上海市杨浦高级中学2017-2018学年高一上学期第一次月考数学试题(原卷版)
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杨浦高级中学17-18学年高一数学第一学期第一次考试
一、填空题(每题4分，共40分)
1.命题“设若则或”的逆否命题是：________.
2.已知全集,则集合用含的集合运算式可以表示为______.
3.已知，若，则的取值范围是___________.
4.已知集合那么______________.
5.设与分别是与的否定，如果是成立的必要非充分条件，那么是成立的______.(填写充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、非充分非必要条件)
6.设非空集合，，且满足，则实数的取值范围是
__________.
7.满足，且的集合的个数是_____________.
8.若集合，且，则实数的取值范围是_____________.
9.方程有两个不相等的负实数根的充要条件是__________.
10.已知集合，对它的非空子集，可将中每一个元素都乘以，再求和(如
，可求得和为)，则对的所有非空子集，这些和的总和是______.
二、选择题(每题5分，共20分)
11.设为全集，是的两个非空子集，且，则下面论断必定正确的是（）
A. B.
C. D.
12.设，如果且那么符合条件的集合的个数是
（）
A. 4
B. 10
C. 11
D. 12
13.已知，，则是的（）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
14.“”是“”成立的( )
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
三、解答题()
15.设，或，若是的充分条件，求实数的取值范围.
16.已知命题方程无实根,命题:方程有实根，若命题中有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围.
17.设集合，，，若，求实数的值.
18.设集合，，若集合，试用列举法表示集合
19.已知关于的方程的两根为，方程的两根为，如果互不相等，设集合
，作集合；；若已知
，求实数的值.。
2017年秋高一数学第一学期第一次月考测试题(有详细答案)
2017秋高一数学上学期第一次月考测试题2017-9-27一、选择题：(本大题共60分)1．已知集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，那么m 的值为 （ ） A ．1 B ．—1 C ．1或—1D ．1或—1或02．函数2xy -=的概念域为（ ）A 、(],2-∞B 、(],1-∞C 、11,,222⎛⎫⎛⎤-∞ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ D 、11,,222⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3. 以下五个写法中：①｛0｝∈｛0，1，2｝；②⊆∅｛1，2｝；③｛0，1，2｝＝｛2，0，1｝；④∅∈0；⑤A A =∅⋂，正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．假设U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）（1）假设()()U B C A C B A U U == 则,φ （2）假设()()φ==B C A C U B A U U 则, （3）假设φφ===B A B A ，则 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．以下各组函数表示同一函数的是 （ ）A ．22(),()()f x x g x x ==B ．0()1,()f x g x x ==C ．3223(),()()f x x g x x ==D ．21()1,()1x f x x g x x -=+=-6．假设函数()1,(0)()(2),0x x f x f x x +≥⎧=⎨+<⎩，那么)3(-f 的值为（ ）A ．5B ．－1C ．－7D ．2 7、假设函数y=f(x)的图象过点（1,-1），那么y=f(x-1)-1的图像必过点（ ） A. (2,-2) B.(1,-1) C. (2,-1) D. （-1,-2）8．给出函数)(),(x g x f 如下表，那么f 〔g （x ）〕的值域为（ ）A.{4,2}B.{1,3}C. {1,2,3,4}D. 以上情形都有可能9.函数f(x)= x 2+2(a －1)x+2在区间(－∞,4)上递减,则a 的取值范围是( ) A. [)3,-+∞B. (],3-∞-C. (－∞,5)D.[)3,+∞x 1 2 3 4 g(x) 1 133x 1 2 3 4 f(x) 4 3 2 110.设集合P={m|－1＜m ≤0}，Q={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 成立}，那么以下关系中成立的是（ ） A ．P Q B ．Q P C ．P =Q D ．P ∩Q =φ11．已知函数f (x )的概念域为[a ，b ]，函数y ＝f (x )的图象如图甲所示，那么函数f (|x |)的图象是图2乙中的( )甲乙12.函数()12ax f x x +=+在区间()2,-+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()2,-+∞D ．()(),11,-∞-+∞二、填空题：(本大题共20分)13．假设函数1)1(2-=+x x f ，那么)2(f ＝_____ __ _____14．假设函数)(x f 的概念域为[－1，2]，那么函数)23(x f -的概念域是 ．15. 集合2{|32}A x y x x ==--，集合2{|23[03]}B y y x x x ==-+∈，，， 那么A ∩B=（ ）16.函数224y x x =-+ ）三、解答题：本大题共6小题，共70分。
上海市上海中学2017-2018学年高三10月月考数学试题 Word版含答案
2017-2018学年第一学期高三数学第一次测验试卷高三年级数学试卷（共4页）一．填空题1、已知全集U=R，集合P=x|x-2{³1}，则C U P=2、设复数z1=1+i,z2=-2+xi(xÎR),若z1·z2ÎR，则x的值等于3、已知圆C: x2+y2=r2与直线3x-4y+10=0相切，则圆C的半径r=4、如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成的角的大小为arctan 23，则该正四棱柱的高等于5、已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点与双曲线: x27-y22=1的右焦点重合，则抛物线C的方程是6、在二项式(x2-2x)5的展开式中，x的一次项系数为。
（用数字作答）7、已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角a的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第三象限内的点A(xA ,-45)，则sin2a=。
（用数值表示）8、设无穷等比数列{a n}(nÎN*)的公比q=-13,a1=1,则n®¥lim(a2+a4+a6+···+a2n)=9、某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是cm310、在D ABC中，已知且D ABC的面积S=1，则的值为11、现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-2为公比的等不数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是12、设f(x)是定义域在R上且周期为2的函数，在区间[-1,1]上, f(x)=ax+1,-1£x£0 bx+2x+1,0£x£1ìíïîï其中a,bÎR，若f(12)=f(32)，则ba3的值为13、定义：曲线C上的点到直线L的距离的最小值称为曲线C到直线L的距离。
2017年上海市杨浦区高考数学一模试卷
2017年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分1．（4分）若“a＞b”，则“a3＞b3”是命题（填：真、假）2．（4分）已知A=（﹣∞，0]，B=（a，+∞），若A∪B=R，则a的取值范围是．3．（4分）z+2=9+4i（i为虚数单位），则|z|=．4．（4分）若△ABC中，a+b=4，∠C=30°，则△ABC面积的最大值是．5．（4分）若函数f（x）=log2的反函数的图象经过点（﹣2，3），则a=．6．（4分）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是．7．（5分）抛掷一枚均匀的骰子（刻有1，2，3，4，5，6）三次，得到的数字依次记作a，b，c，则a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根的概率是．8．（5分）设常数a＞0，（x+）9展开式中x6的系数为4，则（a+a2+…+a n）=．9．（5分）已知直线l经过点且方向向量为（2，﹣1），则原点O到直线l的距离为．10．（5分）若双曲线的一条渐近线为x+2y=0，且双曲线与抛物线y=x2的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为．11．（5分）平面直角坐标系中，给出点A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1=0存在点P，使得|PA|=2|PB|，则实数m的取值范围是．12．（5分）函数y=f（x）是最小正周期为4的偶函数，且在x∈[﹣2，0]时，f （x）=2x+1，若存在x1，x2，…x n满足0≤x1＜x2＜…＜x n，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f （x2）﹣f（x1）|+…+|f（x n﹣f（x n））|=2016，则n+x n的最小值为．﹣1二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．（5分）若与﹣都是非零向量，则“•=•”是“⊥（﹣）”的（）A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（5分）行列式中，元素7的代数余子式的值为（）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．1215．（5分）一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A．5800 B．6000 C．6200 D．640016．（5分）若直线+=1通过点P（cosθ，sinθ），则下列不等式正确的是（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．+≤1 D．+≥1三、解答题（满分76分）共5题17．（14分）某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为55毫米线段AB和88毫米的线段AC以及圆心为P，半径为PB的一段圆弧BC构成，其中∠BAC=60°．（1）求半径PB的长度；（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）．V柱=S底•h．18．