2018年上海春考数学试卷

2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1．不等式||1x >的解集为__________． 2．计算：31lim2n n n →∞-=+__________．3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =I __________． 4．若复数1z i =+（i 是虚数单位），则2z z+=__________． 5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________．6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为__________．7．如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，3AB =，4BC =，15AA =， O 是11AC 的 中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________．第7题图 第12题图8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．9．设a R ∈，若922x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等，则a =__________．10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m -+=+的一个虚根，则||z 的取值范围是__________．11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________．12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点 P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约 为__________秒（精确到0．1）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．下列函数中，为偶函数的是（ ） （A ）2y x -= （B ）13y x =（C ）12y x-=（D ）3y x =14．如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线条数为（ ） （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）415．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且||2AB =u u u r．该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ≤u u u r ，6AB AP ⋅=u u r u u ru u ，2AQ AP =-u u u r u u u r ，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）（A ）36（B ）60（C ）81（D ）108三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知cos y x =．（1）若3(1)f α=，且[0,]απ∈，求()3f πα-的值；（2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．18． （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知a R ∈，双曲线222:1x y aΓ-=．（1）若点(2,1)在Γ上，求Γ的焦点坐标；（2）若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2 图3 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0a >，函数1()12xf x a =+⋅．（1）若1a =，求()f x 的反函数1()fx -；（2）求函数()()y f x f x ⋅-=的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(,0]x ∈-∞，)(()0g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m nm n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”． （1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”；（2）设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，31n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设1n n c aq-=，n T 是{}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围．参考答案一、填空题1．(,1)(1,)-∞-+∞U2．33．(0,1)4．25．156．22143x y += 7．5 8．180 9．410．)+∞ 11．1119(,]66ππ提示：1212(1)sin()12(1)sin()sin()2x x x ax x x ax ax --=-⇒-=-⇒=-711711711,,2,2,4,4,666666ax ππππππππππ∴=++++L 0ax a <<Q117266a πππ∴<≤+ 12．4.4提示：以A 为原点建立坐标系，设时刻为t ，则40(0,1.5),(20,20),03P t Q t t -≤≤ 则0 1.5:20020 1.5PQ x y tl t t--=---，化简得(8)8120t x y t --+= 点(10,10)O 到直线PQ1≤，化简得23161280t t +-≤即8833t --+≤≤，则880 4.433t t -+-+≤≤⇒∆=≈ 二、选择题13．A14．C15．D16．B提示：建系(0,0),(2,0)A B ，则(,)P x y 的轨迹为线段3,44x y =-≤≤，AP 扫过的三角形面积为12，则利用相似三角形可知AQ 扫过的面积为48，因此和为60三、解答题17．（1）16+；（2）32-18．（1）(；（2． 19．（1）14；（2）9.59︒． 20．（1）121()log (01)x f x x x --=<<；（2）2112max y a a =++（0x =时取最值）； （3） 提示：1211()21212232x x x xa g x a a a a --=-=+⋅+⋅⋅++2,(2(0,1])23x at a t at-=∈⋅++ 因为-a <0，所以当x =0,t =1时，分母取到最小值从而分式值取到最小值，此时2210a t t a t =⇒=≥⇒<≤21．（1）证明：存在2m n =,此时*1,22122n m n n c n a n c n +∀∈=<=+<=+N 证毕（2）不是．反例：4n =时，m 无解； （3）02a q ≥>⎧⎨⎩．提示：因为1{}n aq -为递增数列，因此01a q >⎧⎨>⎩或者001a q <⎧⎨<<⎩①当001a q <⎧⎨<<⎩时，*,0n n c ∀∈<N ，因此321123T T T c c c <<<=<<<L L因此不存在23m c T c ≤<，不合题意。

②当01a q >⎧⎨>⎩时，1111m n n n m n q c T c q q q -+-≤<⇒≤<⇒- 11111(1)1(1)1[(1)][(1)]n m n n m nn nq q q q q q q q q q q q ----+≤<-+⇒-+≤<-+ 两边同时取对数得：1111log [(1)]log [(1)]q q n n n q m n q q q--+-+≤<+-+记1()log [(1)],0q x f x q x q=-+≥ 则1(1)()n f n m n f n -+-≤<+ 下面分析函数(1),()f n f n -的取值范围：显然1q >时，1()log [(1)],0q x f x q x q=-+≥为减函数， 因此()()(0)f f x f +∞<≤，即log (1)()1q q f x -<≤(Ⅰ)当2q ≥时，log (1)0q q -≥，因此总有0()(1)1f n f n <<-≤ 此时1(1)11()+0n f n n n f n n -+-≤-+⎧⎨+>⎩因此总存在m n =符合条件，使得1(1)()n f n n m n f n -+-≤=<+成立(Ⅱ)当12q <<时， log (1)0q q -<， 根据零点存在定理，并结合()f x 的单减性可知： 存在唯一正整数k 使得()0(1)f k f k ≤<-此时1(1)1()k f k k k f k k-+->-⎧⎨+≤⎩即11(1)()k k f k m k f k k -<-+-≤<+≤ 显然不存在满足条件的正整数m 综上：0,2a q >≥。