2007年广州中考数学试题+答案(word版)
2007年广州市初中毕业生学业考试数 学本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分．考试用时120分钟．第一部分 选择题（共30分）一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列四个数中，最小．．的数是（ ）． （A ）2－（B ）1－（C ）0（D ）22．下列立体图形中，是多面体的是（ ）．3．下列计算正确的是（ ）．（A ）33x x x ⋅= （B ）32x x x -= （C ）32x x x ÷= （D ）336x x x += 4．下列命题中，正确的是（ ）．（A ）对顶角相等 （B ）同位角相等 （C ）内错角相等 （D ）同旁内角互补5．以1,1x y =⎧⎨=-⎩为解的二元一次方程组是（ ）． （A ）0,1x y x y +=⎧⎨-=⎩ (B) 0,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩ （C ）0,2x y x y +=⎧⎨-=⎩ （D ）0,2x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 6．观察下列四个图案，其中为轴对称图形的是（ ）．(A) (B) (C) (D)（A ）（C ）（D ）（B ）7．抛物线221y x x =-+与x 轴交点的个数是（ ）． （A ）0（B ）1 （C ）2（D ）38．小明由A 点出发向正东方向走10米到达B 点，再由B 点向东南方向走10米到达C 点，则下面结论正确的是（ ）．（A ）∠ABC ＝22.5°（B ）∠ABC ＝45° （C ）∠ABC ＝67.5°（D ）∠ABC ＝135° 9．若关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ）．（A ）0p >且0q > （B ）0p >且0q < （C ）0p <且0q > （D ）0p <且0q < 10．如图1，⊙O 是△ABC 的外接圆，OD ⊥AB 于点D 、交⊙O 于点E ，∠C =60°， 如果⊙O 的半径为2，那么下列结论中错误．．的是（ ）． （A ）AD DB =(B) EB AE =（C ）1OD = （D ）3AB =第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11．化简：2-＝_ ____． 12．方程511x =+的解为_ ____． 13．线段AB ＝4cm ，在线段AB 上截取BC =1cm ，则AC =_ ____ cm ． 14．若代数式3x -有意义，则实数x 的取值范围为_ ____． 15．已知广州市的土地总面积约为7 434 km 2，人均占有的土地面积S （单位：km 2/人）随全市人口n （单位：人）的变化而变化，则S 与n 的函数关系式为_ __．16．如图2，点O 是AC 的中点，将周长为4cm 的菱形ABCD 沿对角线AC 方向平移AO 长度得到菱形OB C D '''，则四边形OECF 的周长．．为_ __cm ．A BO D CE图1图2F E D 'C 'B 'ODCBA三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分9分）请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式．2a ab b b ab--1，，+．18．（本小题满分9分）图3是一个立体图形的三视图，请根据视图写出该立体图形的名称并计算该立体图形的体积（结果保留π）．19．（本小题满分10分）甲、乙、丙三名学生各自随机选择到A、B两个书店购书．（1）求甲、乙两名学生在不同书店购书的概率；（2）求甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率．正视图左视图俯视图图310101020．（本小题满分10分）某中学初三（1）班50名学生参加1分钟跳绳的体育考试，1分钟跳绳次数与频数经统计后绘制下面的频数分布表（60～70的意义为大于等于60并且小于70，其余类似）和扇形统计图（如图4）：等级分数段1分钟跳绳次数段频数 （人数）A120254～400 0 110~120 224～254 3 B100~ll0 194～224 9 90~100 164～194 m C80~90 148～164 12 70~80 132～148 n D60~70116～132 2 0～600～116（1）求m 、n 的值；（2）求该班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比； （3）请根据频数分布表估计该班学生1分钟跳绳的平均分大约是多少，并说明理由．21．（本小题满分12分）如图5，在△ABC 中，AB =AC ，内切圆O 与边BC 、AC 、AB 分别切于点D 、E 、F ． （1）求证：BF =CE ；（2）若∠C =30°，CE =23，求AC 的长．图5OFED CBA 图41分钟跳绳各等级人数分布图C54%DB ACO AB xy图622．（本小题满分14分）如图6，一个二次函数的图象经过点A 、C 、B 三点，点A 的坐标为（1,0 ），点B 的坐标为（4,0），点C 在y 轴的正半轴上，且AB =OC ． （1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．23．（本小题满分12分）某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）门票按7折优惠．甲班有56名学生，乙班有54名学生．（1）若两班学生一起前往该博物馆参观，请问购买门票最少．．共需花费多少元？ （2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要有多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜？24．（本小题满分14分）一次函数y ＝kx +k 的图象经过点（1，4），且分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ．点P （a ，0）在x 轴正半轴上运动，点Q （0，b ）在y 轴正半轴上运动，且PQ ⊥AB ．（1）求k 的值，并在图7的直角坐标系中画出该一次函数的图象； （2）求a 与b 满足的等量关系式；（3）若△APQ 是等腰三角形，求△APQ 的面积．图7O1 xy25．（本小题满分12分）已知：在Rt △ABC 中，AB =BC ；在Rt △ADE 中，AD =DE ；连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ．（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图8-①， 求证：BM =DM 且BM ⊥DM ；（2）如果将图8-①中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图8-②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．MD BACE图8-①图8-②MDBACE2007年广州市初中毕业生学业考试数学试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题3分，满分30分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCACBBDAD二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题3分，满分18分.题号 11 12 13 141516 答案2x =433x ≥7434S n=2三、解答题：本大题考查基本知识和基本运算，及数学能力，满分102分. 17．本小题主要考查代数式的基本运算．满分９分. 解：本题共有六种答案，只要给出其中一种答案，均正确.21a ab b --()()()111a a b a +-=-1a b +=. ()()()211111a a a a b ab b a b +---==++. ()()()211111b a ab b ba a a a --==-+-+. ()()1111b a ab b a b ab a b a ---==+++. ()()()211111b a b ab ba a a a ++==-+--. ()()1111b a b ab a ab b b a a +++==---. 18.本小题主要考查三视图的概念、圆柱的体积，考查运算能力．满分９分. 解：该立体图形为圆柱.因为圆柱的底面半径5r =，高10h =，所以圆柱的体积22510250V r h πππ==⨯⨯=（立方单位）. 答：所求立体图形的体积为250π立方单位..，B A B B AA B A B B A A B BA .，ABB A A 19．本小题主要考查等可能性等基本概念，考查简单事件的概率计算．满分10分． 解法1：（1）甲、乙两名学生到A 、B 两个书店购书的所有可能结果有：从树状图可以看出，这两名学生到不同书店购书的可能结果有AB 、BA 共2种， 所以甲、乙两名学生在不同书店购书的概率12142P ==. （2）甲、乙、丙三名学生到A 、B 两个书店购书的所有可能有：从树状图可以看出，这三名学生到同一书店购书的可能结果有AAA 、BBB 共2种， 所以甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率22184P ==. 解法2：（1）甲、乙两名学生到A 、B 两个书店购书的所有可能结果有AA 、AB 、BA 、BB 共4种，其中两人在不同书店购书的可能有AB 、BA 共2种， 所以甲、乙两名学生在不同书店购书的概率12142P ==. （2）甲、乙、丙三名学生到A 、B 两个书店购书的所有可能有AAA 、AAB 、ABA 、ABB 、BAA 、BAB 、BBA 、BBB 共8种，其中三人在同一书店购书的可能有AAA 、BBB 共2种， 所以甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率22184P ==.20．本小题主要考查从统计表和统计图中读取有效信息的能力，考查数据分析能力．满分10分. 解：（1） 由扇形统计图知：初三（1）班1分钟跳绳考试成绩为B 等的学生占全班总人数的54％， ∴954%50m+=. ∴ 18m =.∵ 391812250n +++++=， ∴ 6n =. （2）由频数分布表可知：初三（1）班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数为39181242+++=.∴ 1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比为4284%50=. （3）本题答案和理由不唯一，只要该班学生1分钟跳绳平均分的估计值是85～100分之间的某一个值或某个范围，理由合理，均正确.例如：估计平均分为92分，估计方法为：取每个分数段的中间值分别是115、105、95、85、75、65、30，则该班学生1分钟跳绳的平均分为11531059951885127566523009250x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）.（说明：只要按照在每个分数段中按等距离取值，然后计算加权平均分，均正确.） 又如：估计平均分在90～100分之间，理由是：该班有18个人的成绩在90～100分之间，而且30个人的成绩超过90分.21. 本小题主要考查平行线、等腰三角形、特殊直角三角形、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算能力、演绎推理能力和空间观念．满分12分． （1）证明：∵ AE 、AF 是⊙O 的切线， ∴ AE ＝AF ． 又∵ AC ＝AB ， ∴ AC -AE ＝AB -AF ． ∴CE ＝BF ，即BF ＝CE ． （2）解法1：连结AO 、OD ，∵ O 是△ABC 的内心， ∴ OA 平分∠BAC ．∵ ⊙O 是△ABC 的内切圆，D 是切点， ∴ OD ⊥BC ． 又∵ AC ＝AB ， ∴ AO ⊥BC ．∴ A 、O 、D 三点共线，即AD ⊥BC ． ∵ CD 、CE 是⊙O 的切线， ∴ CD ＝CE =23．图5O FEDCBA图5O FED CB A在Rt △ACD 中，由∠C =30°，CD =23，得234cos303/2CD AC == ＝．解法2：先证 AD ⊥BC ，CD ＝CE =23（方法同解法1）． 设AC ＝x ，在Rt △ACD 中，由∠C =30°，得22AC x AD ==． ∵ 222AC AD DC =+, ∴ 222()(23)2xx =+． 解之，得4x =（负值舍去）． ∴AC 的长为4．22. 本小题主要考查二次函数、二元一次方程组等基础知识，考查数形结合的数学思想，考查计算能力和推理能力．满分14分． 解：（1）∵ A (-1，0)、B (4，0)，∴ AO =1， OB =4，即AB = AO +OB =1+4=5. ∴ OC ＝5，即点C 的坐标为（0，5）.（2）解法1：设图象经过A 、C 、B 三点的二次函数的解析式为 2y ax bx c =++， 由于这个函数的图象过点（0，5），可以得到c =5，又由于该图象过 点（-1，0）、（4，0），则：50,16450.a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解这个方程组，得5,415.4a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴ 所求的二次函数解析式为2515544y x x =-++.∵504a =-<， ∴当1534522()4x =-=⨯-时，y 有最大值225154()5()41254454164()4ac b a ⨯-⨯--==⨯-.CO A B xy解法2：设图象经过A 、C 、B 三点的二次函数的解析式为(4)(1)y a x x =-+， ∵ 点C （0，5）在图象上，∴ 5(04)(01)a =-+，即54a =-．∴ 所求的二次函数解析式为5(4)(1)4y x x =--+．∵ 点A 、B 的坐标分别为点A (1,0)-、B (4,0)，∴ 线段AB 的中点坐标为3(,0)2，即抛物线的对称轴为直线32x =． ∵ 504a =-<，∴ 当32x =时，y 有最大值533125(4)(1)42216y =--+=.23．本小题主要考查从文字信息中读取有效信息、数据处理能力，考查分类的数学思想，考查建立不等式（组）模型解决实际问题的能力．满分12分． 解：（1）当两个班分别购买门票时，甲班购买门票的费用为56×10×0.8＝448（元）； 乙班购买门票的费用为54×10×0.8＝432（元）； 甲、乙两班分别购买门票共需花费880元． 当两个班一起购买门票时，甲、乙两班共需花费（56＋54）×10×0.7＝770（元）． 答：甲、乙两班购买门票最少共需花费770元．（2）当多于30人且不足100人时，设有x 人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜，根据题意，得，30100,0.8101000.710.x x <<⎧⎨⨯>⨯⨯⎩ 解这个不等式组，得87.5100x <<.答：当多于30人且不足100人时，至少有88人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜.24. 本小题主要考查一次函数、两条直线垂直的性质、三角形相似、等腰三角形、点与坐标等基础知识，考查对数形结合思想的理解，考查分类的数学思想，考查运算和推理能力．满分14分． 解：（1）∵ 一次函数y ＝kx +k 的图象经过点（1，4），∴ 4＝k ×1+k ，即k ＝2. ∴ y ＝2x +2.当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝－1. 即A （－1，0），B （0，2）.如图，直线AB 是一次函数y ＝2x +2的图象. （2）∵ PQ ⊥AB ， ∴ ∠QPO =90°－∠BAO . 又∵∠ABO =90°－∠BAO ， ∴ ∠ABO =∠QPO . ∴ Rt △ABO ∽Rt △QPO .∴ AO OB QO OP=，即12b a =. ∴ a ＝2b . （3）由（2）知a ＝2b . ∴ AP ＝AO +OP ＝1+a ＝1+2b ，22221AQ OA OQ b =+=+，22222222(2)5PQ OP OQ a b b b b =+=+=+=.若AP ＝AQ ，即AP 2＝AQ 2，则22(12)1b b +=+，即0b =或-43，这与0b >矛盾，故舍去；若AQ ＝PQ ，即AQ 2＝PQ 2，则2215b b +=，即1(2b =或-舍去）12，此时，2AP =，12OQ =，111122222APQ S AP OQ =⨯⨯=⨯⨯=△（平方单位）.若AP ＝PQ ，则125b b +=，即25b =+. 此时12525AP b =+=+，25OQ =+.119(525)(25)105222APQ S AP OQ =⨯⨯=⨯+⨯+=+△（平方单位）.O1 xyA BPQ O1 xyA B∴ △APQ 的面积为12平方单位或（91052+）平方单位.25. 本小题主要考查三角形、图形的旋转、平行四边形等基础知识，考查空间观念、演绎推理能力．满分12分． （1）证法1：在Rt △EBC 中，M 是斜边EC 的中点， ∴ 12BM EC =． 在Rt △EDC 中，M 是斜边EC 的中点， ∴ 12DM EC =． ∴ BM =DM ，且点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心、BM 为半径的圆上． ∴ ∠BMD =2∠ACB =90°，即BM ⊥DM ． 证法2：证明BM =DM 与证法1相同，下面证明BM ⊥DM ． ∵ DM =MC ， ∴ ∠EMD =2∠ECD ． ∵ BM =MC ， ∴ ∠EMB =2∠ECB ．∴ ∠EMD ＋∠EMB =2（∠ECD ＋ECB ）． ∵ ∠ECD ＋∠ECB =∠ACB =45°， ∴ ∠BMD =2∠ACB =90°，即BM ⊥DM ．（2）当△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立． 证明如下：证法1（利用平行四边形和全等三角形）：连结BD ，延长DM 至点F ，使得DM =MF ，连结BF 、FC ，延长ED 交AC 于点H ． ∵ DM =MF ，EM =MC ， ∴ 四边形CDEF 为平行四边形. ∴ DE ∥CF ，ED =CF . ∵ ED = AD , ∴ AD =CF .MD BACEM DBACEHFMDBACED '∵ DE ∥CF ， ∴ ∠AHE =∠ACF ．∵ 4545(90)45BAD DAH AHE AHE ∠=-∠=--∠=∠- ,45BCF ACF ∠=∠- ， ∴ ∠BAD =∠BCF . 又∵AB = BC , ∴ △ABD ≌△CBF . ∴ BD =BF ，∠ABD =∠CBF . ∵ ∠ABD +∠DBC =∠CBF +∠DBC ， ∴∠DBF =∠ABC =90°.在Rt △DBF 中，由BD BF =,DM MF =，得BM =DM 且BM ⊥DM ． 证法2（利用旋转变换）：连结BD ，将△ABD 绕点B 逆时针旋转90°，点A 旋转到点C ，点D 旋转到点D '，得到△CBD '，则,,,BD BD AD CD BAD BCD '''==∠=∠且90DBD '∠=．连结MD '．∵CED ∠CEA DEA =∠-∠(180)45180(90)4545ECA EAC ECA BAD ECA BAD ECB BAD ECB BCD ECD =-∠-∠-=-∠--∠-=-∠+∠=∠+∠'=∠+∠'=∠∴ //DE CD '． 又∵DE AD CD '==，∴ 四边形EDCD '为平行四边形． ∴ D 、M 、D '三点共线，且DM MD '=．在Rt △DBD '中，由BD BD '=,DM MD '=，得BM =DM 且BM ⊥DM ．M DBACEHD '证法3（利用旋转变换）：连结BD ，将△ABD 绕点B 逆时针旋转90°，点A 旋转到点C ，点D 旋转到点D '，得到△CBD '，则,,,BD BD AD CD BAD BCD '''==∠=∠且90DBD '∠=．连结MD '，延长ED 交AC 于点H ．∵ ∠AHD = 90°－∠DAH = 90°－(45°－∠BAD )= 45°＋∠BAD ，45ACD BCD ''∠=+∠ ，∵BAD BCD '∠=∠， ∴AHD ACD '∠=∠． ∴ //DE CD '． 又∵DE AD CD '==，∴ 四边形EDCD '为平行四边形． ∴ D 、M 、D '三点共线，且DM MD '=．在Rt △DBD '中，由BD BD '=,DM MD '=，得BM =DM 且BM ⊥DM ．。
