2018年上海春考数学试卷(含详答)
2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷
2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1．不等式||1x >的解集为__________．2．计算：31lim 2n n n →∞-=+__________． 3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =__________．4．若复数z i i =+（i 是虚数单位），则2z z+=__________． 5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________．6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为 __________．7．如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，3AB =，4BC =，15AA =， O 是11A C 的 中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________．第7题图 第12题图8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．9．设a R ∈，若922x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等，则a =__________． 10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m -+=+的一个虚根，则||z 的取值范围是__________．11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x = 的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________． 12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲 区”中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度 从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为__________秒（精确到0．1）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．下列函数中，为偶函数的是（ ）（A ）2y x -= （B ）13y x =（C ）12y x -= （D ）3y x = 14．如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱虽在的直线中，与直线1BC异面的直线条数为（ ）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）415．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且|2|AB =．该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ≤，6AB AP ⋅=，2AQ AP =-，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）（A ）36 （B ）60 （C ）81 （D ）108三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知cos y x =．（1）若3(1)f α=，且[0,]απ∈，求()3f πα-的值； （2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．18． （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知a R ∈，双曲线222:1x y aΓ-=．（1）若点(2,1)在Γ上，求Γ的焦点坐标； （2）若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．（1）求抛物线的焦点到准线的距离； （2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2图320．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 设0a >，函数1()12x f x a =+⋅． （1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x ⋅-=的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(,0]x ∈-∞，)(()0g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分） 若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m n m n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”．（1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”；（2）设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，31n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设1n n c aq -=，n T {}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围．。
(完整版)2018年春季高考数学真题
2018春季高考真题一、选择题1、已知集合，,则等于 M ={a,b}N ={b,c}M ∩N A 、 B 、 C 、D 、∅{b} {a,c}{a,b,c} 2、函数的定义域是f (x )=x +1+xx ‒1A 、B 、（-1,+∞）（-1,1）∪（1，+∞）C 、 D 、[ -1,+∞） [ -1,1）∪（3、奇函数的布局如图所示，则 y =f(x)A 、 B 、 f(2)>0>f(4) f(2)<0<f(4)C 、 D 、f(2)> f(4)>0 f(2)<f(4)<04、已知不等式的解集是1+lg|x|<0AB 、、（‒110,0）∪ （0，110）（‒110，110）C 、D 、（‒10,0）∪ （0，10）（‒10，10）5、在数列中， =-1 ,=0，=+,则等于{a n }a 1 a 2a n +2a n +1a n a 5A 、B 、C 、D 、0 - 1 -2-36、在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是 AB A 、 B 、 C 、D 、（2,2）（‒2,‒2）（1,1）（-1，-1）7、圆(x +1)2+(y ‒1)2=1的圆心在A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限8、已知，则“”是“”的a 、b ∈R a >b 2a >2bA 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件9、关于直线,下列说法正确的是l:x ‒3y +2=0A 、直线l 的倾斜角为 B 、向量是直线l 的一个方向向量 60。