（14分）如图所示，l1，l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A，B在直线l1上，且位于M点的两侧，C在l2上，AM=BM=NM=CN（1）求证：异面直线AC与BN垂直；（2）若四面体ABCN的体积V ABCN=9，求异面直线l1，l2之间的距离．19．（14分）如图所示，椭圆C：+y2=1，左右焦点分别记作F1，F2，过F1，F2分别作直线l1，l2交椭圆AB，CD，且l1∥l2．（1）当直线l1的斜率k1与直线BC的斜率k2都存在时，求证：k1•k2为定值；（2）求四边形ABCD面积的最大值．20．（14分）数列{a n}，定义{△a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△a n=a n+1﹣a n（n∈N*）（1）若a n=n2﹣n，试判断{△a n}是否是等差数列，并说明理由；（2）若a1=1，△a n﹣a n=2n，求数列{a n}的通项公式；（3）对（b）中的数列{a n}，是否存在等差数列{b n}，使得b1C+b2C+…+b n C=a n，对一切n∈N*都成立，若存在，求出数列{b n}的通项公式，若不存在，请说明理由．21．（20分）对于函数f（x）（x∈D），若存在正常数T，使得对任意的x∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，我们称函数f（x）为“T同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T，f（x）=x2都不是“T同比不减函数”；（2）若函数f（x）=kx+sinx是“同比不减函数”，求k的取值范围；（3）是否存在正常数T，使得函数f（x）=x+|x﹣1|﹣|x+1|为“T同比不减函数”；若存在，求T的取值范围；若不存在，请说明理由．2017年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分1．（4分）若“a＞b”，则“a3＞b3”是真命题（填：真、假）【分析】利用函数f（x）=x3在R是单调增函数判定．【解答】解：函数f（x）=x3在R是单调增函数，∴当a＞b，一定有a3＞b3，故是真命题答案为：真．【点评】本题考查了命题的真假判定，涉及到不等式的性质，属于基础题．2．（4分）已知A=（﹣∞，0]，B=（a，+∞），若A∪B=R，则a的取值范围是a ≤0．．【分析】利用集合的性质直接求解，解题时要注意的是a=0是成立的【解答】解：若A∪B=R，A=（﹣∞，0]，B=（a，+∞），必有a≤0；故答案为：a≤0．【点评】本题考查集合的包含关系的判断，解题的关键是分析出集合A、B的关系．3．（4分）z+2=9+4i（i为虚数单位），则|z|=5．【分析】设z=x+yi（x，y∈R），代入z+2=9+4i，化为：3x﹣yi=9+4i，利用复数相等即可得出．【解答】解：设z=x+yi（x，y∈R），∵z+2=9+4i，∴x+yi+2（x﹣yi）=9+4i，化为：3x﹣yi=9+4i，∴3x=9，﹣y=4，解得x=3，y=﹣4．∴|z|==5．故答案为：5．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（4分）若△ABC中，a+b=4，∠C=30°，则△ABC面积的最大值是1．【分析】由条件可得△ABC的面积S=ab•sinC，再利用正弦函数的值域、基本不等式求得S的最大值．【解答】解：在△ABC中，∵C=30°，a+b=4，∴△ABC的面积S=ab•sinC=ab•sin30°=ab≤×（）2=×4=1，当且仅当a=b=2时取等号，故答案为：1．【点评】本题主要考查三角形的面积，基本不等式的应用，属于基础题．5．（4分）若函数f（x）=log2的反函数的图象经过点（﹣2，3），则a=2．【分析】由函数f（x）=log2的反函数的图象经过点（﹣2，3），得函数f（x）=log2的图象经过点（3，﹣2），代入计算可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=log2的反函数的图象经过点（﹣2，3），∴函数f（x）=log2的图象经过点（3，﹣2），∴﹣2=log2，∴a=2，故答案为2．【点评】本题考查了反函数，考查学生的计算能力，属于基础题．6．（4分）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是π．【分析】充分利用球的半径OA、球心与截面圆心的连线、OA在截面圆上的射影构成的直角三角形解决即可．【解答】解：设截面的圆心为Q，由题意得：∠OAQ=60°，QA=1，∴S=π•12=π．答案：π．【点评】本题主要考查了球的性质、直线与平面所成的角，还考查了空间想象力．7．（5分）抛掷一枚均匀的骰子（刻有1，2，3，4，5，6）三次，得到的数字依次记作a，b，c，则a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根的概率是．【分析】基本事件总数n=6×6×6=216，由a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根，得a=1，c=b2+1，由此能求出a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根的概率．【解答】解：抛掷一枚均匀的骰子（刻有1，2，3，4，5，6）三次，得到的数字依次记作a，b，c，基本事件总数n=6×6×6=216，∵a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根，∴（a+bi）2﹣2（a+bi）+c=0，即，∴a=1，c=b2+1，∴a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根包含的基本事件为：（1，1，2），（1，2，5），∴a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根的概率是p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．8．（5分）设常数a＞0，（x+）9展开式中x6的系数为4，则（a+a2+…+a n）=．【分析】由=，根据x6的系数为4，求出r=2，从而=4，解得a=，由此能求出（a+a2+…+a n）的值．【解答】解：∵常数a＞0，（x+）9展开式中x6的系数为4，∴=，当时，r=2，∴=4，解得a=，∴a+a2+…+a n===（1﹣），∴（a+a2+…+a n）==．故答案为：．【点评】本题考查数列的前n项和极限的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项式定理、极限性质的合理运用．9．（5分）已知直线l经过点且方向向量为（2，﹣1），则原点O到直线l的距离为1．【分析】通过方向向量求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，通过点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线的方向向量为（2，﹣1），所以直线的斜率为：﹣，直线方程为：x+2y+=0，由点到直线的距离可知：=1；故答案为：1．【点评】本题是基础题，考查直线的方程的求法，得到直线的距离的求法，考查计算能力．10．（5分）若双曲线的一条渐近线为x+2y=0，且双曲线与抛物线y=x2的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为．【分析】求出抛物线的准线方程，得到双曲线的实半轴的长，利用双曲线的渐近线方程，求解即可．【解答】解：抛物线y=x2的准线：y=﹣，双曲线与抛物线y=x2的准线仅有一个公共点，可得双曲线实半轴长为a=，焦点在y轴上．双曲线的一条渐近线为x+2y=0，∴=，可得b=，则此双曲线的标准方程为：．故答案为：．【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）平面直角坐标系中，给出点A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1=0存在点P，使得|PA|=2|PB|，则实数m的取值范围是m≥或m≤﹣．【分析】根据题意，设出点P（1﹣my，y），代入|PA|=2|PB|，化简得（4﹣m2）y2﹣8y+16=0，由△≥0，求出实数m的取值范围．【解答】解：设P（1﹣my，y），∵|PA|=2|PB|，∴|PA|2=4|PB|2，∴（1﹣my﹣1）2+y2=4（1﹣my﹣4）2+y2，化简得（m2+1）y2+8my+12=0则△=64m2﹣48m2﹣48≥0，解得m≥或m≤﹣，即实数m的取值范围是m≥或m≤﹣．故答案为：m≥或m≤﹣．【点评】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了两点间的距离公式的应用问题，是基础题目．12．（5分）函数y=f（x）是最小正周期为4的偶函数，且在x∈[﹣2，0]时，f （x）=2x+1，若存在x1，x2，…x n满足0≤x1＜x2＜…＜x n，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f﹣f（x n））|=2016，则n+x n的最小值为1513．（x2）﹣f（x1）|+…+|f（x n﹣1【分析】由函数y=f（x）是最小正周期为4的偶函数可知函数的值域为[﹣3，1]，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）=4，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然min后可得n+x n的最小值．【解答】解：∵函数y=f（x）是最小正周期为4的偶函数，且在x∈[﹣2，0]时，f（x）=2x+1，∴函数的值域为[﹣3，1]，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=4，要使n+x n取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，且f（0）=1，f（2）=﹣3，∵0≤x1＜x2＜…＜x m，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n）﹣﹣1f（x n）|=2016，∴n的最小值为，相应的x n最小值为1008，则n+x n的最小值为1513．故答案为：1513．【点评】本题考查函数的图象和性质，考查函数的有界性的应用，考查了分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，属于难题二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．（5分）若与﹣都是非零向量，则“•=•”是“⊥（﹣）”的（）A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】根据向量数量积运算和向量垂直的充要条件，可得答案．【解答】解：“•=•”⇔“•﹣•=0”⇔“•（﹣）=0”⇔“⊥（﹣）”，故“•=•”是“⊥（﹣）”的充要条件，故选：C．【点评】本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0、考查向量的数量积满足分配律．14．（5分）行列式中，元素7的代数余子式的值为（）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．12【分析】利用代数余子式的定义和性质求解．【解答】解：∵行列式，∴元素7的代数余子式为：D13=（﹣1）4=2×6﹣5×3=﹣3．