2.6-矩阵的秩
矩阵的秩及其求法-求秩的技巧
第五节：矩阵的秩及其求法之五兆芳芳创作一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式 定义1 设 在A 中任取k 行k 列穿插处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A 的一个k 阶子式.例如共有个二阶子式，有 个三阶子式矩阵 A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所组成的二阶子式为 而为 A 的一个三阶子式.显然， 矩阵 A 共有 个k 阶子式.2. 矩阵的秩 定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 ,称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A ).规则： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .(2) 有行列式的性质，(3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } .(4) 如果An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R()nm ij a A ⨯={}),min 1(n m k k ≤≤43334=C C 1015643213-=D nm ⨯()nm ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠( A ) = n ,则因此，方阵 A 可逆的充分需要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(定义).例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B ). 解 由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则R (B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数.例如 一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数. 例2 设 如果 求a .解 或例3则 2、用初等变换法求矩阵的秩定理2矩阵初等变换不改动矩阵的秩. 即则注： 只改动子行列式的符号. 是 A 中对应子式的k 倍.2021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A 111111(),3<A R ()3<A R 1=∴a 2-=a ()3=A R =K 3-BA →)()(B R A R =ji r r ↔.1irk .2是行列式运算的性质.求矩阵A 的秩办法：1）利用初等行变换化矩阵A 为阶梯形矩阵B 2）数阶梯形矩阵B 非零行的行数即为矩阵A 的秩. 例4求 解R(A ) = 2例5三、满秩矩阵定义3A 为n 阶方阵时，称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵） 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵） 可见：对于满秩方阵A 施行初等行变换可以化为单位阵E ,又按照初等阵的作用：每对A 施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理. 定理3设A 是满秩方阵，则存在初等方阵 使得对于满秩矩阵A ，它的行最简形是n 阶单位阵 E . 例如A 为满秩方阵.关于矩阵的秩的一些重要结论：ji krr +.3().A R μλμλ,2,6352132111，求）（且设=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=A R A (),n A R =(),n A R <()0≠⇔=A nA R EA P P P P s s =-121,定理5R (AB )R (A ),R (AB )R (B ),即R (AB )min{R (A )，R (B )}设A 是 矩阵，B 是 矩阵， 性质1性质2 如果 A B = 0 则性质3 如果 R (A )= n, 如果A B = 0 则 B = 0. 性质4 设A,B 均为矩阵，则例8 设A 为n 阶矩阵，证明R （A+E ）+R （A-E ）≥n 证： ∵ （A+E ）+（E-A ）=2E∴R （A+E ）+ R （ E-A ）≥ R （2E ）=n而 R （ E-A ）=R （ A-E ） ∴ R （A+E ）+R （A-E ）≥n≤nm ⨯tn ⨯).()()(AB R n B R A R ≤-+.)()(n B R A R ≤+nm ⨯).()()(B R A R B A R +≤±。
(优选)线性代数矩阵的秩习题
矩阵A的秩，记作 r(A) 或 R(A)或 rank(A)或 秩(A) .
例1和例2综合 求矩阵A和B的秩 其中
A 421
2 3 7
531
B
2 0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2
4 0
0253 .
解 在A中 容易看出一个 B是一个有3个非零行的
x y ... 0 0
0 y ... 0 0
原式=x (1)11 ... ... ... ... ... y (1)12 ... ... ... ... ...
0 0 ... x y
0 0 ... x y
0 0 ... 0 x n-1 y ... 0 0
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 0 4
2 0 2 5
P21 ,2
解：D (1) (1)13 5 2 (1)23 3 0 1 (1)43 4
15
a11 a12 -1 a14
D= a21 a22 2 a24 a31 a32 0 a34
a41 a42 1 a44
（-1）1+1
P21 ,5(3)
P21 ,5(3)
解答：可能有 .
例如
A100
0 1 0
2-6 矩阵的秩
矩阵．
由矩阵秩的定义可以得出如下结果：
（1）若 A 为 m n 矩阵，则 r(A) minm, n ．
(2) r(AT ) r(A); (3) r(A) r(kA), k 0;
（4）n阶方阵 A的秩为n的充要条件是 A为可逆矩阵
（满秩矩阵）或 A 0.
（5）若矩阵 A 的所有 r 1阶子式都为零，则 r(A) r ；此时若又有一个 r 阶子式不为零，则 r(A) r.
