi a bi a b a -+++3．复系数一元二次方程根与系数的关系设方程02=++c bx ax （a ，b ，C c ∈且0≠a ）的两个根为1x ，2x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+a c x x ab x x 2121．4．方程13=x 的根方程13=x 有三个根，11=x ，i x 23212+-=，i x 23213--=．若记i 2321+-=ω，则ω有性质：13=ω（13=n ω，Z n ∈），2ωω=，012=++ωω．二．例题解析【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算【题目】在复数范围内分解因式．（1）44b a -；（2）3212-+-x x ．【解答】解：（1）))()()(())((222244bi a bi a b a b a b a b a b a -+-+=+-=-．（2）3212-+-x x ])5()1[(21)62(21222+--=+--=x x x)51)(51(21i x i x --+--=．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】（1）若i 23+是实系数方程022=++c bx x 的根，求实数b 与c ；（2）若i 23+是方程0422=-++i c bx x 的根，求实数b 与c ．【解答】解；（1）由题意，i 23-是方程的另一根，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-++2)23)(23(2)23()23(c i i b i i ，所以12-=b ，26=c ．（2）将i 23+代入方程得04)23()23(22=-++++i c i b i ，整理得，0)220()310(=++++i b c b ，所以⎩⎨⎧=+=++02200310b c b ，解得⎩⎨⎧=-=2010c b ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】（1）已知012=++x x ，求504030x x x ++的值．（2）若012=+-a a ，求17171aa +的值．【解答】解：（1）由012=++x x ，得i x 2321±-=，所以13=x ，所以504030x x x ++012=++=x x ．（2）由012=+-a a ，得i a 2321±=，当i a 2321-=时，则ω-=a （i 2321+-=ω），13=a ，2171717)(ωωω-=-=-=a ，ωω-=-=21711a，所以1)(121717=+-=+ωωaa ．同理可得，当i a 2321+=时，也有111717=+aa．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，证明题，中，逻辑思维【题目】证明：在复数范围内，方程ii z i z i z +-=+--+255)1()1(||2（i 为虚数单位）无解．【解答】证明：原方程化简为i z i z i z 31)1()1(||2-=+--+，设yi x z +=（x ，R y ∈），代入上述方程，得i yi xi y x 312222-=--+，所以⎩⎨⎧=+=+322122y x y x ，消去y ，整理得051282=+-x x ，此方程的判断式△016584)12(2<-=⨯⨯--=，故x 无实数解．所以，原方程在复数范围内无解．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知关于x 的二次方程02)12(2=+++-a x a x 有虚根，且此根的三次方是实数，求实数a 的值．【解答】解法一：设方程的虚根为ni m +（m ，R n ∈且0≠n ），由3)(ni m +为实数，得m n 3±=，所以方程的虚根为)31(i m ±，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧+=+-=24)12(22a m a m ，消去m ，得 21442+=++a a a ，01342=-+a a ，解得1-=a 或41=a ．解法二：设方程的虚根为1z ，则另一虚根为12z z =，因为R z ∈31，所以()32313131z z z z ===，03231=-z z ，0))((22212121=++-z z z z z z ，因为21z z ≠，所以0222121=++z z z z ，即21221)(z z z z =+，由根与系数的关系，2)12(2+=+a a ，01342=-+a a ，解得1-=a 或41=a ．三．课堂反馈【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】若i 23+是方程022=++c bx x （b ，R c ∈）的一个根，则=c _________．【解答】答案：26【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】已知ai +2，i b +是实系数一元二次方程02=++q px x 的两根，则=p _________，=q ____________．【解答】答案：4-，5【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】若ω是方程13=x 的一个虚根，则=-++-)1)(1(22ωωωω___________．【解答】答案：4【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，中，运算【题目】在复数范围内解方程：ii i z z z +-=++23)(||2（i 为虚数单位）．【解答】解：原方程化简为i i z z z -=++1)(||2，设yi x z +=（x ，R y ∈），代入上述方程，得 i xi y x -=++1222，所以⎩⎨⎧-==+12122x y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=-=iy x 2321，所以，原方程的解为i z 2321+-=或i z 2321--=．四．课堂小结1．实系数一元二次方程，在判别式小于零时，有一对共轭虚根（虚根成对）．利用这一点，在已知一根的情况下，就可以知道另一根，再结合根与系数的关系，就使问题得到简化．2．由于实系数一元二次方程在复数范围必有两根，因此在复数范围内二次多项式的因式分解一定可以分到一次式的乘积．3．如果方程的系数含有虚数，则不能用△来判断方程有无实根，共轭虚根定理也不成立，但根与虚数的关系仍成立．这类题如果给出方程有实根的条件，可用复数相等的充要条件转化为实数方程组求解．所以说，复数问题实数化总是解决复数问题的基本策略．五．课后作业【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，填空题，易，运算【题目】在复数范围内分解因式：（1）=++1622x x ____________________．（2）=+-1cos 22θx x _________________________．【解答】答案：（1）)151)(151(i x i x -+++（2）)sin cos )(sin cos (θθθθi x i x +---【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】设一元二次方程0122=++-b ax x （a ，R b ∈）的一个虚根是i -1，则实数=a __________，=b _________．