故选：B．【点评】本题考查余子式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余子式的性质的合理运用．15．（5分）一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A．5800 B．6000 C．6200 D．6400【分析】由已知能求出8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400，6300]，由此能求出结果．【解答】解：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时，中位数为=5400，当另外两名员工的工资都大于6500时，中位数为=6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400，6300]，∴8位员工月工资的中位数不可能是6400．故选：D．【点评】本题考查中位数的求法及判断，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数性质的合理运用．16．（5分）若直线+=1通过点P（cosθ，sinθ），则下列不等式正确的是（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．+≤1 D．+≥1【分析】先把点代入得到bcosθ+asinθ=ab，即可得到（sinθ+φ）=ab，得到≤ab，问题得以判断【解答】解：直线+=1通过点P（cosθ，sinθ），∴bcosθ+asinθ=ab，∴sin（θ+φ）=ab，其中tanφ=，∴≥ab，∴a2+b2≥a2b2，∴+≥1，故选：D．【点评】本题考查了直线和点的位置关系以及三角函数的问题，属于中档题．三、解答题（满分76分）共5题17．（14分）某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为55毫米线段AB和88毫米的线段AC以及圆心为P，半径为PB的一段圆弧BC构成，其中∠BAC=60°．（1）求半径PB的长度；（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）．V柱=S底•h．【分析】（1）在△ABP中，由余弦定理建立方程，即可求半径PB的长度；（2）求出V柱=S底•h，即可求该零件的重量．【解答】解：（1）∵AB=55，AC=88，BP=R，∠BAC=60°．AP=88﹣R，∴在△ABP中，由余弦定理可得：BP2=AB2+AP2﹣2AB•AP•cos∠BAC，可得：R2=552+（88﹣R）2﹣2×55×（88﹣R）×cos60°，∴解得：R=49mm．（2）在△ABP中，AP=88﹣49=39mm，AB=55，BP=49，cos∠BPA==≈0.2347，∴sin∠BPA≈0.972．∴∠BPA=arcsin0.972．V柱=S底•h=（S△ABP+S扇形BPC）•h=（+）•3该零件的重量=（+）•3÷1000×8.9≈82.7．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查面积的计算，属于中档题．18．（14分）如图所示，l1，l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A，B在直线l1上，且位于M点的两侧，C在l2上，AM=BM=NM=CN（1）求证：异面直线AC与BN垂直；（2）若四面体ABCN的体积V ABCN=9，求异面直线l1，l2之间的距离．【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；（2）判断异面直线的距离，利用体积公式求解即可．【解答】解：（1）证明：由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．∴AC⊥NB（2）∵AM=BM=NM=CN，MN是它们的公垂线段，就是异面直线l1，l2之间的距离，由中垂线的性质可得AN=BN，四面体ABCN的体积V ABCN=9，可得：V ABCN=9==MN3，∴MN=3．异面直线l1，l2之间的距离为3．【点评】本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．19．（14分）如图所示，椭圆C：+y2=1，左右焦点分别记作F1，F2，过F1，F2分别作直线l1，l2交椭圆AB，CD，且l1∥l2．（1）当直线l1的斜率k1与直线BC的斜率k2都存在时，求证：k1•k2为定值；（2）求四边形ABCD面积的最大值．【分析】（1）由椭圆方程求出焦点坐标，得到直线AB、CD的方程，与椭圆方程联立求得A、D的坐标，求出AD所在直线斜率得答案；（2）由（1）结合弦长公式求得|AB|，再由两平行线间的距离公式求出边AB、CD的距离，代入平行四边形面积公式，利用换元法求得最值．【解答】（1）证明：由椭圆C：+y2=1，得a2=4，b2=1，∴．设k1=k，则AB所在直线方程为y=kx+，CD所在直线方程为y=kx﹣，联立，得（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0．解得，不妨取，则同理求得，．则==，则k1•k2=；（2）解：由（1）知，，|AB|===．AB、CD的距离d=，∴=．令1+4k2=t（t≥1），则，∴当t=3时，S max=4．【点评】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了换元法求函数的最值，考查计算能力，是中档题．20．（14分）数列{a n}，定义{△a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△a n=a n+1﹣a n（n∈N*）（1）若a n=n2﹣n，试判断{△a n}是否是等差数列，并说明理由；（2）若a1=1，△a n﹣a n=2n，求数列{a n}的通项公式；（3）对（b）中的数列{a n}，是否存在等差数列{b n}，使得b1C+b2C+…+b n C=a n，对一切n∈N*都成立，若存在，求出数列{b n}的通项公式，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据数列{a n}的通项公式a n=n2﹣n，结合新定义，可判定{△a n}是首项为4，公差为2的等差数列；（2）由△a n﹣a n=2n入手能够求出数列{a n}的通项公式；（3）结合组合数的性质：1C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n=n（C n﹣10+C n﹣11+C n﹣12+…+C n﹣1n﹣1）=n•2n﹣1进行求解．【解答】解：（1）若a n=n2﹣n，试判断{△a n}是等差数列，理由如下：∵a n=n2﹣n，∴△a n=a n+1﹣a n=（n+1）2﹣（n+1）﹣（n2﹣n）=2n，∵△a n﹣△a n=2，且△a1=4，+1∴{△a n}是首项为4，公差为2的等差数列；（2）∵△a n﹣a n=2n．△a n=a n+1﹣a n，﹣2a n=2n，∴a n+1∴﹣=，（6分）∴数列{}构成以为首项，为公差的等差数列，即=⇒a n=n•2n﹣1；（3）b1C n1+b2C n2+…+b n C n n=a n，即b1C n1+b2C n2+…+b n C n n=n•2n﹣1，∵1C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n=n（C n﹣10+C n﹣11+C n﹣12+…+C n﹣1n﹣1）=n•2n﹣1，∴存在等差数列{b n}，b n=n，使得b1C n1+b2C n2+…+b n C n n=a n对一切自然n∈N都成立．【点评】第（1）题考查等差数列的证明，解题时要注意等差数列性质的合理运用；第（2）题考查数列通项公式的求解方法，解题时要注意构造法的合理运用；第（3）题考查数列前n项和的证明，解题时要注意裂项求和法的合理运用．21．（20分）对于函数f（x）（x∈D），若存在正常数T，使得对任意的x∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，我们称函数f（x）为“T同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T，f（x）=x2都不是“T同比不减函数”；（2）若函数f（x）=kx+sinx是“同比不减函数”，求k的取值范围；（3）是否存在正常数T，使得函数f（x）=x+|x﹣1|﹣|x+1|为“T同比不减函数”；若存在，求T的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据T同比不减函数的定义即可证明，（2）根据T同比不减函数的定义，分离参数得到k≥sin（x﹣），根据三角形函数的性质即可求出k的范围，（3）画出函数f（x）的图象，根据图象的平移即可求出T的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=x2，∴f（x+T）﹣f（x）=（x+T）2﹣x2=2xT+T2=T（2x+T），由于2x+T与0的小无法比较，∴f（x+T）≥f（x）不一定成立，∴对任意正常数T，f（x）=x2都不是“T同比不减函数，（2）∵函数f（x）=kx+sinx是“同比不减函数，∴f（x+）﹣f（x）=k（x+）+sin（x+）﹣kx﹣sinx=+cosx﹣sinx=﹣sin（x﹣）≥0恒成立，∴k≥sin（x﹣），∵﹣1≤sin（x﹣）≤1，∴k≥，（3）f（x）=x+|x﹣1|﹣|x+1|图象如图所示，由图象可知，只要把图象向左至少平移4个单位，即对任意的x∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，∴T≥4．【点评】本题考查了新定义的理解和应用，考查了学生的分析问题，应用问题，解决问题的能力，属于中档题．。