v =(3,1)C 、直线l 经过点D 、向量是直线l 的一个法向量（1，3）n =(1,3)10、景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同的走法的种数是A 、6B 、10C 、12D 、2011、在平面直角坐标系中，关于的不等式表示的区域（阴影部分）可能是x,y Ax +By +AB >0（AB ≠0）12、已知两个非零向量a 与b 的夹角为锐角，则 A 、 B 、 C 、D 、a ∙b >0a ∙b <0a ∙b ≥0a ∙b ≤013、若坐标原点到直线的距离等于，则角的取值集合是 （0,0）x -y +sin 2θ=022θA 、{}B 、{} θ|θ=kπ±π4,k ∈Zθ|θ=kπ±π2,k ∈ZC 、{}D 、{}θ|θ=2kπ±π4,k ∈Zθ|θ=2kπ±π2,k ∈Zl e15、在 （x ‒2y ）2的展开式中，所有项的系数之和等于A 、32B 、-32C 、1D 、-116、设命题,命题,则下列命题中为真命题的是p:5≥3q:{1}⊑{0,1,2}A 、p B 、 C 、 D 、 ∧q ¬p ∧q p ∧¬q ¬p ∨¬q 17、已知抛物线的焦点为，准线为,该抛物线上的点到轴的距离为，且=7，则焦点到准线距x 2=ay(a ≠0)F l M x 5|MF|F l 离是A 、2B 、C 、D 、34518、某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是A 、B 、C 、D 、51415289146719、已知矩形ABCD ，AB=2BC ，把这个矩形分别以AB ，BC 所在直线为轴旋转一周，所围成集合体的侧面积分别记为S 1、S 2 ，则S 1、S 2的比值等于A 、B 、C 、D 、1212420、若由函数图像变换得到的图像，则可以通过以下两个步骤完成：第一步，把y =sin (2x +π2)y =sin(x2+π3)上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变；第二步，可以把图像沿x 轴y =sin (2x +π2)A 、向右平移个单位B 、向右平移个单位C 、向左平移个单位D 、向左平移个单位π35π12π35π12二、填空题21、已知函数,则的值等于 。
2018年春季高考数学真题完整
2018春季高考真题一、选择题1、已知集合M ={a,b}，N ={b,c},则M ∩N 等于A 、?B 、{b}C 、{a,c}D 、{a,b,c}2、函数f (x )=√??+1+????-1的定义域是A 、（-1,+∞）B 、（-1,1）∪（1，+∞）C 、[ -1,+∞）D 、 [ -1,1）∪（1，+∞）3、奇函数y =f(x)的布局如图所示，则A 、f(2)>0>??(4) B 、f(2)<0<??(4)C 、f(2)> ??(4)>0D 、f(2)<??(4)<04、已知不等式1+lg|x|<0的解集是A 、（-110,0）∪（0，110）B 、（-110，110）C 、（-10,0）∪（0，10）D 、（-10，10）5、在数列{????}中，??1=-1 , ??2=0，????+2=????+1+????,则??5等于A 、0B 、-1C 、-2D 、-36、在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB????? 的坐标是A 、（2,2）B 、（-2,-2）C 、（1,1）D 、（-1，-1）7、圆(??+1)2+(??-1)2=1的圆心在A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限8、已知a 、b ∈R ，则“ａ>??”是“２??>2??”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件9、关于直线l:x -√3??+2=0,下列说法正确的是A 、直线l 的倾斜角为60。
B 、向量??=(√??,??)是直线l 的一个方向向量C 、直线l 经过点（1，√3）D 、向量??=(??,√??)是直线l 的一个法向量10、景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同的走法的种数是A 、6B 、10C 、12D 、2011、在平面直角坐标系中，关于x,y 的不等式Ax +By +AB >0（AB ≠0）表示的区域（阴影部分）可能是12、已知两个非零向量a 与b 的夹角为锐角，则A 、?????>0B 、?????<0C 、?????≥0D 、?????≤013、若坐标原点（0,0）到直线x -y +sin 2??=0的距离等于√22，则角θ的取值集合是A 、{θ|θ=k π±??4,??∈??} B 、{θ|θ=k π±??2,??∈??} C 、{θ|θ=2k π±??4,??∈??}D 、{θ|θ=2k π±??2,??∈??}14、关于x,y 的方程??2+????2=a 2（a ≠0）,表示的图形不可能是15、在（x -2y ）2的展开式中，所有项的系数之和等于A 、32B 、-32C 、1D 、-116、设命题p:5≥3,命题q:{1}?{0,1,2},则下列命题中为真命题的是A 、p ∧q B 、?p ∧qC 、p ∧?qD 、?p ∨?q17、已知抛物线??2=????(??≠0)的焦点为F ，准线为l,该抛物线上的点M 到x 轴的距离为5，且|MF|=7，则焦点F 到准线l 距离是A 、2B 、3C 、4D 、518、某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是A 、514B 、1528C 、914D 、6719、已知矩形ABCD ，AB=2BC ，把这个矩形分别以AB ，BC 所在直线为轴旋转一周，所围成集合体的侧面积分别记为S 1、S 2 ，则S 1、S 2的比值等于A 、12B 、1C 、2D 、420、若由函数y =sin(2??+??2)图像变换得到y =sin(??2+??3)的图像，则可以通过以下两个步骤完成：第一步，把y =sin(2??+??2)上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变；第二步，可以把图像沿x 轴A 、向右平移??3个单位B 、向右平移5π12个单位C 、向左平移??3个单位D 、向左平移5π12个单位二、填空题21、已知函数f (x )={x 2+1,??>0-5,??≤0,则f[f(0)]的值等于。