定义2 设矩阵 A 不等于零的子式的
最高阶数为 r ，
即：存在 r 阶子式不为零，任何 r+1 阶子式都为零，
则：数 r 称为矩阵 A 的秩，记作r(A), 或秩(A).
如下图
不全为零
全为零
r r1
m n 矩阵 A的秩 R( A) 是 A中不等于零的
子式的最高阶数. 显然1 r( A) min(m, n).
（3）当 a 3b 0 时； 此时因为 a b, 故B有个3
阶子式
ab ab
(a b)3 0, 而 B 0,
ab
所以 r(A) r(B) 3.
注:用初等变换求矩阵的秩
定理2.3（P.55） 初等变换不改变矩阵的秩。
即 A 初等变换 B 则 r( A) r(B)
证明略
求矩阵秩的 初等变换法：
A 经有限次初等变换 B=阶梯形矩阵 有 r(A)=r(B) ＝B中非零行行数
常用
或 A 经有限次初等变换 D=标准形矩阵 有 r(A)=r(D) ＝D中“1”的个数
A 1
2
4
5
行初等变换
0
4
1
1
.
1 10 1 2
0 0 0 0
所以 r(A) 2.
2.6 矩阵的秩
二、利用初等变换求矩阵的秩 三、矩阵秩的不等式
1
§2.6 矩阵的秩 第 一、矩阵秩的基本概念与性质 二 对于线性方程组的求解问题，除了需要研究其求解方法 章 之外，更重要的是要弄清楚一个给定的线性方程组中到底有 矩 阵
r ( A) r ( I A) r ( A ( I A)) n r ( A A2 ) n n , r ( A) r ( I A) n .
20
§2.6 矩阵的秩 第 二 章 矩 阵
轻松一下吧 ……
21
§2.6 矩阵的秩 第 三、矩阵秩的不等式 二 1. 关于矩阵乘积的秩的不等式 章 2. 关于矩阵求和的秩的不等式 矩 *证明 阵
定理3 r ( A B) r ( A) r ( B) . （略）
18
§2.6 矩阵的秩 第 小结 二 1. 矩阵秩的概念 章 矩 阵
2. 求矩阵秩的方法
(1) 利用定义； (2) 初等变换法。 3. 矩阵秩的不等式
故 r ( A) 2, r ( B) 3 .
11
§2.6 矩阵的秩 第 三、矩阵秩的不等式 二 1. 关于矩阵乘积的秩的不等式 章 定理1 r ( A B) min(r ( A) , r ( B)) . 矩 阵
证明 (1) 设 A 的秩为 r(A) = s， 则存在可逆矩阵 P，使得
A1 } s 行 1 A1 P A , A P , 0 0 1 A1 B 1 A1 AB P B P , 0 0
A 的秩，记作 r ( A )。
换句话说，矩阵 A 的秩 r ( A ) 是 A 中不等于零的 子式的最高阶数。 注 (1) 规定零矩阵的秩等于零。
矩阵中秩的计算
矩阵中秩的计算全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵是线性代数中的一个重要概念，它是由m行n列元素排成的矩形阵列。
在实际问题中，经常会遇到需要对矩阵进行分析和计算的情况。
矩阵的秩是一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和特点。
矩阵的秩是指矩阵中线性独立的行或列的最大个数，也可以理解为矩阵中非零的行列式数量。
计算矩阵的秩是一项复杂而重要的工作，它涉及到矩阵的行变换和列变换等操作。
在计算矩阵的秩时，我们可以采用多种方法，如高斯消元法、矩阵的行列式等。
我们来看一种常用的计算矩阵秩的方法，即高斯消元法。
高斯消元法是一种基本的线性代数运算方法，在计算矩阵的秩时非常有效。
其基本思想是通过一系列的行变换操作将矩阵化为行阶梯形式，然后统计非零行的个数即为矩阵的秩。
具体步骤如下：1. 将矩阵化为增广矩阵形式，也就是矩阵的最右边添加一个单位矩阵。
2. 从左上角开始，通过一系列的行变换操作将矩阵化为行阶梯形式。
3. 统计非零行的个数，即为矩阵的秩。
通过高斯消元法，我们可以比较容易地计算矩阵的秩。
但需要注意的是，由于矩阵的秩是矩阵自带的性质，所以在进行行变换过程中需要保持同构性，即不能改变矩阵的秩。
另一种常用的方法是通过求解矩阵的行列式来计算矩阵的秩。
矩阵的行列式是一个标量值，表示矩阵中所有元素的线性组合。
矩阵的秩等于行列式非零的最大子式的阶数。
这种方法的优点是简单直观，适用于小规模矩阵的计算。
通过计算矩阵的秩，我们可以得到很多关于矩阵的信息。
矩阵的秩可以反映矩阵的线性无关性，即矩阵中非零行列向量的独立性。
当矩阵的秩小于其行数或列数时，说明矩阵中存在线性相关的行列向量；当矩阵的秩等于其行数或列数时，说明矩阵是满秩的，行列向量线性无关。
矩阵的秩还可以反映矩阵的奇异性。
一个矩阵是奇异的，当且仅当其秩小于其阶数。
奇异矩阵的行列式为0，没有逆矩阵。
通过计算矩阵的秩可以判断矩阵是否奇异。
矩阵的秩还与方程组的解有密切关系。
矩阵的秩及其求法求秩的技巧
第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. ｋ 阶子式定义1 设 在A 中任取k 行ｋ 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式,称为A 的一个k 阶子式。