2017-2018学年上海市杨浦区控江中学高三(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海市杨浦区控江中学高三（上）第一次月考数学试卷一、填空题（1-6题4分，7-12题5分）1．若全集U=R，集合M={x|x（x﹣2）≤0}，N={1，2，3，4}，则N∩∁U M=．2．若函数，，则f（x）+g（x）=．3．在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为．4．在，则函数y=tanx的值域为．5．（文）在数列{a n}中，a1=1，，则数列的各项和为．6．若函数f（x）=（x≥0）的反函数是f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集为．7．设O为坐标原点，若直线与曲线相交于A、B点，则扇形AOB的面积为．8．若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为．9．设P是双曲线上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d1，d2，则d1•d2=．10．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D，若在其12条棱中随机地取3条，则这三条棱两两是异面直线的概率是（结果用最简分数表示）11．若F是抛物线y2=4x的焦点，点P i（i=1，2，3，…，10）在抛物线上，且，则=．12．若函数最大值记为g（t），则函数g（t）的最小值为．二、选择题（每题5分）13．下列命题中的假命题是（）A．若a＜b＜0，则B．若，则0＜a＜1C．若a＞b＞0，则a4＞b4D．若a＜1，则14．若集合，则“x∈A”是“x ∈B”成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．如图，在四面体ABCD，AB=CD，M，N分别是BC，AD的中点，若AB与CD 所成的角的大小为60°，则MN和CD所成的角的大小为（）A．30°B．60°C．30°或60°D．15°或60°16．若函数，关于x的方程f2（x）﹣（a+1）f（x）+a=0，给出下列结论：①存在这样的实数a，使得方程由3个不同的实根；②不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；③存在这样的实数a，使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数a，使得方程由6个不同的实数根．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题17．已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA′的长为10．（1）若侧棱AA′垂直于底面，求该三棱柱的表面积；（2）若侧棱AA′与底面所成的角为60°，求该三棱柱的体积．18．已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．19．已知函数f（x）=2sin2x+sin2x﹣1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）设，求sin2x0的值．20．（16分）已知n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，且2a n﹣S n=1．（1）求证：数列{a n}是等比数列，并求出通项公式；（2）对于任意a i、a j∈{a1，a2，…，a n}（其中1≤i≤n，1≤j≤n，i、j均为正整数），若a i和a j的所有乘积a i•a j的和记为T n，试求的值；（3）设，若数列{c n}的前n项和为C n，是否存在这样的实数t，使得对于所有的n都有成立，若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（18分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在实数a、k （k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，；当x=2时，f（x）=0．求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点．2017-2018学年上海市杨浦区控江中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（1-6题4分，7-12题5分）1．若全集U=R，集合M={x|x（x﹣2）≤0}，N={1，2，3，4}，则N∩∁U M={3，4} ．【分析】求解一元二次不等式化简M，求出其补集，再由交集运算得答案．解：∵M={x|x（x﹣2）≤0}={x|0≤x≤2}，∴∁U M={x|x＜0或x＞2}，又N={1，2，3，4}，∴N∩∁U M={3，4}．故答案为：{3，4}．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查了交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．2．若函数，，则f（x）+g（x）=1（0≤x≤1）．【分析】容易求出f（x），g（x）的定义域，求交集便可得出f（x）+g（x）的定义域，并可求得f（x）+g（x）=．解：；解得，0≤x≤1；∴（0≤x≤1）．故答案为：．【点评】考查函数定义域的概念，清楚f（x）+g（x）的定义域为f（x）和g（x）定义域的交集．3．在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为﹣560．【分析】直接利用二项式定理写出结果即可即可．解：在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为：=﹣560．故答案为：﹣560．【点评】本题考查二项式定理的应用，系数的求法，注意二项式系数与项的系数的区别．4．在，则函数y=tanx的值域为[﹣1，1] ．【分析】根据正切函数的图象与性质，求出x∈[﹣，]时函数y=tanx的值域即可．解：∵，∴﹣1≤tanx≤1，∴函数y=tanx的值域为[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．5．（文）在数列{a n}中，a1=1，，则数列的各项和为2．【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可的．解：∵a1=1，，∴数列{a n}为等比数列，首项为1，公比为2．∴a n=2n﹣1．∴=，∴数列是等比数列，首项为1，公比为．∴数列的各项和==2．故答案为：2．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．若函数f（x）=（x≥0）的反函数是f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集为{x|x＞1} ．【分析】由y=f（x）=（x≥0），求出f﹣1（x）=x3，x≥0，由此能求出不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集．解：设y=f（x）=（x≥0），则x=y3，x，y互换，得f﹣1（x）=x3，x≥0，∵f﹣1（x）＞f（x），∴，∴x9＞x，∴x8＞1，解得x＞1．∴不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集为{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．【点评】本题考查不等式的解集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质、反函数性质的合理运用．7．设O为坐标原点，若直线与曲线相交于A、B点，则扇形AOB的面积为．【分析】通过曲线方程确定曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点），y=时，∠AOB=π，即可求出扇形AOB的面积．解：由曲线，得x2+y2=1（y≥0）∴曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）y=时，∠AOB=π，扇形AOB的面积为=．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，利用数形结合，属于中档题．8．若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为450．【分析】根据侧面积公式求出棱柱的高，根据底面边长求出底面积，代入体积公式得出体积．解：设棱柱的底面边长为a，高为h，则S侧=6ah=60h=180，解得h=3．S底==150．∴正六棱柱的体积V=S底h=450．故答案为：450．【点评】本题考查了正棱柱的结构特征和体积计算，属于基础题．9．设P是双曲线上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d1，d2，则d1•d2=．【分析】先确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点P（x，y），求出点P到两条渐近线的距离，结合P在双曲线C上，即可求d1•d2的值．解：由条件可知：两条渐近线分别为x±y=0设双曲线C上的点P（x，y），则点P到两条渐近线的距离分别为d1=，d2=所以d1•d2=•==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，求出点P到两条渐近线的距离是关键，属于中档题．10．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D，若在其12条棱中随机地取3条，则这三条棱两两是异面直线的概率是（结果用最简分数表示）【分析】正方体ABCD﹣A1B1C1D，在其12条棱中随机地取3条，先求出基本事件总数，再求出这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，由此能求出这三条棱两两是异面直线的概率．解：正方体ABCD﹣A1B1C1D，在其12条棱中随机地取3条，基本事件总数n==220，这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数m=8，∴这三条棱两两是异面直线的概率是p===．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正方体的结构特征、等可能事件概率计算公式的合理运用．11．若F是抛物线y2=4x的焦点，点P i（i=1，2，3，…，10）在抛物线上，且，则=200．【分析】根据抛物线的定义得抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，因此求出抛物线的准线方程，结合题中数据加以计算，即可得到本题答案．解：∵抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线为x=﹣1，∴根据抛物线的定义，P i（i=1，2，3，…，2015）到焦点的距离等于P i到准线的距离，即|P i F|=x i+1，，可得1﹣x1+1﹣x2+…+1﹣x100=0，∴x1+x2+…+x100=100∴|P1F|+|P2F|+...|P100F|=（x1+1）+（x2+1）+...+（x100+1）=（x1+x2+ (x100)+100=100+100=200．故答案为：200．【点评】本题考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，考查向量等知识，属于中档题．12．若函数最大值记为g（t），则函数g（t）的最小值为．【分析】化简sinx+=sinx+3+﹣3，从而可得0≤sinx+3+﹣3≤，区间[0，]的中点值为，故讨论t与的大小，从而求得g（t）=f max（x）=，从而求值．解：∵sinx+=sinx+3+﹣3，∵﹣1≤sinx≤1，∴2≤sinx+3≤4，∴3≤sinx+3+≤，∴0≤sinx+3+﹣3≤，∴g（t）=f max（x）=，∴当t=时，函数g（t）有最小值为；故答案为；．【点评】本题考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想．二、选择题（每题5分）13．下列命题中的假命题是（）A．若a＜b＜0，则B．若，则0＜a＜1C．若a＞b＞0，则a4＞b4D．若a＜1，则【分析】正确选项进行证明，不正确选项，举出反例即可．解：对于A，a＜b＜0，则•a＜•b，∴，正确对于B，，则＞0，∴0＜a＜1，正确对于C，a＞b＞0，a4＞b4，正确；对于D，a=，=2＞1，不正确，故选：D．【点评】本题考查不等式的性质，考查命题的真假判断，属于中档题．14．若集合，则“x∈A”是“x ∈B”成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先分别求出集合A，B，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解：∵≥0，∴0≤x＜3，∴A=[0，3），∵lg|2x﹣3|＜0=lg1，∴|2x﹣3|＜1，且2x﹣3≠0，∴1＜x＜2，且x≠∴B=（1，）∪（，2），∴“x∈A”是“x∈B”成立的必要非充分条件，故选：B．