2018年上海卷春季高考真题数学试卷-学生用卷
2018年上海卷春季高考真题数学试卷-学生用卷一、填空题（1~6每小题4分，7~12每小题5分，共54分）1、【来源】 2018~2019学年10月上海闵行区上海市七宝中学高一上学期月考第1题2018年1月高考真题上海卷第1题4分不等式|x|>1的解集为．2、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第2题4分计算：limn→∞3n−1n+2=．3、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第3题4分设集合A={x|0<x<2}，B={x|−1<x<1}，则A∩B=．4、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第4题4分若复数z=1+i（i是虚数单位），则z+2z=．5、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第5题4分已知{a n}是等差数列，若a2+a8=10，则a3+a5+a7=．6、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第6题4分已知平面上动点P到两个定点(1,0)和(−1,0)的距离之和等于4，则动点P的轨迹方程为．7、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第7题5分如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，AA1=5，O是A1C1的中点，则三棱锥A−A1OB1的体积为．8、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第8题5分某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩．若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为．9、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第9题5分设a∈R，若(x2+2x )9与(x+ax2)9的二项展开式中的常数项相等，则a=．10、【来源】 2020~2021学年上海徐汇区高一下学期期末第9题2018年1月高考真题上海卷第10题5分设m∈R，若z是关于x的方程x2+mx+m2−1=0的一个虚根，则|z|的取值范围是．11、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第11题5分设a>0，函数f(x)=x+2(1−x)sin(ax)，x∈(0,1)，若函数y=2x−1与y=f(x)的图象有且仅有两个不同的公共点，则a的取值范围是．12、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第12题5分2019~2020学年12月上海闵行区上海市七宝中学高二上学期月考第12题5分如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中．已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约为秒．（精确到0.1）二、选择题（每小题5分，共20分）13、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第13题5分下列函数中，为偶函数的是（）．A. y=x−2B. y=x13C. y=x−12D. y=x314、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第14题5分2019~2020学年广东深圳罗湖区深圳市美术学校高一下学期开学考试第7题5分如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线条数为（）．A. 1B. 2C. 3D. 415、【来源】 2018~2019学年10月上海宝山区上海市吴淞中学高三上学期月考第15题5分 2018年1月高考真题上海卷第15题5分记S n 为数列{a n }的前n 项和．“{a n }是递增数列”是“{S n }为递增数列”的（ ）．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第16题5分已知A 、B 为平面上的两个定点，且|AB →|=2．该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足|AP →|⩽5，AP →⋅AB →=6，AQ →=−2AP →，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）．A. 36B. 60C. 81D. 108三、解答题（第17题14分，第18题14分，第19题14分，第20题16分，第21题18分）17、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第17题14分2017~2018学年上海嘉定区高一下学期期末第18题8分已知y =cosx ．(1) 若f(α)=13，且α∈[0,π]，求f(α−π3)的值． (2) 求函数y =f(2x)−2f(x)的最小值．18、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第18题14分已知a ∈R ，双曲线Γ:x 2a 2−y 2=1．(1) 若点(2,1)在Γ上，求Γ的焦点坐标．(2) 若a=1，直线y=kx+1与Γ相交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为1，求实数k的值．19、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第19题14分利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OC⊥AB于C，AB=3米，OC=4.5米．(1) 求抛物线的焦点到准线的距离．(2) 在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）．20、【来源】 2020~2021学年上海杨浦区上海复旦大学附属中学高一上学期期末第20题16分2018年1月高考真题上海卷第20题16分设a>0，函数f(x)=11+a⋅2x．(1) 若a=1，求f(x)的反函数f−1(x)．(2) 求函数y=f(x)⋅f(−x)的最大值（用a表示）．(3) 设g(x)=f(x)−f(x−1)．若对任意x∈(−∞,0]，g(x)⩾g(0)恒成立，求a的取值范围．21、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第21题18分若{c n}是递增数列，数列{a n}满足：对任意n∈N∗，存在m∈N∗，使得a m−c na m−c n+1⩽0，则称{an}是{c n}的“分隔数列”．