2007年广州中考试题
秘密★启用前2007年广州市初中毕业生学业考试数 学本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写考场试室号、座位号，再用2B 铅笔把对应这两个号码的标号涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列四个数中，最小．．的数是（ * ）． （A ）2－ （B ）1－ （C ）0 （D2．下列立体图形中，是多面体的是（ * ）．3．下列计算正确的是（ *（A ）33x x x ⋅= （B ）32x x x -= （C ）32x x x ÷= （D ）336x x x += 4．下列命题中，正确的是（ * ）．（A ）对顶角相等 （B ）同位角相等 （C ）内错角相等 （D ）同旁内角互补5．以1,1x y =⎧⎨=-⎩为解的二元一次方程组是（ * ）． （A ）0,1x y x y +=⎧⎨-=⎩(B) 0,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩ （C ）0,2x y x y +=⎧⎨-=⎩ （D ）0,2x y x y +=⎧⎨-=-⎩（A ） （C ） （D ）6．观察下列四个图案，其中为轴对称图形的是（ * ）．(A) (B) (C) (D)7．抛物线221y x x =-+与x 轴交点的个数是（ * ）．（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）38．小明由A 点出发向正东方向走10米到达B 点，再由B 点向东南方向走10米到达C 点，则下面结论正确的是（ * ）．（A ）∠ABC ＝22.5°（B ）∠ABC ＝45° （C ）∠ABC ＝67.5°（D ）∠ABC ＝135° 9．若关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ * ）．（A ）0p >且0q > （B ）0p >且0q < （C ）0p <且0q > （D ）0p <且0q <10．如图1，⊙O 是△ABC 的外接圆，OD ⊥AB 于点D 、交⊙O 于点E ， ∠C =60°， 如果⊙O 的半径为2，那么下列结论中错误．．的是（ * ）． （A ）AD DB = (B) AE EB= （C ）1OD = （D）AB第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．化简：2-＝_*__． 12．方程511x =+的解为_*__． 13．线段AB ＝4cm ，在线段AB 上截取BC =1cm ，则AC =_*__ cm ． 14x 的取值范围为_*__．15．已知广州市的土地总面积约为7 434 km 2，人均占有的土地面积S （单位：km 2/人）随全市人口n （单位：人）的变化而变化，则S 与n 的函数关系式为_*__．16．如图2，点O 是AC 的中点，将周长为4cm 的菱形ABCD沿对角线AC 方向平移AO 长度得到菱形OB C D '''，则四边形OECF 的周长．．为_*__cm ．ABO D C E图1图2'C 'B三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分9分）请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式．2a ab b b ab --1， ， +．18．（本小题满分9分） 图3是一个立体图形的三视图，请根据视图写出该立体图形的名称并计算该立体图形的体积（结果保留π）．19．（本小题满分10分） 甲、乙、丙三名学生各自随机选择到A 、B 两个书店购书．（1）求甲、乙两名学生在不同书店购书的概率； （2）求甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率． 20．（本小题满分10分）某中学初三（1）班50名学生参加1分钟跳绳的体育考试，1分钟跳绳次数与频数经统计后绘制下面的频数分布表（60～70的意义为大于等于60并且小于70，其余类似）和扇形统计图（如图4）：（1）求m 、n 的值；（2）求该班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比； （3）请根据频数分布表估计该班学生1分钟跳绳的平均分大约是多少，并说明理由． 21．（本小题满分12分）如图5，在△ABC 中，AB =AC ，内切圆O 与边BC 、AC 、AB 分别切于点D 、E 、F ． （1）求证：BF =CE ；（2）若∠C =30°，CE =AC 的长．正视图 左视图俯视图图5A 图41分钟跳绳各等级人数分布图C54%D B A22．（本小题满分14分）如图6，一个二次函数的图象经过点A 、C 、B 三点，点A 的坐标为（1,0 ），点B 的坐标为（4,0），点C 在y 轴的正半轴上，且AB =OC ． （1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．23．（本小题满分12分）某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）门票按7折优惠．甲班有56名学生，乙班有54名学生． （1）若两班学生一起前往该博物馆参观，请问购买门票最少．．共需花费多少元？ （2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要有多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜？ 24．（本小题满分14分）一次函数y ＝kx +k 的图象经过点（1，4），且分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ．点P （a ，0）在x 轴正半轴上运动，点Q （0，b ）在y 轴正半轴上运动，且PQ ⊥AB ．（1）求k 的值，并在图7的直角坐标系中画出该一次函数的图象；（2）求a 与b 满足的等量关系式；（3）若△APQ 是等腰三角形，求△APQ 的面积．25．（本小题满分12分）已知：在Rt △ABC 中，AB =BC ；在Rt △ADE 中，AD =DE ；连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ．（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图8-①，求证：BM =DM 且BM ⊥DM ；（2）如果将图8-①中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图8-②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．MD BACE图8-①图8-②MDBA CE图72007年广州市初中毕业生学业考试数学试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题3分，满分30分.三、解答题：本大题考查基本知识和基本运算，及数学能力，满分102分. 17．本小题主要考查代数式的基本运算．满分９分. 解：本题共有六种答案，只要给出其中一种答案，均正确.21a ab b --()()()111a a b a +-=-1a b +=. ()()()211111a a a a b ab b a b +---==++. ()()()211111b a ab b ba a a a --==-+-+. ()()1111b a ab b a b ab a b a ---==+++. ()()()211111b a b ab ba a a a ++==-+--. ()()1111b a b ab a ab b b a a +++==---.18.本小题主要考查三视图的概念、圆柱的体积，考查运算能力．满分９分. 解：该立体图形为圆柱.因为圆柱的底面半径5r =，高10h =，所以圆柱的体积22510250V r h πππ==⨯⨯=（立方单位）. 答：所求立体图形的体积为250π立方单位..，BABBAABABBAABBA.，ABBAA19．本小题主要考查等可能性等基本概念，考查简单事件的概率计算．满分10分．解法1：（1）甲、乙两名学生到A、B两个书店购书的所有可能结果有：从树状图可以看出，这两名学生到不同书店购书的可能结果有AB、BA共2种，所以甲、乙两名学生在不同书店购书的概率12142P==.（2）甲、乙、丙三名学生到A、B两个书店购书的所有可能有：从树状图可以看出，这三名学生到同一书店购书的可能结果有AAA、BBB共2种，所以甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率22184P==.解法2：（1）甲、乙两名学生到A、B两个书店购书的所有可能结果有AA、AB、BA、BB 共4种，其中两人在不同书店购书的可能有AB、BA共2种，所以甲、乙两名学生在不同书店购书的概率12142P==.（2）甲、乙、丙三名学生到A、B两个书店购书的所有可能有AAA、AAB、ABA、ABB、BAA、BAB、BBA、BBB共8种，其中三人在同一书店购书的可能有AAA、BBB 共2种，所以甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率22184P==.20．本小题主要考查从统计表和统计图中读取有效信息的能力，考查数据分析能力．满分10分.解：（1）由扇形统计图知：初三（1）班1分钟跳绳考试成绩为B等的学生占全班总人数的54％，∴954%50m+=.∴18m=.∵391812250n+++++=，∴6n=.（2）由频数分布表可知：初三（1）班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数为39181242+++=.∴ 1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比为4284%50=. （3）本题答案和理由不唯一，只要该班学生1分钟跳绳平均分的估计值是85～100分之间的某一个值或某个范围，理由合理，均正确.例如：估计平均分为92分，估计方法为：取每个分数段的中间值分别是115、105、95、85、75、65、30，则该班学生1分钟跳绳的平均分为11531059951885127566523009250x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）.（说明：只要按照在每个分数段中按等距离取值，然后计算加权平均分，均正确.） 又如：估计平均分在90～100分之间，理由是：该班有18个人的成绩在90～100分之间，而且30个人的成绩超过90分.21. 本小题主要考查平行线、等腰三角形、特殊直角三角形、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算能力、演绎推理能力和空间观念．满分12分． （1）证明：∵ AE 、AF 是⊙O 的切线， ∴ AE ＝AF ． 又∵ AC ＝AB ， ∴ AC -AE ＝AB -AF ． ∴CE ＝BF ，即BF ＝CE ． （2）解法1：连结AO 、OD ，∵ O 是△ABC 的内心， ∴ OA 平分∠BAC ．∵ ⊙O 是△ABC 的内切圆，D 是切点， ∴ OD ⊥BC ． 又∵ AC ＝AB ， ∴ AO ⊥BC ．∴ A 、O 、D 三点共线，即AD ⊥BC ． ∵ CD 、CE 是⊙O 的切线， ∴ CD ＝CE=图5D图5A在Rt △ACD 中，由∠C =30°，CD=4cos30CD AC == ＝．解法2：先证 AD ⊥BC ，CD ＝CE=1）． 设AC ＝x ，在Rt △ACD 中，由∠C =30°，得22AC x AD ==． ∵ 222AC AD DC =+, ∴222()2xx =+． 解之，得4x =（负值舍去）． ∴AC 的长为4．22. 本小题主要考查二次函数、二元一次方程组等基础知识，考查数形结合的数学思想，考查计算能力和推理能力．满分14分． 解：（1）∵ A (-1，0)、B (4，0)，∴ AO =1， OB =4，即AB = AO +OB =1+4=5. ∴ OC ＝5，即点C 的坐标为（0，5）.（2）解法1：设图象经过A 、C 、B 三点的二次函数的解析式为 2y ax bx c =++， 由于这个函数的图象过点（0，5），可以得到c =5点（-1，0）、（4，0），则：50,16450.a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解这个方程组，得5,415.4a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴ 所求的二次函数解析式为2515544y x x =-++.∵504a =-<， ∴当1534522()4x =-=⨯-时，y 有最大值225154()5()41254454164()4ac b a ⨯-⨯--==⨯-. 解法2：设图象经过A 、C 、B 三点的二次函数的解析式为(4)(1)y a x x =-+，∵ 点C （0，5）在图象上，∴ 5(04)(01)a =-+，即54a =-． ∴ 所求的二次函数解析式为5(4)(1)4y x x =--+．∵ 点A 、B 的坐标分别为点A (1,0)-、B (4,0)，∴ 线段AB 的中点坐标为3(,0)2，即抛物线的对称轴为直线32x =． ∵ 504a =-<，∴ 当32x =时，y 有最大值533125(4)(1)42216y =--+=.23．本小题主要考查从文字信息中读取有效信息、数据处理能力，考查分类的数学思想，考查建立不等式（组）模型解决实际问题的能力．满分12分． 解：（1）当两个班分别购买门票时，甲班购买门票的费用为56×10×0.8＝448（元）； 乙班购买门票的费用为54×10×0.8＝432（元）； 甲、乙两班分别购买门票共需花费880元． 当两个班一起购买门票时，甲、乙两班共需花费（56＋54）×10×0.7＝770（元）． 答：甲、乙两班购买门票最少共需花费770元．（2）当多于30人且不足100人时，设有x 人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜，根据题意，得，30100,0.8101000.710.x x <<⎧⎨⨯>⨯⨯⎩ 解这个不等式组，得87.5100x <<.答：当多于30人且不足100人时，至少有88人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜.24. 本小题主要考查一次函数、两条直线垂直的性质、三角形相似、等腰三角形、点与坐标等基础知识，考查对数形结合思想的理解，考查分类的数学思想，考查运算和推理能力．满分14分．解：（1）∵ 一次函数y ＝kx +k 的图象经过点（1，4）∴ 4＝k ×1+k ，即k ＝2. ∴ y ＝2x +2.当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝－1. 即A （－1，0），B （0，2）.如图，直线AB 是一次函数y ＝2x +2的图象. （2）∵ PQ ⊥AB ， ∴ ∠QPO =90°－∠BAO . 又∵∠ABO =90°－∠BAO ， ∴ ∠ABO =∠QPO . ∴ Rt △ABO ∽Rt △QPO .∴ AO OBQO OP=，即12b a =. ∴ a ＝2b . （3）由（2）知a ＝2b . ∴ AP ＝AO +OP ＝1+a ＝1+2b ，22221AQ OA OQ b =+=+，22222222(2)5PQ OP OQ a b b b b =+=+=+=.若AP ＝AQ ，即AP 2＝AQ 2，则22(12)1b b +=+，即0b =或-43，这与0b >矛盾，故舍去；若AQ ＝PQ ，即AQ 2＝PQ 2，则2215b b +=，即1(2b =或-舍去）12，此时，2AP =，12OQ =，111122222APQ S AP OQ =⨯⨯=⨯⨯=△（平方单位）.若AP ＝PQ ，则12b +=，即2b = 此时125AP b =+=+，2OQ =.11(5(21022APQ S AP OQ =⨯⨯=⨯+⨯+=+△.∴ △APQ 的面积为12平方单位或（10+.25. 本小题主要考查三角形、图形的旋转、平行四边形等基础知识，考查空间观念、演绎推理能力．满分12分．（1）证法1：在Rt △EBC 中，M 是斜边EC 的中点， ∴ 12BM EC =． 在Rt △EDC 中，M 是斜边EC 的中点， ∴ 12DM EC =． ∴ BM =DM ，且点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心、BM 为半径的圆上． ∴ ∠BMD =2∠ACB =90°，即BM ⊥DM ． 证法2：证明BM =DM 与证法1相同，下面证明BM ⊥DM ． ∵ DM =MC ， ∴ ∠EMD =2∠ECD ． ∵ BM =MC ， ∴ ∠EMB =2∠ECB ．∴ ∠EMD ＋∠EMB =2（∠ECD ＋ECB ）． ∵ ∠ECD ＋∠ECB =∠ACB =45°， ∴ ∠BMD =2∠ACB =90°，即BM ⊥DM ．（2）当△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立． 证明如下：证法1（利用平行四边形和全等三角形）：连结BD ，延长DM 至点F ，使得DM =MF ，连结BF 、FC ，延长ED 交AC 于点H ． ∵ DM =MF ，EM =MC ， ∴ 四边形CDEF 为平行四边形. ∴ DE ∥CF ，ED =CF . ∵ ED = AD , ∴ AD =CF . ∵ DE ∥CF ， ∴ ∠AHE =∠ACF ．∵ 4545(90)45BAD DAH AHE AHE ∠=-∠=--∠=∠- ,45BCF ACF ∠=∠- ， ∴ ∠BAD =∠BCF . 又∵AB = BC ,MD BACEM DBACEHFAA∴ △ABD ≌△CBF . ∴ BD =BF ，∠ABD =∠CBF . ∵ ∠ABD +∠DBC =∠CBF +∠DBC ， ∴∠DBF =∠ABC =90°.在Rt △DBF 中，由BD BF =,DM MF =，得BM =DM 且BM ⊥DM ． 证法2（利用旋转变换）：连结BD ，将△ABD 绕点B 逆时针旋转90°，点A 旋转到点C ，点D 旋转到点D '，得到△CBD '，则,,,BD BD AD CD BAD BCD '''==∠=∠且90DBD '∠=．连结MD '．∵CED ∠CEA DEA =∠-∠(180)45180(90)4545ECA EAC ECA BAD ECA BAD ECB BAD ECB BCD ECD =-∠-∠-=-∠--∠-=-∠+∠=∠+∠'=∠+∠'=∠∴ //DE CD '． 又∵DE AD CD '==，∴ 四边形EDCD '为平行四边形． ∴ D 、M 、D '三点共线，且DM MD '=．在Rt △DBD '中，由BD BD '=,DM MD '=，得BM =DM 且BM ⊥DM ． 证法3（利用旋转变换）：连结BD ，将△ABD 绕点B 逆时针旋转90°，点A 旋转到点C ，点D 旋转到点D '，得到△CBD '，则,,,BD BD AD CD BAD BCD '''==∠=∠且90DBD '∠=．连结MD '，延长ED 交AC 于点H ．∵ ∠AHD = 90°－∠DAH = 90°－(45°－∠BAD )= 45°＋∠BAD ，45ACD BCD ''∠=+∠ ，∵BAD BCD '∠=∠， ∴AHD ACD '∠=∠． ∴ //DE CD '． 又∵DE AD CD '==，∴四边形EDCD'为平行四边形．=．∴D、M、D'三点共线，且DM MD'=，得BM=DM且BM⊥DM．在Rt△DBD'中，由BD BD'=,DM MD'。
