2013届西安市名校联考高考理数测试卷及答案3
陕西省西安市高新一中等五校2013届高三第一次联考数学理(附答案) (19)
长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2013届第一次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={x|一3<x<3，x ∈Z ），N={x|x<1}，则M N=A ．{|3x x -<<1}B ．{|02}x x <<C ．{-3，-2，-1，0,1）D ．{-2，一1，0}2．已知直线a 和平面α，那么a//α的一个充分条件是A ．存在一条直线b ，a//b 且b ⊂αB ．存在一条直线b ，a ⊥b 且b ⊥αC ．存在一个平面β，a ⊂β∥且α//βD ．存在一个平面β，α//β且α//β3．如果数列321121,,,,,nn a a a a a a a - …是首项为1，公比为2-的等比数列，则a 5等于A ．32B ．64C ．—32D ．—644．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)P x y Q x y 两点，若122,||4x x PQ +==，则抛物线方程是A ．24y x =B ．28y x =C ．22y x =D ．26y x = 5．21()nx x -展开式中，常数项为15，则n 的值可以为A ．3B ．4C ．5D ．66．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A ．226++B ．2(12)6++C ．23 D ．32262++7．给出15个数：1，2，4，7，1 l ，…，要计算这15个数的和，现给出解决该问题的程序框图（如右图所示），那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入A ．16?;1i p p i ≤=+-B ．14?;1i p p i ≤=++C ．15?;1i p p i ≤=++D ．15?;i p p i ≤=+8．已知实数x ，y 满足1(10)||,(,)()2cos (0)||12x x x x y f x x x y ππ---≤<⎧⎧≤⎪⎪=⎨⎨≤<⎪⎪≤⎩⎩则点在函数的图象与坐标轴所围成的封闭图形的内部的概率为A ．32πB ．14πC ．34πD ．12π9．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区。
西安市五大名校2013届第六次联考数学(理)试题
西安市五大名校2013届第六次联考数学（理）模拟考试本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角 形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是 （ ）A B CD ． 2．复数131iZ i−=+的实部是 （ ）A ．2B ．1C ．1−D ．4− 3．如果命题“()p q ¬∧”是真命题，则正确的是（ ）A ．,p q 均为真命题B ．,p q 中至少有一个为假命题C ．,p q 均为假命题D ．,p q 中至多有一个为假命题4．已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b−=>的左、右焦点分别为1F ，2F ,过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为H ,若2F H 的中点M 在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率为 （ ）A BC ．2D ．35．己知5sin cos 3cos 3sin =−+αααα，则αααcos sin sin 2−的值是（ ）A ．52B ．52− C ．－2 D ．26．若集合2{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，全集U=R ，则()U A C B I = （ ）A ．{|01}x x ≤≤B ．{|01}x x x ><−或C ．{|12}x x <≤D ．{|02}x x <≤7．六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻．在此前提下，学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是 （ ）A ．130B ．110C ．140D ．120正视图 俯视图侧视图8．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体P －ABC 的体积为V ，则R ＝ （ ） A ．V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 49．公差不为零的等差数列{}n a 中，12513a a a ++=，且1a 、2a 、5a 成等比数列，则数列{}n a 的公差等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．在R 上可导的函数3211()232f x x ax bx c =+++，当(0,1)x ∈时取得极大值，当(1,2)x ∈ 时取得极小值，则21b a −−的取值范围是（ ）A ．11(,)22−B ．11(,)24−C ．1(,1)2D ．1(,1)4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上． 11．如右图所示的程序框图的输出值]2,1(∈y ，则输入值∈x 。
完整版高考理科数学陕西卷word解析版
2013 年高考理科数学陕西卷word 解析版2013 年一般高等学校夏天招生全国一致考试数学理工农医类(陕西卷)注意事项：1．本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题．2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷种类信息．3．全部解答必然填写在答题卡上指定地域内．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分(共50 分)一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求(本大题共10 小题，每题5 分，共50 分)．1．(2013陕西，理1)设全集为R，函数f(x)＝A ．[－1,1]B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案：D21 x 的定义域为M，则R M为()．解析：要使函数f(x)＝ 21 x 有意义，则1－x2≥0，解得－1≤x≤1，则M＝[－1,1]，R M＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．(2013陕西，理2)依据以下算法语句，当输入x为60时，输出y 的值为()．A ．25 B．30 C．31 D．61答案：C解析：由算法语句可知y 0.5x, x 50,25 x 50 ,x 50,所以当x＝60时，y＝25＋×(60－50)＝25＋6＝31.3．(2013陕西，理3)设a，b为向量，则“|a·b |＝|a ||b|”是“a∥b”的( )．A ．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充分必需条件D．既不充分也不用要条件答案：C解析：若a 与b 中有一个为零向量，则“|a·b |＝|a||b|”是“a∥b”的充分必需条件；若a 与b 都不为零两向量的夹角为向量，设a·b＝|a||b|cos θ，由|a·b|＝|a||b|得|cos θ|＝1，则0或π，所θ，则a与b 的夹角为0或π，则|cos θ|＝1，所以|a·b |＝|a ||b|，故“|a·b| 以a∥b.若a∥b，则a与b 同向或反向，故两向量的夹角为＝|a||b |”是“a∥b”的充分必需条件．4．(2013陕西，理4)某单位有840 名职工，现采纳系统抽样方法抽取42 人做问卷检查，将840 人按1,2，⋯，840 随机编号，则抽取的42 人中，编号落入区间[481,720] 的人数为()．A ．11 B．12 C．13 D．141 / 14解析：840÷42＝20，把1,2，⋯，840 分成42 段，没关系设第 1 段抽取的号码为l，则第k 段抽取的号码为l＋(k－1) 2·0,1≤l≤20,1≤k≤42.令481≤l＋(k－1) 2·0≤720，得25＋则25≤k≤36.满足条件的k 共有12 个．1l20≤k≤37－l20.由1≤l≤20，5．(2013陕西，理5)如图，在矩形地域ABCD 的A，C 两点处各有一个通讯基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形地域ADE 和扇形地域CBF (该矩形地域内无其余信号本源，基站工作正常)．若在该矩形地域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( )．A ．1 π4B．π21 πC．22 答案：A D．π4解析：S 矩形ABCD＝1×2＝2，S 扇形ADE＝S扇形CBF ＝π.由几何概型可知该地点无信号的概率为4P＝S S S矩形ABCD 扇形ADE 扇形CBS矩形ABCDF2ππ2 1.2 46．(2013陕西，理6)设z1，z2 是复数，则以下命题中的假．命题是( )．A ．若|z1－z2|＝0，则z1 z2B．若z1 z2 ，则z1 z2C．若|z1|＝|z2|，则z1 z1 z2 z2D．若|z1|＝| z2|，则z12＝z22答案：D解析：对于选项A，若|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故z z ，正确；对于选项B，若1 2 z z ，则z z z ，1 2 1 2 2正确；对于选项C，z1·z1 ＝|z1|2，z2·z 2＝| z2|2，若| z1|＝|z2|，则z1 z1 z2 z2 ，正确；对于选项D，如令z1＝i＋1，z2＝1－i，满足| z1|＝|z2|，而z12＝2i，z22＝－2i，故不正确．7．(2013陕西，理7)设△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为()．A ．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确立2 / 14解析：∵bcos C＋ccos B＝asin A，由正弦定理得sin Bcos C＋sin C c os B＝sin2A，∴sin( B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A．又sin A＞0，∴sin A＝1，∴2A．又sin A＞0，∴sin A＝1，∴πA ，故△ABC为直角三角形．28．(2013陕西，理8)设函数 f (x)＝61x , x 0,x则当x＞0时，f[ f(x)] 表达式的张开式中常数项为( )．x, x 0,A ．－20 B．20 C．－15 D．15 答案：A解析：当x＞0时，f(x)＝x ＜0，则f[ f(x)] ＝6 61 1x xx x.r r r61r 6 r r r 2 2 r r 3 rT C ( x) ( 1) C x x ( 1) C xr 1 6 6 6x.令3－r＝0，得r＝3，此时T4＝(－3 3C ＝－20.1)62 的内接矩形花园(阴9．(2013陕西，理9)在以以以下图的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )．A ．[15,20] B．[12,25]C．[10,30] D．[20,30]答案：C解析：设矩形另一边长为y，以以以下图.x 40 y40 40，则x＝40－y，y＝40－x.由xy≥300，即x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，应选C．3 / 1410．(2013陕西，理10)设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x，y，有( )．A ．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[ x]C．[x＋y] ≤[ x]＋[y] D．[x－y]≤[ x]－[y]答案：D解析：对于选项A，取x＝－，则[－x]＝[1.1] ＝1，而－[x]＝－[－1.1]＝－(－2)＝2，故不正确；对于选项B，令x＝，则[2 x]＝[3] ＝3,2[ x]＝2[1.5]＝2，故不正确；对于选项C，令x＝－，y＝－，则[x＋y]＝[－4]＝－4，[x]＝－2，[y]＝－3，[x]＋[y]＝－5，故不正确；对于选项D，由题意可设x＝[ x]＋β1,0≤β1＜1，y＝[y]＋β2,0≤β2＜1，则x－y＝[x]－[y]＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则[x－y]＝[[ x]－[y]＋β1－β2] ＝[ x]－[y]；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋β1－β2＜1，[x－y]＝[[ x]－[y]＋β1－β2]＝[[ x]－[y]－1＋1＋β1－β2]＝[ x]－[ y]－1＜[x]－[y]，应选项D 正确．第二部分(共100 分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题，每题5 分，共25 分)．2 2x y 11．(2013陕西，理11)双曲线16 m答案：951的离心率为4，则m等于__________．解析：由双曲线方程知a＝4.又 e ca54，解得c＝5，故16＋m＝25，m＝9.12．(2013陕西，理12)某几何体的三视图以下，则其体积为__________．4 / 14π答案：3解析：由三视图可知该几何体是以以以下图的半个圆锥，底面半圆的半径r＝1，高SO＝2，则V几何体＝13π2π.2 313．(2013陕西，理13)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2 所围成的封闭地域，则2x－y 的最小值为__________．答案：－4解析：由y＝|x－1|＝x1,x 1,x 1,x 1及y＝2 画出可行域如图暗影部分所示．令2x－y＝z，则y＝2x－z，画直线l0：y＝2x 并平移到过点A(－1,2)的直线l，此时－z 最大，即z 最小＝2×(－1)－2＝－4.14．(2013陕西，理14)观察以低等式12＝12－22＝－3112－22＋32＝62－22＋32－42＝－1015 / 14⋯⋯照此规律，第n 个等式可为__________．