(1) 设c n=2n，a n=n+1，证明：数列{a n}是{c n}的“分隔数列”．(2) 设c n=n−4，S n是{c n}的前n项和，d n=c3n−2，判断数列{S n}是否是数列{d n}的分隔数列，并说明理由．(3) 设c n=aq n−1，T n是{c n}的前n项和，若数列{T n}是{c n}的分隔数列，求实数a、q的取值范围．1 、【答案】(−∞,−1)∪(1,+∞);2 、【答案】3;3 、【答案】(0,1);4 、【答案】2;5 、【答案】15;6 、【答案】x24+y23=1;7 、【答案】5;8 、【答案】180;9 、【答案】4;10 、【答案】(√33,+∞) ;11 、【答案】(11π6,19π6];12 、【答案】4.4;13 、【答案】 A;14 、【答案】 C;15 、【答案】 D;16 、【答案】 B;17 、【答案】 (1) 1+2√66．;(2) −32．;18 、【答案】 (1) (±√3,0)．;(2) √5−1．2;19 、【答案】 (1) 1米．4;(2) 9.59°．;(0<x<1)．20 、【答案】 (1) f−1(x)=log21−xx;(2) 1．1+2a+a2;(3) (0,√2]．;21 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 不是，理由见解析．;(3) a>0且q⩾2．;。
(完整版)2018年春季高考数学真题
2018春季高考真题一、选择题1、已知集合M={a,b}，N={b,c},则M∩N等于A、∅B、{b}C、{a,c}D、{a,b,c}2、函数f(x)=√x+1+xx−1的定义域是A、（−1,+∞）B、（−1,1）∪（1，+∞）C、[ −1,+∞）D、 [ −1,1）∪（1，+∞）3、奇函数y=f(x)的布局如图所示，则A、f(2)>0>f(4)B、f(2)<0<f(4)C、f(2)> f(4)>0D、f(2)<f(4)<04、已知不等式1+lg|x|<0的解集是A、（−110,0）∪（0，110）B、（−110，110）C、（−10,0）∪（0，10）D、（−10，10）5、在数列{a n}中，a1=-1 , a2=0，a n+2=a n+1+a n,则a5等于A、0B、−1C、−2D、−36、在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是A、（2,2）B、（−2,−2）C、（1,1）D、（−1，−1）7、圆(x+1)2+(y−1)2=1的圆心在A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限8、已知a、b∈R，则“a>b”是“2a>2b”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件9、关于直线l:x−√3y+2=0,下列说法正确的是A、直线l的倾斜角为60。
B、向量v=(√3,1)是直线l的一个方向向量C、直线l经过点（1，√3）D、向量n=(1,√3)是直线l的一个法向量10、景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同的走法的种数是A、6B、10C、12D、2011、在平面直角坐标系中，关于x,y的不等式Ax+By+AB>0（AB≠0）表示的区域（阴影部分）可能是12、已知两个非零向量a与b 的夹角为锐角，则A、a∙b>0B、a∙b<0C、a∙b≥0D、a∙b≤013、若坐标原点（0,0）到直线x−y+sin2θ=0的距离等于√22，则角θ的取值集合是A、{θ|θ=kπ±π4,k∈Z} B、{θ|θ=kπ±π2,k∈Z}C、{θ|θ=2kπ±π4,k∈Z} D、{θ|θ=2kπ±π2,k∈Z}14、关于x,y的方程x2+ay2=a2（a≠0）,表示的图形不可能是15、在（x−2y）2的展开式中，所有项的系数之和等于A、32B、-32C、1D、-116、设命题p:5≥3,命题q:{1}⊑{0,1,2},则下列命题中为真命题的是A、p∧qB、¬p∧qC、p∧¬qD、¬p∨¬q17、已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点为F，准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为5，且|MF|=7，则焦点F到准线l距离是A、2B、3C、4D、518、某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是A、514B、1528C、914D、6719、已知矩形ABCD，AB=2BC，把这个矩形分别以AB，BC所在直线为轴旋转一周，所围成集合体的侧面积分别记为S1、S2 ，则S1、S2的比值等于A、12B、1C、2D、420、若由函数y=sin(2x+π2)图像变换得到y=sin(x2+π3)的图像，则可以通过以下两个步骤完成：第一步，把y=sin(2x+π2)上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变；第二步，可以把图像沿x轴A、向右平移π3个单位B、向右平移5π12个单位C、向左平移π3个单位D、向左平移5π12个单位二、填空题21、已知函数f(x)={x 2+1,x>0−5,x≤0,则f[f(0)]的值等于。
2018年上海春季招生统一文化考试数学(含答案)
C9k x9k
a2k x2k
C9k ak x93k ,k
3,
常数项为C93a3 a 4
10．设 m R ，若 z 是关于 x 的方程 x2 mx m2 1 0 的一个虚根，则 | z | 的取值范围
是__________．
答案：（ 3 ，+） 3
解析：
法一：设z a bi,(b 0)代入方程得：（a bi）2 +m(a bi) m2 1 0,即 a2 b2 ma m2 1 0, 2ab mb 0
（B）60
（C）81
（D）108
本题考查向量的投影，因为 AP 5,所以P点在以A为圆心半径为5的圆面上， 又AP AB 6= AB AP cos ,所以 AP cos =3,根据题意作图如下：
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分，第 17~19 题每题 14 分，20 题 16 分， 21 题 18 分）
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答案：A
14．如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 的棱虽在的直线中，与直线 BC1
异面的直线条数为（ ）
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
答案：C
15．记 Sn 为数列{an}的前 n 项和．“{an}是递增数列”是“ Sn 为递增数列”的（ ）
（A）充分非必要条件
答案： C31C53P33 180
9．设 a R
，若
x2
2 x
9
与
x
a x2
9
的二项展开式中的常数项相等，则 a