2007年广东省广州市数学中考真题(word版含答案)
秘密★启用前2007年广州市初中毕业生学业考试数 学本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写考场试室号、座位号，再用2B 铅笔把对应这两个号码的标号涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列四个数中，最小．．的数是（ * ）． （A ）2－ （B ）1－ （C ）0 （D ）2 2．下列立体图形中，是多面体的是（ * ）．3．下列计算正确的是（ * ）． （A ）33x x x ⋅= （B ）32x x x -= （C ）32x x x ÷= （D ）336x x x += 4．下列命题中，正确的是（ * ）．（A ）对顶角相等 （B ）同位角相等 （C ）内错角相等 （D ）同旁内角互补5．以1,1x y =⎧⎨=-⎩为解的二元一次方程组是（ * ）． （A ）0,1x y x y +=⎧⎨-=⎩(B) 0,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩ （C ）0,2x y x y +=⎧⎨-=⎩ （D ）0,2x y x y +=⎧⎨-=-⎩（A ） （C ） （D ） （B ）6．观察下列四个图案，其中为轴对称图形的是（ * ）．(A) (B) (C) (D)7．抛物线221y x x =-+与x 轴交点的个数是（ * ）．（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）38．小明由A 点出发向正东方向走10米到达B 点，再由B 点向东南方向走10米到达C 点，则下面结论正确的是（ * ）．（A ）∠ABC ＝22.5°（B ）∠ABC ＝45° （C ）∠ABC ＝67.5°（D ）∠ABC ＝135° 9．若关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ * ）．（A ）0p >且0q > （B ）0p >且0q < （C ）0p <且0q > （D ）0p <且0q <10．如图1，⊙O 是△ABC 的外接圆，OD ⊥AB 于点D 、交⊙O 于点E ， ∠C =60°， 如果⊙O 的半径为2，那么下列结论中错误．．的是（ * ）． （A ）AD DB = (B) AE EB =（C ）1OD = （D ）3AB =第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．化简：2-＝_*__． 12．方程511x =+的解为_*__． 13．线段AB ＝4cm ，在线段AB 上截取BC =1cm ，则AC =_*__ cm ． 14．若代数式3x -有意义，则实数x 的取值范围为_*__．15．已知广州市的土地总面积约为7 434 km 2，人均占有的土地面积S （单位：km 2/人）随全市人口n （单位：人）的变化而变化，则S 与n 的函数关系式为_*__．16．如图2，点O 是AC 的中点，将周长为4cm 的菱形ABCD沿对角线AC 方向平移AO 长度得到菱形OB C D '''，则四边形OECF 的周长．．为_*__cm ．ABO D C E图1图2FE D 'C 'B 'O D C BA三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分9分）请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式．2a ab b b ab --1， ， +．18．（本小题满分9分） 图3是一个立体图形的三视图，请根据视图写出该立体图形的名称并计算该立体图形的体积（结果保留π）．19．（本小题满分10分） 甲、乙、丙三名学生各自随机选择到A 、B 两个书店购书．（1）求甲、乙两名学生在不同书店购书的概率； （2）求甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率． 20．（本小题满分10分）某中学初三（1）班50名学生参加1分钟跳绳的体育考试，1分钟跳绳次数与频数经统计后绘制下面的频数分布表（60～70的意义为大于等于60并且小于70，其余类似）和扇形统计图（如图4）：等级 分数段1分钟跳绳 次数段频数 （人数）A120 254～400 0 110~120 224～254 3 B 100~ll0 194～224 9 90~100 164～194 m C 80~90 148～164 12 70~80 132～148 n D60~70 116～132 2 0～600～116（1）求m 、n 的值；（2）求该班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比； （3）请根据频数分布表估计该班学生1分钟跳绳的平均分大约是多少，并说明理由． 21．（本小题满分12分）如图5，在△ABC 中，AB =AC ，内切圆O 与边BC 、AC 、AB 分别切于点D 、E 、F ． （1）求证：BF =CE ；（2）若∠C =30°，CE =23，求AC 的长．正视图 左视图俯视图图310 10 10 图5O FED CBA 图41分钟跳绳各等级人数分布图C54%D B ACO A B xy图622．（本小题满分14分）如图6，一个二次函数的图象经过点A 、C 、B 三点，点A 的坐标为（1,0 ），点B 的坐标为（4,0），点C 在y 轴的正半轴上，且AB =OC ． （1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．23．（本小题满分12分）某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）门票按7折优惠．甲班有56名学生，乙班有54名学生． （1）若两班学生一起前往该博物馆参观，请问购买门票最少．．共需花费多少元？ （2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要有多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜？ 24．（本小题满分14分）一次函数y ＝kx +k 的图象经过点（1，4），且分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ．点P （a ，0）在x 轴正半轴上运动，点Q （0，b ）在y 轴正半轴上运动，且PQ ⊥AB ．（1）求k 的值，并在图7的直角坐标系中画出该一次函数的图象；（2）求a 与b 满足的等量关系式；（3）若△APQ 是等腰三角形，求△APQ 的面积．25．（本小题满分12分）已知：在Rt △ABC 中，AB =BC ；在Rt △ADE 中，AD =DE ；连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ．（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图8-①，求证：BM =DM 且BM ⊥DM ；（2）如果将图8-①中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图8-②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．MD BACE图8-①图8-②MDBA CE图7 O 1 x y2007年广州市初中毕业生学业考试数学试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题3分，满分30分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCACBBDAD二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题3分，满分18分.题号 11 12 13 141516 答案2x =433x ≥7434S n=2三、解答题：本大题考查基本知识和基本运算，及数学能力，满分102分. 17．本小题主要考查代数式的基本运算．满分９分. 解：本题共有六种答案，只要给出其中一种答案，均正确.21a ab b --()()()111a a b a +-=-1a b +=. ()()()211111a a a a b ab b a b +---==++. ()()()211111b a ab b ba a a a --==-+-+. ()()1111b a ab b a b ab a b a ---==+++. ()()()211111b a b ab ba a a a ++==-+--. ()()1111b a b ab a ab b b a a +++==---.18.本小题主要考查三视图的概念、圆柱的体积，考查运算能力．满分９分. 解：该立体图形为圆柱.因为圆柱的底面半径5r =，高10h =，所以圆柱的体积22510250V r h πππ==⨯⨯=（立方单位）. 答：所求立体图形的体积为250π立方单位..，BABBAABABBAABBA.，ABBAA19．本小题主要考查等可能性等基本概念，考查简单事件的概率计算．满分10分．解法1：（1）甲、乙两名学生到A、B两个书店购书的所有可能结果有：从树状图可以看出，这两名学生到不同书店购书的可能结果有AB、BA共2种，所以甲、乙两名学生在不同书店购书的概率12142P==.（2）甲、乙、丙三名学生到A、B两个书店购书的所有可能有：从树状图可以看出，这三名学生到同一书店购书的可能结果有AAA、BBB共2种，所以甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率22184P==.解法2：（1）甲、乙两名学生到A、B两个书店购书的所有可能结果有AA、AB、BA、BB 共4种，其中两人在不同书店购书的可能有AB、BA共2种，所以甲、乙两名学生在不同书店购书的概率12142P==.（2）甲、乙、丙三名学生到A、B两个书店购书的所有可能有AAA、AAB、ABA、ABB、BAA、BAB、BBA、BBB共8种，其中三人在同一书店购书的可能有AAA、BBB 共2种，所以甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率22184P==.20．本小题主要考查从统计表和统计图中读取有效信息的能力，考查数据分析能力．满分10分.解：（1）由扇形统计图知：初三（1）班1分钟跳绳考试成绩为B等的学生占全班总人数的54％，∴954%50m+=.∴18m=.∵391812250n+++++=，∴6n=.（2）由频数分布表可知：初三（1）班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数为39181242+++=.∴ 1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比为4284%50=. （3）本题答案和理由不唯一，只要该班学生1分钟跳绳平均分的估计值是85～100分之间的某一个值或某个范围，理由合理，均正确.例如：估计平均分为92分，估计方法为：取每个分数段的中间值分别是115、105、95、85、75、65、30，则该班学生1分钟跳绳的平均分为11531059951885127566523009250x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）.（说明：只要按照在每个分数段中按等距离取值，然后计算加权平均分，均正确.） 又如：估计平均分在90～100分之间，理由是：该班有18个人的成绩在90～100分之间，而且30个人的成绩超过90分.21. 本小题主要考查平行线、等腰三角形、特殊直角三角形、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算能力、演绎推理能力和空间观念．满分12分． （1）证明：∵ AE 、AF 是⊙O 的切线， ∴ AE ＝AF ． 又∵ AC ＝AB ， ∴ AC -AE ＝AB -AF ． ∴CE ＝BF ，即BF ＝CE ． （2）解法1：连结AO 、OD ，∵ O 是△ABC 的内心， ∴ OA 平分∠BAC ．∵ ⊙O 是△ABC 的内切圆，D 是切点， ∴ OD ⊥BC ． 又∵ AC ＝AB ， ∴ AO ⊥BC ．∴ A 、O 、D 三点共线，即AD ⊥BC ． ∵ CD 、CE 是⊙O 的切线， ∴ CD ＝CE =23．图5O FEDCBA图5O FED CB A在Rt △ACD 中，由∠C =30°，CD =23，得234cos303/2CD AC ==＝．解法2：先证 AD ⊥BC ，CD ＝CE =23（方法同解法1）． 设AC ＝x ，在Rt △ACD 中，由∠C =30°，得22AC x AD ==． ∵ 222AC AD DC =+, ∴ 222()(23)2xx =+． 解之，得4x =（负值舍去）． ∴AC 的长为4．22. 本小题主要考查二次函数、二元一次方程组等基础知识，考查数形结合的数学思想，考查计算能力和推理能力．满分14分． 解：（1）∵ A (-1，0)、B (4，0)，∴ AO =1， OB =4，即AB = AO +OB =1+4=5. ∴ OC ＝5，即点C 的坐标为（0，5）.（2）解法1：设图象经过A 、C 、B 三点的二次函数的解析式为 2y ax bx c =++， 由于这个函数的图象过点（0，5），可以得到c =5，又由于该图象过 点（-1，0）、（4，0），则：50,16450.a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解这个方程组，得5,415.4a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴ 所求的二次函数解析式为2515544y x x =-++.∵504a =-<， ∴当1534522()4x =-=⨯-时，y 有最大值225154()5()41254454164()4ac b a ⨯-⨯--==⨯-. 解法2：设图象经过A 、C 、B 三点的二次函数的解析式为(4)(1)y a x x =-+，CO AB xy∵ 点C （0，5）在图象上，∴ 5(04)(01)a =-+，即54a =-． ∴ 所求的二次函数解析式为5(4)(1)4y x x =--+．∵ 点A 、B 的坐标分别为点A (1,0)-、B (4,0)，∴ 线段AB 的中点坐标为3(,0)2，即抛物线的对称轴为直线32x =． ∵ 504a =-<，∴ 当32x =时，y 有最大值533125(4)(1)42216y =--+=.23．本小题主要考查从文字信息中读取有效信息、数据处理能力，考查分类的数学思想，考查建立不等式（组）模型解决实际问题的能力．满分12分． 解：（1）当两个班分别购买门票时，甲班购买门票的费用为56×10×0.8＝448（元）； 乙班购买门票的费用为54×10×0.8＝432（元）； 甲、乙两班分别购买门票共需花费880元． 当两个班一起购买门票时，甲、乙两班共需花费（56＋54）×10×0.7＝770（元）． 答：甲、乙两班购买门票最少共需花费770元．（2）当多于30人且不足100人时，设有x 人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜，根据题意，得，30100,0.8101000.710.x x <<⎧⎨⨯>⨯⨯⎩ 解这个不等式组，得87.5100x <<.答：当多于30人且不足100人时，至少有88人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜.24. 本小题主要考查一次函数、两条直线垂直的性质、三角形相似、等腰三角形、点与坐标等基础知识，考查对数形结合思想的理解，考查分类的数学思想，考查运算和推理能力．满分14分． 解：（1）∵ 一次函数y ＝kx +k 的图象经过点（1，4），∴ 4＝k ×1+k ，即k ＝2. ∴ y ＝2x +2.当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝－1. 即A （－1，0），B （0，2）.如图，直线AB 是一次函数y ＝2x +2的图象. （2）∵ PQ ⊥AB ， ∴ ∠QPO =90°－∠BAO . 