＋1n2＝(－1)n＋1·n n 1 答案：12－22＋32－42＋⋯＋(－1)n2解析：第n 个等式的左侧第n项应是(－1)n＋1n2，右侧数的绝对值为1＋2＋3＋⋯＋n＝n n2 1，故有12－22＋32－42＋⋯＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1 1n n2.15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在以下三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题评分)A ．(不等式选做题)已知a，b，m，n 均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为__________．答案：2解析：(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2( a2＋b2)＝4ab ＋2(a2＋b2)＝2( a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝n＝2时等号建立)．B．(几何证明选做题)如图，弦AB 与CD 订交于e O 内一点E，过E作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则P E＝__________.答案： 6解析：∠C 与∠A 在同一个e O 中，所对的弧都是B?D，则∠C＝∠A．又PE∥BC，∴∠C＝∠PED．∴∠APE PD＝∠PED．又∠P＝∠P，∴△PED∽△PAE，则PA PE＝3，∴PE2＝3×2＝6，∴PE＝ 6 .2＝3×2＝6，∴PE＝ 6 .2＝PA·PD．又PD＝2DA＝2，∴PA＝PD＋DA，∴PE2＋y2－x＝0 的参数方C．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 程为__________．6 / 142013 年高考理科数学陕西卷word 解析版答案：xy2cos ,sin cos(θ为参数)解析：由三角函数定义知yx＝tan θ(x≠0)，y＝xtan θ，由x2＋y2－x＝0 得，x2＋x2tan2θ－x＝0，x＝12 1 tan2θ，则y＝xtan θ＝cos2θtan θ＝sin θcos θ，又＝cosπ时，x＝0，y＝0 也合适题意，故参数方2x 程为y2cos ,sin cos(θ为参数)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题，共75 分)．16．(2013陕西，理16)(本小题满分12 分)已知向量a＝数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；1cos ,x ，b＝( 3 sin x，cos 2x )，x∈R，设函2(2)求f(x)在0, π2上的最大值和最小值．解：f(x)＝1cosx ,·( 3 sin x，cos 2x)2＝ 3 cos xsin x－12cos 2x＝32sin 2x－12cos 2x＝ππcos sin 2x sin cos 2x6 6＝πsin 2x .62π2π(1)f (x)的最小正周期为T ，π2即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤π，27 / 142013 年高考理科数学陕西卷word 解析版∴ππ5π2x .由正弦函数的性质，6 6 6当ππ2x ，即6 2πx时，f(x)获得最大值1.3当ππ2x ，即x＝0时，f(0)＝6 612，当π 52x π，即6 6πx时，2π 1f ，2 2∴f(x)的最小值为1 2 .所以，f(x)在0, π2上最大值是1，最小值是12.17．(2013陕西，理17)(本小题满分12 分)设{ a n} 是公比为q的等比数列．(1)推导{ a n} 的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{ a n＋1} 不是等比数列．(1)解：设{a n} 的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋⋯＋a1＝na1；当q≠1时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋⋯＋a1q n－1，①qS n＝a1q＋a1q2＋⋯＋a1q n，②①－②得，(1－q) S n＝a1－a1qn，∴Snna1 1 q1 q，∴na ,q 1,1nS a qn111 q,q 1.(2)证明：假设{ a n＋1} 是等比数列，则对任意的k∈N＋，(a k＋1＋1)2＝(a k＋1)( a k＋2＋1)，2a ＋2a k＋1＋1＝a k a k＋2＋a k＋a k＋2＋1，k 1a12q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1，∵a1≠0，∴2qk＝q k－1＋q k＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾，∴假设不能够立，故{ a n＋1} 不是等比数列．18．(2013陕西，理18)(本小题满分12 分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1 的底面ABCD 是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝ 2 .8 / 142013 年高考理科数学陕西卷word 解析版(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2)求平面OCB1 与平面BB1D1D 的夹角θ的大小．(1)证法一：由题设易知OA，OB，OA1 两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图．∵AB＝AA1＝ 2 ，∴OA＝OB＝OA1＝1，∴A(1,0,0) ，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)．u u u u r u u u r由＝AB ，易得B1(－1,1,1)．A B1 1u u u r u u u r∵＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)，AC1u u u rBB＝(－1,0,1)，1u u u r u u u r uu u r uu u r∴·＝0，AC ·BD＝0，A1C BB1 1∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D．证法二：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD．又∵ABCD 是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C．又∵OA1 是AC 的中垂线，∴A1A＝A1C＝ 2 ，且AC＝2，∴AC2＝AA12＋A1C2，∴△AA1C 是直角三角形，∴AA1⊥A1C．9 / 142013 年高考理科数学陕西卷word 解析版又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D．(2)解：设平面OCB1 的法向量n＝(x，y，z)，u u u r uuur ∵OC＝(－1,0,0)，O B1＝(－1,1,1)，u u u rn OC x 0, x 0,∴u u ur∴y z.n OB x y z 0,1取n＝(0,1，－1)，uu u r由(1)知，A1C＝(－1,0，－1)是平面BB1D1D 的法向量，u u u r1 1∴cos θ＝|cos〈n，A1C〉|＝.2 2 2又∵0≤θ≤π，∴2π.319．(2013陕西，理19)(本小题满分12 分)在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 至5 号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须互相独立地在选票上选3名歌手，此中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3 至5 号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有独爱，所以在 1 至5 号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；(2)X 表示3 号歌手获得观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学希望．解：(1)设A表示事件“观众甲选中 3 号歌手”，B 表示事件“观众乙选中 3 号歌手”，则P(A)＝1C 222C 33，P(B)＝2C 343C 55.∵事件A 与B 互相独立，∴观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为P(A B )＝P(A) ·P( B )＝P(A) ·[1－P( B)] ＝2 2 43 5 15 . 或P AB1 3C C 42 4.2 3C C 153 5(2)设C表示事件“观众丙选中 3 号歌手”，则P(C)＝2C 343C 55，∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P(X＝0)＝1 2 2 4 P( ABC) ，3 5 5 75P(X＝1)＝P (ABC ) P( ABC ) P( ABC )＝2 2 2 1 3 2 1 2 3 203 5 5 3 5 5 3 5 5 75，P(X＝2)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC)＝2 3 2 2 2 3 1 3 3 333 5 5 3 5 5 3 5 5 75，P(X＝3)＝P(ABC )＝2 3 3 183 5 5 75，∴X 的分布列为X 0 1 2 3P 475207533751875∴X 的数学希望4 20 33 18 140 28 EX＝0 1 2 3 .75 75 75 75 75 1510 / 1420．(2013陕西，理20)(本小题满分13 分)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹 C 交于不一样样的两点P，Q，若x轴是∠PBQ 的角均分线，证明直线l过定点．(1)解：如图，设动圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，当O1 不在y轴上时，过O1 作O1H⊥MN 交MN 于H，则H是MN 的中点，2 2∴|O M | x 4 ，又12 2 |O A| x 4 y ，1∴ 2 2 2 2x 4 y x 4 ，化简得y2＝8x(x≠0)．又当O1 在y轴上时，O1 与O 重合，点O1 的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为y2＝8x.(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q( x2，y2)，将y＝kx＋b 代入y2＝8x 中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，此中Δ＝－32 k b＋64＞0.11 / 14由求根公式得，x1＋x2＝82bk2k，①x1x2＝2b2k，②由于x轴是∠PBQ 的角均分线，所以y y1 2x1 1 x2 1，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)( x2＋1)＋(kx2＋b)( x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ＞0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．x，x∈R. 21．(2013陕西，理21)(本小题满分14 分)已知函数f(x)＝e(1)若直线y＝kx＋1 与f(x)的反函数的图像相切，务实数k 的值；(2)设x＞0，议论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m＞0)公共点的个数；f a f b(3)设a＜b，比较2 与f b f ab a的大小，并说明原由．解：(1) f(x)的反函数为g(x)＝ln x.设直线y＝kx＋1 与g(x)＝ln x 的图像在P( x0，y0)处相切，则有y0＝kx0＋1＝ln x0，k＝g′(x0)＝1x，解得x0＝e 2，2，1 k .2ex 与y＝mx2 的公共点个数等于曲线(2)曲线y＝e yxe2x与y＝m 的公共点个数．令xxe2x，则(x)e2x xx x3x，∴φ′(2)＝0.当x∈(0,2)时，φ′(x)＜0，φ( x)在(0,2)上单调递减；12 / 142013 年高考理科数学陕西卷word 解析版当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递加，∴φ(x)在(0，＋∞)上的最小值为(2)2 e 4.当0＜m＜2e4时，曲线yxe2x与y＝m 无公共点；当当2 xe em时，曲线y 2与y＝m 恰有一个公共点；4 x2e 1m时，在区间(0,2)内存在x1，使得φ(x1)＞m，在(2，＋∞)内存在x2＝me2，使得φ(x2)4 m＞m.由φ(x)的单调性知，曲线yxe2x与y＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点．综上所述，当x＞0时，若0＜m＜2e4，曲线y＝f(x)与y＝mx2 没有公共点；若2em ，曲线y＝f(x)与y＝mx2 有一个公共点；4若2em ，曲线y＝f(x)与y＝mx2 有两个公共点．4(3)解法一：能够证明f a f b f b f a2 b a.事实上，f a f b f b f a2 b aa b b ae e e e2 b ab a ab a e e b a 2e b a 21 1b a b a b a2 e e 2 e e 2 e 1(b＞a)．(*)令x 2(x) 1(x≥0)，x2 e 1则x x 2 x x 21 2e e 1 4e e 1(x) 0(仅当x＝0时等号建立)，x 2 x 2 x 22 e 1 2 e 1 2 e 1∴ψ(x)在[0，＋∞)上单调递加，∴x＞0时，ψ(x)＞ψ(0)＝0.13 / 142013 年高考理科数学陕西卷word 解析版令x＝b－a，即得(*) 式，结论得证．b a b af a f b f b f a e e e e解法二：2 b a 2 b ab a b a b abe be ae ae 2e 2e＝2 b a＝2aeb a[( b－a)e b－a＋(b－a)－2eb －a＋2]，b－a＋(b－a)－2e b－a＋2]，设函数u(x)＝xex＋x－2e x＋2(x≥0)，则u′( x)＝ex＋xe x＋1－2e x，令h(x)＝u′(x)，则h′(x)＝ex＋e x＋xe x－2e x＝xe x≥0(仅当x＝0时等号建立)，∴u′(x)单调递加，∴当x＞0时，u′(x)＞u′(0)＝0，∴u( x)单调递加．当x＞0时，u(x)＞u(0)＝0.令x＝b－a，则得( b－a)eb－a＋(b－a)－2e b－a＋2＞0，b a b a e e e e ∴2 b a >0，所以，f a f b f b f a2 b a.14 / 14。