高考最新-2018年上海市普通高等学校春季招生考试数学(附答案)001 精品
2018年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟.. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1. 方程2lg lg(2)0x x-+=的解集是.2. =++++∞→nnn212lim.3. 若3cos5α=，且⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα，则=2tgα.4. 函数2()f x x=-)]2,((-∞-∈x的反函数=-)(1xf.5. 在△ABC中，若90C∠=，4AC BC==，则BA BC⋅=.6. 某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是(结果用最简分数表示).7. 双曲线116922=-yx的焦距是.8. 若()()3,2223≥∈+++++=+nnxcxbxaxx nnn且N，且2:3:=ba，则=n.9. 设数列{}n a的前n项和为n S（N∈n）. 关于数列{}n a有下列三个命题：（1）若{}n a既是等差数列又是等比数列，则)(1N∈=+naann；（2）若()R∈+=banbnaSn、2，则{}na是等差数列；（3）若()nnS11--=，则{}n a是等比数列.这些命题中，真命题的序号是.10. 若集合{}R∈==xxxA x,32cos3π，{}R∈==yyyB,12，则BA = .11. 函数xxy arcsinsin+=的值域是.12. 已知函数2()2log x f x x =+，数列{}n a 的通项公式是n a n 1.0=（N ∈n ），当 |()2005n f a -取得最小值时，n = . 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出 四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的 代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.13. 已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是 （A ）若//l m ，//m n ，则//l n . （B ）若l α⊥，//n α，则l n ⊥. （C ）若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥. （D ）若//l α，//n α，则//l n .[答] ( ) 14. 在△ABC 中，若CcB b A a cos cos cos ==，则△ABC 是 （A ）直角三角形. （B ）等边三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰直角三角形.[答] ( ) 15. 若c b a 、、是常数，则“0402<->c a b a 且”是“对任意R ∈x ，有02>++c x b x a ” 的（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.[答] ( ) 16. 设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意R ∈x ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值； （2）若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，且0x x ≠，有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数()f x 的最大值；（3）若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，有)()(0x f x f ≤，则)(0x f 是函数()f x 的最大值. 这些命题中，真命题的个数是（A ）0个. （B ）1个. （C ）2个. （D ）3个.[答] ( )三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.已知z 是复数，izi z -+22、均为实数（i 为虚数单位），且复数2)(i a z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.[解] 18. (本题满分12分) 已知αtg 是方程01sec 22=++αx x 的两个根中较小的根，求α的值. [解]19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分， 第2小题满分8分.已知正三棱锥ABC P -的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为 60. （1）证明：BC PA ⊥；（2）求底面中心O 到侧面的距离. [证明]（1）[解]（2）某市2018年底有住房面积1200万平方米，计划从2018年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （1）分别求2018年底和2018年底的住房面积 ；（2）求2184年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01） [解]（1）（2）21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分， 第2小题满分6分，第3小题满分7分. 已知函数xax x f +=)(的定义域为),0(∞+，且222)2(+=f . 设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为N M 、. （1）求a 的值；（2）问：||||PN PM ⋅是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由； （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值. [解]（1） （2） （3）（1）求右焦点坐标是)0,2(，且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C 的方程是12222=+b y a x )0(>>b a . 设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A B 、两点，AB 的中点为M . 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心. [解]（1）[证明]（2）[解]（3）2018年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷参考答案及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.3.