【解答】答案：4，3【属性】高三，复数，复数开平方问题，填空题，易，运算【题目】复数i 43-的平方根为______________．【解答】答案：i -2，i +-2【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】已知方程04)4(2=-+++ai x i x （R a ∈）有实根b ，且bi a z +=，求z ．【解答】解：i z 22--=．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，选择题，中，运算【题目】方程i z z 31||+=+中z 的解是（）A ．i 2321+B ．i 2321+C ．i 34+-D ．i 34-【解答】答案：C【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-pz z 有无实数根，并给出证明．【解答】解；由已知212-<<-p ，所以4412<<p，所以方程05222=-+-pz z 的判别式△0)4(4)5(4422<-=--=p p ，所以原方程无褛根．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】在复数范围内解方程x x x 23623-=+．【解答】解：把原方程化为523123--=+x x x ⇒)53)(1()1)(1(2-+=+-+x x x x x ，⇒0)64)(1(2=+-+x x x ，解得11-=x ，i x 222+=，i x 223-=．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知关于x 的方程02=++m x x （R m ∈）的两根为α、β．（1）若3||=-βα，求m 的值；（2）若3||||=+βα，求m 的值．【解答】解：（1）因为3||=-βα，所以9||2=-βα，所以9|4)(|2=-+αββα，9|41|=-m ，解得25=m 或2-=m ．（2）①当α、β为实数，即041≥-m ，41≤m 时，9|)||(|2=+βα⇒9||222=++αββα⇒9||22)(2=+-+αβαββα⇒9||221=+-m m ，当410≤≤m 时无解；当0<m 时，2-=m ．②当α、β为一对共轭虚数时，即41>m 时，αβ=，由3||||=+βα，可知23||=α，则49||2==⋅=αααm ．综上，2-=m 或49=m ．【题目资源】【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算【题目】1．在复数范围内分解因式（1）164-x ；（2）522+-x x ；（3）83+x ．【解答】解：（1）)2)(2)(2)(2()4)(4(16224i x i x x x x x x -+-+=+-=-．（2）)21)(21(2)1(52222i x i x x x x -+++=++=+-．（3）)31)(31)(2()42)(2(282333i x i x x x x x x x --+-+=+-+=+=+．2．若实系数一元二次方程02=++b ax x 有一个虚根为i 2，则=a _______，=b ______．【解答】答案：0，4【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】关于复数z 的方程i zi z 212||2+=-的解集是________________．【解答】答案：}21,1{i ---【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】方程022=-+kx x 有一个根是i +1，则它的另一个根是_________．【解答】答案：i +-1【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】a 为实数，方程01822=++-a x x 的一个虚根的模是5，则=a __________．【解答】答案：9【属性】高三，复数，复数中的方程问题，选择题，易，运算【题目】方程0||2=+z z 的复数解有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【解答】答案：C【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】已知方程03=++b ax x （a ，R b ∈）有一个根为1．（1）求a ，b 满足的关系式；（2）若此方程的另两个根为虚数，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题意，01=++b a ，即1-=+b a ．（2）由（1），1--=a b ，故方程变为013=--+a ax x ，即0)1()1(3=-+-x a x ，0)1()1)(1(2=-+++-x a x x x ，0)1)(1(2=+++-a x x x ，所以方程的另两根就是方程012=+++a x x 的两根，故△0<，即0)1(41<+-a ，43->a ．所以，实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛∞+-,43．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】已知方程042=+-k x x 有一个虚数根为i 21-，求k 的值．【解答】解：由042=+-k x x ，得x x k 42+-=，将i x 21-=代入，得i k 47-=．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，中，运算【题目】设α、β是方程072=+-m x x 的两个虚根，且8||||=+βα，则实数=m ________．【解答】答案：16由题意，α、β是共轭虚数，所以8||2=α，4||=α，于是16||2==αβα，即16=m ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】已知关于x 的方程0)1(2)21(2=--++i a x i ax 有实根，求实数a 的值．【解答】解：设方程实根为0x ，则0)1(2)21(020=--++i a x i ax ，即0)22()2(0020=++-+i a x a x ax，所以⎩⎨⎧=+=-+020020a x a x ax ，所以a x -=0，所以 033=-a a ，解得0=a 或3=a 或3-=a ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】若虚数z 满足83=z ，求322++z z 的值．【解答】解：由已知，0)42)(2(282333=++-=-=-z z z z z ，因z 为虚数，故0422=++z z ，所以1322-=++z z ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】在复数范围内解关于x 的方程06||52=+-x x ．【解答】解：若x 为实数，则原方程可化为0)3|)(|2|(|=--x x ，解得2±=x ，3±=x ．