2013年陕西高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．设全集为R ，函数f (x )的定义域为M ，则M R ð为 ( ) A ．[－1,1] B ．(－1,1) C ．(][),11,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞ 【测量目标】函数的定义域，集合的基本运算. 【考查方式】根据根式定义，直接求解定义域. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】要使函数()f x =1－20x …，（步骤1）∴－1…x …1，则M ＝[－1,1]，M R ð＝(－∞，－1) (1，＋∞)．故选D.（步骤2）2．根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为 （ ）第2题图A ．25B ．30C ．31D ．61 【测量目标】分段函数，选择结构的程序框图.【考查方式】由算法语句读出其功能，再利用分段函数的解析式求函数值. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由算法语句可知0.5,50,250.650,50,x x y x x ⎧=⎨+(-)>⎩…（步骤1）∴当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31.故选C.（步骤2）3．设a ，b 为向量，则“|a b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】平面向量的数量积运算，充分、必要条件.【考查方式】讨论平面向量的共线条件，进一步结合充分、必要的条件求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】若,= a b a b 若a ，b 中有零向量，显然a ∥b ；（步骤1） 若a ，b 中均不为零向量，则cos ,,==a b a b a b a b cos ,1∴=a b ,π⇒=a b 或0，∴a ∥b ，即= a b a b ⇒a ∥b .（步骤2）若a ∥b ，则,π=a b 或0，cos ,∴== a b a b a b a b ，（步骤3）其中若a ，b 中有零向量也成立，即a ∥b ⇒= a b a b ；（步骤4） 综上知：“|a b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件.（步骤5）4．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为 ( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 【测量目标】系统抽样.【考查方式】根据系统抽样的方法结合不等式求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】抽样间隔：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ， 则第k 段抽取的号码为：l ＋(k －1) 20,1…l …20,1…k …42；（步骤1） 令481…l ＋(k －1) 20…720，得25＋120l -…k …37－20l.由1…l …20，（步骤2）则25…k …36.满足条件的k 共有12个．（步骤3）5．如下图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是 ()第5题图A ．π14-B ．π12-C ．π22-D ．π4【测量目标】几何概型.【考查方式】将所求概率转化为几何概型进行求解. 【难易程度】容易【试题解析】取面积为测度，则所求概率为：P ＝2121π12π4124FABCD ADE CB ABCDS S S S ⨯-⨯⨯⨯--==-矩形扇形扇形矩形.6．设1z ，2z 是复数，则下列命题中的假．命题是 ( ) A ．若120z z -=，则12z z = B ．若12z z =，则12z z =C ．若12z z =，则1122z z z z =D ．若12z z =，则2212z z = 【测量目标】复数的基本概念.【考查方式】结合复数的模、共轭复数及复数的运算等判断求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】选项A ，若120z z -=，则12z z =，故12z z =，真命题；（步骤1） 选项B ，若12z z =，则122z z z ==，真命题；（步骤2） 选项C ，12z z =2212z z ⇒=1122z z z z ⇒= ，真命题；（步骤3） 选项D ，如令1z ＝i ＋1，2z ＝1－i ，满足|1z |＝|2z |，而1z 2＝2i ，2z 2＝－2i ，假命题．（步骤4） 7．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 【测量目标】利用正弦定理判断三角形的形状.【考查方式】利用正弦定理的变形将角的正弦值转化为三角形三角之间的关系. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，（步骤1） 即sin A ＝sin 2A ．又sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴π2A =，故△ABC 为直角三角形．（步骤2） 8．设函数f (x )＝6100,x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩,,…则当x ＞0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为 （ ） A ．－20 B ．20 C ．－15 D ．15 【测量目标】分段函数，二项式定理.【考查方式】利用分段函数的解析式和二项式的通项公式进行求解. 【难易程度】中等【试题解析】 f (x )＝610,0,x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩,… 当x ＞0时，f (x )＝0，则f [f (x )]＝66(f ⎛== ⎝，（步骤1）663221666C (1)C (1)C rr rr r r r r r r r T x x x ----+⎛==-=- ⎝，（步骤2） 令3－r ＝0，得r ＝3，此时T 4＝(－1)336C ＝－20.（步骤3）9．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是 ()第9题图A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30] 【测量目标】几何证明.【考查方式】利用三角形相似和面积比例关系求解. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】设矩形另一边长为y ，如图所示： 由三角形相似知：404040x y -=，∴ y ＝40－x . xy …300，∴x (40－x ) …300，解得10…x …30，故选C ．第9题图10．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有 ( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]…[x ]＋[y ] D ．[x －y ]…[x ]－[y ]【测量目标】定义新运算.【考查方式】运用创新意识求解此题. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】选项A,取 1.5,x =则[][]1.52,x -=-=-[][]1.51,x -=-=-显然[][].x x -≠-（步骤1） 选项B ，取 1.5x =，则[][]122 1.512x ⎡⎤+==≠=⎢⎥⎣⎦.（步骤2）选项C ，取 1.5,x =则[]2x =[][]233,x ==[][]221.52,x ==显然[][]22x x ≠.故选D （步骤3）第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11. 双曲线222116x y m-=的离心率为54，则m 等于 . 【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】由双曲线的简单几何性质以及离心率求解未知参数. 【难易程度】容易 【参考答案】3【试题解析】由题意知，216 4.a a =⇒=又54c e a ==5c ∴=22225169,3b c a b ∴=-=-=∴=即3m =．12．某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．第12题图【测量目标】由三视图求几何体的体积. 【考查方式】利用三视图，想象出几何体，求解. 【难易程度】中等 【参考答案】π3【试题解析】由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r＝1，高SO＝2，则21π12π323SABV⨯⨯⨯==几何体.第12题图13．若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为__________．【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】作出可行域，数形结合求解.【难易程度】中等【参考答案】4-【试题解析】如图，由y＝|x－1|＝1,1,1,1x xx x-⎧⎨-+<⎩…及y＝2画出可行域如图阴影部分所示，（步骤1）令2x－y＝z，⇒y＝2x－z，（步骤2）画直线l0：y＝2x并平移到过点A(－1,2)的直线l，此时－z最小，即minz＝2×(－1)－2＝－4.（步骤3）第13题图14．观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律，第n个等式可为__________．【测量目标】合情推理（归纳推理）.【考查方式】观察等式，灵活运用归纳推理的方法.【难易程度】较难【参考答案】2222121121234(1)(1)n n n n n (+)----＋＋＋＋…＋＝【试题解析】第n 个等式的左边第n 项应是()11n +-n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝12n n (+)，故有12－22＋32－42＋…＋()11n +-n 2＝()11n +-12n n (+). 15． (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为__________．【测量目标】基本不等式求最值. 【考查方式】利用基本不等式求最值. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)…2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2当且仅当m ＝n “＝”.∴所求最小值为2.B ．(几何证明选做题)如下图，弦AB 与CD 相交于圆O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝__________.第15题B 图【测量目标】三角形相似.【考查方式】通过逻辑推理判定三角形相似即可求出答案. 【难易程度】较难【试题解析】 ∠C 与∠A 在同一个圆O 中，所对的弧都是弧BD ⇒∠C ＝∠A .（步骤1） 又 PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．∴∠A ＝∠PED ．（步骤2） 又∠P ＝∠P ，∴△PED ∽△P AE ，则PE PDPA PE=，∴PE 2＝P A PD ．（步骤3）又 PD ＝2DA ＝2，∴P A ＝PD ＋DA ＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE （步骤4）C ．(坐标系与参数方程选做题)如下图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为__________．第15题C 图【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】利用直角坐标方程和参数方程的转化求解参数方程. 【难易程度】中等【参考答案】2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)【试题解析】由三角函数定义知yx＝tan θ(x ≠0)⇒y ＝x tan θ，（步骤1） 由x 2＋y 2－x ＝0⇒x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝211tan θ+＝cos 2θ，（步骤2） 则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又π2θ=时，x ＝0，y ＝0也适合题意， 故参数方程为2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．（步骤3）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16.(本小题满分12分)已知向量1cos ,2x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a ,=b ),cos 2,x x x ∈R ,设函数()=f x a b .(1)求()f x 的最小正周期; (2)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】平面向量的数量积运算，三角恒等变化.