第17题至第22题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数.4.给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.1. }2,1{-.2. 0.3.21. 4. ]4,(,--∞∈--x x . 5. 16. 6.2601. 7. 65. 8. 11. 9. （1）、（2）、（3）. 10. {}1.11. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--21sin ,21sin ππ. 12. 110二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三．（第17至22题）17. [解] 设R)∈+=y x yi x z 、(，i y x i z )2(2++=+ ，由题意得 2-=y . …… 2分i x x i i x i i x i z )4(51)22(51)2)(2(51222-++=+-=--=-由题意得 4=x . …… 6分 ∴ i z 24-=.∵ 2)(ai z +i a a a )2(8)412(2-+-+=， …… 9分根据条件，可知⎩⎨⎧>->-+0)2(804122a a a ，解得 62<<a ，∴ 实数a 的取值范围是)6,2(. …… 12分 18. [解] ∵ αtg 是方程01sec 22=++αx x 的较小根， ∴ 方程的较大根是αctg . ∵ αtg +αctg =αsec 2-，即αααcos 2cos sin 1-= ∴ 21sin -=α. …… 5分 解得 672ππα+=k ，或Z ∈-=k k ,62ππα. …… 8分 当)(672Z ∈+=k k ππα时，αtg 33=，αctg 3=； 当)(62Z ∈-=k k ππα时，αtg 33-=，αctg 3-=，不合题意. ∴ Z ∈+=k k ,672ππα. …… 12分19. [证明]（1）取BC 边的中点D ，连接AD 、PD ，则BC AD ⊥，BC PD ⊥，故⊥BC 平面APD . …… 4分 ∴ BC PA ⊥. …… 6分 [解]（2）如图， 由（1）可知平面⊥PBC 平面APD ，则PDA ∠是侧面与底面所成二面角的平面角.过点O 作E PD OE ,⊥为垂足，则OE 就是点O 到侧面的距离. …… 9分设OE 为h ，由题意可知点O 在AD 上， ∴ 60=∠PDO ，h OP 2=.h BC h OD 4,32=∴=, …… 11分∴ 2234)4(43h h S ABC ==∆， ∵ 3233823431372h h h =⋅⋅=，∴ 3=h . 即底面中心O 到侧面的距离为3. …… 14分 20. [解]（1）2018年底的住房面积为124020%)51(1200=-+（万平方米）, 2018年底的住房面积为128220%)51(20%)51(12002=-+-+（万平方米）∴ 2018年底的住房面积为1240万平方米，2018年底的住房面积约为1282万平方米. …… 6分 （2）2184年底的住房面积为20%)51(20%)51(20%)51(20%)51(1200181920-+--+-+-+ …… 10分 64.252205.0105.120%)51(12002020≈-⨯-+=（万平方米）∴ 2184年底的住房面积约为2522.64万平方米. …… 14分 21. [解]（1）∵ 22222)2(+=+=a f ，∴ 2=a . …… 3分 （2）设点P 的坐标为),(00y x ，则有0002x x y +=，00>x ，由点到直线的距离公式可知：0000||,12||||x PN x y x PM ==-=， 故有1||||=⋅PN PM ，即||||PN PM ⋅为定值，这个值为1. …… 9分 （3）由题意可设),(t t M ，可知),0(0y N .∵ PM 与直线x y =垂直，∴ 11-=⋅PM k ，即100-=--tx ty ，解得 )(2100y x t +=，又0002x x y +=，∴ 0022x x t +=. ∴22212+=∆x S OPM ，222120+=∆x S OPN ， ∴ 212)1(212020+≥++=+=∆∆x x S S S OPN OPM OMPN ， 当且仅当10=x 时，等号成立.∴ 此时四边形OMPN 面积有最小值21+. …… 16分22. [解]（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x ，0>>b a ，∴ 422+=b a ，即椭圆的方程为142222=++b y b x ， ∵ 点（2,2--）在椭圆上，∴ 124422=++b b ， 解得 42=b 或22-=b （舍），由此得82=a ，即椭圆的标准方程为14822=+y x . …… 5分（2）设直线l 的方程为m kx y +=， …… 6分 与椭圆C 的交点A (11,y x )、B (22,y x )，则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y a x m kx y ， 解得 02)(222222222=-+++b a m a kmx a x k a b ，∵ 0>∆，∴ 2222k a b m +<，即 222222k a b m k a b +<<+-.则 222221212222212,2ka b mb m kx m kx y y k a b kma x x +=+++=++-=+， ∴ AB 中点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-22222222,k a b m b k a b km a . …… 11分∴ 线段AB 的中点M 在过原点的直线 022=+y k a x b 上. …… 13分 （3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于A 、B 和D C 、，并分别取AB 、CD 的中点N M 、，连接直线MN ；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于1A 、1B 和11D C 、，并分别取11B A 、11D C 的中点11N M 、，连接直线11N M ，那么直线MN 和11N M 的交点O 即为椭圆中心. …… 18分。
2018年上海市春考数学试卷