【点评】此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．15．如图，在四面体ABCD，AB=CD，M，N分别是BC，AD的中点，若AB与CD 所成的角的大小为60°，则MN和CD所成的角的大小为（）A．30°B．60°C．30°或60°D．15°或60°【分析】取BD中点O，连结MO、NO，由已知得∠ONM是MN和CD所成的角（或补角），且∠MON=60°，OM=ON，由此能求出MN和CD所成的角的大小．解：取BD中点O，连结MO、NO，∵在四面体ABCD，AB=CD，M，N分别是BC，AD的中点，AB与CD所成的角的大小为60°，∴MO，NO，∴∠ONM是MN和CD所成的角（或所成角的补角），且∠MON=60°，OM=ON，∴∠ONM=60°，或∠ONM=30°，∴MN和CD所成的角为60°或30°．故选：C．【点评】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．若函数，关于x的方程f2（x）﹣（a+1）f（x）+a=0，给出下列结论：①存在这样的实数a，使得方程由3个不同的实根；②不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；③存在这样的实数a，使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数a，使得方程由6个不同的实数根．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由f2（x）﹣（a+1）f（x）+a=0可解得f（x）=1或f（x）=a，作函数的图象，从而讨论求解．解：∵f2（x）﹣（a+1）f（x）+a=0，∴f（x）=1或f（x）=a，作函数的图象如下，，当a=1时，方程有3个不同的实根，故①正确；当﹣1＜a＜1时，方程有6个不同的实根，故④不正确；当a＞1或a≤﹣1时，方程有5个不同的实根，故③正确；综上可知，不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；故②正确；故选：C．【点评】本题考查了复合函数的应用及数形结合的思想应用及分段函数．三、解答题17．已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA′的长为10．（1）若侧棱AA′垂直于底面，求该三棱柱的表面积；（2）若侧棱AA′与底面所成的角为60°，求该三棱柱的体积．【分析】（1）根据直三棱柱的表面积公式进行求解即可．（2）作出棱柱的高，结合三棱柱的体积公式进行求解即可．解：（1）因为侧棱AA′⊥底面ABC，所以三棱柱的高h等于侧棱AA′的长，而底面三角形ABC的面积S=AC•BC=6，周长c=4+3+5=12，2S△ABC=132．于是三棱柱的表面积S全=ch+（2）如图，过A作平面ABC的垂线，垂足为H，A′H为三棱柱的高．因为侧棱AA′与底面ABC所长的角为60°，所以∠A′AH=60°，又底面三角形ABC的面积S=6，故三棱柱的体积V=S•A′H=6×=30．【点评】本题主要考查三棱柱的表面积和体积的计算，根据直三棱柱和斜三棱柱的特点和性质，结合棱柱的表面积和体积公式进行计算是解决本题的关键．18．已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．【分析】（1）通过ACBD为正方形可知直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，进而联立直线与椭圆方程，利用对称性即得结论；（2）通过妨设直线l1的方程为y=kx，则直线l2的方程为y=﹣kx，设P（x0，y0），利用点到直线的距离公式及+=1，整理可知+的表达式，进而利用d12+d22为定值计算即得结论；（3）通过设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），联立切线AC的方程与椭圆方程，分x0=0或y0=0、x0≠0或y0≠0两种情况讨论即可．解：（1）∵ACBD为正方形，∴直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，设点A、B的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），解方程组，得==，由对称性可知，S=4=；（2）由题意，不妨设直线l1的方程为y=kx，则直线l2的方程为y=﹣kx，设P（x0，y0），则+=1，又∵d1=，d2=，∴+=+=，将=b2（1﹣）代入上式，得+=，∵d12+d22为定值，∴k2﹣=0，即k=±，于是直线l1和l2的斜率分别为和﹣，此时+=；（3）设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），则切线AC的方程为：x0x+y0y=1，点A、C的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）为方程组的实数解．①当x0=0或y0=0时，ACBD均为正方形，椭圆均过点（1，1），于是有+=1；②当x0≠0或y0≠0时，将y=（1﹣x0x）代入+=1，整理得：（a2+b2）x2﹣2a2x0x﹣a2（1+b2）=0，由韦达定理可知x1x2=，同理可知y1y2=，∵ACBD为菱形，∴AO⊥CO，即x1x2+y1y2=0，∴+=0，整理得：a2+b2=a2b2（+），又∵+=1，∴a2+b2=a2b2，即+=1；综上所述，a，b满足的关系式为+=1．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19．已知函数f（x）=2sin2x+sin2x﹣1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）设，求sin2x0的值．【分析】（1）由三角函数公式可得f（x）=sin（2x﹣），解2kπ﹣≤2x ﹣≤2kπ+可得单调递增区间；（2）由已知变形可得sin（x0﹣）=，由和差角公式可得sinx0﹣cosx0=，平方由二倍角的正弦可得．解：（1）变形可得函数f（x）=2sin2x+sin2x﹣1=sin2x﹣（1﹣2sin2x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）∵，∴f（）=sin（x0﹣）=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）+sin2α=cos2α﹣sin2α+sin2α=，即（sinx0﹣cosx0）=，∴sinx0﹣cosx0=，平方可得1﹣sin2x0=，故sin2x0=【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的单调性和二倍角公式，属基础题．20．（16分）已知n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，且2a n﹣S n=1．（1）求证：数列{a n}是等比数列，并求出通项公式；（2）对于任意a i、a j∈{a1，a2，…，a n}（其中1≤i≤n，1≤j≤n，i、j均为正整数），若a i和a j的所有乘积a i•a j的和记为T n，试求的值；（3）设，若数列{c n}的前n项和为C n，是否存在这样的实数t，使得对于所有的n都有成立，若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）当n≥2时通过2a n﹣S n=1与2a n﹣1﹣S n﹣1=1作差，进而计算可得结论；（2）通过（1）可得T n的表达式，进而计算即得结论；（3）通过（1）可知数列{c n}的通项公式，利用并项相加、分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．【解答】（1）证明：∵2a n﹣S n=1，﹣S n﹣1=1，∴当n≥2时，2a n﹣1两式相减，整理得：a n=2a n﹣1（n≥2），又∵2a1﹣S1=1，即a1=1，∴数列{a n}是首项为1、公比为2的等比数列，∴a n=2n﹣1；（2）解：∵T n=（1+2+22+…+2n﹣1）（1+2+22+…+2n﹣1）=•=4n﹣2•2n+1，∴==1；（3）结论：存在这样的实数t，使得对于所有的n都有成立．理由如下：由（1）可知，1+b n=3log2a n=3n﹣3，即b n=3n﹣4，b n+1=3n﹣1，故c n=（﹣1）n+1b n•b n+1=（﹣1）n+1（3n﹣4）（3n﹣1），c n+1=（﹣1）n+2（3n﹣1）（3n+2），特别地，当n为奇数时，有n+1为偶数，此时c n+c n+1=（3n﹣4）（3n﹣1）﹣（3n﹣1）（3n+2）=﹣6（3n﹣1），①若n为偶数，则C n=（c1+c2）+（c3+c4）+…+（c n﹣1+c n）=﹣6×[2+8+…+（3n﹣4）]=﹣n（3n﹣2），由可知t≤﹣（3﹣）对所有正偶数n都成立，故t≤﹣；②若n为奇数，则C n=C n﹣1+c n（n≥2），由①可知C n=﹣（n﹣1）（3n﹣5）+（3n﹣4）（3n﹣1）=n2﹣3n﹣，其中C1=﹣2满足上式；由①②可得实数t的取值范围是：t≤﹣，所以存在这样的实数t，使得对于所有的n都有成立．【点评】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．（18分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在实数a、k （k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，；当x=2时，f（x）=0．求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点．【分析】（1）由题意可得（a+x）2=k（a﹣x）2，化为（1﹣k）x2+2a（1+k）x+（1﹣k）a2=0对x∈R成立，需满足条件，解方程即可判断；（2）哟题意可得sin（a+x）=ksin（a﹣x），运用两角和差公式，化简结合余弦函数的值域即可得到所求数对；（3）由（1，1）和（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，所以f（1+x）=f （1﹣x）且f（2+x）=﹣f（2﹣x），可得f（x）为周期为4的函数，求得0＜x ＜1，1＜x＜2，2＜x＜3，3＜x＜4，x=0，1，2，3，4的函数解析式，可得2014＜x＜2015，2015＜x＜2016，x=2014，2015，2016的解析式，即可得到所求零点．解：（1）由f（x）=x2及f（a+x）=kf（a﹣x），可得（a+x）2=k（a﹣x）2，即为（1﹣k）x2+2a（1+k）x+（1﹣k）a2=0对x∈R成立，需满足条件，解得，故k=1≠0，a存在，所以f（x）=x2∈M．（2）由f（x）=sinx∈M得：sin（a+x）=ksin（a﹣x），sinacosx+cosasinx=k（sinacosx﹣cosasinx），所以（1+k）cosasinx+（1﹣k）sinacosx=0，sin（x+φ）=0对任意的x∈R都成立，只有k2+2kcos2a+1=0，即cos2a=﹣（k+），由于|k+|≥2（当且仅当k=±1时，等号成立），所以|cos2a|≥1，又因为|cos2a|≤1，故|cos2a|=1．其中k=1时，cos2a=﹣1，a=nπ+，n∈Z；k=﹣1时，cos2a=1，a=nπ，n∈Z．故函数f（x）的“伴随数对”为（nπ+，1）和（nπ，﹣1），n∈Z．（3）因为（1，1）和（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，所以f（1+x）=f（1﹣x）且f（2+x）=﹣f（2﹣x），于是f（x+4）=f（x），故函数f（x）是以4为周期的函数．若0＜x＜1，则1＜2﹣x＜2，此时f（x）=f（2﹣x）=﹣cos（x），若2＜x＜3，则1＜4﹣x＜2，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=﹣cos（x），若3＜x＜4，则0＜4﹣x＜1，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=cos（x），f（x）=故f（x）=当2014≤x≤2016时，函数f（x）的零点分别为2014，2015，2016．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的性质和运用，主要考查函数的周期性和函数的解析式的求法，函数的零点的求法，考查运算能力，属于中档题．。