又∵∠ABO =90°－∠BAO ， ∴ ∠ABO =∠QPO . ∴ Rt △ABO ∽Rt △QPO .∴ AO OBQO OP=，即12b a =. ∴ a ＝2b . （3）由（2）知a ＝2b . ∴ AP ＝AO +OP ＝1+a ＝1+2b ，22221AQ OA OQ b =+=+，22222222(2)5PQ OP OQ a b b b b =+=+=+=.若AP ＝AQ ，即AP 2＝AQ 2，则22(12)1b b +=+，即0b =或-43，这与0b >矛盾，故舍去；若AQ ＝PQ ，即AQ 2＝PQ 2，则2215b b +=，即1(2b =或-舍去）12，此时，2AP =，12OQ =，111122222APQ S AP OQ =⨯⨯=⨯⨯=△（平方单位）.若AP ＝PQ ，则125b b +=，即25b =+. 此时12525AP b =+=+，25OQ =+.119(525)(25)105222APQ S AP OQ =⨯⨯=⨯+⨯+=+△（平方单位）.∴ △APQ 的面积为12平方单位或（91052+）平方单位.O1 xyA BPQ O1 xyA B25. 本小题主要考查三角形、图形的旋转、平行四边形等基础知识，考查空间观念、演绎推理能力．满分12分． （1）证法1：在Rt △EBC 中，M 是斜边EC 的中点， ∴ 12BM EC =． 在Rt △EDC 中，M 是斜边EC 的中点， ∴ 12DM EC =． ∴ BM =DM ，且点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心、BM 为半径的圆上． ∴ ∠BMD =2∠ACB =90°，即BM ⊥DM ． 证法2：证明BM =DM 与证法1相同，下面证明BM ⊥DM ． ∵ DM =MC ， ∴ ∠EMD =2∠ECD ． ∵ BM =MC ， ∴ ∠EMB =2∠ECB ．∴ ∠EMD ＋∠EMB =2（∠ECD ＋ECB ）． ∵ ∠ECD ＋∠ECB =∠ACB =45°， ∴ ∠BMD =2∠ACB =90°，即BM ⊥DM ．（2）当△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立． 证明如下：证法1（利用平行四边形和全等三角形）：连结BD ，延长DM 至点F ，使得DM =MF ，连结BF 、FC ，延长ED 交AC 于点H ． ∵ DM =MF ，EM =MC ， ∴ 四边形CDEF 为平行四边形. ∴ DE ∥CF ，ED =CF . ∵ ED = AD , ∴ AD =CF . ∵ DE ∥CF ， ∴ ∠AHE =∠ACF ．MD BACEM DBACEHFMDBACED '∵ 4545(90)45BAD DAH AHE AHE ∠=-∠=--∠=∠-,45BCF ACF ∠=∠-， ∴ ∠BAD =∠BCF . 又∵AB = BC , ∴ △ABD ≌△CBF . ∴ BD =BF ，∠ABD =∠CBF . ∵ ∠ABD +∠DBC =∠CBF +∠DBC ， ∴∠DBF =∠ABC =90°.在Rt △DBF 中，由BD BF =,DM MF =，得BM =DM 且BM ⊥DM ． 证法2（利用旋转变换）：连结BD ，将△ABD 绕点B 逆时针旋转90°，点A 旋转到点C ，点D 旋转到点D '，得到△CBD '，则,,,BD BD AD CD BAD BCD '''==∠=∠且90DBD '∠=．连结MD '． ∵CED ∠CEA DEA =∠-∠(180)45180(90)4545ECA EAC ECA BAD ECA BAD ECB BAD ECB BCD ECD =-∠-∠-=-∠--∠-=-∠+∠=∠+∠'=∠+∠'=∠∴ //DE CD '． 又∵DE AD CD '==，∴ 四边形EDCD '为平行四边形． ∴ D 、M 、D '三点共线，且DM MD '=．在Rt △DBD '中，由BD BD '=,DM MD '=，得BM =DM 且BM ⊥DM ． 证法3（利用旋转变换）：连结BD ，将△ABD 绕点B 逆时针旋转90°，点A 旋转到点C ，点D 旋转到点D '，得到△CBD '，则,,,BD BD AD CD BAD BCD '''==∠=∠且90DBD '∠=． 连结MD '，延长ED 交AC 于点H ．∵ ∠AHD = 90°－∠DAH = 90°－(45°－∠BAD )= 45°＋∠BAD ，45ACD BCD ''∠=+∠，∵BAD BCD '∠=∠，M DBACEHD '∴AHD ACD '∠=∠． ∴ //DE CD '． 又∵DE AD CD '==，∴ 四边形EDCD '为平行四边形． ∴ D 、M 、D '三点共线，且DM MD '=．在Rt △DBD '中，由BD BD '=,DM MD '=，得BM =DM 且BM ⊥DM ．。
2007年广东省广州市普通高中毕业班综合测试文科数学试题广州二测及参考答案
试卷类型:A2007年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数 学(文科)2007.4本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型(A)涂黑.在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号,在“座位号”列表内填写座位号,并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑.不按要求填涂的,答卷无效.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考试必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式:()()22221211236n n n n ++++++=()S r r l π'=+圆台侧(,r r '分别表示圆台上、下底面半径,l 表示母线长)第一部分 选择题(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.sin 480的值为A.12-B. C.12 D 2.函数2xy =(x ∈R )的反函数为A .2log y x =(0x >) B.2log y x =(1x >) C.log 2x y =(0x >) D.log 2x y =(1x >)3.某个路口的交通指示灯,红灯时间为30秒,黄灯时间为10秒,绿灯时间为40秒.当你到达路口时,看见红灯的概率是A.18 B .38 C.12 D.584.已知等差数列{}n a 的前三项分别为1a -,21a +,7a +,则这个数列的通项公式为A.43n a n =-B.21n a n =-C.42n a n =-D.23n a n =-5.已知向量OA 和向量OC 对应的复数分别为34i +和2i -,则向量AC 对应的复数为 A.53i + B.15i + C .15i -- D.53i --6.1a =是直线1y ax =+和直线()21y a x =--垂直的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7.一个圆台的两底面的面积分别为π,16π,侧面积为25π,则这个圆台的高为A.3 B .4 C.59.如图1所示,ABCDEF 为正六边形,则以F 、C 为焦点,且经过A 、E 、D 、B 四点的双曲线的离心率为 1 11 D 110.已知方程210ax bx +-=(,a b ∈R 且0a >)有两个实数根,其中一个根在区间()1,2内,则a b -的取值范围为A .()1,-+∞ B.(),1-∞- C.(),1-∞ D.()1,1-图1第二部分 非选择题(共100分)二、填空题:本大题共5小题,其中11～13题是必做题,14～15题是选做题,每小题5分,满分20分.11.已知函数()sin ,03y x x πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭R 的最小正周期为π,则ω= . 12.某班的54名学生对数学选修专题《几何证明选讲》和《极坐标与参数方程》的选择情况如下(每位学生至少选．．．．．．．1．个专题．．．):两个专题都选的有6人,选《极坐标与参数方程》的学生数比选《几何证明选讲》的多8人,则只选修了《几何证明选讲》的学生有 人.13.已知函数()f x 满足()12f =,()()()111f x f x f x ++=-,则()3f 的值为 ,()()()()1232007f f f f ⋅⋅⋅⋅的值为 .▲选做题:在下面两道小题中选做一题,二题都选的只计算第14题的得分.14.在极坐标系中,若过点()4,0且与极轴垂直的直线交曲线6cosρθ=于,A B 两点,则=AB .15.如图2,P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点,PC 与⊙O 相切于点C ,∠APC 的角平分线交AC 于点Q ,则AQP ∠的大小 为_________.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,每个小球被取出的可能性相等.(Ⅰ)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率； (Ⅱ)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率.17.(本小题满分14分) 如图3所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,90ACB ∠=,2AB =,1BC =,1AA =(Ⅰ)证明:1AC ⊥平面11AB C ； (Ⅱ)若D 是棱1CC 的中点,在棱AB 上是否存在一点E ,使DE平面11AB C ？证明你的结论.图218.(本小题满分12分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边,且222a cb ac +-=. (Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)若3c a =,求tan A 的值.19.(本小题满分14分)已知椭圆E 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,点31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)若点P 在椭圆E 上,且满足12PF PF t =,求实数t 的取值范围.20.(本小题满分14分)已知曲线C :x y e =(其中e 为自然对数的底数)在点()1,P e 处的切线与x 轴交于点1Q ,过点1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点1P ,曲线C 在点1P 处的切线与x 轴交于点2Q ,过点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ,……,依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ,设点n P 的坐标为(),n n x y (*n ∈N ).(Ⅰ)分别求n x 与n y 的表达式； (Ⅱ)设O 为坐标原点,求21nii OP=∑.21.(本小题满分14分)已知函数()242f x ax x =+-,若对任意1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. (Ⅰ)求实数a 的取值范围；(Ⅱ)对于给定的实数a ,有一个最小的负数()M a ,使得(),0x M a ∈⎡⎤⎣⎦时,()44f x -≤≤都成立,则当a 为何值时,()M a 最小,并求出()M a 的最小值.2007年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分. 1.D 2.A 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.B 9.D 10.A二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算.本大题共5小题,其中11～13题是必做题,14～15题是选做题.每小题5分,满分20分.第13题中的第一个空2分,第二个空3分. 11.2 12.20 13.12-；314. 15.135三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(本小题主要考查古典概型等基础知识,考查或然与必然的数学思想与方法,以及运算求解能力)解法一:利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出1个球的所有可能结果:可以看出,试验的所有可能结果数为16种. ……4分 (Ⅰ)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有1－2,2－1,2－3,3－2,3－4,4－3,共6种. ……6分故所求概率63168P ==. 答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为38. ……8分 (Ⅱ)所取两个球上的数字和能被3整除的结果有1－2,2－1,2－4,3－3,4－2,共5种. ……10分故所求概率为516P =. 答:取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为516. ……12分 解法二:设从甲、乙两个盒子中各取1个球,其数字分别为y x ,,用),(y x 表示抽取结果,则所有可能有()1,1,()1,2,()1,3,()1,4,()2,1,()2,2,()2,3,()2,4,()3,1,()3,2,()3,3,()3,4,()4,1,()4,2,()4,3,()4,4,共16种. ……4分(Ⅰ)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有()1,2, ()2,1, ()2,3,()3,2, ()3,4,()4,3,共6种. ……6分故所求概率63168P ==. 答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为38. ……8分 (Ⅱ)所取两个球上的数字和能被3整除的结果有()1,2, ()2,1, ()2,4, ()3,3, ()4,2,共5种. ……10分故所求概率为516P =. 答:取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为516. ……12分 (注:利用列表的方法求解,仿照上述解法给分)17.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间中线面关系,考查数形结合的数学思想和方法,以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力)证明:(Ⅰ)∵90ACB ∠=,∴BC AC ⊥.∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,∴1BC CC ⊥. ∵1ACCC C =,∴BC ⊥平面11ACC A .∵1AC ⊂平面11ACC A ,∴1BC AC ⊥, ∵11BCB C ,则111B C AC ⊥. ……4分在Rt ABC ∆中,2AB =,1BC =,∴AC .∵1AA =∴四边形11ACC A为正方形. ∴11AC AC ⊥. ……6分 ∵1111B C AC C =,∴1AC ⊥平面11AB C . ……7分 (Ⅱ)当点E 为棱AB 的中点时,DE 平面11AB C . ……9分证明如下:如图,取1BB 的中点F ,连EF 、FD 、DE ,∵D 、E 、F 分别为1CC 、AB 、1BB 的中点,∴1EFAB .∵1AB ⊂平面11AB C ,EF ⊄平面11AB C , ∴EF平面11AB C . ……12分同理可证FD 平面11AB C .∵EFFD F =,∴平面EFD平面11AB C .∵DE ⊂平面EFD , ∴DE平面11AB C . ……14分18.(本小题满分12分)(本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、解三角形等基础知识,考查运算求解能力)(Ⅰ)解:由余弦定理,得222cos 2a c b B ac+-=＝12. ……2分∵0B π<<,∴ 3B π=. ……4分(Ⅱ)解法一:将3c a =代入222a cb ac +-=,得b =. ……6分由余弦定理,得222cos 214b c a A bc +-==. ……8分∵0A π<<,∴sin 14A ==……10分∴sin tan cos A A A ==……12分解法二:将3c a =代入222a cb ac +-=,得b =. ……6分由正弦定理,得sin B A =. ……8分∵3B π=,∴sin 14A =. ……10分又b a =>,则B A >,∴cos A ==.∴sin tan cos A A A == ……12分解法三:∵3c a =,由正弦定理,得sin 3sin C A =. ……6分 ∵3B π=,∴()23C A B A ππ=-+=-. ∴2sin 3sin 3A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ……8分 ∴22sincos cos sin 3sin 33A A A ππ-=.1sin 3sin 2A A A +=.∴5sin A A =. ……10分∴sin tan cos A A A ==……12分19.(本小题满分14分)(本小题主要考查椭圆的概念、椭圆的方程等基础知识,考查待定系数法、数形结合的数学思想与方法,以及运算求解能力)(Ⅰ)解法一:依题意,设椭圆E 的方程为22221x y a b+=(0a b >>),由已知半焦距1c =,∴221a b -=. ① ……2分 ∵点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上,则221914a b+=. ② ……4分 由①、②解得,24a =,23b =.∴椭圆E 的方程为22143x y +=. ……6分 解法二:依题意,设椭圆E 的方程为22221x y a b+=(0a b >>),∵点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上,∴1224a CF CF =+=,即2a =. ……3分 由已知半焦距1c =,∴2223b a c =-=. ……5分∴椭圆E 的方程为22143x y +=. ……6分(Ⅱ)设()00,P x y ,由12PF PF t =,得()()00001,1,x y x y t -----=,即22001x y t +=+. ③ ……8分 ∵点P 在曲线C 上,∴2200143x y +=. ④ 由③得22001y t x =+-,代入④,并整理得()2042x t =-. ⑤ ……10分由④知,2004x ≤≤, ⑥ ……12分 结合⑤、⑥,解得:23t ≤≤.