上海市教育考试院保留版权2018年春考数学第1页（共4页）2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名．将核对后的条形码贴在指定位置．3．所有作答必须涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．不等式||1x >的解集为．2．计算：31lim 2n n n →∞-=+．3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B = ．4．若复数1i z =+（i 是虚数单位），则2z z +=．5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=．6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程为．7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4BC =，15AA =，O 是11A C 的中点，则三棱锥11A A OB -的体积为．8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为．（结果用数值表示）9．设a ∈R ，若922x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等，则a =．10．设m ∈R ，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则||z 的取值范围是．2018年春考数学第2页（共4页）11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图像有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是．12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．下列函数中，为偶函数的是（）．(A)2y x -=(B)13y x =(C)12y x -=(D)3y x =14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（）．(A)1(B)2(C)3(D)415．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的（）．(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且||2AB = ，该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ≤，6AP AB ⋅= ，2AQ AP =- ，则动线段PQ 所形成图形的面积为（）．(A)36(B)60(C)72(D)108三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()cos f x x =．(1)若1()3f α=，且[0,π]α∈，求π3f α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．2018年春考数学第3页（共4页）18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知a ∈R ，双曲线222:1x y aΓ-=．(1)若点(2,1)在上，求Γ的焦点坐标；(2)若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．(1)求抛物线的焦点到准线的距离；(2)在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0a >，函数1()12x f x a =+⋅．(1)若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；(2)求函数()()y f x f x =⋅-的最大值（用a 表示）；(3)设()()(1)g x f x f x =--，若对任意(,0]x ∈-∞，()(0)g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．图1图3图22018年春考数学第4页（共4页）21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n ∈N ，存在*m ∈N ，使得10m n m n a c a c +--≤，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”．(1)设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的分隔数列；(2)设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，32n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；(3)设1n n c aq -=，n T 是{}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围．。
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2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1．不等式||1x >的解集为__________． 2．计算：31lim2n n n →∞-=+__________．3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =__________．4．若复数1z i =+（i 是虚数单位），则2z z+=__________． 5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________．6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为__________．7．如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，3AB =，4BC =，15AA =， O 是11AC 的中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________．第7题图 第12题图8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．9．设a R ∈，若922x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等，则a =__________．10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m -+=+的一个虚根，则||z 的取值范围是__________．11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________．12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点 P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度 从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约 为__________秒（精确到0．