例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行,第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。
显然, 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。
２. 矩阵的秩定义2 设 有r 阶子式不为0，任何ｒ+1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称ｒ为矩阵Ａ的秩,记作R (Ａ）或秩(A )。
规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0,且更高阶子式均为 0,r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .（2) 有行列式的性质, （3) R(Ａ) ≤m , R (A ) ≤n ， ０ ≤R (A ） ≤min { m , n } ．(4) 如果 An ×ｎ , 且 则 R( A ） = n .反之，如 R ( Ａ ) = n ,则因此,方阵 Ａ 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n ．二、矩阵秩的求法1、子式判别法（定义)。
例1 设 为阶梯形矩阵,求Ｒ（B ）。
解 由于 存在一个二阶子式不为0,而任何三阶子式全为0,则 Ｒ(B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如()n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯k n k m c c ()n m ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。
2.6.1----矩阵秩的定义-§2.6-----矩阵的秩
PAQ
Er O
O O
,
将矩阵分块为
Q1B
B1 B2
其中，B1是r ×p 矩阵，B2是(n-r) ×p 矩阵。
由于
PAB
(
PAQ)(Q
1B)
Er O
所以
O
O
B1
B2
B1
O
,
R(AB)
R(PAB)
R
B1 O
R(B1
).
注意B1是Q-1B去掉n-r行得到的矩阵，而矩阵每去掉一行 其秩减 1 或不变，因此
R(B1) ≥R(Q-1B)- (n- r) =R(B) - (n- r) .
从而
R(AB)≥ r +R(B)-n。
即 R(AB)≥ R(A)+R(B)-n。
显然，在上式中当AB=O时，有公式
R(A)+R(B) n.
例5 设A为n阶方阵( n ≥2)，A*是A的伴随矩阵，试证
1）当R(A)=n时，R(A*)=n; 2）当R(A)=n-1时，R(A*)=1; 3）当R(A)<n-1时，R(A*)=0。 证明 1)当R(A)=n时,即A为满秩矩阵,所以| A*|=| A|n-1
≠0,从而R(A*)=n。 2）当R(A)=n-1时，|A|=0，所以A A*= |A|E=O。由 R(A)+R(A*) n，
得R(A*) 1。又由R(A)=n-1知， A中至少有一个元素的 代数余子式不等于零，即A*是非零矩阵，从而R(A*) ≥ 1， 故R(A*)=1。
3）当R(A)<n-1时， A的每一个n-1阶子式都为零，因 而A的所有元素的代数余子式均为零，即A*是零矩阵，故 R(A*)=0。
若A为n阶方阵，且R(A)= n，则称A为满秩矩阵。它既 是行满秩矩阵，又是列满秩矩阵。显然，方阵A可逆的充 分必要条件是A为满秩矩阵。
矩阵的秩及其求法-求秩的技巧
第五节：矩阵的秩及其求法之邯郸勺丸创作一、矩阵秩的概念1. k阶子式定义1 设在A中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A的一个k 阶子式。
例如共有个二阶子式，有个三阶子式矩阵 A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为而为 A 的一个三阶子式。
显然，矩阵 A 共有个k阶子式。
2. 矩阵的秩定义2 设有r阶子式不为0，任何r+1阶子式(如果存在的话)全为0 ,称r为矩阵A的秩，记作R(A)或秩(A)。
规定：零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至少有一个 r 阶子式所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .(2) 有行列式的性质，(3) R(A) ≤m, R(A) ≤n, 0 ≤R(A) ≤min { m , n } .(4) 如果An×n , 且则 R ( A ) = n .反之，如 R( A ) = n ,则因此，方阵 A 可逆的充分需要条件是 R ( A ) = n .二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。
例1 设为阶梯形矩阵，求R(B)。
解由于存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则R(B) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。