∴实数t 的取值范围为[]2,3. ……14分20.(本小题满分14分)(本小题主要考查数列、导数等基础知识,考查有限与无限的数学思想与方法,以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识)解:(Ⅰ)∵xy e '=,∴曲线C :x y e =在点()1,P e 处的切线方程为()1y e e x -=-,即y ex =. 此切线与x 轴的交点1Q 的坐标为()0,0,∴点1P 的坐标为()0,1. ……2分 ∵点n P 的坐标为(),n n x y (*n ∈N ),∴曲线C :x y e =在点n P (),n n x y 处的切线方程为()n n x xn y ee x x -=-, ……4分 令0y =,得点1n Q +的横坐标为11n n x x +=-.∴数列{}n x 是以0为首项,1-为公差的等差数列.∴1n x n =-,1n n y e -=.(*n ∈N ) ……6分 (Ⅱ)∵()()2221221i ii i OP x y i e -=+=-+, ……8分∴222221231nin i OPOP OP OP OP ==++++∑()()()()()2212022240121n e e e n e ---⎡⎤=+++++++-+⎣⎦……10分 ()()22122241211n n e e e---⎡⎤⎡⎤=++++-+++++⎣⎦⎣⎦ ……12分 ()()22121161n n n n e e -----=+-()()()2222121161n n n n n e e e ----=+-. ……14分21.(本小题满分14分)(本小题主要考查函数及其运算、不等式及其性质等基础知识,考查化归与转化、数形结合的数学思想方法,以及抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识)解:(Ⅰ)∵()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭22212121122222x x x x ax bx c ax bx c a b c +++++++⎛⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21204a x x =--<, ……2分 ∵12x x ≠,∴0a >.∴实数a 的取值范围为()0,+∞. ……4分(Ⅱ)∵()2224422f x ax x a x a a ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭,显然()02f =-,对称轴20x a=-<. ……6分 (1)当424a --<-,即02a <<时,()2,0M a a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,且()4f M a =-⎡⎤⎣⎦. 令2424ax x +-=-,解得x =此时()M a 取较大的根,即()M a==, ∵02a <<,∴()1M a =>-. ……10分数学试题A （文科） 第 11 页 共 11 页 (2)当424a --≥-,即2a ≥时,()2M a a<-,且()4f M a =⎡⎤⎣⎦. 令2424ax x +-=,解得x =, 此时()M a 取较小的根,即()M a ==, ∵2a ≥,∴()3M a =≥-.……13分 当且仅当2a =时,取等号.∵31-<-,∴当2a =时,()M a 取得最小值－3. ……14分。
广东省2007年初中毕业生学业考试答案
广东省2007年初中毕业生学业考试答案一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．B 2．B 3．C 4．A 5．D二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 6．907．ABC ∠ 8．10 000 9．2 10．52 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 11．解：原式2141222=-⨯⨯+⨯， ············································································· 4分 122221=-+=． ·········································································································· 6分 12．解：不等式变形整理得38x m <-， ············································································· 2分两边同除以3，得83mx -<， ······························································································ 4分 因为不等式的解集是3x <，所以833m-=， ····································································· 5分 解得1m =-． ························································································································ 6分13．解：设直线l 对应的函数解析式为y kx b =+， ····· 1分依题意(30)A ，，(32)B ，，得(02)C ，． ·························· 2分 由(30)A ，，(02)C ，在直线l 上， 得302k b b +=⎧⎨=⎩， ························································································································ 4分解得232.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ························································································································ 5分 直线l 对应的函数解析式为223y x =-+． ·········································································· 6分 14．解：（1）作图正确得2分（不保留痕痕迹的得1分）， ················································ 2分 （2）因为直线l 垂直平分线段AC ，所以CE AE =， 又因为BC AC ⊥，所以DE BC ∥， 所以12DE BC =． ···················································· 3分 因为在Rt ABC △中，5AB =，3cos 5A =，所以3cos 535AC AB A ==⨯=，···························· 4分AOBCyx第13题ABCDE第14题得2DE =． ··························································································································· 6分 15．解：在AOF △和COE △中，90AFO CEO ∠=∠=，AOF COE ∠=∠，所以A C ∠=∠， ····································· 1分 连接OD ，则A ODA ∠=∠，C ODC ∠=∠， ····················· 2分 所以A ODA ODC ∠=∠=∠， ················································ 3分因为90A ODA ODC ∠+∠+∠=，所以30ODC ∠=， ···· 4分所以3cos302DE OD =⨯=， ············································· 5分 23CD DE ==． ··············································································································· 6分 四、解答题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）16．解：设该文具厂原来每天加工x 套画图工具， ····························································· 1分依题意，有250010002500100051.5x x---=， ································································· 4分解方程，得100x =， ············································································································ 5分 经检验100x =是原方程的根． ····························································································· 6分答：该文具厂原来每天加工100套画图工具． ····································································· 7分 17．解：（1）全等三角形：1B EO BFO △≌△，11AC E ACF △≌△， ························ 2分 相似三角形：1A E C A B C △∽△，1111AEC A BC △∽△，1A FC ABC △∽△，1111A FC A B C △∽△． ········································································································· 4分（2）（以11AC E ACF △≌△为例）因为11AC AC =，所以11AC AC =， ················································································································· 5分 又因为130A A ∠=∠=，1190AC E ACF ∠=∠=， ······················································· 6分 所以11Rt Rt AC E ACF △≌△． ························································································· 7分 18．解：（1）点(14)A ，在反比例函数2k y x =的图像上，所以2144k xy ==⨯=，故有4y x=． AB COEF1A1B1C第17题ABCDFOE 第15题因为(3)B m ，也在4y x=的图象上， 所以43m =，即点B 的坐标为433B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ············································································ 1分 一次函数1y k x b =+过(14)A ，，433B ⎛⎫⎪⎝⎭，两点，所以114433k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，， ································· 2分 解得143163k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以所求一次函数的解析式为41633y x =-+． ···································· 3分（2）解法一：过点A 作x 轴的垂线，交BO 于点F ． 因为433B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以直线BO 对应的正比例函数解析式为49y x =， ································· 4分 当1x =时，49y =，即点F 的坐标为419F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 所以432499AF =-=， ············································ 5分 所以AOB OAF ORF S S S =+△△△132132161(31)29293=⨯⨯+⨯-⨯=，即AOB △的面积为163． ······································································································ 7分解法二：过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A '，A ''，过点B 作x 轴的垂线，垂足为B '．则AOB OAA OBB OA AA A ABB S S S S S ''''''''=+--△△△矩形梯形 ····························································· 4分14114144(31)14323223⎛⎫=⨯+⨯+⨯--⨯⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ ····························································· 6分 163=，即AOB △的面积为163． ························································································· 7分 解法三：过A B ，分别作x y ，轴的垂线，垂足分别为E F ，．由(14)A ，，433B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得(04)E ，，(30)F ，． ······································································ 4分(3)B m ，xyO(14)A ， F第18题设过AB 的直线l 分别交两坐标轴于C D ，两点． 由过AB 的直线l 表达式为41633y x =-+，得(40)C ，，1603D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 由AOB COD AOD BOC S S S S =--△△△△， 得111222AOB S OC OD AE OD OC BF =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯△ ···················································· 6分 142=⨯⨯16311614161423233-⨯⨯-⨯⨯=． ········································································ 7分 19．解：（1）填18，0.55 ······································································································· 2分 （2）画出正确图形 ················································································································· 5分 （3）给出猜想的概率的大小为0.550.1±均为正确． ························································· 7分 五、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 20．解：（1）21333222OA OA OA ⎛⎫==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭， ······························································· 2分 3344OA a ==； ····················································································································· 4分 （2）依题意，得132OA OA =，2213322OA OA OA ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭， 3323322OA OA OA ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭， ················································································································································· 6分以此类推，663272726464OA OA OA a ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭， ······························································ 8分 66681364OA B l OA a ==△，即66OA B 的周长为8164a ． ···························································· 9分21．