若x 为虚数，设bi a x +=（a ,R b ∈且0≠b ），原方程化为065)(222=++-+b a bi a ,所以⎪⎩⎪⎨⎧==++--020652222ab b a b a ，因为0≠b ．故0=a ，06||52=-+b b ，0)1|)(|6|(|=-+b b ，1±=b ．所以，原方程的解为2，2-，3，3-，i ，i -．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】解关于z 的方程iz z 2110||-=-．【解答】解：原方程可化为i z z 42||+=-，设bi a z +=（a ,R b ∈），则原方程可化为i bi a ba 42)(22+=--+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-+4222b a b a ，解得3=a ，4=b ．所以，原方程的解i z 43+=．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】方程0)2()(tan 2=+-+-i x i x θ中，θ为锐角，若实数a 是方程的一个解，求θ与a 的值．【解答】解：由题意，0)2()(tan 2=+-+-i a i a θ，0)1(2tan 2=+--⋅-i a a a θ，所以⎩⎨⎧=+=-⋅-0102tan 2a a a θ，解得1-=a ，1tan =θ．所以，4πθ=，1-=a ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】已知复数w 满足i w w )23(4-=-，|2|5-+=w wz ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程．【解答】解：由i w w )23(4-=-，所以i i w 34)21(+=+，i w -=2，所以i i iz +=-+-=3||25，故另一根为i -3，设所作方程为02=+-q px x ，则6)3()3(=-++=i i p ，10)3)(3(=-+=i i q ，所以所求方程为01062=+-x x ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，逻辑思维【题目】关于x 的实系数方程03222=-++a a ax x 至少有一个模为1的根，求实数a 的值．【解答】解：①当根x 为实数时，0)(8922≥--a a a ，082≥+a a ，8-≤a 或0≥a ．由1||=x ⇒1±=x ．当1=x 时，0222=++a a ，a 无实数解；当1-=x 时，0242=+-a a ，解得22±=a ．②当根x 为虚数时，08<<-a ，1||=x ⇒1=⋅x x ，即122=-a a ，022=--a a ，解得1-=a 或2=a （舍去）．综上，1-=a ，或22-=a 或22+=a ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，逻辑思维【题目】若C z ∈，关于x 的一元二次方程0342=++-i zx x 有实根，求复数z 的模的最小值．【解答】解：i x zx 342++=，当0=x 时，此等式不成立，故0≠x ．所以，i xxx z 34++=，23825282534||222222=+⋅≥++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=xx xx x x x z所以，当2225xx =，5±=x 时，||z 取最小值23．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知△ABC 顶点为直角坐标分别为)4,(a A ，),0(b B ，)0,(c C ．若虚数aix +=2（0>a ）是实系数一元二次方程052=+-cx x 的根，且A ∠是钝角，求b 的取值范围．【解答】解：由已知，虚数ai x -=2也是实系数一元二次方程052=+-cx x 的根，所以⎩⎨⎧=-+=-++5)2)(2()2()2(ai ai cai ai ，解得1=a ，4=c ，则A 、C 的坐标为)4,1(A ，())0,4C ，所以)4,1(--=b AB ，)4,3(-=AC ，因A ∠是钝角，故0413<-=⋅b AC AB ，又当AB ，AC 共线时，316=b ．所以b 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛∞+⎪⎭⎫⎝⎛,316316,413 ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，逻辑思维【题目】已知关于x 的方程022=++a x x （R a ∈）有两个根α、β，求||||βα+的最小值．【解答】解：① 当△044≥-=a 即1≤a 时，α、β是实数，=+2|)||(|βα||222αββα++)|(|24||22)(2a a -+=+-+=αβαββα．当10≤≤a 时，2|)||(|βα+恒为4；当0<a 时，4|)||(|2>+βα．即1≤a 时，||||βα+的最小值为2．② 当△044<-=a ，即1>a 时，α、β是一对共轭虚数，故αβαβα2||2||||==+22>=a ．综上，||||βα+的最小值为2，取得最小值时a 的取值范围是]1,0[．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，数学探究【题目】已知复数1z ，2z 满足条件2||1<z ，2||2<z ，是否存在非零实数m ，使得mz z 121=+和mz z 121=⋅同时成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=+m z z m z z 112121，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=+m z z m z z 112121，故1z ，2z 是方程0112=+-m x m x 的两个根．（1）当△0≥即41≤m 且0≠m 时，1z ，R z ∈2，记mx mx x f 11)(2+-=，则2||1<z ，2||2<z ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠≤<<->>-04122120)2(0)2(m m m f f 且，解得43-<m ．（2）当△0<，即41>m 时，1z 、2z 为一对共轭虚数，则mz z z 1||2121==，由2||1<z ，得41<m，所以41>m ．综上，当43-<m 或41>m 时，mz z 121=+和mz z 121=⋅同时成立．。

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【授课方式】教会学生学会使用函数csolve()解方程。

【教学时量】5分钟。

【教学目标】利用TI-NspireTM 图形计算器的强大代数功能可以解实
系数和复系数的方程。

【教学工具】
● Internet Access
● TI-nspire CAS 文件 - 复数范围内解方程.tns
● 机型：TI-Nspire CX 或者TI-Nspire CM
【应用过程】
无论是实系数还是复系数方程，都可以利用csolve()来解方程。

方法：按菜单，3：代数，C ：复数，1：求解。

或者直接键入命令
csolve()。

在求解命令括号里输入方程，以逗号隔开，输入未知数。

ENTER 确
认后，输出结果。