2017-2018学年高一数学上学期第一次月考(9月)原创模拟卷(B卷,考试版)
数学试题 第1页（共4页） 数学试题 第2页（共4页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________2017-2018学年上学期第一次月考（9月）原创卷B 卷高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教必修1第1章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若21{}x x ∈,，则x = A ．1B ．1-C ．0或1D ．0或1或1-2．设全集{|6},{1,3,5},{4,5,6}U x x A B =∈≤==N ,则()UA B 等于A ．{4,6}B ．{5}C ．{1,3}D ．{0,2}3．下列各组函数中表示同一函数的是 A ．()1f x x =-与2()(1)g x x =-B ．()f x x =与2())g x x =C ．2()f x x x =-与2()g t t t =-D ．()1f x x =-与21()1x g x x -=+4．已知2(1)45f x x x -=+-,则()f x 的表达式是 A ．2()6f x x x =+B ．2()87f x x x =++C ．2()23f x x x =+-D ．2()610f x x x =+-5．某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程,在下图中,纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则较符合学生走法的是6．若集合1{|,}36n M x x n ==+∈Z ,1{|,}63n N x x n ==+∈Z ,则 A ．M N = B ．M ⊂≠N C ．N ⊂≠MD ．MN =∅7．若函数()()()21xf x x x a =+-为奇函数,则a 的值为A ．12 B ．23C ．34D ．18．已知函数(1)y f x =+的定义域是[2,3]-，则(|1)2|y f x =-的定义域是A ．5[0,]2B ．[]1,4-C ．55[,]22-D ．37[,]22-9．已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上是增函数，则(1)f -与2(23)f a a -+的大小关系是 A ．2(1)(23)f f a a --≥+B ．2(1)(23)f f a a --≤+C ．2(1)(23)f f a a -->+D ．2(1)(23)f f a a --<+10．设全集为U ，定义集合M 与N 的运算：{*|}M N x x MN x M N =∈∉且，则**()N N M =A ．MB ．NC ．()U MND ．()U NM11．已知偶函数()f x 的定义域为R ,若(1)f x -为奇函数,且(2)3f =,则(5)(6)f f +的值为A ．3-B ．2-C ．2D ．3数学试题 第3页（共4页） 数学试题 第4页（共4页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………12．已知定义在R 上的函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩对任意的12x x ≠，都有1212[(())()]x x f x f x --0>成立，则实数a 的取值范围是A ．[3,0)-B ．[3,2]--C ．(,2]-∞-D ．(,0)-∞第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合{(,)|46},{(,)|4}A x y x y B x y x y =+==-=,则AB =_______________.14．若()f x 为偶函数，当0x >时，()f x x =,则当0x <时，()f x = _______________. 15．函数21(),[0,3]23f x x x x =∈-+的最大值为_______________. 16．已知函数1241()41x x f x -+=+，则122016()()()201720172017f f f +++=_______________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知集合23{}20|A x ax x =∈+=-R . （1）若A =∅，求实数a 的取值范围； （2）若A 是单元素集，求a 的值及集合A ； 18．（本小题满分12分）已知函数35,0()5,0128,1x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩.（1）求1(),[(1)]πf f f -的值; （2）若()2f a >,求a 的取值范围. 19．（本小题满分12分）已知集合2{|230,},{|(2)(2)0,,}A x x x x B x x m x m x m =--≤∈=-+--≤∈∈R R R . （1）若{|03}AB x x =≤≤，求实数m 的值；（2）若A B ⊆R，求实数m 的取值范围.20．（本小题满分12分）已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ,b 的值；（2）若对任意的t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 21．（本小题满分12分）已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <，若(1)2f -=.（1） 求证：()f x 是R 上的减函数； （2） 求函数()f x 在区间[2,4]-上的值域. 22．（本小题满分12分）已知函数1()f x x x=-. （1）判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明函数()f x 在区间[1,)+∞上为增函数； （3）若函数()f x 在区间[2,]a 上的最大值与最小值之和不小于1122a a-，求a 的取值范围.。
2018届杨浦区高考数学一模(附答案)
杨浦区2017学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2017.12.19一、填空题1. 计算1lim 1n n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭的结果是____________ 2. 已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，若{}3A B ⋂=，则实数m=____________3. 已知3cos 5θ=-，则sin 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________ 4. 若行列式124012x -=，则x =____________5. 已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=____________6. 在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为____________ 7. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具），先后抛 掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是____________8. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点()()*,n n S n N ∈在函数()2log 1y x =+的反函数的图像上，则n a =____________9. 在ABC 中，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则角B 的最大值为____________ 10. 抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a -=的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为____________11. 已知函数()()cos sin f x x x x =-，x R ∈，设0a >，若函数()()g x f x α=+为奇函数，则α的值为____________ 12. 已知点C 、D 是椭圆2214x y +=上的两个动点，且点()0,2M ，若MD MC λ=，则实数λ的取值范围为____________二、选择题13. 在复平面内，复数2i z i-=对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 14. 给出下列函数：①2log y x = ②2y x = ③2x y = ④arcsin y x =其中图像关于y 轴对称的函数的序号是（ ）A.①②B.②③C. ①③D.②④ 15.“0t ≥”是“函数()2f x x tx t =+-在(),-∞+∞内存在零点”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16. 设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC 、ACD 、ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是（ ）A. 12B. 2C. 4D. 8三、解答题17. 如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边篱笆隔开.（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？18. 如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且OA=3，P 是母线BS 的中点.（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）.19. 已知函数()1ln 1x f x x+=-的定义域为集合A ，集合{},1B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数不是偶函数.20. 设直线l 与抛物线2:4y x Ω=相交于不同两点A 、B ，O 为坐标原点.