【考查方式】利用向量数量积的运算，两角和的正弦公式、二倍角公式、正弦函数的性质进行求解. 【难易程度】容易 【试题解析】)1()cos,,cos 22f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1sin cos 22x x x =-12cos 22x x =-ππcos sin 2sin cos 266x x =-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（步骤1）（1）()f x 最小正周期为2πT ω=2ππ2==,即函数()f x 的最小正周期为π.（步骤2）（2）π0,2x ∴ 剟ππ5π2.666x --剟（步骤3） 由正弦函数图象的性质得，当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值1.（步骤4）当ππ266x -=-，即0x =时，(0)f =12-.（步骤5）当π5π266x -=，即π2x =时，π1()22f =，（步骤6）()f x ∴的最小值为12-.因此，()f x 在π(0,)2上的最大值是1，最小值是12-.（步骤7）17．(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 【测量目标】等比数列的n 项和公式，反证法.【考查方式】利用等比数列的通项公式及概念推导前n 项和公式；利用反证法证明要证的结论. 【难易程度】中等【试题解析】(1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；（步骤1） 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，（步骤2）∴111nn a q S q (-)=-，∴11,1,1, 1.1n n na q S a q q q=⎧⎪=(-)⎨≠⎪-⎩（步骤3）(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k *∈N ，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，21k a +＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1， a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1 a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，（步骤4）∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.（步骤5）又∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，（步骤6）∴q ＝1，这与已知矛盾，∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．（步骤7）18．(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1(1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．第18题图【测量目标】线面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系，空间向量的应用.【考查方式】利用直线的方向向量与平面内的向量垂直判定线面垂直，进而求出法向量，求解二面角. 【难易程度】较难【试题解析】(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图， ∵AB ＝AA 1OA ＝OB ＝OA 1＝1，（步骤1） ∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)．11A B ＝AB，∴B 1(－1,1,1)．（步骤2） ∵1AC ＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)，1BB＝(－1,0,1)，∴1AC BD ＝0，1AC 1BB＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．（步骤3）第18题（1）图证法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ．又∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C ．（步骤1） 又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1CAC ＝2，∴AC 2＝AA 12＋A 1C 2，（步骤2） ∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C ．又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，又1BB BD B = ,∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．（步骤3）(2)设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵OC ＝(－1,0,0)，1OB＝(－1,1,1)，∴10,0,OC x OB x y z ⎧=-=⎪⎨=-++=⎪⎩n n ∴0,.x y z =⎧⎨=-⎩（步骤4）取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，1AC＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量，（步骤5） ∴cos θ＝|cos 〈n ，1AC 〉|12=.又∵0…θ…π2，∴π3θ=.（步骤6）19．(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．【测量目标】古典概型，离散型随机变量的分布列及期望【考查方式】利用古典概型和独立事件的概率求解概率进而求解分布列及期望.【难易程度】中等【试题解析】(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝1223C 2C 3=，P (B )＝2435C 3C 5=.（步骤1） ∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为：P (A B )＝P (A ) P (B )＝P (A ) [1－P (B )]＝2243515⨯=.13242335C C 4.C C 15P AB ⎛⎫()== ⎪⎝⎭ 或（步骤2） (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝2435C 3C 5=，（步骤3） ∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为：P (X ＝0)＝1224()35575P ABC =⨯⨯=， P (X ＝1)＝()()()P ABC P ABC P ABC ++＝2221321232035535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝2)＝P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC )＝2322231333335535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝3)＝P (ABC )＝2331835575⨯⨯=，（步骤4） ∴X 的分布列为（步骤5）∴X 的数学期望4203318140280123757575757515EX ⨯+⨯+⨯+⨯==＝.（步骤6） 20． (本小题满分13分)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．【测量目标】圆的方程，直线与圆的位置关系，圆锥曲线中的定点问题.【考查方式】利用曲线方程求解轨迹方程，进一步与直线方程联立求解定点.【难易程度】较难【试题解析】（1）如图（a ），设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴1||O M =1||O A =，（步骤1）=y 2＝8x (x ≠0)．（步骤2） 又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .（步骤3）第20题（1）图（a ）(2)如图（b ），由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0，⇒∆＝－32kb ＋64＞0.（步骤4）由求根公式得，x 1＋x 2＝282bk k -，① x 1x 2＝22b k，②（步骤5） x 轴是∠PBQ 的角平分线，⇒121211y y x x =-++，（步骤6） 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③（步骤7）将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0，∴k ＝－b ，此时∆＞0，（步骤8）∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．（步骤9）第20题（2）图（b ）21. (本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x ＞0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m ＞0)公共点的个数；(3)设a ＜b ，比较2f a f b ()+()与f b f a b a()-()-的大小，并说明理由． 【测量目标】函数零点的求解，导数的几何意义，反函数.【考查方式】利用导数的几何意义求解切线斜率，利用零点判断公共点个数，利用分析法求证不等式.【难易程度】较难【试题解析】(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切， 则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝01x ，解得x 0＝e 2，21e k =. (2)曲线y ＝e x 与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线2e xy x =与y ＝m 的公共点个数． 令()2e x x xϕ=，则3e 2()x x x x ϕ(-)'=，∴φ′(2)＝0. 当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为2e (2)4ϕ=. 当0＜m ＜2e 4时，曲线2e x y x =与y ＝m 无公共点；当2e 4m =时，曲线2e xy x =与y ＝m 恰有一个公共点； 当2e 4m >时，在区间(0,2)内存在1x =φ(x 1)＞m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)＞m .由φ(x )的单调性知，曲线2e xy x=与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点． 综上所述，当x ＞0时，若0＜m ＜2e 4，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点； 若2e 4m =，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点；若2e 4m >，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点． (3)解法一：证明2f a f b f b f a b a()+()()-()>-. 事实上，2f a f b f b f a b a ()+()()-()>-⇔e e e e 2a b b ab a+->-⇔e e 2e e b a b a b a -->+⇔2e 12e eab a b a ->-+⇔212e 1b a b a -->-+(b ＞a )．(*) 令2()12e 1x x x ϕ=+-+(0x …)， 则2222212e e 14e e 1()02e 12e 12e 1x x x x x x x x ϕ(+)-(-)'=-==(+)(+)(+)…(仅当x ＝0时等号成立)， ∴ϕ(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x ＞0时，ϕ(x )＞ϕ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证． 解法二：e e e e 22b a b af a f b f b f a b a b a()+()()-()+--=--- ＝e e e e 2e 2e 2b a b a b a b b a a b a +---+(-)＝e 2ab a (-)[(b －a ) b a e -＋(b －a )－2b a e -＋2]， 设函数u (x )＝x e x ＋x －2e x ＋2(x …0)，则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x ，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝0x xe …(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u ′(x )单调递增，∴当x ＞0时，u ′(x )＞u ′(0)＝0，∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )b a e -＋(b －a )－2b a e -＋2＞0， ∴e e e e >02b a b ab a+---， 因此，2f a f b f b f a b a ()+()()-()>-.。
陕西省西安市2013届高三第九次质检数学(理)试题(解析版)
陕西省西安市2013届高三第一次质检数学（理）试题（解析版）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷 （选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若向量(23),(47),BA CA ==，，则BC =A ．（－2，－4）B ．（3．4）C ．（6，10）D ．（－6．－10）【答案】A【解析】因为(23),(47),BA CA == ，，所以()2,4BC BA AC =+=--.2．设集合{}|3213A x x =-≤-≤，集合B 为函数1(1)y g x =-的定义域，则A B = A ．（1，2）B ．[l ，2]C ．[1．2）D ．（1，2]【答案】D【解析】集合{}{}|3213|12A x x x x =-≤-≤=-≤≤，集合B 为函数1(1)y g x =-的定义域，所以{}|1B x x =>，所以A B = （1，2]。