解：过M 作与AC 平行的直线，与OA FC ，分别相交于H N ，．（1）在Rt OHM △中，90OHM ∠=，5OM =，sin 3HM OM α=⨯=． ··············································· 1分 所以4OH =． ································································ 2分 541MB HA ==-=（单位） ······································· 3分155(cm)⨯=，所以铁环钩离地面的高度为5cm ； ····· 4分（2）因为90MOH OMH OMH FMN ∠+∠=∠+∠=，FMN MOH α∠=∠=，所以3sin 5FN FM α==，即得35FN FM =， ······································································· 5分 在Rt FMN △中，90FNM ∠=，1138MN BC AC AB ==-=-=（单位）， ····································································· 6分AB MO P Cα HN 第21题由勾股定理222FM FN MN =+，即222385FM FM ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ········································· 7分解得10FM =（单位）， ········································································································ 8分10550(cm)⨯=，所以铁环钩的长度FM 为50cm ． ·························································· 9分22．解：（1）连接FH ，则FH BE ∥且FH BE =， ······················································· 1分在Rt DFH △中，32DF a a a =-=，FH a =，90DFH ∠= ， ············································ 2分所以，225DH DF FH a =+=．··························· 3分 （2）设BE x =，DHE △的面积为y ， ····················· 4分 依题意，CDE EGH CDHG y S S S =+-△△梯形， ··················· 5分1113(3)(3)3222a a x a x x a x =⨯⨯-+⨯+⨯-⨯⨯ ································································ 6分 22139222x ax a =-+ ·············································································································· 7分 22221391327222228y x ax a x a a ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．当32x a =，即12BE BC =， E 是BC 的中点时，y 取最小值． ······················································································· 8分DHE △的面积y 的最小值为2278a ． ················································································· 9分ABE CGH FD 第22题。
2007年广东省广州市普通高中毕业班综合测试理科数学试题广州二测及参考答案
试卷类型:A2007年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数 学(理科)2007.4本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型(A)涂黑.在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号,在“座位号”列表内填写座位号,并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑.不按要求填涂的,答卷无效.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考试必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式:()()22221211236n n n n ++++++=第一部分 选择题(共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.sin 480的值为A.12-B. C.12 D 2.函数2xy =(x ∈R )的反函数为A .2log y x =(0x >) B.2log y x =(1x >) C.log 2x y =(0x >) D.log 2x y =(1x >)3.已知向量OA 和向量OC 对应的复数分别为34i +和2i -,则向量AC 对应的复数为 A.53i + B.15i + C .15i -- D.53i --4.1a =是直线1y ax =+和直线()21y a x =--垂直的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.4名男生和2名女生排成一排照相,要求2名女生必须相邻,则不同的排列方法为A.4242A A B.5252A A C.55AD.6622A A7.如图1,ABCDEF 为正六边形,则以F 、C 为焦点,且经过A 、E 、D 、B1 11 D 18.已知方程210ax bx +-=(,a b ∈R 且0a >)有两个实数根,其中一个根在区间()1,2内,则a b -的取值范围为A .()1,-+∞ B.(),1-∞- C.(),1-∞ D.()1,1-第二部分 非选择题(共110分)二、填空题:本大题共7小题,其中9～12题是必做题,13～15题是选做题,每小题5分,满分30分. 9.已知0t >,若()021d 6tx x -=⎰,则t = .10.某校有高级教师26人,中级教师104人,其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况,若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查,已知从其他教师中共抽取了16人,则该校共有教师 人.图111.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图2所示,则ω= ,ϕ= .12.已知数列{}n a 满足12a =,111n n na a a ++=-(*n ∈N ),则3a 的值为 , 1232007a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为 .▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分. 13.已知,,,a b x y ∈R ,224a b +=,6ax by +=,则22x y +的最小值为 .14.在极坐标系中,若过点()4,0且与极轴垂直的直线交曲线6cosρθ=于,A B 两点,则=AB .15.如图3,P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点,PC 与⊙O 相切于点C ,∠APC 的角平分线交AC 于点Q ,则AQP ∠的大小 为_________.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 16.(本小题满分12分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边,且222a cb ac +-=. (Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若3c a =,求tan A 的值.17.(本小题满分12分)袋中装着标有数字1,2,3的小球各2个,从袋中任取2个小球,每个小球被取出的可能性都相等.(Ⅰ)求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；(Ⅱ)用ξ表示取出的2个小球上的数字之和,求随机变量ξ的概率分布与数学期望.图2图318.(本小题满分14分) 如图4所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,90ACB ∠=,2AB =,1BC =,1AA =D(Ⅰ)证明:1A D ⊥平面11AB C ； (Ⅱ)求二面角11B AB C --的余弦值.19.(本小题满分14分)已知曲线C :x y e =(其中e 为自然对数的底数)在点()1,P e 处的切线与x 轴交于点1Q ,过点1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点1P ,曲线C 在点1P 处的切线与x 轴交于点2Q ,过点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ,……,依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ,设点n P 的坐标为(),n n x y (*n ∈N ).(Ⅰ)分别求n x 与n y 的表达式； (Ⅱ)设O 为坐标原点,求21ni i OP =∑.20.(本小题满分14分)已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)若直线l :()1y k x =-(0k ≠)与椭圆E 交于M 、N 两点,证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上.21.(本小题满分14分)已知函数()242f x ax x =+-,若对任意1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. (Ⅰ)求实数a 的取值范围；(Ⅱ)对于给定的实数a ,有一个最小的负数()M a ,使得(),0x M a ∈⎡⎤⎣⎦时,()44f x -≤≤都成立,则当a 为何值时,()M a 最小,并求出()M a 的最小值.图42007年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分50分. 1.D 2.A 3.C 4.C 5.B 6.B 7.D 8.A二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算.本大题共7小题,其中9～12题是必做题,13～15题是选做题。
2007年广东省广州市普通高中毕业班综合测试文科数学试题广州一测及参考答案
2007年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数 学(文 科)本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页 满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上用2B 铅笔将答题卡上试卷类型(A)涂黑在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号,在“座位号列表”内填写座位号,并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回 参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么P (A +B )=P (A )+P (B )第一部分 选择题(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1. 已知i 是虚数单位, 复数()21i +=A. 2iB. －2iC. 22i +D. 22i -2. 已知∈m R , 向量(),1m =a ,若2=a ,则m =A. 1B.C. 1±D. 3. 函数()()sin cos f x x x x =-∈R 的最小正周期是A. 2πB. πC. 2πD. 3π4. 如图1所示,U 是全集,AB 、是U 的子集,则阴影 部分所表示的集合是A. AB B. ()UBA ð C. AB D. ()UAB ð5. 如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 A.45 B. 23 C.22D.216. 如图2所示的算法流程图中(注:“1=A ”也可写成“1:=A ”或“1←A ”,均表示赋值语句),第3个输出的数是A.1B.32 C. 2 D. 527. 某市A 、B 、C 三个区共有高中学生20000人, 其中A 区高中学生7000人,现采用分层抽样的方法从这三个区所有高中学生中抽取一个容量为 600人的样本进行学习兴趣调查,则A 区应抽取 A. 200人 B. 205人C. 210人D. 215人 8. 下列函数中,既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是 图2 A. 3y x = B. cos y x = C. 21y x=D . ln y x =9. 如果一个几何体的三视图如图3所示(单位长度:cm), 则此几何体的表面积是A. (80+cm 2B. (96+cm 2C. 96 cm 2D. 112 cm 2图310. 如图4所示,面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为()1,2,3,4i a i =,此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为()1,2,3,4i h i =,若31241234a a a a k ====,则()412i i Sih k ==∑.类比以上性质,体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为()1,2,3,4i S i =, 此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为()1,2,3,4i H i =,若31241234S S S S K ====, 则()41i i iH ==∑ A.4V K B. 3V K C. 2V K D. VK图4 第二部分 非选择题(共100分)二、填空题:本大题共5小题,其中11～13题是必做题,14～15题是选做题.每小题5分,满分20分. 11.命题“若0,m > 则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题是 .12. 双曲线的中心在坐标原点,离心率等于2, 一个焦点的坐标为()0,2,则此双曲线的方程是 .13.不等式组20,20,220,x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩所确定的平面区域记为D .若点(),x y 是区域D 上的点,则2x y +的最大值是 ; 若圆:O 222x y r +=上的所有点都在区域D 上,则圆O 的面积的最大值是▲选做题:在下面两道小题中选做一题,两道都选的只计算第14题的得分.14. 如图5所示,圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ,4,8CD BD ==,则圆O 的半径等于 .15. 在极坐标系中,圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ 图5的距离的最小值是 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 16.(本小题满分12分)已知3sin 5θ=,0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求tan θ和cos 2θ的值. 17.(本小题满分14分)如图6所示,在长方体1111ABCD A BC D -中,11,2AB BC BB ===, 连结C A 1 、BD .(Ⅰ)求证:1AC ⊥BD ； (Ⅱ)求三棱锥BCD A -1的体积. 图6 18.(本小题满分14分)函数()2xf x =和3()g x x =的图像的示意图如图7所示, 设两函数的图像交于点11(,)A x y ,22(,)B x y ,且12x x <. (Ⅰ)请指出示意图中曲线1C ,2C 分别对应哪一个函数? (Ⅱ)若1[,1]x a a ∈+,2[,1]x b b ∈+,且a ,b {}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12∈,指出a ,b 的值,并说明理由； 图7 (Ⅲ)结合函数图像的示意图,判断(6)f ,(6)g ,(2007)f ,(2007)g 的大小,并按从小到大的顺序排列.19.(本小题满分12分)某工厂日生产某种产品最多不超过30件,且在生产过程中次品率p 与日产量x (*x ∈N )件间的关系为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+≤<+=.3015,3000300,150,200202x x x x p每生产一件正品盈利2900元,每出现一件次品亏损1100元.(Ⅰ)将日利润y (元)表示为日产量x (件)的函数； (Ⅱ)该厂的日产量为多少件时,日利润最大？ (100%,1p =⨯=-次品个数注：次品率正品率产品总数p )20.(本小题满分14分)已知圆C :222210x y x y +--+=,直线l :y kx =,且l 与圆C 相交于P 、Q 两点,点()0,M b ,且MP MQ ⊥.