（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l 又与圆()22:516C x y -+=相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，求直线l 的方程；（3）若0OA OB ⋅=，点Q 在线段AB 上，满足OQ AB ⊥，其点Q 的轨迹方程.21．若数列A ：1a ，2a ，……，()3n a n ≥中， i a ∈*N ()1i n ≤≤且对任意21k n ≤≤-，112k k k a a a +-+>恒成立，则称数列A 为“U -数列”．（1）若数列1，x ，y ，7为“U -数列”，写出所有可能的x ，y ；（2）若“U -数列”A ：1a ，2a ，……，n a 中，11a =，2017n a =，求n 的最大值；（3）设0n 为给定的偶数，对所有可能的“U -数列”A ：1a ，2a ，……，0n a ，记{}012max ,,...,n M a a a =，其中{}12max ,,...,s M x x x =表示12,,...,s x x x 这s 个数中最大的数，求M 的最小值．参考答案1、12、33、35- 4、2 5、6 6、160-7、112 8、12n - 9、3π 10、3π 11、()26k k N ππ*-∈ 12、(]1,11,33⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭ 13-16、CBAB17、（1）()23303l y x l x x lx x ⎛⎫=-=-+<< ⎪⎝⎭； （2）当6l x =时，场地面积最大为212l ； 18、（1）12π；（2）19、（1）[]1,0-；（2）证明略；20、（1）2； （2）有两条，为1x =或9x =；（3）略21、（1）(){}()()(){},1,2,1,3,2,4x y =；（2）若112k k k a a a +-+>，则11k k k k a a a a +-->-，即()()111k k k k a a a a +--≥-+ ∴()()()112211...n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 即()()()()()()()1112212112...12n n n n n n n a a a a a a a a n a a ------=-+-++-≥--+ ∴()()()()2112201612n n n a a --≥--+ ∵11a =，i a ∈*N ，故210a a -≥，故易知当210a a -=时，()()122n n --可取的值最大，即n 可取到最大值，满足条件 ()()1220162n n --≥，解得6265n -≤≤，故max65n =． （3）略。
杨浦区2017届高三一模数学卷答案及官方评分标准
8
2
MN 就是异面直线 l1
l2 之间的距离
10
设 d = AM = BM = NM = CN
1 1 1 所以 VABCN = ( (2d ⋅ d ) ⋅ d = d 3 = 9 3 2 3
所以 d = 3 ，即异面直线 l1
12
l2 之间的距离为 3
14
19
本题满 证明： 根据对
14
本题共有 2 个小题，第 1 小题满
x = −1 时，因为 f (−1 + T ) ≥ f (−1) = 1 = f (3) 成立， 所以 −1 + T ≥ 3 ，所以 T ≥ 4 13 而另一方面，若 T ≥ 4 ， x ∈ (−∞, − 1] 时， f ( x + T ) − f ( x) = x + T + | x + T − 1| − | x + T + 1| −( x + 2) = T + | x + T − 1| − | x + T + 1| −2 因为 | x + T − 1| − | x + T + 1| ≥ − | ( x + T − 1) − ( x + T + 1) |= −2 所以 f ( x + T ) − f ( x) ≥ T − 2 − 2 ≥ 0 ，所以有 f ( x + T ) ≥ f ( x) 成立 15 x ∈ [−1, + ∞ ) 时， f ( x + T ) − f ( x) = x + T − 2 − ( x + | x − 1| − | x + 1|) = T − 2− | x − 1| + | x + 1| 因为 | x + 1| − | x − 1| ≥ − | ( x + 1) − ( x − 1) |= −2 所以 f ( x + T ) − f ( x) ≥ T − 2 − 2 ≥ 0 即 f ( x + T ) ≥ f ( x ) 成立 17 综 ，恒有有 f ( x + T ) ≥ f ( x ) 成立 所以 T 的取值范围是 [4, + ∞) 18
2018高一数学月考试题
2017级高一上学期第一次月考数学试题（总分值150分，时刻120分钟）一、选择题（总分值60分，每题5分）1．设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =， {}2,3,4B =，那么()U A C B ⋂=（ ）A. {}0B. {}1C. {}0,1D. {}0,1,2,3,42．已知集合2{|10}A x x =-=，那么以下式子表示不正确的选项是（ ）A ．1A ∈B ． A φ⊆C ．{1}A -∈D ．{1,1}A -⊆3．集合,,,U M N P 如下图，那么图中阴影部份所表示的集合是（ ）A. ()M N P ⋂⋃B. ()U M C N P ⋂⋃C. ()U M C N P ⋃⋂D. ()U M C N P ⋃⋃4．下面各组函数中为相等函数的是（ ） A. 2()(1),()1f x x g x x -=- B. ()1,()1f x x g t t =-=- C. 2()1,()11f x x g x x x =-+-2(),()x f x x g x x == 5．函数()0122f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ） A. 12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. [)2,-+∞ C. 112,,22⎡⎫⎛⎫-⋃+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ D. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6．已知函数f （x+1）=3x+2，那么f （x ）的解析式是（ ）A ．f （x ）=3x ﹣1B ．f （x ）=3x+1C ．f （x ）=3x+2D ．f （x ）=3x+47．已知函数y=f(x+1)的概念域是[-2,3]，那么y=f(x 2)的概念域是（ ）A. []1,4-B. []0,16C. []2,2-D. []1,4 8．已知()f x =5(6)(4)(6)x x f x x -≥⎧⎨+<⎩，那么(3)f 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．函数()1f x x =+的图象是（ ）10．假设函数()2211y x a x =+-+在区间(],2-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A. 3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B. 3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11．已知偶函数)(x f 在区间]0,(-∞上单调递减，那么知足)5()12(f x f <-的x 的取值范围是（ ）A. )3,2(-B. ),3()2,(+∞⋃--∞C. ]3,2[-D. ),3[]2,(+∞⋃--∞12．⎩⎨⎧>+≤--=0,20,1)2()(2x ax x x x a x f 是概念在(,)-∞+∞上是增函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．),2(+∞ B ．)3,2( C ．),0(+∞ D ．]3,2(二、填空题（总分值20分，每题5分）13．已知2(21)2f x x x ，那么(3)f .14．已知⎩⎨⎧<--≥=0,820,)(2x x x x x f ，4)(>x f 的解集为 .15. 已知函数321)(2++=kx kx x f 的概念域为R ，那么实数k 的取值范围是__________．16．若C C A a x a x C x x A =⋂+≤<-=<≤-=},3{},51{，那么实数a 的取值范围是_________．三、解答题（总分值80分）17．(1O 分)已知全集为U=R,A={22|<<-x x } ,B={4,1|≥-<x x x 或}，}43{≤<-∈=x N x P 求:(1)B A ⋂ ，B A ⋃(2) P B C U ⋂)(18．（12分）已知函数f (x )是概念域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式；(2)画出函数f (x )的图象，并写出单调区间(3)若)(x f y =与m y =有3个交点，求实数m 的取值范围19．（12分）已知函数()31x f x x =+， []5,2x ∈-- （1）利用概念法判定函数的单调性；（2）求函数的最大值和最小值20. （12分）某建材商场国庆期间弄促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；可以享受折扣优惠的金额折扣率 不超过500元的部分5% 超过500元的部分 10%假设某人在此商场购物总金额为x 元，那么能够取得的折扣金额为y 元．(1)试写出y 关于x 的解析式；(2)假设y ＝30，求这人购物实际所付金额．21. （12分）已知f （x ）的概念域为（0，+∞），且知足f （2）=1，f （xy ）=f （x ）+f （y ），0)()(1221<--x x x f x f（1）求f （1）、f （4）、f （8）的值；（2）假设有f （x ）+f （x ﹣2）≤3成立，求x 的取值范围．22．（12分）已知二次函数),,(,)(2R c b a c bx ax x f ∈++=的最小值为1-，且关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为),0()2,(+∞⋃--∞。
上海杨浦高级中学2018届高三上学期第一次月考数学试题-学习文档
2019-2019学年杨浦高级高三数学10月月考试卷一、填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 设5543mP =⨯⨯，则正整数m =____________.2. 已知扇形的半径为R ，周长为3R ，则其面积为____________.3. 方程33log 1log (2)x x =-+的解集为____________.4. 在ABC 中，三边之比分别为2:3:4，则该三角形最大角的正弦值为____________.5. 函数()f x =____________.6. 从一排8盏灯中关掉2盏，则这2盏灯互不相邻的概率为____________.7. 二项式(22)nb +的展开式中仅有第六项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是第____________项8. 设log log 1,2a b x y a b ==-+=，则2x y +的最小值是____________. 9. 已知3123,cos(),sin()24135ππβααβαβ<<<-=+=-，则sin α=____________. 10. 设平面点集1(,)|()()0,,A x y y x y x y R x⎧⎫=--≥∈⎨⎬⎩⎭，{}22(,)|(1)(1)1,,B x y x y x y R =-+-≤∈，则AB 所表示的平面图形的面积为____________.11. 设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若()2()f x x g x =-在[0,1]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[1,3]-上的值域为____________.12. 对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()()2f x f x +-=成立，则称0x 为函数()f x 的局部0-1对称点。