3．复数z 满足：（z －i ）（1－i ）=2．则z= A ．一l －2i B ．一1十2i C ．1—2i D ．1+2i【答案】D【解析】设()z a bi a b R =+∈、，因为（z －i ）（1－i ）=2，所以()()(1)1-12a bi i i a b a b i +--=+-++-=，1=21-1=02a b a a b b +-=⎧⎧⎨⎨+-=⎩⎩所以，解得：，所以12z i =+。
4．右图是一个算法的流程图，最后输出的W= A ．12 B ．18C ．22D ．26【答案】C【解析】开始循环：21,S T S =-=≥不满足S 10，T=T+2=3；再次循环：28,S T S =-=≥不满足S 10，T=T+2=5；再次循环：217,S T S =-=≥满足S 10，此时输出的=17+5=22W S T =+，因此选C 。
西安市五大名校2013届第三次联考数学(理)试题
20． (本小题 13 分)设动点 P ( x, y) ( x ≥ 0)
C
B
到定点
F
⎛ ⎜⎝
1 2
,
0
⎞ ⎟⎠
的距离比到
y
轴的距离大
1 2
．记点
P
的轨迹为曲线
C．
（Ⅰ）求点 P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设圆 M 过 A(1, 0) ，且圆心 M 在 P 的轨迹上， BD 是圆Ｍ 在 y 轴的截得的弦，当
Ｍ 运动时弦长 BD 是否为定值？说明理由；
O 上半圆上的动点, 以 PC 为边作等边三角形 PCD ，且点 D 与圆心分别在 PC 的两侧．
(Ⅰ) 若 ∠POB = θ ，试将四边形 OPDC 的面积 y 表示成θ 的函数； (Ⅱ) 求四边形 OPDC 的面积的最大值．
18．(本小题 12 分) “剪刀、石头、布”游戏的规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在话音 刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表
每小题 5 分，共 50 分）。
1．命题“存在 x ∈ Z , x2 + 2x + m ≤ 0 ”的否定是
（）
A．存在 x ∈ Z , x2 + 2x + m > 0
B．不存在 x ∈ Z , x2 + 2x + m > 0
C． 对任意 x ∈ Z , x2 + 2x + m ≤ 0 D．对任意 x ∈ Z , x2 + 2x + m > 0
点的椭圆过点 P．记椭圆离心率 e 关于 x0 的函数为 e ( x0 ) ，那么下列结论正确的是 （ ）
A． e 与 x0 一一对应
西安市五大名校2013届第一次联考数学(理)试题
BDA西安市五大名校2013届第一次联考数学（理）试题数 学（理科）第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题（5×10=50分）1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,5M =，{}4,5N =则集合{}1,6=（ ） A．M N ∪ B．M N ∩ C． ()U C M N ∪ D．()U C M N ∩2. 函数02x y −=A．[)()1,22,∪+∞ B．()()1,22,−∪+∞ C．[)()1,22,−∪+∞ D．()1,−+∞ 3．条件:12p x +>，条件:2q x ≥，则p ¬是q ¬的（ ） A．充分非必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要的条件4．函数121yx =−的图像关于x 轴对称的图像大致是（ ）5．tan1000tan10101tan1000tan1010οοοο+−等于（ ）A．C．3−D．36． 若函数()f x 在R 上可导，且()()()222,f x x f x m m R ′=++∈，则 ( ) A．()()05f f < B．()()05f f = C．()()05f f > D．无法确定7．如图，在平行四边形ABCD 中, 22240,90AB BD ABD ο+−=∠=,沿BD 折成直二面角A BD C −−,则三棱锥A BCD −的外接球的表面积是 ( ) A.16π B. 8πC. 4πD. 2π8．已知等差数列{}n a 的公差0d <, 若462824,10a a a a ⋅=+=,则该数列的前n 项和n s 的最大值为 ( ) A．50B．45C．40 D．359．已知双曲线()22221,0,0x y a b a b−=>>的左右焦点是12,F F , 设P 是双曲线右支上一点，12F F uuuu r 在1F P uuu r 上的投影的大小恰好为1F P uuu r ，且它们的夹角为6π，则双曲线的离心率e 为( )A．12 B．12+ 1+ 1+ 10. 已知O 为直角坐标系原点，P，Q 坐标均满足不等式组4325022010x y x y x +−≤⎧⎪−+≤⎨⎪−≥⎩，则使cos POQ ∠取最小值时的POQ ∠的大小为（ ） A．2πB．π C．2πD．4π二、填空题（5×5=25分）11．定义某种新运算⊙：s a b = 的运算原理如 右边流程图所示，则5⊙4－3⊙4＝________． 12．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上， 若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是____（用数字作答） 13．21dx ⎡⎢⎣∫=_________ 14．观察下列式子：2222221311511171,1,1222332344+<++<+++<式子可以猜想：2222111112342011+++<LL 15．选做题（请考生在三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）（A）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 与直线l 的方程分别为：02sin ,x x y ρθ⎧=+⎪=⎨=⎪⎩（t 为参数）。
2013陕西高考数学卷及详细解析
2013年陕西省高考数学试卷（理科）2013年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2013•陕西）设全集为R，函数的定义域为M，则∁R M为（）2．（5分）（2013•陕西）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）3．（5分）（2013•陕西）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）4．（5分）（2013•陕西）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，5．（5分）（2013•陕西）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）．C D．=，则=z7．（5分）（2013•陕西）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形8．（5分）（2013•陕西）设函数f（x）=，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项9．（5分）（2013•陕西）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2013•陕西）双曲线的离心率为，则m等于_________．12．（5分）（2013•陕西）某几何体的三视图如图所示，则其体积为_________．13．（5分）（2013•陕西）若点（x，y）位于曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y的最小值为_________．14．（5分）（2013•陕西）观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为_________．选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15．（5分）（2013•陕西）（不等式选做题）已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为_________．16．（2013•陕西）（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE= _________．17．（2013•陕西）（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为_________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18．（12分）（2013•陕西）已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．19．（12分）（2013•陕西）设{a n}是公比为q的等比数列．（Ⅰ）试推导{a n}的前n项和公式；（Ⅱ）设q≠1，证明数列{a n+1}不是等比数列．20．（12分）（2013•陕西）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，．（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．21．（12分）（2013•陕西）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．（Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．22．（13分）（2013•陕西）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．23．（14分）（2013•陕西）已知函数f（x）=e x，x∈R．（Ⅰ）若直线y=kx+1与f（x）的反函数的图象相切，求实数k的值；（Ⅱ）设x＞0，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．（Ⅲ）设a＜b，比较与的大小，并说明理由．2013年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2013•陕西）设全集为R，函数的定义域为M，则∁R M为（）2．（5分）（2013•陕西）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）的函数值．y=3．（5分）（2013•陕西）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）•，根据此公式再看与解：∵•=与的夹角为零角或平角，即与的夹角为为零角或平角，有．是4．（5分）（2013•陕西）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，的人中，恰好抽取人中抽取=125．（5分）（2013•陕西）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）．C D．，结合矩形﹣×π×=﹣=，则=z，所以）若，则，所以，所以7．（5分）（2013•陕西）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形A=，由此可得A=8．（5分）（2013•陕西）设函数f（x）=，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项===9．（5分）（2013•陕西）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（），由三角形相似可得，再由二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2013•陕西）双曲线的离心率为，则m等于9．利用双曲线的离心率计算公式双曲线可得又离心率为，则，是解题的关键．12．（5分）（2013•陕西）某几何体的三视图如图所示，则其体积为．所以体积故答案为：13．（5分）（2013•陕西）若点（x，y）位于曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y的最小值为﹣4．14．（5分）（2013•陕西）观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=61﹣2+3﹣4=﹣10…照此规律，第n个等式可为．，﹣个等式为故答案为：选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15．（5分）（2013•陕西）（不等式选做题）已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为2．（+当且仅当16．（2013•陕西）（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE=．．．故答案为：17．（2013•陕西）（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为，θ∈R．）=，则圆的参数方程为故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18．（12分）（2013•陕西）已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．，]=，﹣sinxsinxcosx）T=]∈的性质可知，sinx），，．19．（12分）（2013•陕西）设{a n}是公比为q的等比数列．（Ⅰ）试推导{a n}的前n项和公式；（Ⅱ）设q≠1，证明数列{a n+1}不是等比数列．，∴∴==20．（12分）（2013•陕西）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，．（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．中，∵中，∵，∴，，，得∴=．21．（12分）（2013•陕西）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．（Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．号歌手的概率为，=，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论；号歌手的概率为﹣，，号歌手的概率为号歌手的概率为号歌手的概率为﹣），（﹣）（）））=，•（））•+﹣），•），×+1×+2×+3×=．22．（13分）（2013•陕西）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．|MN|，的方程为|ME|=0.∴，∴的方程为∴，化为，23．（14分）（2013•陕西）已知函数f（x）=e x，x∈R．（Ⅰ）若直线y=kx+1与f（x）的反函数的图象相切，求实数k的值；（Ⅱ）设x＞0，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．（Ⅲ）设a＜b，比较与的大小，并说明理由．==，令g（x）=x+2+（x﹣2）e x（x＞0），，∴，则，解得，则．，∴参与本试卷答题和审题的老师有：minqi5；wfy814；qiss；sxs123；孙佑中；俞文刚；caoqz；sllwyn（排名不分先后）菁优网2014年6月19日。