例2 设如果求a .解或例3则2、用初等变换法求矩阵的秩定理2矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
即则注：只改变子行列式的符号。
是 A 中对应子式的k 倍。
是行列式运算的性质。
求矩阵A的秩方法：1）利用初等行变换化矩阵A为阶梯形矩阵B2）数阶梯形矩阵B非零行的行数即为矩阵A的秩。
例4求解R(A) = 2例5三、满秩矩阵定义3A为n 阶方阵时，称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）称 A 是降秩阵，（奇异矩阵）可见：对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理.定理3设A是满秩方阵，则存在初等方阵使得对于满秩矩阵A，它的行最简形是n 阶单位阵 E .例如A为满秩方阵。
矩阵的秩——精选推荐
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但是，近年来，伴随我国工业化的快速发展，大地不断遭到各种污染的伤害。
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大地之殇一·黑土地之悲占全国粮食总产五分之一的东北黑土区是我国最重要的商品粮基地，但一个并不为多数人了解的严峻事实是，支撑粮食产量的黑土层却在过去半个多世纪里减少了50%，并在继续变薄，几百年才形成一厘米的黑土层正以每年近一厘米的速度消失。
照此速度，部分黑土层或将在几十年后消失殆尽，东北这一中国最大粮仓的产能也将遭受无法挽回的损失。
□记者孙彬管建涛连振祥吉哲鹏娄辰李松南京哈尔滨兰州昆明济南重庆报道毒土：GDP至上的恶果当前，我国土壤污染出现了有毒化工和重金属污染由工业向农业转移、由城区向农村转移、由地表向地下转移、由上游向下游转移、由水土污染向食品链转移的趋势，逐步积累的污染正在演变成污染事故的频繁爆发。
日益加剧的污染趋势可能还要持续30年“目前，我国土壤污染呈日趋加剧的态势，防治形势十分严峻。
”多年来，中国土壤学会副理事长、中国农业科学院研究员张维理教授一直关注我国土壤污染问题“我国土壤污染呈现一种十分复杂的特点，呈现新老污染物并存、无机有机污染混合的局面。
”“现在我国土壤污染比各国都要严重，日益加剧的污染趋势可能还要持续30年。
”中国土壤学专家，南京农业大学教授潘根兴告诉《经济参考报》记者，这些污染包括随经济发展日益普遍的重金属污染、以点状为主的化工污染、塑料电子废弃物污染及农业污染等。
2.5矩阵的秩
3 2 2 1 0 3 1 2 5 0 的秩. 例2 求矩阵 B 0 0 0 4 3 0 0 0 0 0
其非零行有3行， 解 B是一个行阶梯形矩阵，
B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 而0 0 3 0
2 0 = 2 为1个2阶子式 0 1 2 0 1 0 1 2 =0 4 0 2
为1个3阶子式
2. 矩阵A的秩 (rank)： A中非零子式的最高阶数, 记为r(A). 注1. 0 r(Amn) min{m, n} 注2. 矩阵 r(A) = r A中至少有一个r阶子式 不等于0, 而当k>r时, A的任一k阶子式都为0. 2 0 4 1 如例1中的矩阵A = 0 1 3 2 有一个 4 0 8 2 2 0 2阶子式 = 2 0, 而A的所有3阶子式 0 1
T). r ( A ) = r ( A 注6.
证明: 设AO. AT的子式等于A的某个子式的转置, 因此AT与A的非零子式的最高阶数相等.
二、矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Amn , 总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形.
问题：经过变换矩阵的秩变吗？定理 1 若 A ~ B, 则 R A R B .
3 2 0, 4
R( B ) 3.
注3. 阶梯阵的秩等于其阶梯数, 即非零行行数. n r(A) = ？ 注4.设A为n阶方阵，|A| 0 3. 方阵A称为非奇异(非退化)矩阵，若|A| 0. 方阵A称为满秩矩阵，若r(A) = n. 注5. 方阵A非奇异(非退化),满秩,可逆 r(A) = n |A| 0 A E A = P1…Ps
第2.6节 矩阵的秩
一. 基本概念 1. k阶子式：在Amn中, 任取k行与k列(km, kn), 位于这些行列交叉处的k2个元素, 不改 变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列 k k 式. 这样的子式共有C m C n 个. 2 0 4 1 例1. A = 0 1 3 2 4 0 8 2
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1 0 5 1 0 5 1 0 5 1 0 0
E(1, 3(5)) = 0 1 0 , 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 .