(Ⅰ)当1b =时,求k 的值； (Ⅱ)当31,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求k 的取值范围. 21.(本小题满分14分)设n S 是数列{}n a 的前n 项和,对任意n ∈N *总有()10,1n n S qa q q =+>≠,,m k ∈N *, 且m k ≠.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)试比较m k S +与()2212m k S S +的大小； (Ⅲ)当1q >时,试比较2m kS +与2211m kS S +的大小.2007年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(文科)试题参考答案及评分标准一、选择题二、填空题: 本大题主要考查基本知识和基本运算. 本大题共5小题,其中11～13题是必做题,14～15题是选做题. 每小题5分,满分20分. 第13小题的第一个空2分、第二个空3分.11.若方程20x x m +-=有实数根, 则0m > 12.2213y x -= 13.14；45π 14. 5 15. 1 三、解答题16. 本小题主要考查三角函数的诱导公式及和(差)角公式等基础知识,考查运算能力.满分12分. 解:3sin 5θ=且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5θ∴===. ……4分sin 3tan cos 4θθθ∴==, ……8分 2cos 212sin θθ=-23712525⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭. ……12分17. 本小题主要考查空间线面关系,考查空间想象能力和推理运算能力.满分14分. (Ⅰ)证明:连AC .∵AB BC =,∴BD AC ⊥. …… 2分∵1A A ⊥底面ABCD ,∴1BD A A ⊥. …… 4分 ∵⊂A A 1平面⊂AC AC A ,1平面AC A 1,A AC A A = 1,∴1BD A AC ⊥平面. …… 6分∴1BD AC ⊥. ……8分 (Ⅱ)解:⊥A A 1 平面BCD ,∴1311AA S V BCD BCD A ∙=∆- ……11分 2112131⨯⨯⨯⨯=31=. …… 14分18. 本小题主要考查函数的概念、性质和图像及其应用,考查综合运用数学知识分析和解决问题能力. 满分14分. 解:(Ⅰ)1C 对应的函数为3()g x x =,2C 对应的函数为()2x f x =. ……4分 (Ⅱ)1a =,9b =. ……6分 理由如下:令3()()()2x x f x g x x ϕ=-=-,则1x ,2x 为函数()x ϕ的零点, 由于(1)10ϕ=>,(2)40ϕ=-<,93(9)290ϕ=-<,103(10)2100ϕ=->, 则方程()()()x f x g x ϕ=-的两个零点1x ∈(1,2),2x ∈(9,10),因此整数1a =,9b =. ……9分 (Ⅲ)从图像上可以看出,当12x x x <<时,()()f x g x <,∴(6)f <(6)g . …11分 当2x x >时,()()f x g x >,∴(2007)g <(2007)f , ……13分(6)g <(2007)g ,∴(6)f <(6)g <(2007)g <(2007)f .……14分19. 本小题主要考查函数和导数的应用,考查综合运用数学知识分析和解决实际问题能力.满分12分.解:(Ⅰ)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⨯+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤<⨯+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=.3015,30003001100300030012900,150,200201100200201290022x x x x x x x x x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<-=.3015,342500,150,20250032x x x x x x ……4分 (Ⅱ)当150≤<x 时,222212520212520202500⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=x x x y .∴当15=x 时, y 取得最大值33000(元). ……6分当3015≤<x 时,2'42500x y -=. 令'0y =,得25=x . 当2515<<x 时,'0y >；当3025≤<x 时,'0y <.3342500x x y -=∴在区间(]25,15上单调递增,在区间[]30,25上单调递减. ……8分 故当25=x 时,y 取得最大值是312500025342525003=⨯-⨯ (元). ……10分312500033000< ,∴当25=x 时,y 取得最大值3125000(元).答: 该厂的日产量为25件时, 日利润最大. ……12分20. 本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查综合运用数学知识分析和解决问题能力. 满分14分. 解: (Ⅰ)圆C :()()22111x y -+-=,当1b =时,点()0,M b 在圆C 上,当且仅当直线l 经过圆心C 时, 满足MP MQ ⊥. ……2分 圆心C 的坐标为()1,1, 1k ∴=. ……4分(Ⅱ)由()()22,11 1.y kx x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩消去y 得:()()2212110k x k x +-++=. ① 设()()1122,,,P x y Q x y ,()121222211,11k x x x x k k+∴+==++. …… 6分 MP MQ ⊥,0=∙∴.()()0,,2211=-∙-∴b y x b y x , 即()()02121=--+b y b y x x .1122,y kx y kx ==,()()12120kx b kx b x x ∴--+=, 即()()22121210k x x kb x x b +-++= . ……8分()()22222111011k k kb b k k +∴+-+=++, 即()2221111k k b b k b b++==++. 令()1f b b b =+, 则()'211f b b =-.当31,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()'211f b b =->0. ()f b ∴在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.∴当31,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()132,6f b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ……11分 ()22113216k k k +∴<<+.即()()()()222121,13211.6k k k k k k ⎧+>+⎪⎨+<+⎪⎩解得1,66k k k>⎧⎪⎨>+<-⎪⎩ 16k ∴<<6k >……13分由①式得()()2221410k k∆=+-+>⎡⎤⎣⎦, 解得0k >.16k ∴<<6k >k ∴的取值范围是(()1,6623,++∞.…14分21. 本小题主要考查数列的概念和不等式等知识,考查综合运用数学知识分析和解决问题能力.满分14分. 解:(Ⅰ)当1n =时,1111a S qa ==+,∴≠,1q 111a q=-. ……1分 1n n S qa =+, ①111n n S qa ++∴=+. ②②-①得11n n n n S S qa qa ++-=-,11n n n a qa qa ++∴=-.()111,1,1n n n n qq a qa q a a q ++∴-=≠∴=-. ……3分 ∴数列{}n a 是首项为11q -,公比为1qq -的等比数列.∴1111n n q a q q -⎛⎫=⨯ ⎪--⎝⎭. ……4分(Ⅱ)由(Ⅰ)得1111111n nn n qq q S qa q q q -⎛⎫⎛⎫=+=⨯+=- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭. ……5分令1qt q =-, 则1m k m k S t ++=- ,22221,1m k m k S t S t =-=-. ()()()()22221111122m km k m k m k S S S t t t ++⎡⎤∴-+=---+-⎣⎦ ……7分 ()22122m k m kt t t +⎡⎤=+-⎣⎦()2102m k t t =-≥.m k S +∴≥()2212m k S S +.……9分 (Ⅲ)当1q >时,11>-=q qt , m k ≠,22m k t t ∴≠,2210,10,10m k m k t t t +-<-<-<.22221111m k m k S S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+=-+->= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……11分0<()()()222222221111m k m km k m k t t tt t t ++--=-++<-()21m k t +=-. ()()()22211111mkm kttt +∴>---. ……13分22112m k S S ⎛⎫∴-+> ⎪⎝⎭221m km kS t++==--..11222km km S S S +>∴+. ……14分。
广州黄埔区2007年初中毕业班数学综合测试题(含答案)-
黄埔区2007年初中毕业班综合测试数学本试卷分为选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分. 考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自已的学校、姓名、班级、考生号；填写考场试室号、座位号，再用2B 铅笔把对应这两个号码的标号涂黑. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图.答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域. 不准使用铅笔、圆珠笔或涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡收回，本试卷自留待老师讲评试卷．第一部分 选择题 （共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 如图，数轴上A B ，两点所表示的两数的（ * ）（A ）相等（Ｂ）互为相反数 （Ｃ）和为正数（Ｄ）和为负数2．若代数式x1在实数范围内有意义，则x 的取值范围为（ * ）（A ）0≠x （B ）1≠x （C ）0>x （D ）0≥x3． 下列计算正确．．的是（ * ） (Ａ)b a b a -=-111 (Ｂ)a b b a -=-11(Ｃ)aba b b a -=-11(Ｄ)011=-ba4. 如图，直线a 与直线b 互相平行，则角α的度数是（ ） （A ）30° （Ｂ）70° （Ｃ）110° （Ｄ）150°5. 某部门调查了本区初中学生上学使用的主要交通工具 的情况, 根据调查数据制作了如示所示的统计图，如果该 区有初中学生有12000人，那么该区初中学生骑自行车 上学的人数有（ * ）人（A ）2400 （B ）4200 （C ）5400 （D ）6800骑自行车35%步行45%其它20%（第5题）Ａ（第1题）（第4题）ab6. 如图，两个三角形关于某条直线成轴对称， 其中已知某些边的长度和某些角的度数， 则x 的度数是（ * ）（A ）55°（B ）60° （C ）65° （D ）70°7. 在实数范围内分解因式224b a -，结果是（ * ） （A ）))((4b a b a -+ （B ）)4)(4(b a b a -+ （C ）)2)(2(b a b a -+ （D ）))((2b a b a -+ 8. 一元二次方程0322=--x x 的两个根分别为（ * ） （A ）3121==x x （B ）3121-==x x （C ）3121=-=x x （D ）3121-=-=x x9. 函数xy 1=的图象与函数4-=x y 的图象（ ） （A ）无交点 （B ）交点分别在第一、三象限上 （C ）交点均第一象限上 （D ）交点均第三象限上. 10. 将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线 AB 剪下，打开，如果AO=6，BO=8，这时得到的四边 形的周长是（ * ） (A)28 (B)34 （C ）40 （D ）44第二部分 非选择题 （共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．据公布，中国互联网的上网用户已超过7800万, 用科学计数法表示7800万这个数据为__________________*___________万. 12.计算：a a 22⨯= * .13.如果圆的半径等于10厘米，直线l 和圆只有一个公共点，则圆心到直线l 的距离是 * 厘米.14. 如果等腰三角形的一个底角为50°，那么其余两个角的度数分别为 * 和 * . 15. 如果圆弧的半径为6厘米，圆心角为60°，则此圆弧的长度是 * 厘米. 16. 如图，在矩形ABCD 中，找出其中相等的线段与相等的角： * . （写出其中六个，同一个等量只能算一种，如∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，只能算一种）︒︒︒︒三、解答题（本大题共9小题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分9分） 解方程⎩⎨⎧=+=+17737x y x18．（本小题满分9分）小明打字速度是每分钟80个字，现准备打一份文稿，估计这篇文稿不超过4300字，那么至多需要多少分钟就能将此文稿打完？（结果取整数）19 （本小题满分9分）如图，在□ABCD 中，已知M 和N 分别是AB 、DC 的中点. 证明四边形BMDN 也是平行四边形.某数学老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况，收集了学生在作业和考试中的常见错误，编制了10道选择题，每题3分，对她所任教的一个班进行了检测．已知这个班有50名学生，如图表示从这个班随机抽取的10名学生的得分情况：(1)利用图中提供的信息，求这10名学生得分的平均分、中位数、众数 （2）若把24分及以上记为“过关”，请估计该班学生的“过关”的人数.21.（本小题满分12分）已知直线5+=kx y 经过点（-2，-1）(1)写出这一直线相应的函数关系式；(2)当31≤≤-x 时，求y 的最小值与最大值（第20题）口袋里装有1个红球和2个白球，它们除顔色之外没有其他区别. 现要闭着眼晴从中摸两个球，摸法是摸完第一个球放回口袋搅匀后再摸第二个球. 有人说摸到一红一白的两个球与摸到全白的两个球的机会是一样的. 你同意吗？请用一种合适的方法（例如：树状图、列表）说明其理由.23. （本小题满分12分）如图，某教学楼AB 后面有一座水塔CD ，教学楼楼高20m ，水塔高30m ，教学楼与水塔之间的距离为30m.(1)小张站在教学楼前H 处，有人测得∠HDC=70°，问小张至水塔之间的距离HC 是多少？(2)如果小张身高1.70米，你认为小张在H 处能越过教学楼看到水塔顶部吗？如果能看到，请说明理由；如果看不到，你认为小张至少应往前（后）走多少米? （结果保留三个有效数字）如图，已知抛物线c bx ax y ++=2)0(<a 的顶点A 在以E （1，1）为圆心，2为半径的圆上，且该抛物线经过⊙E 与x 轴的两个交点B 、C ，AE ⊥x 轴.(1)请写出点A 、B 、C 三点的坐标;; (2)求抛物线的解析式;(3)在抛物线上能否找到一点P ，使线段 PE 与OA 互相平分？如果能，写出P 点坐标， 如果不能，请说明理由.(第24题)已知⊿ABC ，D 是BC 的中点，将三角板中的90°角的顶点绕D 点在⊿ABC 内旋转，角的两边分别与AB 、AC 交于E 、F ，且点E 、F 不与A 、B 、C 三点重合.（1）如果∠A=90°，观察并探索，当E 、F 点位置变化时，BE 、EF 、CF 三条线段中有否有一条线段始终最长.请指出，并给予证明.（2）请分别∠A>90°、∠A<90°两种情况考察BE 、EF 、CF 三条线段中有否有一条线段始终最长.如果有请，指出最长的线段，但不需证明；如果没有，请画草图举出反例.参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） BACDB BCCBC二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．3108.7⨯ 12.a 2 13.1014. 50°，80° 15. 2π 16.BOCAOD DOC AOB OD BO CO AO BD AC BC AD CD AB ∠=∠∠=∠======,,,,,注意：AO=CO ，BO=OD 可算两个，每个等式0.5分三、解答题（本大题共9小题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分9分）②-①得102=x （3分） 解得 5=x （5分）代入①，解得2=y （8分）所以原方程的解为⎩⎨⎧==25y x (9分)注意：消元3分18．（本小题满分9分）设至多需要x 分钟就能将此文稿打完，依题意列不等式430080≤x （4分）解此不等式得4353≤x （7分） （注意：写8653不扣分） 答：小明至多需要54分钟就能将此文稿打完.. （9分）.19（本小题满分10分）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB ∥DC ，AB=DC （平行四边形对边平行且相等）（3分） ∵M 和N 分别是AB 、DC 的中点. ∴BM ∥DN ，BM=DN （中点的定义） （6分）∴四边形BMDN 也是平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （10分）20. （本小题满分10分）（1）由图可知10名学生的得分分别是15、21、21、24、24、24、24、27、27、30所以平均分为103022742422115+⨯+⨯+⨯+，即23.7； （2分）中位数是24;；众数是24 （6分） （2）10名学生的“过关”率是70%，(7分)因为这10名学生是随机抽样得到的，可以用样本估计整体 （8分） 所以可估计该班学生的“过关”是人数为35%7050=⨯（人）（10分） 答：（略）21.（本小题满分12分）（1） 把1,2-=-=y x 代入5+=kx y得 521+-=-k （3分） 解得3=k （5分） 所求直线相应的函数关系式为53+=x y (6分) （2） 因为03>=k ，y 是随x 增加而增加的，（8分）所以在31≤≤-x 中当1-=x 时25)1(3=+-⨯=最小y （10分） 当3=x 时14533=+⨯=最大y （12分） 22．（本小题满分12分） 同意。