2013年陕西省高考数学试卷（理科）
2013年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.（5分）设全集为R,函数f（x）=S7成的定义域为M,则[r M为（）A.[-1,1]B.（-1,1）C.（-8,-1）u（1,+8）D.（-8,-1]U[1,+8）2.（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）；输入x::Ife<50Then;!7=0.5*乂；Else::y=25+0.6*（x-50）::Endlf:输出y:!_________________?A.25B.30C.31D.613.（5分）设搭，E为向量，则|斯0=后10是“项〃E”的（）A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481, 720]的人数为（）A.11B.12C.13D.145.（5分）如图，在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）D6.（5分）设％,Z2是复数，则下列命题中的假命题是（）A.若|Z1-z2|=0,则汀云B.若z『云，则*21=I Z2I>则Z1»~=Z2«~ D.若I Z11=I Z2|>则Z12=Z22C.若|Z17.（5分）设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB二asinA,则^ABC的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定']68.（5分）设函数f（x）=<"=■）',则当x>0时，f[f（x）]表达式的."VL x》0展开式中常数项为（）A.-20B.20C.-15D.159.（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（）40wA.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]10.（5分）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x,y,有（）A.[-x]=-[x]B.[2x]=2[x]C.[x+y]W[x]+[y]D.[x-y]W[x]-[y]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）22（-11.（5分）双曲线L-L1的离心率为旦，则m等于_______16m412.（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为.13.（5分）若点（x,y）位于曲线y=|x-11与y=2所围成的封闭区域，则2x-y 的最小值为.14.（5分）观察下列等式：12=1I2-22=-3I2-22+32=6I2-22+32-42=-10照此规律，第n个等式可为.选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15.（5分）（不等式选做题）已知a,b,m,n均为正数，且a+b=l,mn=2,贝J（am+bn）（bm+an）的最小值为.16.（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于。
2013年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷理科数学(2013年陕西省高考理科数学)
2013年普通高等学校招生全国统一考试陕西省理科数学第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分).1.设全集为R，函数f(x)＝√1﹣x2的定义域为M，则∁R M为().A．[﹣1，1]B．(﹣1，1)C．(﹣∞，﹣1]∁[1，＋∞)D．(﹣∞，﹣1)∁(1，＋∞)答案：D解析：要使函数f(x)＝√1﹣x2有意义，则1﹣x2≥0，解得﹣1≤x≤1，则M＝[﹣1，1]，∁R M＝(﹣∞，﹣1)∁(1，＋∞).答案：C解析：由算法语句可知y＝{0.5x，x≤50，25＋0.6(x﹣50)，x>50，所以当x＝60时，y＝25＋0.6×(60﹣50)＝25＋6＝31.3.设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∁b”的().A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：若a与b中有一个为零向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∁b”的充分必要条件;若a与b都不为零向量，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，由|a ·b |＝|a ||b |得|cos θ|＝1，则两向量的夹角为0或π，所以a ∁B ．若a ∁b ，则a 与b 同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则|cos θ|＝1，所以|a ·b |＝|a ||b |，故“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∁b ”的充分必要条件.4.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为( ). A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 答案：B解析：840÷42＝20，把1，2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为l ＋(k ﹣1)·20，1≤l≤20，1≤k≤42.令481≤l ＋(k ﹣1)·20≤720，得25＋1﹣l20≤k≤37﹣l20.由1≤l≤20，则25≤k≤36.满足条件的k 共有12个.5.如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( ).A ．1﹣π4B ．π2﹣1 C ．2﹣π2 D ．π4答案：A解析：S 矩形ABCD ＝1×2＝2，S 扇形ADE ＝S 扇形CBF ＝π4.由几何概型可知该地点无信号的概率为P ＝S 矩形ABCD ﹣S 扇形ADE ﹣S 扇形CBFS 矩形ABCD＝2﹣π22＝1﹣π4.6.设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( ). A ．若|z 1﹣z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 12＝z 22答案：D解析：对于选项A ，若|z 1﹣z 2|＝0，则z 1＝z 2，故z 1＝z 2，正确;对于选项B ，若z 1＝z 2，则z 1＝z =2＝z 2，正确;对于选项C ，z 1·z 1＝|z 1|2，z 2·z 2＝|z 2|2，若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2，正确;对于选项D ，如令z 1＝i＋1，z 2＝1﹣i ，满足|z 1|＝|z 2|，而z 12＝2i ，z 22＝﹣2i ，故不正确.7.设∁ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则∁ABC 的形状为( ).A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∁b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∁sin (B ＋C)＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ．又sin A>0，∁sin A ＝1，∁A ＝π2，故∁ABC 为直角三角形.8.设函数f(x)＝{(x ﹣1x )6，x <0，﹣√x ，x ≥0，则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( ).A ．﹣20B ．20C ．﹣15D ．15答案：A解析：当x>0时，f(x)＝﹣√x <0，则f[f(x)]＝(﹣√x ＋x )6＝(√x ﹣x )6.T r ＋1＝C 6r (√x )6﹣r·(x )r ＝(﹣1)rC 6r x6﹣r2·x ﹣r2＝(﹣1)r C 6r x 3﹣r .令3﹣r ＝0，得r ＝3，此时T 4＝(﹣1)3C 63＝﹣20.9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m )的取值范围是( ).A ．[15，20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30]答案：C解析：设矩形另一边长为y ，如图所示.x40＝40﹣y40，则x ＝40﹣y ，y ＝40﹣x.由xy≥300，即x(40﹣x)≥300，解得10≤x≤30，故选C ．10.设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( ). A ．[﹣x]＝﹣[x] B ．[2x]＝2[x]C ．[x ＋y]≤[x]＋[y]D ．[x ﹣y]≤[x]﹣[y] 答案：D解析：对于选项A ，取x ＝﹣1.1，则[﹣x]＝[1.1]＝1，而﹣[x]＝﹣[﹣1.1]＝﹣(﹣2)＝2，故不正确;对于选项B ，令x ＝1.5，则[2x]＝[3]＝3，2[x]＝2[1.5]＝2，故不正确;对于选项C ，令x ＝﹣1.5，y ＝﹣2.5，则[x ＋y]＝[﹣4]＝﹣4，[x]＝﹣2，[y]＝﹣3，[x]＋[y]＝﹣5，故不正确;对于选项D ，由题意可设x ＝[x]＋β1，0≤β1<1，y ＝[y]＋β2，0≤β2<1，则x ﹣y ＝[x]﹣[y]＋β1﹣β2，由0≤β1<1，﹣1<﹣β2≤0，可得﹣1<β1﹣β2<1.若0≤β1﹣β2<1，则[x ﹣y]＝[[x]﹣[y]＋β1﹣β2]＝[x]﹣[y];若﹣1<β1﹣β2<0，则0<1＋β1﹣β2<1，[x ﹣y]＝[[x]﹣[y]＋β1﹣β2]＝[[x]﹣[y]﹣1＋1＋β1﹣β2]＝[x]﹣[y]﹣1<[x]﹣[y]，故选项D 正确.第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分).11.双曲线x 216−y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于__________. 答案：9解析：由双曲线方程知a ＝4.又e ＝ca ＝54，解得c ＝5，故16＋m ＝25，m ＝9. 12.某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________.答案：π3解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r ＝1，高SO ＝2，则V 几何体＝13×π×22＝π3.13.若点(x ，y)位于曲线y ＝|x ﹣1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x ﹣y 的最小值为__________.答案：﹣4解析：由y ＝|x ﹣1|＝{x ﹣1，x ≥1，﹣x ＋1，x <1及y ＝2画出可行域如图阴影部分所示.令2x ﹣y ＝z ，则y ＝2x ﹣z ，画直线l 0：y ＝2x 并平移到过点A(﹣1，2)的直线l ，此时﹣z 最大，即z 最小＝2×(﹣1)﹣2＝﹣4. 14.观察下列等式 12＝112﹣22＝﹣3 12﹣22＋32＝612﹣22＋32﹣42＝﹣10……照此规律，第n个等式可为__________.答案：12﹣22＋32﹣42＋…＋(﹣1)n＋1n2＝(﹣1)n＋1·n(n＋1)解析：第n个等式的左边第n项应是(﹣1)n＋1n2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2，故有12﹣22＋32﹣42＋…＋(﹣1)n＋1n2＝(﹣1)n＋1n(n＋1)2.15.(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A．(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为__________.答案：2解析：(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝n＝√2时等号成立).B．(几何证明选做题)如图，弦AB与CD相交于∁O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝__________.答案：√6解析：∁C与∁A在同一个∁O中，所对的弧都是BD⏜，则∁C＝∁A．又PE∁BC，∁∁C＝∁PED．∁∁A＝∁PED．又∁P＝∁P，∁∁PED∁∁PAE，则PEPA ＝PDPE，∁PE2＝PA·PD．又PD＝2DA＝2，∁PA＝PD＋DA＝3，∁PE2＝3×2＝6，∁PE＝√6.C．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2﹣x＝0的参数方程为__________.