若函数()2xg x c =+在[1,3]-上有局部0-1对称点，则实数c 的取值范围是____________. 二、选择题（共4题，每题5分）13. 若0x 是方程lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ）A. (0,1)B. (1,1.25)C. (1.25,1.75)D. (1.75,2)14. “0a ≤”是“函数()|1|f x ax =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100)，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ） A. 45 B. 50 C. 55 D. 6016. 已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[0,3)x ∈时，21()|2|2f x x x =-+，若方程()f x a =在区间[3,4]-上10个互不相同的解，则实数a 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 17,22⎛⎤⎥⎝⎦D. 17,22⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题（共5题）17. （本题14分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点，2,1,1AB AC PA ===（1）求二面角A BC P --的大小；（2）求点A 到平面PCB 的距离18. （本题14分）在ABC 中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，已知：（1）若cos23cos()1A B C -+=，求角A 的大小； （2）若ABC 还满足tan tan a ba b A B+=+，求角C 19. （本题14分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000 万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题的奖励方案，奖金y （单位：万元）随投资 收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的 20%（1）若建立函数()y f x =模型制定奖励方案，分析函数2150xy =+是否符合公司要求的 奖励函数模型，并说明原因； （2）若该公司采用模型函数1032x ay x -=+作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值20. （本题16分）已知函数()log ||xa f x a x =+（其中常数1a >）（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）试求关于x 的不等式2(1)f ax x a ++>的解集A ； （3）在（2）的条件下，若任意的1a >，总有区间,t t a a a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ÜA ，求实数t 的取值范围 21. （本题18分）A 是定义在区间[1,2]上且同时满足如下条件的函数()x ϕ所组成的集合： ①对任意的[1,2]x ∈，都有()(1,2)x ϕ∈；②存在常数(01)c c <<，使得对任意的12,[1,2]x x ∈，都有1212|()()|||x x c x x ϕϕ-≤- （1）设21()1,[1,2]5x x x ϕ=+∈，试判断()x ϕ是否属于集合A ； （2）若()x A ϕ∈，如果存在0(1,2)x ∈，使得00()x x ϕ=，求证：满足条件的0x 是唯一的；（3）设()[1,2]x x ϕ=∈，且()x A ϕ∈，试求参数b 的取值范围 参考答案一、填空题1. 32.212R 3. {1} 4.5. ⎝⎭6.347. 8 8.32 9. 10. 2π11. [4,9]-12. 49,016⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、选择题13-16 DBBA 三、解答题17. （1）4π； （2）218. （1）3A π=； （2）2C π=19. （1）不满足； （2）32820. （1）非奇非偶函数； （2）1(,)(0,)A a=-∞-+∞； （3）01t <≤21. （1）是A 的元素； （2）证明略； （3）352(,)363b ∈--。
上海市杨浦区2017届高考数学一模(含详细答案)
上海市杨浦区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 若“”，则“”是 命题（填：真、假）a b >33a b >2. 已知，，若，则的取值范围是(,0]A =-∞(,)B a =+∞A B R = a 3. （为虚数单位），则294z z i +=+i ||z =4. 若△中，，，则△面积的最大值是 ABC 4a b +=30C ︒∠=ABC 5. 若函数的反函数的图像过点，则 2()log 1x a f x x -=+(2,3)-a =6. 若半径为2的球表面上一点作球的截面，若与该截面所成的角是，则该O A O OA 60︒截面的面积是7. 抛掷一枚均匀的骰子（刻有1、2、3、4、5、6）三次，得到的数字依次记作、a 、，b c 则（为虚数单位）是方程的根的概率是a bi +i 220x x c -+=8. 设常数，展开式中的系数为4，则 0a >9(x +6x 2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=9. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为 l ((2,1)-O l 10. 若双曲线的一条渐近线为，且双曲线与抛物线的准线仅有一个公共20x y +=2y x =点，则此双曲线的标准方程为 11.平面直角坐标系中，给出点、，若直线上存在点，使得(1,0)A (4,0)B 10x my +-=P ，则实数的取值范围是||2||PA PB =m 12. 函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，，若存()y f x =[2,0]x ∈-()21f x x =+在、、、满足，且1x 2x ⋅⋅⋅n x 120n x x x ≤<<⋅⋅⋅<1223|()()||()()|f x f x f x f x -+-+⋅⋅⋅，则最小值为 ；1|()()|2016n n f x f x -+-=n n x +二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若与都是非零向量，则“”是“”的（ ）条件a b c - a b a c ⋅=⋅ ()a b c ⊥- A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要14. 行列式中，元素的代数余子式的值为（ ）1472583697A. B. C. D. 15-3-31215. 一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为5200、5300、5500、6100、6500、6600，另两位员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（ ）A. 5800 B. 6000 C. 6200 D. 640016. 若直线通过点，则下列不等式正确的是（ ）1x y a b +=(cos ,sin )P θθA. B. C. D. 221a b +≤221a b +≥22111a b +≤22111a b +≥三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，某柱体实心铜制零件的截面边界是长度为55毫米线段和88毫米的线段AB AC 以及圆心为，半径为的一段圆弧构成，其中；P PB BC 60BAC ︒∠=（1）求半径的长度；PB （2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）；（）V s h =⋅柱底18. 如图所示，、是互相垂直的异面直线，是它们的公垂线段，点、在上，1l 2l MN A B 1l 且位于点的两侧，在上，；M C 2l AM BM NM CN ===（1）求证：异面直线与垂直；AC BN （2）若四面体的体积，求异面直线、之间的距离；ABCN 9ABCN V =1l 2l19. 如图所示，椭圆，左右焦点分别记作、，过、分别作直线22:14x C y +=1F 2F 1F 2F 、交椭圆于、，且∥；1l 2l AB CD 1l 2l （1）当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值；1l 1k BC 2k 12k k ⋅（2）求四边形面积的最大值；ABCD20. 数列，定义为数列的一阶差分数列，其中，；{}n a {}n a ∆{}n a 1n n n a a a +∆=-*n N ∈（1）若，试判断是否是等差数列，并说明理由；2n a n n =-{}n a ∆（2）若，，求数列的通项公式；11a =2n n n a a ∆-={}n a （3）对（2）中的数列，是否存在等差数列，使得{}n a {}n b 1212n n n n n n b C b C b C a ++⋅⋅⋅+=对一切都成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由；*n N ∈{}n b 21. 对于函数，若存在正常数，使得对任意，都有()f x ()x D ∈T x D ∈()()f x T f x +≥成立，我们称函数为“同比不减函数”；()f x T （1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；T 2()f x x =T （2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；()sin f x kx x =+2πk （3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若T ()|1||1|f x x x x =+--+T 存在，求的取值范围，若不存在，请说明理由；T参考答案一. 填空题1. 真2.3.4.5.6.0a ≤51227. 8. 9. 10. 1108121221641y x -=11. 12. (,)-∞+∞ 1513二. 选择题13. C 14. B 15. D 16. D三. 解答题17.18.19.20.（21.。