00 1 001 00 1 001
第二章 矩阵
§2.6 方阵的逆矩阵
2. 可逆矩阵的分解
***
(1) * * *
** * ***
***
= ***
10 0
010.
000 *** 000 001
第二章 矩阵
2 0 4 1
0 1 3 2 的3阶子式有14个:
4 0 8 2
§2.5矩阵的秩
2 0 4 2 0 1 2 4 1 0 4 1
0 1 3 = 0 1 2 = 0 3 2 = 1 3 2 = 0. 4 0 8 4 0 2 4 8 2 0 8 2
第二章 矩阵
§2.5矩阵的秩
问题: 假若一个56的矩阵中所有3阶子式都等
1 0
0 1
3/2 1
3 1
5/2 1
1 3 2 故A1 = 3/2 3 5/2 .
1 1 1
第二章 矩阵
§2.6 方阵的逆矩阵
三. 用初等变换解矩阵方程
设A可逆, 则A可以经过有限次初等行变换化为 行最简形——单位矩阵E.
下面用初等变换解矩阵方程AX = B. 注意到X = A1B.
(A B) … (E ?)
第二章 矩阵
§2.5 矩阵的秩
定理2. 设A是满秩方阵，则存在初等方阵
P1, P2, , Ps. 使得 Ps Ps1 , P2P1A E
第二章 矩阵
§2.5 矩阵的秩
定理3. mn矩阵A, m阶初等矩阵
P1, P2, …, Ps 及m阶初等矩阵
Q1, Q2, …, Qt s.t. P1P2…PsAQ1Q2…Qt = Em(r)n ,
则称A可逆(invertible), 并称B为A的 逆矩阵(inverse matrix).
第二章 矩阵
2. 逆矩阵的唯一性
§2.6方阵的逆矩阵
若AB = BA = E, AC = CA = E, 则B = BE =B(AC) = (BA)C = EC = C.
定理1.4. A可逆 A的逆矩阵唯一.
第二章 矩阵
二. 初等矩阵与可逆矩阵 1. 初等矩阵的可逆性 (1) E(i, j)1 = E(i, j), (2) E(i(k))1 = E(i(k1 )), (3) E(i, j(k))1 = E(i, j(k)).
§2.6方阵的逆矩阵
重大发现 初等矩阵 的逆矩阵
仍为 初等矩阵
10 5
例如3阶初等矩阵E(1, 3(5)) = 0 1 0 ,
命题3. 设A为sn矩阵, B为nt矩阵, 则 r(AB) min{r(A), r(B)}.
第二章 矩阵
三、满秩矩阵 定义3 A 为 n 阶方阵时，
§2.5 矩阵的秩
RA n, 称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）
RA n, 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵）
可见：RA n A 0
对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E, 又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换， 相当于用一个对应的初等阵左乘A, 由此得到下面的 定理
解法二
2
A
1 0 4
4 2 1 7
3 1 6
1 4 2
1 4
3 4
111
1
0 0 0
2 1 0 1
1 1 1 2
4 3 9 6
2 1 21
1 2 1 4 2 1 2 1 4 2
0 0 0
1 0 0
1 1 1
3 9 9
1 22
0 0 0
1 0 0
1 1 0
3 9 0
RA 3
A为满秩方阵。
第二章 矩阵
§2.5 矩阵的秩
关于矩阵的秩的一些重要结论：
设A是
矩阵， B是
矩阵，
性质1
性质2 如果 A B = 0 则
性质3 如果 R(A)= n, 如果 A B = 0 则 B = 0。
性质4 设A,B均为 m n 矩阵，则
第二章 矩阵
§2.5 矩阵的秩
例8 设A为n 阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥n
则r(A) r() = 1.
a1
设 =
a2 …
,
T = (b1
b2
…
bn),
as
其中某个ai和bj非零,
则aibj为A中的非零元素, 故r(A) 1.
因而r(A) = 1.
第一章 矩阵
§2.6 方阵的逆矩阵
四. 可逆方阵的判定 1. 伴随矩阵与逆矩阵 设A = [aij]nn为方阵, 元素aij的代数余子 式为Aij, 则称如下矩阵
1 1 1 2
0 3 4 4 0 5 1 0
R(A) 2, 5 0, 1 0
5, 1
第二章 矩阵
§2.5 矩阵的秩
命题1. 设A为sm矩阵, B为sn矩阵, 则 max{r(A), r(B)} r(A, B) r(A)+r(B).