答案：{x＝cos2θ，y＝sinθcosθ(θ为参数)解析：由三角函数定义知y＝tanθ(x≠0)，y＝x tanθ，由x2＋y2﹣x＝0得，x2＋x2tan2θ﹣x＝0，x＝11＋tanθ＝cos2θ，则y＝x tanθ＝cos2θtanθ＝sinθcosθ，又θ＝π2时，x＝0，y＝0也适合题意，故参数方程为{x＝cos2θ，y＝sinθcosθ(θ为参数).三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分).16.(本小题满分12分)已知向量a ＝(cosx ，﹣12)，b ＝(√3sin x ，cos 2x)，x∁R ，设函数f(x)＝a ·B ． (1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在[0，π2]上的最大值和最小值. 解：f(x)＝(cosx ，﹣12)·(√3sin x ，cos 2x)＝√3cos x sin x ﹣12cos 2x ＝√32sin 2x ﹣12cos 2x ＝cos π6sin 2x ﹣sin π6cos 2x ＝sin (2x ﹣π6).(1)f(x)的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f(x)的最小正周期为π. (2)∁0≤x≤π2， ∁﹣π6≤2x ﹣π6≤5π6.由正弦函数的性质， 当2x ﹣π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x ﹣π6＝﹣π6，即x ＝0时，f (0)＝﹣12， 当2x ﹣π6＝5π6，即x ＝π2时，f (π2)＝12，∁f(x)的最小值为﹣12.因此，f(x)在[0，π2]上的最大值是1，最小值是﹣12. 17.(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列. (1)推导{a n }的前n 项和公式;(2)设q≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列. (1)解：设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1;当q≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ﹣1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①﹣②得，(1﹣q)S n ＝a 1﹣a 1q n ，∁S n ＝a 1(1﹣q n )1﹣q，∁S n ＝{na 1，q ＝1，a 1(1﹣q n )1﹣q，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∁N ＋，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a k ＋12＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1， a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk ﹣1·a 1q k ＋1＋a 1q k ﹣1＋a 1q k ＋1， ∁a 1≠0，∁2q k ＝q k ﹣1＋q k ＋1. ∁q≠0，∁q 2﹣2q ＋1＝0， ∁q ＝1，这与已知矛盾，∁假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列. 18.(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O∁平面ABCD ，AB ＝AA 1＝√2. (1)证明：A 1C∁平面BB 1D 1D;(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图.∁AB ＝AA 1＝√2， ∁OA ＝OB ＝OA 1＝1，∁A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(﹣1，0，0)，D(0，﹣1，0)，A 1(0，0，1).由A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，易得B 1(﹣1，1，1). ∁A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(﹣1，0，﹣1)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，﹣2，0)， BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(﹣1，0，1)， ∁A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，∁A 1C∁BD ，A 1C∁BB 1，∁A 1C∁平面BB 1D 1D ．证法二：∁A 1O∁平面ABCD ，∁A 1O∁BD ．又∁ABCD 是正方形，∁BD∁AC ，∁BD∁平面A 1OC ，∁BD∁A 1C ．又∁OA 1是AC 的中垂线，∁A 1A ＝A 1C ＝√2，且AC ＝2，∁AC 2＝A A 12＋A 1C 2，∁∁AA 1C 是直角三角形，∁AA 1∁A 1C ．又BB 1∁AA 1，∁A 1C∁BB 1，∁A 1C∁平面BB 1D 1D ． (2)解：设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，∁OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(﹣1，0，0)，OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(﹣1，1，1)， ∁{n ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝﹣x ＝0，n ·OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝﹣x ＋y ＋z ＝0，∴{x ＝0，y ＝﹣z .取n ＝(0，1，﹣1)，由(1)知，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(﹣1，0，﹣1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∁cos θ＝|cos <n ，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|＝√2×√212. 又∁0≤θ≤π2，∁θ＝π3.19.(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望. 解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)＝C 21C 32＝23，P (B )＝C 42C 53＝35. ∁事件A 与B 相互独立，∁观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A B )＝P(A)·P(B )＝P(A)·[1﹣P(B)]＝23×25＝415.(或P (AB )＝C 21·C 43C 32·C 53＝415.) (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝C 42C 53＝35，∁X 可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为 P(X ＝0)＝P(ABC )＝13×25×25＝475， P(X ＝1)＝P(A BC )＋P(A B C )＋P(AB C) ＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075，P(X ＝2)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P(A BC)＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375， P(X ＝3)＝P(ABC)＝23×35×35＝1875， ∁X 的分布列为∁X 的数学期望EX ＝0×475＋1×2075＋2×3375＋3×1875＝14075＝2815. 20.(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4，0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(2)已知点B(﹣1，0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∁PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点.(1)解：如图，设动圆圆心O 1(x ，y)，由题意，|O 1A|＝|O 1M|，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H∁MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∁|O 1M|＝√x 2＋42，又|O 1A|＝√(x ﹣4)2＋y 2， ∁√(x ﹣4)2＋y 2＝√x 2＋42，化简得y 2＝8x(x≠0).又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0，0)也满足方程y 2＝8x ， ∁动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x.(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b(k≠0)，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk ﹣8)x ＋b 2＝0， 其中Δ＝﹣32kb ＋64>0. 由求根公式得，x 1＋x 2＝8﹣2bk k 2，①x 1x 2＝b 2k 2，②因为x 轴是∁PBQ 的角平分线， 所以y 1x 1＋1＝﹣y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b)(x 2＋1)＋(kx 2＋b)(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k)(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b)(8﹣2bk)＋2k 2b ＝0， ∁k ＝﹣b ，此时Δ>0，∁直线l 的方程为y ＝k(x ﹣1)， 即直线l 过定点(1，0).21.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝e x ，x∁R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f(x)的反函数的图像相切，求实数k 的值; (2)设x>0，讨论曲线y ＝f(x)与曲线y ＝mx 2(m>0)公共点的个数; (3)设a<b ，比较f (a )＋f (b )2与f (b )﹣f (a )b ﹣a的大小，并说明理由. 解：(1)f(x)的反函数为g(x)＝ln x.设直线y ＝kx ＋1与g(x)＝ln x 的图像在P(x 0，y 0)处相切，则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g'(x 0)＝1x 0，解得x 0＝e 2，k ＝1e 2.(2)曲线y ＝e x 与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线y ＝e xx 2与y ＝m 的公共点个数. 令φ(x)＝e x x2，则φ'(x )＝e x (x ﹣2)x 3， ∁φ'(2)＝0.当x∁(0，2)时，φ'(x)<0，φ(x)在(0，2)上单调递减;当x∁(2，＋∞)时，φ'(x)>0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递增， ∁φ(x)在(0，＋∞)上的最小值为φ(2)＝e 24. 当0<m<e 24时，曲线y ＝e x x2与y ＝m 无公共点; 当m ＝e 24时，曲线y ＝e x x2与y ＝m 恰有一个公共点;当m>e 24时，在区间(0，2)内存在x 1＝√m，使得φ(x 1)>m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)>m.由φ(x)的单调性知，曲线y ＝e xx2与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点.综上所述，当x>0时， 若0<m<e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点;若m ＝e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点;若m>e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点. (3)解法一：可以证明f (a )＋f (b )2>f (b )﹣f (a )b ﹣a..事实上，f (a )＋f (b )2>f (b )﹣f (a )b ﹣a⇔e a ＋e b 2>e b ﹣e a b ﹣a⇔b ﹣a 2>e b ﹣e a e b ＋e a⇔b ﹣a 2>1﹣2e ae b ＋ea ⇔b ﹣a 2>1﹣2e b ﹣a ＋1(b>a ).(*) 令ψ(x)＝x2＋2e x ＋1﹣1(x ≥0)，则ψ'(x)＝12−2e x(e x ＋1)2＝(e x ＋1)2﹣4e x 2(e x ＋1)2＝(e x ﹣1)22(e x ＋1)2≥0(仅当x ＝0时等号成立)，∁ψ(x)在[0，＋∞)上单调递增，∁x>0时，ψ(x)>ψ(0)＝0.令x ＝b ﹣a ，即得(*)式，结论得证.解法二：f (a )＋f (b )2−f (b )﹣f (a )b ﹣a＝e b ＋e a2−e b ﹣e a b ﹣a＝be b ＋be a ﹣ae b ﹣ae a ﹣2e b ＋2e a2(b ﹣a )＝e a2(b ﹣a )[(b ﹣a)e b ﹣a ＋(b ﹣a)﹣2e b ﹣a ＋2]，设函数u(x)＝x e x ＋x ﹣2e x ＋2(x≥0)，则u'(x)＝e x ＋x e x ＋1﹣2e x ，令h(x)＝u'(x)，则h'(x)＝e x ＋e x ＋x e x ﹣2e x ＝x e x ≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∁u'(x)单调递增，∁当x>0时，u'(x)>u'(0)＝0，∁u(x)单调递增.