1）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．下列函数中，为偶函数的是（ ） （A ）2y x -= （B ）13y x =（C ）12y x-=（D ）3y x =14．如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线条数为（ ） （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）415．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且||2AB =．该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ， 满足||5AP ≤，6AB AP ⋅=，2AQ AP =-，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ） （A ）36（B ）60（C ）81（D ）108三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知cos y x =．（1）若3(1)f α=，且[0,]απ∈，求()3f πα-的值；（2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．18． （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知a R ∈，双曲线222:1x y aΓ-=．（1）若点(2,1)在Γ上，求Γ的焦点坐标；（2）若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米． （1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2 图3 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0a >，函数1()12xf x a =+⋅．（1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x ⋅-=的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(,0]x ∈-∞，)(()0g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m nm n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”． （1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”；（2）设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，31n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设1n n c a q-=，n T 是{}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围．参考答案一、填空题1．(,1)(1,)-∞-+∞ 2．3 3．(0,1) 4．2 5．156．22143x y += 7．5 8．180 9．410．)+∞ 11．1119(,]66ππ提示：1212(1)sin()12(1)sin()sin()2x x x ax x x ax ax --=-⇒-=-⇒=-711711711,,2,2,4,4,666666ax ππππππππππ∴=++++0ax a <<117266a πππ∴<≤+ 12．4.4提示：以A 为原点建立坐标系，设时刻为t ，则40(0,1.5),(20,20),03P t Q t t -≤≤ 则0 1.5:20020 1.5PQ x y tl t t--=---，化简得(8)8120t x y t --+=点(10,10)O 到直线PQ1≤，化简得23161280t t +-≤即8833t --+≤≤，则880 4.433t t -+-+≤≤⇒∆=≈二、选择题13．A14．C15．D16．B提示：建系(0,0),(2,0)A B ，则(,)P x y 的轨迹为线段3,44x y =-≤≤，AP 扫过的三角形面积为12，则利用相似三角形可知AQ 扫过的面积为48，因此和为60三、解答题17．（1）16+；（2）32-18．（1）(；（2）12． 19．（1）14；（2）9.59︒． 20．（1）121()log (01)x f x x x --=<<；（2）2112max y a a =++（0x =时取最值）； （3） 提示：1211()21212232x x x xa g x a a a a --=-=+⋅+⋅⋅++2,(2(0,1])23x at a t at-=∈⋅++ 因为-a <0，所以当x =0,t =1时，分母取到最小值从而分式值取到最小值，此时2210a t t a t =⇒=⇒<≤21．（1）证明：存在2m n =,此时*1,22122n m n n c n a n c n +∀∈=<=+<=+N 证毕 （2）不是．反例：4n =时，m 无解； （3）02a q ≥>⎧⎨⎩． 提示：因为1{}n aq -为递增数列，因此01a q >⎧⎨>⎩或者001a q <⎧⎨<<⎩①当001a q <⎧⎨<<⎩时，*,0n n c ∀∈<N ，因此321123T T T c c c <<<=<<<因此不存在23m c T c ≤<，不合题意。
②当01a q >⎧⎨>⎩时，1111m n n n m n q c T c q q q -+-≤<⇒≤<⇒- 11111(1)1(1)1[(1)][(1)]n m n n m nn nq q q q q q q q q q q q ----+≤<-+⇒-+≤<-+ 两边同时取对数得：1111log [(1)]log [(1)]q q n n n q m n q q q--+-+≤<+-+记1()log [(1)],0q x f x q x q=-+≥ 则1(1)()n f n m n f n -+-≤<+ 下面分析函数(1),()f n f n -的取值范围：显然1q >时，1()log [(1)],0q x f x q x q=-+≥为减函数， 因此()()(0)f f x f +∞<≤，即log (1)()1q q f x -<≤(Ⅰ)当2q ≥时，log (1)0q q -≥，因此总有0()(1)1f n f n <<-≤ 此时1(1)11()+0n f n n n f n n -+-≤-+⎧⎨+>⎩因此总存在m n =符合条件，使得1(1)()n f n n m n f n -+-≤=<+成立(Ⅱ)当12q <<时， log (1)0q q -<， 根据零点存在定理，并结合()f x 的单减性可知： 存在唯一正整数k 使得()0(1)f k f k ≤<-此时1(1)1()k f k k k f k k-+->-⎧⎨+≤⎩即11(1)()k k f k m k f k k -<-+-≤<+≤ 显然不存在满足条件的正整数m 综上：0,2a q >≥。