文档：da2007年广州中考数学试题
2007年广州市初中毕业生学业考试数学题库参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题3分，满分30分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCACBBDAD二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题3分，满分18分.题号 11 12 13 141516 答案2x =433x ≥7434S n=2三、解答题：本大题考查基本知识和基本运算，及数学能力，满分102分. 17．本小题主要考查代数式的基本运算．满分９分. 解：本题共有六种答案，只要给出其中一种答案，均正确.21a ab b --()()()111a a b a +-=-1a b +=. ()()()211111a a a a b ab b a b +---==++. ()()()211111b a ab b ba a a a --==-+-+. ()()1111b a ab b a b ab a b a ---==+++. ()()()211111b a b ab ba a a a ++==-+--. ()()1111b a b ab a ab b b a a +++==---.18.本小题主要考查三视图的概念、圆柱的体积，考查运算能力．满分９分. 解：该立体图形为圆柱.因为圆柱的底面半径5r =，高10h =，所以圆柱的体积22510250V r h πππ==⨯⨯=（立方单位）. 答：所求立体图形的体积为250π立方单位..，BABBAABABBAABBA.，ABBAA19．本小题主要考查等可能性等基本概念，考查简单事件的概率计算．满分10分．解法1：（1）甲、乙两名学生到A、B两个书店购书的所有可能结果有：从树状图可以看出，这两名学生到不同书店购书的可能结果有AB、BA共2种，所以甲、乙两名学生在不同书店购书的概率12142P==.（2）甲、乙、丙三名学生到A、B两个书店购书的所有可能有：从树状图可以看出，这三名学生到同一书店购书的可能结果有AAA、BBB共2种，所以甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率22184P==.解法2：（1）甲、乙两名学生到A、B两个书店购书的所有可能结果有AA、AB、BA、BB 共4种，其中两人在不同书店购书的可能有AB、BA共2种，所以甲、乙两名学生在不同书店购书的概率12142P==.（2）甲、乙、丙三名学生到A、B两个书店购书的所有可能有AAA、AAB、ABA、ABB、BAA、BAB、BBA、BBB共8种，其中三人在同一书店购书的可能有AAA、BBB 共2种，所以甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率22184P==.20．本小题主要考查从统计表和统计图中读取有效信息的能力，考查数据分析能力．满分10分.解：（1）由扇形统计图知：初三（1）班1分钟跳绳考试成绩为B等的学生占全班总人数的54％，∴954%50m+=.∴18m=.∵391812250n+++++=，∴6n=.（2）由频数分布表可知：初三（1）班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数为39181242+++=.∴ 1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比为4284%50=. （3）本题答案和理由不唯一，只要该班学生1分钟跳绳平均分的估计值是85～100分之间的某一个值或某个范围，理由合理，均正确.例如：估计平均分为92分，估计方法为：取每个分数段的中间值分别是115、105、95、85、75、65、30，则该班学生1分钟跳绳的平均分为11531059951885127566523009250x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）.（说明：只要按照在每个分数段中按等距离取值，然后计算加权平均分，均正确.） 又如：估计平均分在90～100分之间，理由是：该班有18个人的成绩在90～100分之间，而且30个人的成绩超过90分.21. 本小题主要考查平行线、等腰三角形、特殊直角三角形、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算能力、演绎推理能力和空间观念．满分12分． （1）证明：∵ AE 、AF 是⊙O 的切线， ∴ AE ＝AF ． 又∵ AC ＝AB ， ∴ AC -AE ＝AB -AF ． ∴CE ＝BF ，即BF ＝CE ． （2）解法1：连结AO 、OD ，∵ O 是△ABC 的内心， ∴ OA 平分∠BAC ．∵ ⊙O 是△ABC 的内切圆，D 是切点， ∴ OD ⊥BC ． 又∵ AC ＝AB ， ∴ AO ⊥BC ．∴ A 、O 、D 三点共线，即AD ⊥BC ． ∵ CD 、CE 是⊙O 的切线， ∴ CD ＝CE =23．图5O FEDCBA图5O FED CB A在Rt △ACD 中，由∠C =30°，CD =23，得234cos303/2CD AC ==＝．解法2：先证 AD ⊥BC ，CD ＝CE =23（方法同解法1）． 设AC ＝x ，在Rt △ACD 中，由∠C =30°，得22AC x AD ==． ∵ 222AC AD DC =+, ∴ 222()(23)2xx =+． 解之，得4x =（负值舍去）． ∴AC 的长为4．22. 本小题主要考查二次函数、二元一次方程组等基础知识，考查数形结合的数学思想，考查计算能力和推理能力．满分14分． 解：（1）∵ A (-1，0)、B (4，0)，∴ AO =1， OB =4，即AB = AO +OB =1+4=5. ∴ OC ＝5，即点C 的坐标为（0，5）.（2）解法1：设图象经过A 、C 、B 三点的二次函数的解析式为 2y ax bx c =++， 由于这个函数的图象过点（0，5），可以得到c =5，又由于该图象过 点（-1，0）、（4，0），则：50,16450.a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解这个方程组，得5,415.4a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴ 所求的二次函数解析式为2515544y x x =-++. ∵504a =-<， ∴当1534522()4x =-=⨯-时，y 有最大值225154()5()41254454164()4ac b a ⨯-⨯--==⨯-. 解法2：设图象经过A 、C 、B 三点的二次函数的解析式为(4)(1)y a x x =-+，CO A B xy∵ 点C （0，5）在图象上，∴ 5(04)(01)a =-+，即54a =-．∴ 所求的二次函数解析式为5(4)(1)4y x x =--+． ∵ 点A 、B 的坐标分别为点A (1,0)-、B (4,0)，∴ 线段AB 的中点坐标为3(,0)2，即抛物线的对称轴为直线32x =． ∵ 504a =-<， ∴ 当32x =时，y 有最大值533125(4)(1)42216y =--+=.23．本小题主要考查从文字信息中读取有效信息、数据处理能力，考查分类的数学思想，考查建立不等式（组）模型解决实际问题的能力．满分12分． 解：（1）当两个班分别购买门票时，甲班购买门票的费用为56×10×0.8＝448（元）； 乙班购买门票的费用为54×10×0.8＝432（元）； 甲、乙两班分别购买门票共需花费880元． 当两个班一起购买门票时，甲、乙两班共需花费（56＋54）×10×0.7＝770（元）． 答：甲、乙两班购买门票最少共需花费770元．（2）当多于30人且不足100人时，设有x 人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜，根据题意，得，30100,0.8101000.710.x x <<⎧⎨⨯>⨯⨯⎩ 解这个不等式组，得87.5100x <<.答：当多于30人且不足100人时，至少有88人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜.24. 本小题主要考查一次函数、两条直线垂直的性质、三角形相似、等腰三角形、点与坐标等基础知识，考查对数形结合思想的理解，考查分类的数学思想，考查运算和推理能力．满分14分． 解：（1）∵ 一次函数y ＝kx +k 的图象经过点（1，4），∴ 4＝k ×1+k ，即k ＝2. ∴ y ＝2x +2.当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝－1. 即A （－1，0），B （0，2）.如图，直线AB 是一次函数y ＝2x +2的图象. （2）∵ PQ ⊥AB ，∴ ∠QPO =90°－∠BAO . 又∵∠ABO =90°－∠BAO ， ∴ ∠ABO =∠QPO . ∴ Rt △ABO ∽Rt △QPO .∴ AO OBQO OP=，即12b a =. ∴ a ＝2b . （3）由（2）知a ＝2b . ∴ AP ＝AO +OP ＝1+a ＝1+2b ，22221AQ OA OQ b =+=+，22222222(2)5PQ OP OQ a b b b b =+=+=+=.若AP ＝AQ ，即AP 2＝AQ 2，则22(12)1b b +=+，即0b =或-43，这与0b >矛盾，故舍去；若AQ ＝PQ ，即AQ 2＝PQ 2，则2215b b +=，即1(2b =或-舍去）12，此时，2AP =，12OQ =，111122222APQ S AP OQ =⨯⨯=⨯⨯=△（平方单位）.若AP ＝PQ ，则125b b +=，即25b =+. 此时12525AP b =+=+，25OQ =+.119(525)(25)105222APQ S AP OQ =⨯⨯=⨯+⨯+=+△（平方单位）.∴ △APQ 的面积为12平方单位或（91052+）平方单位.O1 xyAB PQ O1 xyA B25. 本小题主要考查三角形、图形的旋转、平行四边形等基础知识，考查空间观念、演绎推理能力．满分12分． （1）证法1：在Rt △EBC 中，M 是斜边EC 的中点， ∴ 12BM EC =． 在Rt △EDC 中，M 是斜边EC 的中点， ∴ 12DM EC =． ∴ BM =DM ，且点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心、BM 为半径的圆上． ∴ ∠BMD =2∠ACB =90°，即BM ⊥DM ． 证法2：证明BM =DM 与证法1相同，下面证明BM ⊥DM ． ∵ DM =MC ， ∴ ∠EMD =2∠ECD ． ∵ BM =MC ， ∴ ∠EMB =2∠ECB ．∴ ∠EMD ＋∠EMB =2（∠ECD ＋ECB ）． ∵ ∠ECD ＋∠ECB =∠ACB =45°， ∴ ∠BMD =2∠ACB =90°，即BM ⊥DM ．（2）当△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立． 证明如下：证法1（利用平行四边形和全等三角形）：连结BD ，延长DM 至点F ，使得DM =MF ，连结BF 、FC ，延长ED 交AC 于点H ． ∵ DM =MF ，EM =MC ， ∴ 四边形CDEF 为平行四边形. ∴ DE ∥CF ，ED =CF . ∵ ED = AD , ∴ AD =CF . ∵ DE ∥CF ， ∴ ∠AHE =∠ACF ．MDBACEM DBACEHFMDBACED '∵ 4545(90)45BAD DAH AHE AHE ∠=-∠=--∠=∠-,45BCF ACF ∠=∠-， ∴ ∠BAD =∠BCF . 又∵AB = BC , ∴ △ABD ≌△CBF . ∴ BD =BF ，∠ABD =∠CBF . ∵ ∠ABD +∠DBC =∠CBF +∠DBC ， ∴∠DBF =∠ABC =90°.在Rt △DBF 中，由BD BF =,DM MF =，得BM =DM 且BM ⊥DM ． 证法2（利用旋转变换）：连结BD ，将△ABD 绕点B 逆时针旋转90°，点A 旋转到点C ，点D 旋转到点D '，得到△CBD '，则,,,BD BD AD CD BAD BCD '''==∠=∠且90DBD '∠=．连结MD '． ∵CED ∠CEA DEA =∠-∠(180)45180(90)4545ECA EAC ECA BAD ECA BADECB BAD ECB BCD ECD =-∠-∠-=-∠--∠-=-∠+∠=∠+∠'=∠+∠'=∠∴ //DE CD '．又∵DE AD CD '==，∴ 四边形EDCD '为平行四边形． ∴ D 、M 、D '三点共线，且DM MD '=．在Rt △DBD '中，由BD BD '=,DM MD '=，得BM =DM 且BM ⊥DM ． 证法3（利用旋转变换）：连结BD ，将△ABD 绕点B 逆时针旋转90°，点A 旋转到点C ，点D 旋转到点D '，得到△CBD '，则,,,BD BD AD CD BAD BCD '''==∠=∠且90DBD '∠=． 连结MD '，延长ED 交AC 于点H ．∵ ∠AHD = 90°－∠DAH = 90°－(45°－∠BAD )= 45°＋∠BAD ，45ACD BCD ''∠=+∠，∵BAD BCD '∠=∠，M DBACEHD '∴AHD ACD '∠=∠． ∴ //DE CD '． 又∵DE AD CD '==，∴ 四边形EDCD '为平行四边形． ∴ D 、M 、D '三点共线，且DM MD '=．在Rt △DBD '中，由BD BD '=,DM MD '=，得BM =DM 且BM ⊥DM ．。
2007天河中考练习试卷(数学)参考答案及评分标准
2007天河中考练习试卷（数学）参考答案及评分标准一、选择题：二、填空题：11．()21a x + （a(x+1)(x+1)不扣分） 12．４ （此题设计有误，就按这个答案评卷） 13．2y x=（写k=2得２分）14．１ 15． （没有化简或计算器算出4.24扣１分） 16．4π（计算器算出0.785扣１分三、解答题：17．解：x ( x – 2 ) = 3 ( x + 2 ) …………2分 x 2 – 2x = 3x + 6…………4分 x 2 – 5x – 6 = 0…………５分( x – 6 ) ( x + 1 ) = 0或者52x =……..７分 x 1 = 6，x 2 = – 1 …………9分18．证明：∵ AB = AC∴ ∠ABC = ∠ACB …………2分 ∵ ∠ADB = ∠ACB∴ ∠ADB = ∠ABC …………4分 ∵ ∠BAE = ∠BAD∴ △ABE ∽ △ADB …………6分 ∴AB AEAD AB=…………8分 ∴ AB 2 = AD •AE …………9分19．解：（1）样本是：今年参加中考学生的视力情况…………3分 （2）∵6030100%37.5%2040906030+⨯=++++∴ 视力正常的学生占被统计人数的37.5%…………7分（列式对答案错得２分, 列式错但答案对得１分，只写答案得３分）(写成0.375扣１分) （3）学生应重视用眼卫生，保护眼睛。
…………10分20．解：设本场比赛邓肯得了x 分，则纳什得分为（x+12）分…………１分由题意,得⎩⎨⎧>+>+-xx x x 3)12(2,10)12(2 …………5分解得22<x<24. …………８分因为x 是整数，所以x=23 …………9分答：马刺队赢了，邓肯得了23分. …………10分没有“马刺队赢了”扣１分…………４分因为P （积为奇数）=13， P （积为偶数）=23；…………７分所以甲获胜的机会大。
2007年广州市初中毕业生学业考试数学试题
2007年广州市初中毕业生学业考试数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写座位号，再用2B 铅笔把对应号码的标号涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题同的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（每小题3分，共30分）1、下列各数中，最小．．的数是（ ）A ．－2B ．－1C ．0D 2、下列立体图形中，是多面体的是（ ）3、下列计算中，正确的是（ ）A ．33x x x =B ．3x x x -=C ．32x x x ÷=D ．336x x x +=4、下列命题中，正确的是（ ）A ．对顶角相等B ．同位角相等C ．内错角相等D ．同旁内角互补5、以11x y =⎧⎨=-⎩为解的二元一次方程组是（ ）A ．01x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．01x y x y +=⎧⎨-=-⎩C ．02x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．02x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 6、下列各图中，是轴对称图案的是（ ）7、二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38、小明由A 点出发向正东方向走10米到达B 点，再由B 点向东南方向走10米到达C 点，则正确的是（ ）A ．∠ABC=22.5°B ．∠ABC=45°C ．∠ABC=67.5°D ．∠ABC=135°9、关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ）A ．0p >且q >0B ．0p >且q <0C ．0p <且q >0D ．0p <且q <010、如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，∠C=60°，如果⊙O 的半径为2，则结论错误的是（ ）A ．AD DB = B ． AE EB=C ．1OD = D ．AB =二、填空题（每小题3分，共18分）11、化简2-= .12、方程511x =+的解是 . 13、线段AB=4㎝，在线段AB 上截取BC=1㎝，则AC= ㎝.14x 的取值范围是15、已知广州市的土地总面积是74342km ，人均占有的土地面积S （单位：2/km 人），随全市人口n （单位：人）的变化而变化，则S 与n 的函数关系式是 .16、如图，点D是AC的中点，将周长为4㎝的菱形ABCD沿对角线AC方向平移AD长度得到菱形OB’C’D’,则四边形OECF的周长是㎝三、解答题17、（9分）请以下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式。