当x>0时，u(x)>u(0)＝0.令x ＝b ﹣a ，则得(b ﹣a)e b ﹣a ＋(b ﹣a)﹣2e b ﹣a ＋2>0， ∁e b ＋e a 2−e b ﹣e ab ﹣a >0，因此，f (a )＋f (b )2>f (b )﹣f (a )b ﹣a .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2013届第三次模拟考试数学（理）试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角 形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是 （ ）A B CD ． 2．复数131iZ i−=+的实部是 （ ）A ．2B ．1C ．1−D ．4− 3．如果命题“()p q ¬∧”是真命题，则正确的是（ ）A ．,p q 均为真命题B ．,p q 中至少有一个为假命题C ．,p q 均为假命题D ．,p q 中至多有一个为假命题4．已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b−=>的左、右焦点分别为1F ，2F ,过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为H ,若2F H 的中点M 在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率为 （ ）A BC ．2D ．35．己知5sin cos 3cos 3sin =−+αααα，则αααcos sin sin 2−的值是（ ）A ．52B ．52− C ．－2 D ．26．若集合2{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，全集U=R ，则()U A C B I = （ ）A ．{|01}x x ≤≤B ．{|01}x x x ><−或C ．{|12}x x <≤D ．{|02}x x <≤正视图 俯视图侧视图7．六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻．在此前提下，学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是 （ ）A ．130B ．110C ．140D ．1208．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体P －ABC 的体积为V ，则R ＝ （ ） A ．V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 49．公差不为零的等差数列{}n a 中，12513a a a ++=，且1a 、2a 、5a 成等比数列，则数列{}n a 的公差等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．在R 上可导的函数3211()232f x x ax bx c =+++，当(0,1)x ∈时取得极大值，当(1,2)x ∈ 时取得极小值，则21b a −−的取值范围是（ ）A ．11(,)22−B ．11(,)24−C ．1(,1)2D ．1(,1)4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上． 11．如右图所示的程序框图的输出值]2,1(∈y ，则输入值∈x 。
12．直线y x =与抛物线23y x x =−所围成图形的面积是 ．13．在21nx x ⎛⎞+⎜⎟⎝⎠的展开式中，只有第4项的二 项式系数最大，则展开式中常数项是 ． 14．下列4个命题： ①已知函数)0()sin(2πϕϕ<<+=x y 的图象 如图所示， 则ππϕ656或=； ②在△ABC 中，∠A>∠B 是sinA>sinB 的充要条件；③定义域为R 的奇函数()(1)()f x f x f x +=−满足，则()f x 的图象关于点1(,0)2对称；④对于函数f （x ）=x 2+mx+n,若f （a ）>0,f （b ）>0,则f （x ）在（a,b ）内至多有一个零点；其中正确命题序号 ． 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A ．（不等式选做题）。
不等式：125x x −++< 的解集是 。
B ．（几何证明选做题）如图，在ABC Δ中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC=3，DE=2，DF=1，则AB 的长为 。
C ．（坐标系与参数方程选做题）在已知极坐标系中，已知圆2cos ρθ=与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，则实数a = 。
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）在ABC Δ中，已知内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，向量),sin 2,3(B −=)2cos ,12cos 2(2B B−=，且//， B 为锐角．（1）求角B 的大小； （2）设2b =，求ABC Δ的面积ABC S Δ的最大值．17．（本题满分12分）袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，每次取出黑球后不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数ξ的分布列，并求出ξ的期望值和方差． 18．（本题满分12分）如图，在棱长为4的正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中，O是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1 = 4CP ． （1）求直线AP 与平面BCC 1B 1所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）; （2）设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； （3）求点P 到平面ABD 1的距离．C19．（本题满分12分）在数列{n a }中，311=a ，并且对任意2,≥∈∗n N n 都有n n n n a a a a −=⋅−−11成立，令)(1∗∈=N n a b nn ． （1）求数列{n b }的通项公式；（2）求数列{na n}的前n 项和n T ． 20．（本题满分13分）在直角坐标坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段,PP P ′′为垂足． （1）求线段PP ′中点M 的轨迹C 的方程；（2）过点Q （—2，0）作直线ｌ与曲线C 交于A 、B 两点，设N 是过点（417−，0），且以(0,1)a =v 为方向向量的直线上一动点，满足ON OA OB =+uuu v uuu v uuu v（O 为坐标原点），问是否存在这样的直线ｌ,使得四边形OANB 为矩形?若存在，求出直线ｌ的方程；若不存在，说明理由．21．（本题满分14分）已知函数()21ln 2f x x x =+ （1）求函数()f x 在[]1,e 上的最大值和最小值；（2）求证：在区间[)1,+∞上，函数()f x 的图象在()323g x x =的图象的下方。
长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2013届第二次模拟考试数学（理）试题参考答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B A A A C C B D 二、填空题:11．)(]2log 311,3，⎡−−∪⎣ 12．4313．15 14． ○2 15 ．A {}32x x -<< B ．92C ．2或8三、解答题： 16．（本题满分12分）解：（1）由//得012cos 2sin 22cos 32=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅+B B B -------2分 即032sin(202sin 2cos 3=+∴=+πB B B --------4分,34,332),2,0(⎟⎠⎞⎜⎝⎛∈+∴∈ππππB B Q ,32ππ=+∴B 即锐角3π=B ．------6分（Ⅱ）∵2,3==b B π，∴由余弦定理ac b c a B 2cos 222−+=得 ----8分0422=−−+ac c a ． 又∵ac c a 222≥+，代入上式得4≤ac当且仅当2==c a 时等号成立）．∴343sin 21≤==Δac B ac S ABC （当且仅当2==c a 时等号成立）． ∴ABC Δ面积的最大值为3． --------12分 17．（本题满分12分）解：ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5．并且有()110.2;5P ξ===()4120.2;54P ξ==×= ()43130.2;543P ξ==××= ()432140.2;5432P ξ==×××=()4321150.2;54321P ξ==××××=因此ξ的分布列是ξ 1 2 3 4 5 P0.2 0.2 0.20.20.210.220.230.240.250.23E ξ=×+×+×+×+×=()()()()()22222130.2230.2330.2430.2530.22D ξ=−×+−×+−×+−×+−×=．18．（本题满分12分）解：如右图，（1）解：∵AB ⊥平面BCC 1B 1，∴AP 与平面BCC 1B 1所成的角主浊∠AP B ． 如右图建立空间直角坐标系，坐标原点为 D ． ∵CC 1 = 4CP ，CC 1 = 4， ∴CP = 1，A （4, 0, 0），P （0, 4, 1），B （4, 4, 0）． ∴(4,4,1),(4,0,1)PA PB =−−=−uuu r uuu r． ∵160117PA PB ⋅=++=uuu r uuu r,∴cos∠33||||PA PB APB PA PB ⋅===⋅uuu r uuu r uuu r uuu r ．∴直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角为． （2）证明：连结D 1O ，由（1）有D 1 （0, 0, 4），O （2, 2, 4），∴11(2,2,0),8800D O PA D O =⋅=−+=uuuu r uuu r uuuu r． ∴1PA D O ⊥uuu r uuuu r ．∵平面D 1AP 的斜线D 1O 在这个平面内的射影是D 1H ，∴D 1H ⊥AP ． （3）解：连结BC 1，在平面BCC 1B 1中，过点P 作PQ ⊥BC 1于点Q ． ∵AB ⊥平面BCC 1B 1，PQ ⊂平面BCC1B 1，∴PQ ⊥A B ． ∴PQ ⊥平面ABC 1D 1．∴PQ 就是点P 到平面ABD 1的距离． 在Rt △C 1PQ 中，∠C 1QP = 90°，∠PC 1Q = 45°，PC 1 = 3， ∴2PQ =，即点P 到平面ABD 1的距离为2． 19．解：（1）当n=1时，3111==a b ,当2≥n 时， 由n n n n a a a a −=⋅−−11得,1111=−−n n a a 所以11=−−n n b b …………………．．4分 所以数列}{n b 是首项为3，公差为1的等差数列， 所以数列}{n b 的通项公式为2+=n b n ………… (6)（2）1111()(2)22n a nn n n n ==−++分分12....................................................................)23(453)]2111(23[218)......211111151314121311(2122+++=+++−=+−++−−++−+−+−=∴n n n n n n n n n n Tn L20．（本题满分13分）解：（1）设M （x,y ）是所求曲线上的任意一点，P （11,x y ）是方程224x y +=的圆上的任意一点，则1(0,)p y ′．则有：11122x x y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即112x x y y =⎧⎨=⎩，代入224x y +=得，轨迹C 的方程为2214y x +=（2）当直线l 的斜率不存在时，与椭圆无交点．所以设直线l 的方程为y=k （x+2）,与椭圆交于11(,)A x y 22、B(x ,y )两点，N 点所在直线方程为4017x +=． 由2214(2)y x y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得（4＋2k ）2224440x k x k ++−=． 由422164(4)(44)0,k k k Δ=−+−≥∴243k ≤．即33k −≤≤ 2212122244(1),.44k k x x x x k k −−+==++ON OA OB =+uuu v uuu v uuu v Q ，即AN OB =uuu v uuu v,∴四边形OANB 为平行四边形 假设存在矩形OANB,则0OA OB =uuu v uuu v,即12120x x y y +=， 即2221212(1)2()40k x x k x x k ++++=，于是有2216404k k −=+ 得12k =± 设N （00,x y ），由ON OA OB =+uuu v uuu v uuu v 得2012244417k x x x k =+=−=−+， 即点N 在直线x ＝－417上．∴存在直线l 使四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为1(2)2y x =±+． 21．（本题满分14分）解：（1）由()21ln 2f x x x =+得()1f x x x′=+，当[]1,x e ∈时，()f x ′0>，函数()21ln 2f x x x =+单调递增，()()()()2max min 111,122f x f e e f x f ∴==+==（2）设()2312ln 23F x x x x =+−，则()()()2211212x x x F x x x x x −++′=+−=，当[)1,x ∈+∞时()0F x ′≤函数()F x 单调递减，且()1106F =−<，故[)1,x ∈+∞时，()F x 0<，2312ln 23x x x +<，故在区间[)1,+∞上，函数()f x 的图象在函数()323g x x =的下方。