命题2. 设A, B均为sn矩阵, 则 r(A+B) r(A)+r(B).
P1(A B)
Pl-1… P2P1(A B)
P2P1(A B)
Pl Pl-1…P2P1(A B)
? = A1B = X (Pl Pl-1…P2P1A, Pl Pl-1…P2P1B)
第二章 矩阵
§2.6 方阵的逆矩阵
123
25
例8. 设A = 2 2 1 , B = 3 1 ,
343
43
求矩阵X使AX = B.
其中r为一个不超过min{m, n}的非负 整数.
定理1.6
第二章 矩阵
§2.5 矩阵的秩
对于满秩矩阵A，它的行最简形是 n 阶单位阵 E .
例如 1 A 2 3
2 1 1
3 2 2
1 0 0
2 3 2
3 1 4 0 3 0
0 1 2
0 1 3
1 0
0
0 0 1 0 E 0 1
第二章 矩阵
§2.5 矩阵的秩 一. 基本概念
§2.5矩阵的秩
k行
mn k列
这样的子式共有 Cmk Cnk个.
k阶子式
第二章 矩阵
§2.5矩阵的秩
2 0 4 1 例如: A = 0 1 3 2 的1阶子式有34个:
4 0 8 2
2, 0, 4, 1, 0, 1, 3, 2, 4, 0, 8, 2.
4 3 8
1 2 2
有一个2阶子式
2 0
0 1
0,
而3阶子式全为0, 因此它的秩为2.
注: ① 零矩阵的秩规定为0. ② r(AT) = 秩r(A).
第二章 矩阵
§2.5 矩阵的秩
例1设
解
a A 1
1 a
1 1
如果 RA 3
, 求 a.
1 1 a
a11
RA 3 A 1 a 1 (a 2)(a 1)2 0
可逆矩阵中不会有零行.
(2)
A
初等 行变换
行最简形U
=
P1P2…PsA
A可逆 U可逆 U中不会有零行
10…0
U = 0 1 … 0 = E = P1P2…PsA
… … …
பைடு நூலகம்
00…1
两边同时左乘(Ps1…P21P11)
A = Ps1…P21P11 为初等矩阵的乘积.
第二章 矩阵
§2.6方阵的逆矩阵
3 2 3 20 1
6 5
1 3
的秩=?
1 6 4 1 4
注: 例3告诉我们: 对于一个阶数很高且比较 复杂的矩阵来说, 按照定义去求它的秩是 一件很麻烦的事.
第二章 矩阵
§2.5 矩阵的秩
4 0 8 2 9
例4. 0 3 0 00 0
1 4
2 7
的秩为 3 .
00 0 00
注: 从例4可以看出行阶梯形矩阵的秩就等于 它的阶梯数(即:非零行的数目). 而任何一个矩阵都可以经过有限次初等行
解:
12325 22131
初等 1 0 0 3 行变换 0 1 0 2
2 3
34343
001 1 3
32 故X = 2 3 .
13
第二章 矩阵
§2.5 矩阵的秩
例6. 设A为sn矩阵, 证明r(A) = 1的充要条件
是存在非零 s 维列向量 和非零 n 维列 向量, 使得A = T.
证明: (必要性) 若r(A) = 1, 则存在可逆矩阵P 和Q使得
10…0
A=P
00…0 ………
Q.
00…0
第二章 矩阵
10…0
A=P
00…0 ………
Q.
00…0
§2.5 矩阵的秩
1
令
=
P
0 …
, T = (1 0 … 0)1nQ,
0 s1
则可以直接验证为非零的s维列向量,
为非零的n维列向量, 而且A = T.
第二章 矩阵
§2.5 矩阵的秩
(充分性)若存在非零s维列向量和非零n维列 向量, 使得A = T,
定理4. A可逆A可写成初等矩阵的乘积.
3. 矩阵的标准分解 (回忆定理3)
定理5. 设A是mn矩阵, 则存在m阶可逆 矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得
A = P Em(r)nQ.
(2) 设B = PAQ, 其中P, Q为可逆矩阵, 则r(A) = r(B).
三. 用初等变换求逆矩阵
依据之一: 可逆矩阵的行最简形为E.
证： ∵ （A+E）+（E-A）=2E